Bài giảng Quy hoạch thực nghiệm - Chương 6: Qui hoạch bậc hai
Qui hoạch bậc hai
Chương 6
Vùng cận cực trị
Mô hình bề mặt đáp ứng
Qui hoạch yếu tố 3 mức độ
Qui hoạch tâm hỗn hợp (Central Composite Design)
Qui hoạch Box-Behnken
Tối ưu hóa
6.1. Vùng cực trị
Vùng cực trị là vùng tại đó mô hình tuyến tính không
còn tương thích.
Mô hình đa thức bậc hai thường được sử dụng để mô
tả vùng cực trị. Với đa thức bậc hai thì số thí nghiệm N
phải lớn hơn số hệ số hồi qui của phương trình bậc hai
của k yếu tố.
y = b0 + b1x1 + b2x2 + … + bkxk + b12 x1x2 + …
2
2
+ bk-1,kxk-1xk + b11x1 + … + bkkxk
số hệ số hồi qui l cho bởi
k!
(k +1)(k + 2)
l = k +1+ k +Ck2 = 2k +1+
=
2!(k − 2)!
2
Để mô tả mô hình đa thức bậc hai các yếu tố thí
nghiệm phải có ít nhất 3 mức độ.
Đối với hoạch định yếu tố 3 mức độ, khi số yếu tố lớn
hơn 2 thì số thí nghiệm rất lớn rất nhiều so với số hệ số
hồi qui
k 2
3k 9 27 81 243 729
l 6 10 15 21 28
3 4
5 6
Số thí nghiệm có thể giảm xuống khi dùng qui hoạch
tâm hỗn hợp hay còn gọi là qui hoạch Box-Wilson
Thường để khảo sát bề mặt đáp ứng tại vùng cực trị
người ta thường chuyển đổi phương trình hồi qui đa
thức bậc thành phương trình chính tắc có dạng:
2
2
2
y – ys = 11X1 + 22X2 + … + kkXk
Từ phương trình chính tắc sẽ có 3 trường hợp
Các hệ số cùng dấu: bề mặt đáp ứng là một ellip-paraboloid
với tâm là cực trị. ii < 0 ta có cực đại; ii > 0 ta có cực tiểu
Các hệ số trái dấu: bề mặt đáp ứng là một hyperbol-paraboloid
có điểm yên ngựa min-max
Một hay nhiều hệ số gần bằng zero (không phải tất cả): tâm bề
mặt nằm ngoài vùng ngoại suy. Đây là dạng nóc nhà (ridge)
Các hệ số chính tắc cùng dấu
Các hệ số chính tắc trái dấu
Có một hay nhiều hệ số chính tắc gần bằng zero:
Dạng nóc nhà nằm ngang:
điều kiện tối ưu nằm trên đường
thẳng (1 hệ số gần bằng zero) hay
mặt phẳng (2 hệ số bằng zero).
Điều này cho phép có nhiều chọn
lựa điều kiện tối ưu
Dạng nóc nhà nghiêng xuống (lên): giá trị của đáp ứng giảm
dần (tăng dần) khi di chuyển xa điểm gần cực trị và nằm ngoài
vùng khảo sát. Do đó nên tiến hành thêm các thí nghiệm nằm
ngoài vùng khảo sát
Để chuyển đổi từ phương trình đa thức sang dạng
chính tắc cần tiến hành 2 bước:
Chuyển trục tọa độ đến điểm cực trị
Tọa độ điểm cực trị Xsi là nghiệm của hệ phương trình
f
= 0
Xi
Quay góc tọa độ để loại bỏ các thừa số liên quan đến
tương tác. Trong trường hợp 2 biến, góc quay cho
bởi
b12
tan2 =
b11 −b22
Phương trình chính tắc có dạng:
2
2
Y – Ys = B11X1 + B22X2
với:
B11 = b11cos2 + b22sin2 + b12 sin.cos
B22 = b11sin2 + b22cos2 - b12sin.cos
Các hệ số B11 và B22 có thể giải dựa trên bất biến của
phương trình. Đó là các hàm của các hệ số có giá trị
không đổi ở bất cứ hệ trục nào
1
b11
b12
2
I1 = b11 + b22 = const
I2 =
= const
1
2
b12 b22
Trường hợp tổng quát các hệ số của phương trình
chính tắc là nghiệm của phương trình
1
2
1
b11 − B
b12 .. ..
b1k
2
1
1
b21 b22 − B .. ..
b2k
2
2
Pk (B) =
= 0
..
..
..
.. ..
.. ..
..
..
..
1
2
1
2
bk1
bk2 .. .. bkk − B
với bij = bji
Các tọa độ chính tắc quan hệ với tọa độ của theo phương trình
Xi = mi1(x1- x1s) + mi2(x2 – x2s) + … + mik(xk – xks)
với mij là nghiệm đồng thời của k phương trình, với Bi phương
trình có dạng:
(b11 – Bi)mi1 + ½*b12mi2 + … + ½*b1kmik = 0
………………………………………………
½*bk1mi1 + ½*bk2mi2 + … + (bkk – Bi)mik = 0
Vì các phương trình tỉ lệ với mij, nên để đảm bảo tính trực
giao của hệ phương trình thì:
2
2
2
mi1 + mi2 + … + mik =1
Thí dụ:
Chuyển phương trình bậc hai về dạng chính tắc:
Y = 10 – 15x1 – 10x2 + 4x1x2 + 6x12 + 2x22
B11 = 6.8284
B22 = 1.1716
Mặt có cực trị với tâm của mặt là cực tiểu
2
2
Y + 4.0625 = 6.8284X1 + 1.1716X2
6.2. Mô hình bề mặt đáp ứng
Mô hình toán dạng đa thức
Bao gồm các thừa số biểu diển độ cong và các tương
tác
Các hệ số được xác định bằng phương pháp phân tích
hồi qui.
Các hệ số không có ý nghĩa bị loại bỏ
Mô hình bề mặt đáp ứng của 2 yếu tố X1 và X2 và đáp
ứng Y như sau:
Y = b0
+ b1X1 +b2X2
: Hằng số
: Yếu tố chính
: Độ cong
: Tương tác
: Sai số
2
2
+ b3X1 + b4X2
+ b5X1X2
+
Mô hình bề mặt đáp ứng của 3 yếu tố X1; X2 và X3 và
đáp ứng Y như sau:
Y = b0
: Hằng số
+ b1X1 + b2X2 + b3X3
: Yếu tố chính
: Độ cong
2
2
2
+ b4X1 + b5X2 + b6X3
+ b7X1X2 + b8X1X3 + b9X2X3 : Tương tác
+ : Sai số
6.3. Qui hoạch yếu tố 3 mức độ
Qui hoạch 2 yếu tố 3 mức độ
Dạng hình học
X2
X1
Dạng toán học
2
2
Y = b0 + b1X1+ b2X2 + b3X1 + b4X2 + b5X1X2
2
2
2
2
+ b6X1 X2 + b7X1X2 + b8X1 X2 + ε
Qui hoạch 3 yếu tố 3 mức độ
Dạng hình học
X2
X1
Dạng toán học
Y = β0 + β1X1+ β2X2 + β3X3 + β4 X1X2 + β5X1X3 + β6X2X3
2
2
2
2
2
+ β7X1 + β8X2 + β9X3 + β10X1 X2 + β11X1 X3
2
2
2
2
+ β12X1X2 + β13X2 X3 + β14X1X3 + β15X2X3
2
2
2
2
2
2
+ β16X1 X2 + β17X1 X3 + β18X2 X3 + β19X1X2X3
2
2
2
2
2
+ β20X1 X2X3 + β21X1X2 X3 + β22X1X2X3 + β23X1 X2 X3
2
2
2
2
2
2
2
+ β24X1 X2X3 + β25X1X2 X3 + β26X1 X2 X3 + ε
Tải về để xem bản đầy đủ
43 trang
29/04/2022
4440
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Quy hoạch thực nghiệm - Chương 6: Qui hoạch bậc hai", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_quy_hoach_thuc_nghiem_chuong_6_qui_hoach_bac_hai.ppt
