Bài giảng Quy hoạch thực nghiệm - Chương 7: Qui hoạch Simplex

Qui hoạch Simplex

Chương 7

 Khái niệm chung

 Qui hoạch Simplex Lattice

 Qui hoạch Simplex Centroid

 Tối ưu hóa bằng phương pháp Sequential Simplex

7.1. Khái niệm chung

 Simplex là vùng khảo sát khi các yếu tố khảo sát bị

ràng buộc bởi các điều kiện:

x_i= const.

và

x_i 0 i = 1, 2, …, q

 Simplex thường được sử dụng để khảo sát hỗn hợp với

yếu tố khảo sát là thành phần các cấu tử. Trong trường

hợp này các yếu tố không còn mang tính độc lập mà

phụ thuộc nhau. Thành phần các cấu tử có thể biểu

diển bằng phần trăm (%) khối lượng hay phân mol.

 Simplex bậc 2 cho hệ 2 cấu tử

 Simple bậc 3 cho hệ 3 cấu tử

 Simplex bậc 4 cho hệ 4 cấu tử

Tính chất của Simplex

 Simplex có tính modul, nghĩa là Simplex bậc cao được

cấu tạo bởi các simplex bậc thấp. Thí dụ simplex tứ

diện sẽ bao gồm các simplex tam giác, simplex đoạn

thẳng và simplex điểm.

 Tổng số các simplex bậc thấp trong simplex bậc cao

cho bởi công thức sau

là Simplex bậc 1 (1 cấu tử trong hệ q cấu tử)

simplex bậc 1 biểu diển bởi đỉnh của simplex

Tạo độ Simplex

 Điểm biểu diển thành phần 100% của cấu tử nằm ở

đỉnh simplex

 Điểm biểu diển thành phần 0% của cấu tử nằm ở

simplex con bậc q-1, đối diện với đỉnh simplex tương

ứng. Thí dụ với hệ 3 cấu tử điểm biểu diển 100% cấu

tử nằm ở đỉnh tam giác, điểm biểu diển 0% cấu tử nằm

ở cạnh đối diện

 Hệ trục tọa độ simplex bậc 3

 Đối với hệ đa cấu tử qui hoạch thí nghiệm cho phép

giảm thiểu đáng kể khối lượng thí nghiệm vì có thể xác

định các tính chất của hệ từ các phương trình hồi qui.

 Bề mặt đáp ứng của hệ đa cấu tử rất phức tạp. Scheffe

đề xuất mô tả tính chất của hỗn hợp theo đa thức rút

gọn.

Xét trường hợp hệ 3 cấu tử.

Dạng tổng quát của đa thức:

2

Y = b₀+ b₁x₁+ b₂x₂+ b₃x₃+ b₁₂x₁x₂+ b₁₃x₁x₃+ b₂₃x₂x₃+ b₁₁x₁

2

+ b₂₂x₂+ b₃₃x₃

Hệ 3 cấu tử

Dạng tổng quát của đa thức bậc 2:

2

Y = b₀+ b₁x₁+ b₂x₂+ b₃x₃+ b₁₂x₁x₂+ b₁₃x₁x₃+ b₂₃x₂x₃+ b₁₁x₁

2

+ b₂₂x₂+ b₃₃x₃

Vì 1 = x₁+ x₂+ x₃

b₀= b₀x₁+ b₀x₂+ b₀x₃

2

x₁= x₁– x₁x₂– x₁x₃

2

x₂= x₂– x₁x₂– x₂x₃

2

x₃= x₃– x₁x₃– x₂x₃

Thay thế và thu gọn ta được

Y = ₁x₁+ ₂x₂+ ₃x₃+ ₁₂x₁x₂+ ₁₃x₁x₃+ ₂₃x₂x₃

Với: _i= b₀+ b_i+ b_ii

_ij= b_ij– b_ii– b_ji

Tổng quát

 Đa thức bậc 2 cho hệ q cấu tử

Y =

_iX_i+ _ijX_iX _j

 

1iq

 Đa thức bậc 3 cho hệ q cấu tử

 Không đầy đủ:

Y =

_iX_i+

_ijX_iX _j+

_ijkX_iX _jX_k

1i jkq

  

1iq

1i jq

 Đầy đủ

_iX_i+

Y =

_ijX_iX _j+

_ijX_iX _j(X_i− X _j) +

_ijkX_iX _jX_k

  



1iq

1i jq

1i jkq

 Đa thức bậc 4 cho hệ q cấu tử

Y =

_iX_i+

_ijX_iX _j+

_ijX_iX _j(X_i− X _j) +

1i jq

  

1iq

1i jq

+

_ijX_iX _j(X_i− X _j) +

_iijkX_i²X X +

_ijjkX_iX ²_jX_k+

1i jkq

j k



1i jq

1i jkq

+

_ijkkX_iX _jX_k²+

_ijklX_iX _jX_kX_l



1i jkq

1i jklq

 Việc xác định các hệ số trong phương trình rút gon

Scheffe rất phức tạp nên để phân tích qui hoạch

Simplex người ta thường dùng các phần mềm phân

tích thống kê như JMP, Design Expert, Minitab

 Các phần mềm này hỗ trợ việc tính toán khi có thí

nghiệm lập để xác định sai số thí nghiệm

 Phần mềm JMP cho thí nghiệm lập toàn bộ qui hoạch

 Phần mềm Design Expert chỉ cho phép qui hoạch thí nghiệm

lập tại các đỉnh simplex

 Phần mềm MiniTab cho phép người sử dụng chọn các điểm

làm thí nghiệm lập

7.2. Qui hoạch Simplex Lattice

 Các điểm thí nghiệm phân bố trên khắp simplex (mạng

simplex)

 Với hệ q cấu tử, mạng simplex bậc m được ký hiệu là

{q, m}

 Đối với mô hình bậc m, thành phần của mỗi cấu tử sẽ

có các giá trị như sau

1 2

x_i= 0, , ,...,1

m m

 Thí dụ mạng Simplex {4,2} có các điểm

hay

 Mạng Simplex {3,3}

Đặc điểm của qui hoạch mạng Simplex

 Số điểm khảo sát trong qui hoạch mạng Simplex

{q,m} sẽ bằng số hệ số trong đa thức rút gọn Scheffe

của hệ q cấu tử bậc m. Qui hoạch Scheffe bậc m

thường được gọi là qui hoạch Scheffe {q,m}. Đây là

qui hoạch bảo hòa nên không cho phép đánh giá được

độ tương thích

 Với qui hoạch m < q: các hỗn hợp khảo sát sẽ có tối đa m cấu

tử, không có hỗn hợp chứa đầy đủ cấu tử

 Với qui hoạch m= q: có một hỗn hợp khảo sát chứa đầy đủ các

cấu tử

 Với qui hoạch m > q: có trên một hỗn hợp khảo sát chứa đầy

đủ các cấu tử

 Các loại điểm khảo sát trong qui hoạch mạng Simplex

Hổn hợp

q

m

Tổng số

1

2

3

4

2

3

4

3

6

9

.

1

3

.

6

10

15

3

2

3

4

6

12

18

.

4

12

.

1

10

20

35

4

5

6

2

3

4

5

10

20

30

.

10

30

.

5

15

30

70

2

3

4

6

15

30

45

.

20

60

.

15

21

56

126

 Trong bảng qui hoạch trên cho thấy qui hoạch mạng

Simplex rất ít hỗn hợp có đầy đủ các cấu tử. Các điểm

khảo sát tập trung vào các simplex bậc thấp.Vì vậy các

thông tin thu thập được sẽ tập trung ở biên của qui

hoạch.

 Qui hoạch Scheffe {q,m} thường cải tiến để khắc phục

tính chất bảo hòa và thông tin tập trung ở biên bằng

cách tăng cường khảo sát q+1 hỗn hợp đầy đủ cấu tử.

Một trong các điểm tăng cường là tâm của simplex.

Các điểm còn lại nằm giữa tâm simplex và đỉnh

simplex.