Bài tập Giải tích 3 - Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Viện Toán ứng dụng và Tin học-2018

BÀI TẬP GIẢI TÍCH III (Phương trình vi phân và chuỗi). Nhóm 1: Mã MI1131.

Áp dụng từ 06-2018

Kiểm tra giữa kì: Tự luận

CHUỖI

Kiểm tra cuối kì: Tự luận

I)

1. Tính tổng của các chuỗi số sau:

9

1

a)

b)

c)

arctan

10

²

10

ⁿ

1 n n²

₁n(n 1)

10

n

1

2. Xét sự hội tụ, phân kì của các chuỗi số sau:

n

2n 3

1

n 1

a)

b)

cos

c)

n²

₁4n 5

n

1

n

2

n

1

2

1

ⁿe 1

e)

h)

k)

f)

i)

d)

g)

j)

sin

n²

₂lnn

n

1

n

1

n¹⁰

lnn

1

sin

n

²

2

ⁿ

n

2

n

1

n²

3ⁿ(n !)²

(2n)!

(3n 1)!

1

n

n³

n

²

8

ⁿ

l)

1

₁5ⁿ

n

1

n²

n

n 1

1

l*)

q)

t)

sin

2

3

m)

p)

o)

r)

cos

n

1

n

2

n

1

n 2

eⁿ.n !

1

₂

n

ln

²

n

nⁿ

₂ln n !

( 1)ⁿn

n

2

sinn

lnn

n

s)

sin

u)

n

²

n

²

1

n

1

n

2

n

2

n

1

( 1)ⁿ

1

v)

n²

1

w)

z)

x)

n

1

n

( 1)ⁿ

3

³n²

( 1) n

n

4

n

2

n

2

n

1

n²

1

z')

sin

n²

1

cos

y)

₂ln²n

₅(lnn)^{ln lnn}

n

1

n

1

n

1

3. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số sau:

( 1)ⁿ

x

x²1 ⁿ

1

sin(nx)

a)

b)

c)

e

^nx

n^x

n

1

n

1

n

1

xⁿ

n^x( 1)ⁿ

d)

e)

h)

f)

i)

₁

x

ⁿ

1

₁

x

²ⁿ

1

n

1

n

1

lnⁿx

xⁿ

1

g)

j)

x

2ⁿxⁿ

n

1

x e

n

1

n

(n 2)xⁿ

1 x 1

n 1

xⁿ

k)

n)

q)

l)

n²

1

₁n²

n

1

x

1

2n

3

n

1

3

nx²ⁿ

xⁿ

m)

p)

o)

r)

2ⁿ

1

xⁿ

₁

2

ⁿ

3

ⁿ

₁n !

n

2

(n !)³

xⁿ

n

³

(sinn)xⁿ

₁(3n)!

1

4. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm số trên các tập tương ứng:

n

xⁿ

1 2x 1

a)

, x

1;1

b)

d)

f)

₁(x²1)ⁿ

sin(nx)

₁2ⁿ

n

x

2

n

, x

(1 x)xⁿ, x (0;1]

c)

e)

₁n²x²

n

n 1

xⁿ

, x

( 1)ⁿ

, x

₁

n

x

²

₁n !

n

5. Tính tổng của các chuỗi số, chuỗi hàm số sau:

1

( 1)ⁿ

xⁿ

nxⁿ, x ( 1;1)

a)

b)

c)

, x ( 1;1)

₁(2n 1)3ⁿ

1

₁n(n 1)

2n 1

n

1

n

3

x⁴ⁿ

xⁿ, x ( 1;1)

e)

h)

d)

g)

, x ( 1;1)

f)

i)

n²

n

₁(2n)!!

₁4n 3

1

¹, x ( 1;1)

( 1)ⁿ

nxⁿ

1

xⁿ

, x

3n 2

n 1

₁(2n)!

n

1

6. Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Maclaurin:

2

2x

x

²

3

x

1

4

1

b)

e)

y

x sin²x

a)

d)

y

c)

f)

y

4

x

²

2

ln(1 x 2x²)

y

arcsinx

y

x

²

x

1

7. Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Taylor (trong lân cận điểm x₀tương ứng):

1

x

sin , x₀

3

c)

y

x, x₀

4

a)

y

, x₀

4

b)

y

1

2

x

3

8. Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Fourier:

y

x ,x [

sinx

; ]

y

x²,x [

; ]

a)

y

x,x [

10 x,x (5;15)

; ]

b)

e)

c)

f)

d)

x(

x),x (0; )

II) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

9. Giải các phương trình vi phân sau:

a) y ' 1 x y xy

b) y ' (x y)²

c) 2y(x²4)dy (y²1)dx

y

x

d)

y '

1

x

y

x y 2

x y 4

e)

f)

xy ' x sin

y

y '

x

h) (x²1)y ' xy

1

4

y '

y

4x⁷

g)

x

i) (2xy 3)dy y²dx

y

j)

y '

x²y⁴, y(1) 2

x

k) (x²y²x)dy ydx

l) 3xy²y ' y³x, y(1) 3.

(x²y)dx (2y x)dy

n) e^ydx (xe^y2y)dy

m)

o) (2xy²3y³)dx (3xy²y)dy

p)

y

xy ' y ' y 'ln y '

10. Giải các phương trình vi phân sau:

2

(1 x²)y '' xy ' 2,

y(0) 0,y '(0) 0.

(1 x)y '' x y '

y ',

a)

b)

d)

y(0) 1,y '(0) 2.

2

2xy '

2y

c)

2yy '

y '

1

y ''

0, (y₁x)

x

²

1

x

²

1

e) y '' 3y ' 2y

0

f) y '' 2y ' y

0

3

e^x

g) y '' 4y ' 13y

i) y '' 2y ' y

k) y '' y 4 x 1 e^x.

m) y '' 2y ' 2y 8cosx sinx.

o) y '' y 2cosx cos2x

0

h)

y '' y

e

^x

1

2x

e^x

x

j) y '' 4y ' 3y (15x 37)e

l) y '' 2y ' y (12x 4)e^x

n) y '' 3y ' 4y 200sin²x.

p) x²y '' 3xy ' 4y x³, y(1) 1,y '(1) 2

r) (2x x²)y '' 2(x 1)y ' 2y

2

biết

y '

y

2

q) y ''

x

²

x

nó có hai nghiệm riêng y₁1,y₂x.

y ''

2

4y

2x

t) (x²1)y '' 2xy '

s)

x

y

e^ycosy,

y '³

x²

1

(x²1)²

y '

(coi

x

x(y)

)

Với phép đổi biến

x

tant, (t

)

2

11.Giải các hệ phương trình vi phân sau:

dy

5y 4z

y

5z

dx

a)

b)

d)

dz

4y 5z

y 3z

dx

y

dt

x y

x

dt

c)

dy

1

dy

x

dt

cos

t

dt

x y

III) PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE

12. Sử dụng định nghĩa, tìm trực tiếp biến đổi Laplace của các hàm số sau:

1

a) f(t) t b) f(t) e^3t

c) f(t) sinh(kt) d) f(t) sin²t

13. Tìm biến đổi Laplace của các hàm số sau:

b) f(t) t 2e^3t

c) f(t) 1 cosh(5t)

f(t)

t

3t

a)

d) f(t) cos²(2t)

e) f(t) (t 1)³

f) f(t) 2sin x

3

h) f(t) sinh²3t

i) f(t) t⁴e

t

g) f(t) 2sin3t cos5t

4

2t

j) f(t) e sin3t

l) f(t) (t sint)²

sint

k) f(t) e^tsin t

4

m) f(t) (t e^2t)²

n) f(t) te^2tsin3t

o)

f(t)

t

e^2t

1

sinht

1 cos2t

q)

r)

f(t)

p)

t

14. Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm số sau:

1

2

s

3

b)

e)

F(s)

c)

f)

F(s)

a) F(s)

d) F(s)

5

2

s

⁴

s

4

3s

5 3s

10s 3

25

s

²

1

2e

s

²

9

s

1

F(s)

h) F(s)

k) F(s)

n) F(s)

i) F(s)

g)

s

²

3

s

1

s(s²4)

s²(s²1)

3

1

l)

j) F(s)

F(s)

s²(s²1)

s(s 1)(s 2)

2

s

4

1

s

²

4

s

5 2s

3s 5

s

²

6

s

25

1

m) F(s)

p) F(s)

F(s)

o)

4

s

²

s

³

4

1

F(s)

q)

r)

s

²

7

s

10

s

³

5

s

²

s²2s

s²

3

1

F(s)

s)

t)

F(s)

u) F(s)

s

⁴

16

s

⁴

5

s

²

4

(s²2s 2)²

2s

s²

s

²

1

4

1

v)

F(s) arctan

x) F(s)

w)

F(s) ln

(s²1)²

s

15. Giải các phương trình, hệ phương trình vi phân sau với các điều kiện ban đầu:

x⁽³⁾x '' x ' x e^2t,

x⁽³⁾6x '' 11x ' 6x 0,

a)

c)

e)

b)

x(0) x '(0) x ''(0) 0.

x(0) x '(0) 0, x ''(0) 2.

x⁽⁴⁾16x 240cost,

x⁽⁴⁾8x '' 16x 0,

x(0) x '(0) x ''(0) 0,x⁽³⁾(0) 1.

tx '' (t 2)x ' x 0,

x(0) 0.

d)

f)

x(0) x '(0) x ''(0) x⁽³⁾(0) 0.

x⁽³⁾2x ' 4x e^t,

x(0) x '(0) x ''(0) 0.

5

tx '' (4t 1)x ' 2(2t 1)x 0,

x(0) 0.

tx '' (4t 2)x ' (13t 4)x 0,

x(0) 0.

g)

i)

h)

j)

x ' 2x y, x(0)

y ' 6x 3y, y(0)

2

3

x ' 2y ' x 0, x(0) 1

x ' y ' y 0, y(0)

3

x '' x ' y ' 2x y 0,

y '' x ' y ' 4x 2y 0,

x(0) y(0) 1,

x '' 2x 4y

0

0,

y '' x 2y 0,

x(0) y(0) 0,

x '(0) 1,y '(0)

k)

l)

x '(0) y '(0) 3.

1.

m) x '' x f(t),x(0) x '(0) 0, với n) x '' 4x f(t),x(0) x '(0) 0, với

cost, 0 t

0, 2 .

2

1, 0

0,

t

f(t)

t

.

o) x '' 4x ' 4x f(t),x(0) 0,

t, 0 t

p) x '' 4x ' 5x f(t),x(0) 0,

1, 0 t

2

2.

2

2.

x '(0)

0

, với f(t)

x '(0)

0 , với f(t)

0,

t

0,

t

NHÓM PHỤ TRÁCH BIÊN SOẠN ĐỀ CƯƠNG

BỘ MÔN TOÁN CƠ BẢN

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

6