Giáo trình Giải tích 1 - Bài 11: Ứng dụng của tích phân xác định - Nguyễn Xuân Thảo
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
GIẢI TÍCH I
BÀI 11
§2.4. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (TT)
II. Ứng dụng hình học
1. Tính diện tích hình phẳng
a) Đường cong cho trong toạ độ Descarter
+) y = f1(x), y = f2(x), x = a, x = b
b
S f1 x f2 x dx
a
+) x = g1(y), x = g2(y), y = c, y = d
d
S g y g y dy
1 2
c
Ví dụ 1. Tính diện tích giới hạn bởi các đường:
x3
a) y = x(x 1)(x 2) và trục Ox
b) y = x2 và
y
3
x2
2
c) x = y2(y 1) và trục Oy
d) y = x ,
, y = 2x
y
2
x2
e) x2 + y2 8, y
2
1
x2
y
, y
f)
1 x2
2
2
2
g) y x x 1
h)(K59)
1
1
)
1) x y2
,
x2 y2 2y . (
)
2) x y2
,
x2 y2 2y . (
4 3
4 3
i)(K60)
1
( )
2
1)
2)
,
y cos x
,
.
y 0
y x 1
64
y x2 2x 3 y x2 2x 3
,
.
(
)
3
b) Đường cong cho dưới dạng tham số
x x t
y y t
S y t x t dt
+)
+)
, t , không kín. Khi đó
x x t
y y t
, 0 t T, kín, giới hạn miền nằm bên trái. Khi đó
59
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
T
T
1T
2
0
x t y t x t y t dt
S y t x t dt x t y t dt
0
0
Ví dụ 2. Tính diện tích giới hạn bởi đường cong:
a) x = a cost, y = b sint, 0 t 2
b) Cycloide: x = a(t sint), y = a(1 cost), 0 t 2, y 0
c) Astroide: x = a cos3t, y = b sin3t
d) Cardioide: x = a(2cost cos2t), y = a(2sint sin2t)
e) x = 3t2, y = 3t t3
f) x = t2 1, y = t3 t
3at2
3at
1 t3
g) Lá Descarter:
, y
x
1 t3
c) Đường cong trong toạ độ cực: r = r(), = , =
1
Khi đó có S
r 2 d
2
Ví dụ 3. Tính diện tích giới hạn bởi đường cong:
a) r = R
b) r = a cos2 (hoa hồng 4 cánh)
d) r = a(1 + cos) (cardioide)
c) r = a sin3 (hoa hồng 3 cánh)
e) r2 = a2 sin4
a
f) r = a cos, r = a(cos + sin), miền chứa điểm
; 0
2
g) r = 2a cos3, r a
2. Tính thể tích
a) Thể tích vật thể có tiết diện thẳng góc với Ox với diện tích S(x) là hàm liên
b
V S x dx
tục, a x b là
a
Tương tự nếu vật thể có tiết diện thẳng góc với Oy với diện tích S(y), c y d
d
V S y dy
thì ta có
c
b) Vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay hình y = f(x), y = 0, x = a, x = b
b
2
V y x dx
quanh trục Ox có thể tích là
a
Tương tự khi quay hình x = x(y), x = 0, y = c, y = d quanh trục Oy có thể tích là
d
V x2 y dy
c
60
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
Khi quay y = f(x), y = 0, x = a, x = b quanh trục Oy tạo nên vật thể tròn xoay
b
có thể tích là V 2 xy x dx
a
c) Khi quay r = r(), 0 quanh trục cực tạo nên vật thể tròn xoay
2
r3 sind
có thể tích là
V
3
Ví dụ 4. Tính thể tích vật thể
x2 y2 z2
a2 b2 c2
a) x2 + y2 + z2 R2
b)
1
c) Quay y = sinx, y = 0, 0 x quanh trục Ox ; trục Oy
x2 y2
z
d)
, z = 1
4
2
x2 y2
f) x2 + z2 = a2, y2 + z2 = a2
2
e)
, z = 1, z = 2
z 1
4
9
g) z = x2 + 2y2, x2 + 2y2 + z2 = 6
h) Quay một nhịp của đường xicloide: x = a(t sint), y = a(1 cost) quanh trục
Oy; Ox và y = 2a.
i)(K52) 1. Khi quay hình
2. Khi quay hình
, y = 0, x = 0, x = 1 quanh trục Ox
y x arccot x
y x arctanx
2 3 ln2
(
)
)
4
16
, y = 0, x = 0, x = 1 quanh trục Ox
3 2 ln2
2
(
16
4
2
x arctanx
y
8
k)(K56) 1) Khi quay hình
, y = 0, x = 1, quanh trục Ox.
( )
1 x2
2
xarccot x
y
2) Khi quay hình
, y = 0, x = 1, quanh trục Ox. (
)
1 x2
y ex 1
8
l)(K58) 1) Khi quay hình phẳng
, y = 0, x=0, x = 1, quanh trục Oy.
( )
2
2) Khi quay hình y ln(x 1), y = 0, x=0, x = 1, quanh trục Oy. ( )
128
y2 z2 4
2
2
m)(K59) 1) Giới hạn bởi
,
.
(
(
)
)
x z 4
3
128
3
x2 y2 4
2
2
2) Giới hạn bởi
,
.
x z 4
z 9 y2,z 0,x 3, x 0
n)(K60) 1) Giới hạn bởi :
.
(108)
61
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
2
o)(K62) Quay miền D : y sinx,y a,0 a 1,x 0,x , quanh trục y=a.
2
4
2
Tìm a để thể tích là nhỏ nhất.
(
)
2;a
3. Tính độ dài cung
b
2
a)
b)
c)
: y = y(x), a x b, y’(x) liên tục trên [a ; b], khi đó có s 1 y x dx
AB
AB
AB
a
2
2
: x = x(t), y = y(t), t , khi đó có
x t y t dt
s
2
2
: r = r(), , khi đó có
r r d
s
Ví dụ 5. Tính độ dài đường cong
a) x2 + y2 = R2
b) y2 = x3 từ (0 ; 0) đến điểm có hoành độ x = 4.
x
a
y
e
x/a ex/a
y
e)
costdt
c) r = a(1 + cos)
d)
2
/2
f) Tìm chu vi của tam giác cong giới hạn bởi Ox, y = ln cosx và y = ln sinx
g)(K50) 1) x = t + cost, y = sint, 0 t
2) x = sin2t, y = 2t cos2t, 0 t
(
8 4 2
)
(8)
3) y = arcsin ex, 0 x ln2
(
ln 2 3
)
1
x t6
26
3
3
h)(K51)
,
0 t 4 8
(
)
1
4
y 4 t
2
x 2t cos2t
y sin2t
x sin2t
i)(K54) 1)
k)(K56) 1)
, 0 t (8)
2)
, 0 t (8)
y 2t cos2t
3
3
x 2 3t
x 1 t
0 t 5
0 t 3
,
(19)
2)
4)
,
(14)
(14)
y 2 3t2
y 3 2t2
3
2
x 2 3t
y 3 2t3
x 1 t
0 t 5
0 t 3
,
3)
,
(19)
y 2 3t2
62
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
t
2 6
2
x cost lntan ,
t
l)(K57) 1)
2)
(ln 2)
y sint,
x sint
3
ln
(
)
t
2 3
2
2
y cost lncot ,
t
x
3
3
4
m)(K58) 1) y
[t ln(t 1)]2 1dt
,
(
4ln4 ln3
)
2 x 3
2
2
x
15
11
4
2) y
[(t 1)lnt]2 1dt
,
3 x 4
(
12ln4 ln3
)
)
2
3
1
5 1 1
ln
2 1
2 1
5 2 ln
n)(K60) 1.
,
1 x 2
(
y lnx
2
2
5 1
3
2. y ln(x2 1)
,
.
2 x 3
(
1 ln
)
2
2
2
2
x3 y3 23
3.
(12)
4. Tính diện tích mặt tròn xoay
a) y = f(x), a x b quay quanh trục Ox, f’(x) liên tục:
b
2
2 y 1 y dx
(y 0)
a
+) Tương tự, x = x(y), c y d quay quanh trục Oy, x’(y) liên tục:
d
2
2 x 1 x dy
(x 0)
c
x x t
y y t
b)
, t quay quanh trục Ox
2
2
2 y t
x t y t dt
(y 0)
Tương tự, nếu quay quanh trục Oy
2
2
2 x t
x t y t dt
(x 0)
c) r = r(), quay quanh trục cực
63
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
2
2
2 r sin r r d
Ví dụ 6. Tính diện tích tròn xoay
a) y = tanx, 0 x /4 quay quanh trục Ox
b) x2 + y2 + z2 = R2
c) r = 2R sin quay quanh trục cực
d) r = a(1 + cos) quay quanh trục cực
e) x = a(t sint), y = a(1 cost), 0 t 2 quay quanh trục Ox ; Oy
x
x
a
a
f)(K58) Quay đường y ea e
, 0 x a, quanh trục Ox
2
a2
4
(e2 e2 4)
(
)
x2 y2 z2
a2 b2 b2
g)
h)
1
x
2/3 y2/3 a2/3 quay quanh Oy; quay quanh y = x
i)(K53) Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn (x + 3)2 + y2 = 1 quay
quanhtrục Oy .
(122)
2
x
k)(K59)1)y cosx
,
,quay quanh ox.
(
)
[ 2 ln(1 2)]
2
x 0
2)
3)
,
, quay quanh ox.
(
(
)
[ 2 ln(1 2)]
y sinx
288
, quay quanh trục cực.
)
r 3(1 cos)
5
2
l)(K62)
quanh trục ox một vòng.
( )
8
y 4 x ,1 x 1,
Have a good understanding!
64
6 trang
19960
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 1 - Bài 11: Ứng dụng của tích phân xác định - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_1_bai_11_ung_dung_cua_tich_phan_xac_din.pdf
