Giáo trình Giải tích 1 - Bài 10: Tích phân suy rộng (Tiếp theo)

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@hust.edu.vn

GIẢI TÍCH I

BÀI 10

§2.3. TÍCH PHÂN SUY RỘNG (TT)

2. Các dấu hiệu hội tụ



 

f x

 

g x dx cùng hội tụ

lim

 k  0 ;  

Hệ quả. Nếu có

f x dx

,

^







x

g x

a

hoặc cùng phân kì.



 

f x

 

g x

 

lim

 0

Nếu có

và g x dx

f x dx hội tụ



^{hội tụ }

x

a



 

f x

 

g x

 

f x dx phân kì

lim

 

Nếu có

và g x dx



^{phân kì }

x

a

Ví dụ 2. Xét sự hội tụ, phân kì

^1 x³



x¹⁰dx

2





ln 1 x

dx

a)

b)

c)

f)

³

4

 _{x 1}



1

_

x

x⁴ x³ x²1

1

0

^xarctanx

dx



dx



dx

d)

e)



 _{xln lnx}

 _{x lnx}

³1 x⁴





^3/2

0

10

e



^



^{ln 3  2x}

dx

g)(K50)

(HT với  < 1, PK với   1)

2  x

0

x.2^2x1dx

x.3^2x1dx

h)(K54) 1.

(HT)

2.

(HT)





1



dx

(⁴x⁴1 x)dx

(HT)

i)(K57)

(HT)

k)(K58)

2)

 _{x 2  3x}





0

^ln(2  x)

^sinx

dx

  0

m)(K59) 1)

(PK).

,

(HT)

x^



x

1



^





4

x  2

1 cos dx

dx

n)(K60)

(HT).

n)(K61)

(HT).





4

2

 _

 _{x  x  3}

x

1

0



 

f x dx

 

f x dx

b) f(x) có dấu tuỳ ý. Nếu

hội tụ 

hội tụ. Khi đó ta bảo



a



 

f x dx

hội tụ tuyệt đối



a

53

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@hust.edu.vn



 

Còn nếu f x dx hội tụ mà f x dx phân kì thì ta bảo f x dx bán hội tụ.



a

x



Tiêu chuẩn Dirichlet. Nếu F(x)  (t)dt bị chặn khi x  + thì

dx

x^



 ^(x)

a

hội tụ   > 0 (a > 0).

Ví dụ 3. Xét hội tụ, phân kì











ln 1 x

dx

x 1 dx

x  ⁴x³1

a)

d)

g)

dx

b)

c)

f)

1 x.³2  x



x

1

^e^x²cos x

dx

 _{x ln x}

^x  sin x



dx

e)

x^kdx

x²

k



 _{x  sin x}

1

2

1

^x sinax

sin2x



₂dx, a,b  0

h) e^sinx

dx,   0

i) cosx²dx

2

x^

_{b  x}



0

1

0

II. Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn

1) Định nghĩa. f(x) bị chặn và khả tích trên [a ; b  ],    (0 ; b  a), f(b  0)

không giới nội (khi đó b được gọi là điểm bất thường), khi đó

b

b

 

f x dx  lim

 

f x dx

.





0

a

Ta bảo tích phân suy rộng hội tụ nếu vế phải tồn tại (hữu hạn) và phân kì trong

trường hợp còn lại.

Tương tự nếu f(x) khả tích trên [a +  ; b],   (0 ; b  a), và f(a + 0) không bị

b

 

chặn (khi đó a là điểm bất thường), khi đó f x dx  lim

 

f x dx





0

a

a

Tích phân suy rộng hội tụ  vế phải tồn tại (hữu hạn)

b

c

b

 

f x dx  f x dx  f x dx

- Nếu f(x) không bịchặn tạix = c  (a ; b), khi đó ta có

.



a

c

Tích phân suy rộng ở vế trái hội tụ  cả hai tích phân suy rộng ở vế phải hội tụ

Ví dụ 1. Tính hoặc xét sự phân kì

1

dx

1 x²

a)

(HT với  < 1, PK với   1)

b)

^

_



1 x

0

1

1/e

1

dx

2

¹e^x

dx

xlnxdx

c)

d)

e)

3

 _{xln x}

 _x



0

54

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@hust.edu.vn

5

1

x²dx

3x² 2

³x²

ln 2  x

3





dx

f)

g)

dx

h)

³x



1

1









x  3 5  x

3

1

1

1

dx

1 x

1 x

x³

1 x²



ⁿ

i)

k) lnx dx, n 

l) ln

.

dx



₀1 x² 2 1 x²

0

1

2. Các dấu hiệu hội tụ

a) f(x)  0

Định lí. f(x) có b là điểm bất thường, có f(x)  g(x),  x  (a ; b  ). Khi đó

b

 

Nếu g x dx

f x dx hội tụ



^{hội tụ }

a

b

a

b

 

Nếu f x dx

g x dx phân kì.



^{phân kì }

 

f x

a

b

 

f x dx

 

g x dx

cùng hội tụ hoặc

lim

xb

Hệ quả.

và

^{= k  (0 ; +) }





 

g x

a

cùng phân kì.

b

 

g x dx

f x dx

hội tụ

Nếu k = 0, từ

hội tụ 



a

b

 

g x dx

 

f x dx

Nếu k = +, từ

phân kì 

phân kì.



a

b) f(x) có dấu thay đổi.

b

 

f x dx

 

f x dx

 

f x dx

hội tụ tuyệt đối

Nếu

hội tụ 

hội tụ, khi đó



a

b



a

b

 

f x dx

 

f x dx

 

f x dx

bán hội tụ.

hội tụ còn

phân kì thì ta nói



a

Ví dụ 2. Xét sự hội tụ, phân kì của tích phân sau

1

xdx

d)

1

³x

1 x⁴

dx

x²dx

dx

a)

b)

c)

3

sin x



_e



x

5

 1

3

2

1

0





0

1 x

1

 /2

1



sin²x

1 x²

ln 1 x

e^sinx1

dx









 ^{ln sinx}



_{sin x}

dx

e)

i)

f)

g)

h)

k

₃

x

0

1

0

1

0

lnx

1 x²

dx

^{ /2}1 cosx

dx

k)

l)

x^m



₃



x

x





x e  e

0

55

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@hust.edu.vn

1

⁴x

1

m)(K58) 1)

dx (HT)

dx (PK)

2)

dx

(HT)

2

_{x(1 x )}

_{ln(x  1 x}₂_{ x )}

0

2

1

tanx

1

n)(K59) 1)

2)

dx

(HT)



x(4  x²)

x x

(1 x²)tanx

0

1

l)(K61)

dx

(HT)



₀1 cos x



b



 

Chú ý. Khi f có điểm bất thường là a thì f x dx  f x dx  f x dx ; khi đó tích



a

b

phân suy rộng ở vế trái hội tụ  cả hai tích phân suy rộng ở vế phải cùng hội tụ

Ví dụ 3. Xét sự hội tụ, phân kì của các tích phân sau:



dx

a)(K51)

(HT)

₃

x⁵1

1

^cosx  cos2x

^2sinx  sin2x

dx

b)(K52) 1.

(HT)

2.

(HT

 _{x ln 1 2 x}

 _{x ln 1 3 x}

2

3







³x



0



0



x

dx

x

c)(K53) 1.

(HT)

x



₀4  2

₀9  3



dx

d)

^p

^q



₁x lnx







³





⁴

sin x  2

sin x 1

³

dx

e)(K55) 1.

(HT)

2.

4.

2)

(HT)



2



1



x  2

x 1



2

x

3

x









ln x  e

x x  x⁴

dx

3.



x x  x⁶

0

^sinx

^cosx

dx

f)(K56) 1)

(HT)

³x



x

0

1

x^a

dx

g)(K57) Tìm a để tích phân sau hội tụ:

(a > 3)



2





₀x  ln 1 x



dx

h)(K58)

(HT)



₁x x² x



dx

x³ 8

i)(K60) 1.

(HT)

2.

(HT)



₁(x 1)³x²1

2

56

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@hust.edu.vn



cos x

x³1

arctanx

2x³ x⁴

3.

dx

(HT)

4.

dx

(HT)



0

^x  sinx

k)(K62)

dx



³x¹⁰

0

Ví dụ 4. Tính







dx

a)

arctan x 1 dx

dx

b)

c)

, 0    2

 _{x x 1}



_

x  cos x²1

³

⁴



x 1

1

0

1

b

dx

d)





 

x  a b  x

a

Nhận xét. Liên hệ giữa hai loại tích phân suy rộng ?

§4. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

I. Sơ đồ tổng tích phân, vi phân

1) Sơ đồ tổng tích phân. Giả sử cần tính A(x), x  [a ; b], ngoài ra A(x) thoả

mãn tính chất cộng, khi đó ta tính A theo sơ đồ sau:

+) Chia [a ; b] thành n phần bởi các điểm chia x₀ a < x₁< x₂< ... < x_n b

n

A 

A

_i, ở đó A_ilà đại lượng A trên x_i

+) Phân tích A thành tổng



i 1

+) Tìm hàm số f(x) sao cho A_i f(_i)(x_i x_i1), _i [x_{i  1}; x_i]

n

A 

f  x

+) Tính gần đúng đại lượng A:

 

i



i 1

b

 

A  f x dx

+) Sử dụng định nghĩa tích phân, có



a

Ví dụ 1. Tính diện tích hình thang cong

2) Sơ đồ vi phân. Cần tính A(x), x  [a ; b], ngoài ra A(x) thoả mãn tính chất

cộng, khi đó ta tính A theo sơ đồ vi phân:

+) Lấy x  [a ; b], lấy x + dx

+) Tính A(x), A(x + dx)

+) Tìm phần chính bậc nhất dA của A

+) Lấy tích phân của dA từ a đến b

Ví dụ 2. Cho điện tích e₁đặt ở gốc O, tính công của lực đẩy F sản ra do điện

tích e₂di chuyển từ điểm M₁có hoành độ r₁đến điểm M₂có hoành độ r₂trên

trục hoành Ox

57

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@hust.edu.vn

+) Gọi A(x) là công lực đẩy F sinh ra do e₂di chuyển từ M₁đến M(x)

e₁e₂

x²

+) Ví dx khá bé nên coi F không đổi trên [x ; x + dx] và bằng

e e

x²

dA  ^{1 2}dx

+)

r

2

²e e

1









^{1 2}dx  e₁e₂



+)

^{A }^{dA }

x²

r

r_{2 }

 1

r

1

Ví dụ 3. Tính áp lực lên một mặt đĩa phẳng chìm trong

nước trong hình

b

F  whxdh, ở đó w là trọng lượng riêng của nước =



a

1

tấn/(ft)³

32

Ví dụ 4. Công của lực có độ lớn f(x) > 0 tác động vào vật chuyển động thẳng

từ x = a đến x = b.

HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

58

Giáo trình Giải tích 1 - Bài 10: Tích phân suy rộng (Tiếp theo) - Nguyễn Xuân Thảo