Giáo trình Giải tích 2 - Bài 1 - Nguyễn Xuân Thảo
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email: [email protected]
GIẢI TÍCH 2
BÀI 1. CHƯƠNG I.
ỨNG DỤNG PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC
§ 1. Hàm vectơ
n
1.1. Định nghĩa. Cho I là một khoảng trong . Ánh xạ
được gọi
t I r t
là hàm vectơ của biến số xác định trên I .
t
. Quỹ tích điểm M x t ; y t ; z t khi biến thiên trong I là đường
Đặt
OM r t
t
3
L trong , gọi là tốc đồ của hàm vectơ
. Ta cũng nói rằng đường L có các
r t
phương trình tham số x x t , y y t , z z t .
1.2 Giới hạn. Ta nói rằng hàm vectơ
có giới hạn là
khi dần tới t0 nếu
r t
a
t
r t a 0
sao cho t t0
0, 0
khi
, tức là nếu với
t t0
. Khi đó ta kí hiệu
.
r t a
lim r t a
tt
0
0
nếu
t0 I lim r t r t
Hàm vectơ
xác định trên I được gọi là liên tục tại
r t
tt
0
Nhận xét. Tính liên tục của hàm vectơ
tương đương với tính liên tục của các
r t
hàm toạ độ
1.3 Đạo hàm. Cho hàm vectơ
xác định trên I và
. Giới hạn (nếu có) của
t0 I
r t
tỉ số
0
r t h r t
r
0
h
h
dr
khi
được gọi là đạo hàm của
tại
và kí hiệu là r t hay
t . Khi
h 0
r t
t0
0
0
dt
đó ta nói rằng hàm vectơ khả vi tại .
t0
x t h x t
y t h y t
z t h z t
r
0
0
0
0
0
0
Ta có
i
j
k
h
h
h
h
cũng khả
r t
Khi đó nếu các hàm số
khả vi tại
thì hàm vectơ
x t , y t , z t
t0
vi tại và có
t0
r t x t i y t j z t k
0
0
0
0
Đạo hàm cấp cao (tương tự)
Khi khá nhỏ ta có thể xấp xỉ vectơ
bởi vectơ tiếp tuyến
h
r M0M
h.r t
0
Tính chất.
,
1/ Tuyến tính
f t g t f t g t ,
2/
f t , g t f t , g t f t , g t
1
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email: [email protected]
3/
f t g t f t g t f t g t
1.4. Tích phân Riemann của hàm vectơ
Cho f t f t ,, f t . Ta có
khả tích trên [a ; b] fk t , k 1, n khả tích
f t
1
n
b
b
b
b
trên [a ; b] và có f t dt f1 t dt, f2 t dt,, fn t dt .
a
a
a
a
Hàm
được gọi là nguyên hàm của
nếu
, khi đó ta viết
F t
f t
F t f t
f t dt F t C
n
và ta cũng có
f t dt f t dt, f t dt,, f t dt
1
2
b
Ta cũng có công thức Leibnitz
.
f t dt F b F a
a
Ứng dụng. Tìm khoảng cách xa nhất của viên đạn được bắn ra từ bệ phóng tạo
góc so với mặt nằm ngang và với vận tốc ban đầu v0
§ 2. Đường trong không gian ba chiều
2.1. Đường cong liên tục, trơn, trơn từng khúc
Tiếp tuyến và pháp diện của đường tại một điểm.
Cho đường cong L trong không gian có phương trình tham số là
,
x x t
.
,
. Phương trình vectơ của nó là
y y t z z t
2.2. Vectơ pháp tuyến của đường
Cho thuộc , khi đó vectơ
r t x t i y t j z t k
0
M x t ; y t ; z t
L
r t x t i y t j z t k
0
0
0
0
0
0
0
. Giả sử các x t , y t , z t không đồng thời
0 0
nằm trên tiếp tuyến của L tại
M0
0
triệt tiêu, khi đó ta có r t 0. Do đó điểm P X ;Y ; Z nằm trên tiếp tuyến của L
0
đồng phương với vectơ r t , tức là
0
tại
khi và chỉ khi vectơ
M0
M0P
X x t
Y y t
Z z t
0
0
0
.
x t
y t
z t
0
0
0
Đây chính là phương trình tiếp tuyến của tại
.
L
M0
Đường thẳng đi qua
vuông góc với tiếp tuyến của L tại đó được gọi là pháp
M0
tuyến của tại
.
L
M0
Phương trình pháp diện của đường cong L tại điểm
là
M0 L
0
X x t x t Y y t y t Z z t z t 0.
0
0
0
0
0
2
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email: [email protected]
Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong
4
2
, y Rsint cost ,
tại t
z Rsint
x Rcos t
Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong
2, x y tại điểm 1;1; 2
z x2 y
Đường chính quy: đường chứa gồm toàn các điểm chính quy
Giả sử đường cong có tiếp tuyến dương
tại , tiếp tuyến dương
tại
L
MT
M
M T
s
tại
. Giới hạn (nếu có) của tỉ số
s MM
dần
M
. Đặt
,
khi
M
MT, M T
đến
trên đường
được gọi là độ cong của đường cong
, kí hiệu là
M
M
L
L
C M
.
Người ta chứng minh được công thức tính độ cong của đường L là
2
2
2
x
y
y
y
y
z
z
x
z x
x
z
C
3/2
2
2
2
x y z
Ví dụ 1. Tính độ cong của đường đinh ốc trụ tròn xoay
,
,
x acoswt y asinwt
z akt
Ví dụ 2. Tính độ cong của đường
,
, tại x ; y ; z
x lncost y lnsint z t 2
2.3. Độ dài của đường
Cho đường cong
liên tục: x = x(t), y = y(t), z = z(t), t [a ; b];
phân hoạch trên [a ; b]: a = t0 < t1 < ... < tn = b.
n
Độ dài đường gấp khúc l
M t
M t
i1
i
i1
Định nghĩa. Cho tập hợp l : P , P là phân hoạch [a ; b], ta bảo
khả trường
(có độ dài) nếu
l supl
P
t M t , t a ; b
bị chặn trên [a ; b] thì là khả trường.
và
x t , y t , z t
Định lí 1. Nếu ánh xạ
có đạo hàm
M t
M t
x t , y t , z t
Định lí 2. Nếu ánh xạ
có đạo hàm
t M t , t a ; b
M t
liên tục (trơn) trên [a ; b] thì cung
khả trường và có độ dài
b
2
2
2
l
x t y t z t dt
a
3
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email: [email protected]
Nhận xét. Khi đường cong trơn từng khúc (
liên tục từng khúc) thì cũng
M t
khả trường và có công thức tính như trên.
2.4. Tham số tự nhiên của đường.
, s là độ dài cung.
Phương trình tự hàm
X X s ,Y Y s
Ví dụ. x Rcos, y R sin, 0 ; 2
s
X Rcos
R
s
2
2
là phương trình tự hàm
s
x y dt R
0
Y R sin
R
§ 3. Đường cong phẳng
3.1. Tiếp tuyến và pháp tuyến của đường
Điểm chính quy. Trong hệ toạ độ Descarter, cho đường cong L có phương trình
f x,y 0. Điểm M x ; y L được gọi là điểm chính quy nếu f x ; y
và
0
0
x
0
0
0
không đồng thời bằng không, là điểm kì dị trong trường hợp còn lại.
f x ; y
y
0
0
Vectơ pháp tuyến. Xét điểm chính quy M x ; y L,
,
n f (x ; y ), f (x ; y )
0
0
0
x
0
0
y
0
0
là
n
nằm trên tiếp tuyến của đường cong
tại điểm
, do đó
dM dx, dy
L
M0
vectơ pháp tuyến L tại
(do có
).
M0
n.dM 0
Phương trình tiếp tuyến. Điểm P x, y nằm trên tiếp tuyến của đường cong L
tại
. Phương trình tiếp tuyến của đường cong L tại
là
M0
M0
(x x0)fx(x0, y0) (y y0)fy (x0, y0) 0
x2 y2 4
Ví dụ. Tìm pháp tuyến và phương trình tiếp tuyến của đường tròn
tại
điểm 1; 3 .
3.2. Độ cong
Cho đường cong đơn, có tiếp tuyến tại mọi điểm. Trên đường cong chọn một
L
L
chiều làm chiều dương. Trên tiếp tuyến của L tại M , ta chọn một hướng ứng với
chiều dương của L, gọi là “tiếp tuyến dương”.
là hai tiếp tuyến dương.
MT, M T
Định nghĩa 1. Cho
là hai điểm trên , còn
M, M
L
Ta gọi độ cong trung bình của cung MM là tỉ số của góc giữa hai tiếp tuyến dương
MT và M T , được kí hiệu là
, tức là
, ở đó
Ctb MM
Ctb MM
MM
.
MT, M T
4
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email: [email protected]
Định nghĩa 2. Ta gọi độ cong của đường L tại M là giới hạn (nếu có) của độ cong
, tức là
C M
trung bình
khi M dần tới M trên L, kí hiệu là
Ctb MM
C M lim Ctb MM .
M M
Ví dụ 1. Đường thẳng có độ cong bằng không tại mọi điểm.
Ví dụ 2. Tính độ cong của đường tròn bán kính R.
Dưới đây ta xây dựng công thức tính độ cong cho đường cong L trong hệ toạ độ
Descarter vuông góc có phương trình
.
y f x
y
C M
.
3/2
2
1 y
, sử dụng các công
Khi L được cho bởi phương trình tham số
x x t , y y t
d2y x t y t y t x t
dy y t
thức
,
,
ta
nhận
được
3
dx2
x t
dx x t
x y y x
C M
.
3/2
2
2
x y
Khi L cho bởi phương trình trong toạ độ cực r f , khi đó ta có x f cos ,
2
2
r 2r rr
C M
. Ta có
y f sin
3/2
2
2
r r
y x2
Ví dụ 3. Tính độ cong của parabol
.
Ví dụ 4. Tính độ cong của đường Ellip
.
x acost, y bsint, 0 t 2
Ví dụ 5. Tính độ cong của đường r aeb, a 0, b 0.
3.3. Đường tròn chính khúc, khúc tâm
Tại mỗi điểm
của đường , vẽ pháp tuyến hường về phía lõm của , trên đó lấy
L L
M
1
1
một điểm sao cho
. Đường tròn tâm bán kính
R
được gọi là
I
MI
I
C M
C M
đường tròn chính khúc của L tại M . Nó tiếp xúc với L tại M vì nó có chung với L
1
đường tiếp tuyến và có cùng độ cong C M
với L tại M . Tâm của đường tròn
R
1
chính khúc này gọi là khúc tâm, bán kính R
của nó được gọi là khúc bán kính.
C M
Cách tính toạ độ khúc tâm I X,Y :
2
2
y 1 y
1 y
Nếu L : y f x thì có: X x
, Y y
.
y
y
5
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email: [email protected]
thì có
Nếu được cho bởi phương trình tham số
L
x x t , y y t
2
x y y x
2
2
x y y x
2
y x y
x x y
,
X x
Y y
Ví dụ 1. Đường tròn chính khúc của đường tròn bán kính
là chính nó.
R
Ví dụ 2. Đường thẳng không có đường tròn chính khúc. Điều này là hiển nhiên vì
đường thẳng có độ cong bằng 0.
1
Ví dụ 3. Viết phương trình đường tròn chính khúc với đường y tại điểm 1;1 .
x
3.4. Đường túc bế, đường thân khai
Định nghĩa. Ta gọi quỹ tích các khúc tâm của đường L (nếu có) là đường túc bế
của đường L.
y x3/2
Ví dụ 1. Lập phương trình túc bế của đường
.
2
Ví dụ 2. Tìm đường túc bế của parabol
.
y 2px, p 0
Ví dụ 3. Viết phương trình đường túc bế của ellip
.
x acost, y bsint
Định nghĩa. Cho
là đường túc bế của đường , khi đó
được gọi là đường
L
L
thân khai của
.
Từ các ví dụ trên ta có
9
4
y x3/2
là đường thân khai của đường X x2 2x,Y
x 3x 1
đường
2
3
8
y2 2px
y2
x p3
Parabol
là đường thân khai của đường
27p
thân
Ellip
c2
là
đường
khai
của
đường
x acost, y bsint
c2
x
cos3 t, y
sin3 t
a
b
Tính chất 1. Pháp tuyến tại mỗi điểm M x ; y của đường L là tiếp tuyến của
đường túc bế
của tại khúc tâm ứng với
L I M
Tính chất 2. Độ dài một cung trên đường bằng trị số tuyệt đối của hiệu các khúc
bán kính của đường thân khai của nó tại hai mút của cung ấy, nếu dọc theo cung
L
này khúc bán kính biến thiên đơn điệu.
Từ tính chất này ta nhận thấy đường thân khai của đường L là quỹ tích của một
điểm
trên nửa đường thẳng
tiếp xúc với tại
khi nửa đường thẳng này
M
A
MA
L
lăn không trượt trên
.
3.5. Hình bao của một họ đường cong phụ thuộc tham số
Cho một họ đường cong L phụ thuộc một hay nhiều tham số. Nếu mọi đường cong
của họ L đều tiếp xúc với một đường E và ngược lại tại mỗi điểm của đường E có
6
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email: [email protected]
một đường của họ L tiếp xúc với E tại điểm ấy thì E được gọi là hình bao của họ
đường cong L.
Ví dụ 1. Họ đường tròn một tham số c: (x c)2 + y2 = R2, với bán kính R
Ví dụ 2. Họ đường thẳng một tham số
.
xcos y sin 1 0
Ví dụ 3. Họ đường thẳng một tham số: y cx = 0, c là tham số.
Ví dụ 4. Đường túc bế của một đường L là hình bao của họ các đường pháp tuyến
của L (Xem tính chất 1 của đường túc bế). Do đó đường túc bế của L còn được gọi
là đường pháp bao của L.
Định lí. Cho họ đường F x, y, c 0 phụ thuộc tham số c. Nếu các đường của họ
ấy không có điểm kì dị, thì hình bao E của họ này được xác định bằng cách khử c
F x, y, c 0
từ hai phương trình
.
F x, y, c 0
c
Chú ý. Nếu họ đường cong F(x, y, c) = 0 có điểm kì dị thì hệ trên gồm cả phương
trình hình bao E và quỹ tích các điểm kì dị. Hình bao không lấy những điểm kì dị
Ví dụ 1. Tìm hình bao của họ đường thẳng
.
xcos y sin 1 0
y c2 x c
3
Ví dụ 2. Tìm hình bao của họ parabol bán lập phương
Ví dụ 3. Xét họ quỹ đạo của viên đạn bắn từ một khẩu pháo với vận tốc v0, phụ
thuộc vào góc bắn . Trong hệ trục toạ độ Descarter, phương trình chuyển động
x v t cos
0
của viên đạn là
,
1
y gt2 v0t sin
2
ở đó g là gia tốc trọng trường.
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
7
7 trang
15740
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 2 - Bài 1 - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_2_bai_1_nguyen_xuan_thao.pdf
