Giáo trình Giải tích 2 - Bài 3 - Nguyễn Xuân Thảo
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
GIẢI TÍCH 2
BÀI 3.
§ 2. Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm số
2.1. Định nghĩa.
Cho K(x, t) liên tục trên hình chữ nhật D: a t b, c x d, các hàm (x), (x)
x
I x
liên tục trên [c ; d] thoả mãn a (x) b, a (x) b, ta gọi
là
K x, t dt
x
tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm số.
2.2. Tính liên tục, khả vi
Định lí 2. Cho K(x, t) liên tục trên hình chữ nhật D: a t b, c x d, các hàm
(x), (x) liên tục trên [c ; d] thoả mãn a (x), (x) b, thì ta có
1/ I(x) liên tục trên [c ; d]
K x, t
2/ Nếu thêm
liên tục trên D, các hàm (x),(x) khả vi , thì có I(x) khả
x
vi trên [c ; d] và có
x
I x
x, x
x K
x, x
K x, t dt x K
x
x
2
1x
dt
1 t2 x3
Ví dụ 1. Cho
I(x)
x
cosy
I(x)
eyx2dx
Ví dụ 2. Xét tính khả vi và tính đạo hàm
siny
§ 3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
3.1. Hội tụ đều
Định nghĩa. Ta gọi
là tích phân phụ thuộc tham số x nếu nó
I x K x, t dt
a
hội tụ với mọi x [c ; d].
b
Tương tự có thể xét
K x, t dt, K x, t dt
Định nghĩa. I(x) được gọi là hội tụ đều trên [c ; d ] nếu như > 0, N() > 0, b
> N(), x [c ; d]
.
K x, t dt
b
10
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
3.2. Tiêu chuẩn Cauchy
Định lí (tiêu chuẩn Cauchy).
hội tụ đều trên [c ; d] b0 để có
I x K x, t dt
0
b
2
K x, t dt , b , b b , x c ; d .
1
2
0
b
1
3.3. Dấu hiệu Weierstrass. Cho:
K x, t F t , x c ; d , t b a
, F(t) 0 và khả tích
hội tụ.
F t dt
a
Khi đó
hội tụ tuyệt đối và đều trên [c ; d].
sintx
K x, t dt
a
Ví dụ 1. CMR
hội tụ đều trên R
2 dt
2
a t
0
exxtdt,
Ví dụ 2. Xét tính hội tụ đều của
a 0,t [0,a]
0
eyx2dx
(t ;),t 0
.
Ví dụ. Chứng minh rằng
hội tụ đều trên
0
0
0
3.4. Tiêu chuẩn Dirichlet. Cho
b
0 , b > a, x [c ; d], C0 > 0
K x, t dt C
a
(x, t) hội tụ đều theo x đến 0 khi khi t và đơn điệu theo t với mỗi x cố định
thuộc [c ; d].
Khi đó
hội tụ đều trên [c ; d]
K x, t t, x dt
a
sin xt
Ví dụ 1. Xét tính hội tụ đều
, x [x ; +), x > 0.
dt
0
0
t
0
11
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
sinx
etx
dx
Ví dụ 2. CMR
,
t 0
x
0
3.5. Tiêu chuẩn Abel. Giả thiết rằng:
1/
hội tụ đều trên [c ; d]
K x, t dt
a
2/ x, t C , C > 0, t a, x [c ; d], và với mỗi x cố định ta có hàm (x, t)
0
0
đơn điệu theo t.
Khi đó ta có
hội tụ đều trên [c ; d].
K x, t t, x dt
a
1
etx
Ví dụ 1. Xét tính hội tụ đều
, x [x ; +), x > 0.
dt
0
0
x2 t
0
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
12
3 trang
26/04/2022
4880
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 2 - Bài 3 - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_2_bai_3_nguyen_xuan_thao.pdf
