Giáo trình Xác suất thống kê - Chương 2 - Bài 3: Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên - Tống Đình Quỳ
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
§3 CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN
3.1 Kỳ vọng (Expectation value)
* Định nghĩa.
Kỳ vọng của X, với ꢀ(ꢁ) là hàm mật độ XS đã cho
của ꢂ liên tục hoặc ꢃ(ꢁ) là hàm xác suất của X rời rạc, được tính
như sau:
EX = ∀ꢄ ꢁꢃ(ꢁ), X rời rạc;
(1a)
(1b)
hoặc
EX = ꢆꢇ ꢁꢀ(ꢁ)ꢅꢁ, ꢂ liên tục.
ꢈꢇ
* Tính chất
i
E(c) = c, c = const;
(ii) E(cꢂ) = cEX;
(iii) E (X + ꢉ) = EX + EY;
(iv) Nếu X và ꢉ độc lập ⟹ E(Xꢉ) = EX.EY.
Chú ý: tính chất (ii) và (iii) được gọi là tính tuyến tính của phép
toán, vốn quen thuộc trong phép tính đạo hàm hay tích phân.
Ý nghĩa thực tế: kỳ vọng là giá trị trung bình (mean value) của
biến ngẫu nhiên và đóng vai trò định vị biến.
* Thí dụ 1
. Cho biến ngẫu nhiên X ~ ℬ(ꢊ, ꢃ). Tính kỳ vọng của ꢂ.
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Giải. Sử dụng công thức Bernoulli ta có
ꢌ
EX = ∀ꢄ ꢁꢃ(ꢁ) = ꢄꢎꢏ ꢁꢋꢌꢄꢃꢄꢍꢌꢈꢄ = ꢊꢃ.
Việc tính tổng ở trên không đơn giản. Ta có cách làm khác dễ hơn
như sau: Do X = ꢂꢐ+ ꢂꢑ+ … ꢂꢌ, trong đó ꢂꢒ ~ ℬ(1, ꢃ) (PPXS
Bernoulli) với ꢃ(0) = P(X = 0) = ꢍ và ꢃ(1) = ꢃ và bảng PPXS
X = ꢁ
ꢃ(ꢁ)
0
ꢍ
1
ꢃ
ꢌ
Dễ thấy ꢓꢂꢒ = ꢃ, ∀ꢔ ⇒ ꢓꢂ = ꢒꢎꢐ ꢓꢂꢒ = ꢊꢃ (dùng tính chất
(iii) ở trên).
* Thí dụ 2
Giải.
. Cho biến ngẫu nhiên X ~ ℰ(ꢕ). Tính kỳ vọng của ꢂ.
ꢐ
ꢓꢂ = ꢆꢇ ꢁ ꢕꢖꢈꢗꢄꢅꢁ = .
ꢏ
ꢗ
* Thí dụ 3
. Một người mua 10000 đồng một số đề. Tính số tiền
thắng trung bình trong lần chơi đó.
Giải. Gọi ꢂ là số tiền thắng trong lần chơi, rõ ràng
X = ꢁ
ꢃ(ꢁ)
0
99%
700000đ
1%
và số tiền thắng trung bình ꢓꢂ = 7000 đồng.
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
* Thí dụ 4
. Một người hàng ngày đi bộ từ nhà đến nơi làm việc
trên quãng đường dài 600 m với vận tốc đềuV ꢘ/s. Biết thời gian
đi bộ của người đó là một biến ngẫu nhiên có phân bố đều trong
khoảng từ 6 phút đến 10 phút. Tìm kỳ vọng của ꢂ.
Giải. Gọi T là thời gian đi bộ ở trên, rõ ràng T ~ ꢙ 6; 10 và
ꢚꢏꢏ
ꢚꢏꢛ
ꢐꢏ
ꢛ
ꢐ
V =
=
(ꢘ/s). Để ý ꢀꢛ ꢁ = , 6 < ꢝ < 10, ꢝừ đó
ꢜ
ꢐꢏ
ꢚ
ꢐ
ꢜ
ꢐꢏꢟꢠ
ꢠ
ꢡ
= ln
ꢑ
ꢐꢏ
ꢚ
ꢓꢞ =
≈ 1,277 (ꢘ/s).
3.2 Phương sai (Variance value)
* Định nghĩa 1.
Phương sai của biến ngẫu nhiên ꢂ, ký hiệu là ꢞꢂ,
được xác định như sau
ꢞꢂ = var(ꢂ) = E[(X − ꢓꢂ)2].
(2)
Nhận xét: X – ꢓꢂ là độ lệch của X so với trung bình của nó
⇒ Phương sai – trung bình của bình phương độ lệch
⇒ Đặc trưng cho độ phân tán của X quanh trung bình
độ bất định; dung sai; độ rủi ro …
Chú ý: Công thức (2) có dạng tương đương
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
VX = E(X 2) − (Eꢂ)2.
Cách tính:
- Với X rời rạc
ꢁ − ꢓꢂ ꢃ(ꢁ) = ∀ꢄ ꢁꢑ ꢃ(ꢁ) − (ꢓꢂ)2;
ꢑ
VX =
∀ꢄ
- Với X liên tục
ꢆꢇ
ꢁ − ꢓꢂ ꢀ ꢁ ꢅꢁ = ꢆꢇ ꢁꢑꢀ(ꢁ)ꢅꢁ − (ꢓꢂ)ꢑ.
ꢑ
VX =
ꢈꢇ
ꢈꢇ
* Tính chất
i ꢞ(c) = 0, c = const;
(ii) ꢞ(cꢂ) = c2VX;
(iii) Nếu X và Y độc lập ⟹ V (X + ꢉ) = VX + VY.
* Thí dụ 5
thí dụ 1).
. Tính phương sai của biến ngẫu nhiên X ~ ℬ(ꢊ, ꢃ) (xem
Giải: Ta đã có trong thí dụ 3 EX = ꢊꢃ. Có thể tính trực tiếp
ꢌ
ꢑ
ꢑ
ꢞꢂ =
ꢁ − ꢓꢂ ꢃ(ꢁ) =
ꢁ − ꢓꢂ ꢋꢌꢄꢃꢄꢍꢌꢈꢄ
.
∀ꢄ
ꢄꢎꢏ
Tuy nhiên ta có thể dùng cách tiếp cận ở thí dụ 1. Từ ý nghĩa thực
tế ta có các ꢂꢒ độc lập và dễ thấy ꢓ(ꢂꢒꢑ) = ꢃ, ꢞꢂꢒ = ꢃꢍ, nên
ꢌ
⇒ VX = ꢒꢎꢐ ꢞꢂꢒ = ꢊꢃꢍ.
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
* Thí dụ 6
. Tìm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên ꢂ trong thí dụ 4.
Giải. Từ thí dụ 4 ta có
ꢐꢏ
ꢚ
ꢐ
ꢜ
ꢐꢏꢏ ꢟꢠ
ꢡ
ꢣ
EV =
=
ꢢ
ꢠ
⇒ var(V) = E(V 2) − (ꢓꢞ)2 ≈ 0,0358.
Để ý ꢞꢂ là một số không âm, tuy nhiên về mặt vật lý nó không
cùng thứ nguyên với ꢂ, vì vậy ta đưa ra khái niệm sau:
* Định nghĩa 2.
Độ lệch chuẩn (standard deviation) của biến ngẫu
nhiên ꢂ, ký hiệu là ꢤ(ꢂ), được xác định bằng
ꢤ(ꢂ) = ꢞꢂ
(3)
Từ (3) ta có thể ký hiệu phương sai là ꢤꢑ(ꢂ) hoặc đơn giản ꢤꢑ.
Chú ý:
ꢤ(ꢥꢂ) = ꢥ ꢤ(ꢂ)
và nếu ꢂ và ꢉ độc lập thì ꢤ ꢂ + ꢉ = ꢤꢑ ꢂ + ꢤꢑ(ꢉ) .
Một hệ quả quan trọng của tính chất (iii) của ꢞꢂ: Nếu ta có ꢊ biến
ngẫu nhiên độc lập ꢂꢒ, ꢔ = 1; ꢊ và ꢞꢂꢒ = ꢤꢑ ∀ꢔ = 1; ꢊ , thì
ꢢ
ꢦ
ꢂ + ꢂ + … + ꢂ
ꢊ
1
2
ꢞꢂ = ꢞ
=
.
ꢊ
ꢌ
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
3.2 Một số đặc số khác
1. Mốt (mode)
Mốt là giá trị của biến ngẫu nhiên có khả năng xuất hiện lớn nhất
(trong một lân cận nào đó).
- Biến rời rạc: mốt là giá trị có XS lớn nhất.
- Biến liên tục: giá trị làm hàm mật độ đạt max.
⇒
Biến ngẫu nhiên có thể có nhiều mốt.
. Tìm mốt của biến X ~ ℬ(ꢊ, ꢃ)
* Thí dụ 7
Giải. Mốt của ꢂ là phần nguyên của số thực (ꢊ+1)ꢃ. Nếu số này
là số nguyên thì ta có hai mốt là (ꢊ+1)ꢃ và (ꢊ+1)ꢃ − 1. Trong
ứng dụng mốt còn có tên gọi là số lần xuất hiện chắc nhất (của
ꢧ trong lược đồ Bernoulli tương ứng).
* Thí dụ 8
độ
. Tìm mốt của biến ꢂ có phân phối Weibull với hàm mật
ꢢ
ꢄ
ꢑ
ꢖꢈꢄ /ꢜ; ꢁ ≥ 0
ꢀ(ꢁ) =
.
0;
ꢁ < 0
Giải. Mốt của ꢂ là nghiệm của phương trình
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
ꢢ
ꢢ
ꢢ
ꢐ
ꢀ′(ꢁ) = ꢖꢈꢄ /ꢜ − ꢄ ꢖꢈꢄ /ꢜ = 0.
ꢑ
ꢜ
Từ đó mốt là nghiệm của 1−ꢁꢑ/2 = 0, nhưng do ꢁ > 0 suy ra
mod(ꢂ) = 2 ≈ 1,414.
2. Trung vị (median)
Nếu ký hiệu trung vị là medꢂ, thì
ꢨ(ꢂ < ꢘꢖꢅꢂ) = ꢨ(ꢂ ≥ ꢘꢖꢅꢂ) = 1/2.
Có nghĩa là để tìm trung vị ta phải phải giải phương trình
F(ꢁ) = 1/2.
Chú ý cả mốt và trung vị đều có ý nghĩa định vị biến, trong một số
trường hợp còn hay hơn kỳ vọng. Chẳng hạn xét tập điểm số của
bốn lần kiểm tra giữa kỳ {2, 2, 2, 10}. Trung bình ở đây bằng 4, có
vẻ mốt cho đánh giá chính xác hơn?
* Thí dụ 9
. Tìm trung vị của biến ꢂ có phân phối Weibull.
Giải. Rõ ràng trung vị là nghiệm của phương trình
ꢢ
ꢩꢪꢫꢬ ꢀ ꢁ ꢅꢁ = 0,5 hay 1 − ꢖꢈ ꢩꢪꢫꢬ /ꢜ = 0,5;
ꢏ
⇒ medX =1,665.
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Nói chung 3 đặc trưng kỳ vọng, mốt và trung vị không bằng nhau;
ở đây với biến ꢂ có phân phối Weibull ta thấy EX = 1,772; modX
= 1,414; medX = 1,665. Trong trường hợp phân phối đối xứng
(và đồ thị mật độ chỉ có 1 đỉnh) thì cả ba đặc trưng trùng nhau.
3. Phân vị (percentile)
Ta gọi ꢁꢭ là phân vị ꢮ của ꢂ, nếu ꢨ ꢂ < ꢁꢭ = ꢮ ⇔ ꢯ(ꢁꢭ) = ꢮ.
Số thực ꢮ được gọi là bậc của phân vị. Trong xác suất người ta
quan tâm nhiều đến các bậc phân vị 25%, 50% (trung vị) và 75%
(còn gọi là các tứ phân vị); còn trong thống kê hay sử dụng các
phân vị có bậc lớn hoặc bé (chẳng hạn 90%, 95%, 99%, … hoặc
0,5%, 1%, 5%, …).
* Thí dụ 10
. Tìm các phân vị 25%, 50%, 95%, 99% của biến ngẫu
nhiên X ~ ꢰ(0; 1).
Giải. Sử dụng bảng hàm Laplace ta sẽ có:
ꢯ(ꢁꢏ,ꢑꢡ) = 0,25 ⇒ ϕ(−ꢁꢏ,ꢑꢡ) = 0,25 ⇒ ꢁꢏ,ꢑꢡ = −0,675;
ꢯ(ꢁꢏ,ꢡ) = 0,5 ⇒ ꢁꢏ,ꢡ = 0 = mod(ꢂ);
ꢯ(ꢁꢏ,ꢱꢡ) = 0,95 ⇒ ϕ(ꢁꢏ,ꢱꢡ) = 0,45 ⇒ ꢁꢏ,ꢱꢡ = 1,645;
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
ꢯ(ꢁꢏ,ꢱꢱ) = 0,99 ⇒ ϕ(ꢁꢏ,ꢱꢱ) = 0,49 ⇒ ꢁꢏ,ꢱꢡ = 2,325.
4. Mô men (moment)
Mô men cấp ꢲ đối với ꢳ của biến ngẫu nhiên ꢂ, ký hiệu ꢴꢵ(ꢳ) là
một số thực được xác định như sau
ꢴꢵ(ꢳ) = ꢓ (ꢂ − ꢳ)ꢵ .
Nếu ꢳ = 0, ký hiệu ꢴꢵ = ꢴꢵ(0) = ꢓ ꢂꢵ , là mô men gốc cấp ꢲ.
Nếu ꢳ = ꢓꢂ, ký hiệu ꢶꢵ = ꢶꢵ(ꢓꢂ) = ꢓ (ꢂ − ꢓꢂ)ꢵ , là mô men
trung tâm cấp ꢲ.
⇒ ꢓꢂ = ꢴꢐ; ꢞꢂ = ꢶꢑ.
Có thể thấy quan hệ giữa hai loại mô men:
ꢶꢑ = ꢴꢑ − ꢴꢐꢑ = ꢤꢑ,
ꢶꢣ = ꢴꢣ − 3ꢴꢐꢴꢑ + 2ꢴꢐꢣ,
ꢶꢜ = ꢴꢜ − 4ꢴꢐꢴꢣ + 6ꢴꢐꢑ ꢴꢑ − 3ꢴꢐꢜ, …
Một số mô men cho ta đặc trưng về hình dạng phân phối XS:
- Hệ số bất đối xứng (skewness) là tỷ số ꢷꢐ= ꢶꢣ/ꢤꢣ; nếu ꢷꢐ= 0
ta có đường cong mật độ đối xứng, còn nếu nó khác không
thì phân phối bất đối xứng.
- Hệ số nhọn (kurtosis hay peakedness) là tỷ số ꢷꢑ= ꢶꢜ/ꢤꢜ − 3;
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
nếu ꢷꢑ càng lớn thì đường cong mật độ có đỉnh càng nhọn;
đường cong mật độ chuẩn có ꢷꢑ= 0.
* Thí dụ 11
. Cho biến ngẫu nhiên X ~ ℰ(0,5). Tìm các hệ số bất đối
xứng và hệ số nhọn.
Giải. Dễ dàng tìm được EX = ꢴꢐ = 2; ꢤꢑ = ꢶꢑ = 4. Từ đó suy ra:
ꢷꢐ= ꢶꢣ/ꢤꢣ = 16/8 = 2;
ꢷꢑ= ꢶꢜ/ꢤꢜ − 3 = 208/16 − 3 = 10.
Chú ý khi tính các tích phân ta sử dụng công thức
ꢹ(ꢌꢆꢐ)
ꢌ!
ꢺꢻꢼ
ꢇ ꢁꢌꢖꢈꢸꢄ ꢅꢁ =
=
.
ꢺꢻꢼ
ꢏ
ꢸ
ꢸ
* Thí dụ 12
. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ
ꢼ
ꢽ
ꢢ, ꢁ ∈ ℝ.
ꢆ ꢄ ꢈ ꢄ
ꢀ ꢁ = ꢧꢖ
Tìm ꢧ, sau đó tính các mô men gốc cấp ꢲ, ꢲ = 1, 2, 3, 4.
Giải. Dùng tính chất (iv) của hàm mật độ, ta có
ꢼꢢ ꢈ (ꢄ ꢈ ꢼꢢ)ꢢ
ꢼ
ꢽ
1 = ꢧ
ꢖ
ꢢꢅꢁ = ꢧ
ꢖ
ꢅꢁ
ꢆꢇ
ꢈꢇ
ꢆꢇ
ꢈꢇ
ꢆ ꢄ ꢈ ꢄ
ꢼ
ꢼ
ꢢ.( )
ꢢ
ꢈ
(ꢄ ꢈ ꢼꢢ)ꢢ
ꢆꢇ ꢖ
ꢅꢁ = ꢧ ꢖꢾ
ꢐ
= ꢧ ꢖꢾ
ꢈꢇ
ꢿ
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
ꢐ
⇒
ꢧ =
.
ꣀꢿ
ꢐ ꢐ
Mặt khác, có thể thấy rằng X = ꢖꣁ, với ꣁ ~ꢰ , , từ đó:
ꢑ ꢑ
ꢴꢐ = ꢖ/2; ꢴꢑ = ꢶꢑ + ꢴꢐꢑ = 3ꢖ/4;
ꢴꢣ = 3ꢴꢑꢴꢐ − 2ꢴꢐꢣ = 7ꢖ ꢖ/8;
ꢐ
ꢴꢜ = ꢶꢜ + 4ꢴꢐꢴꢣ − 6ꢴꢐꢑ ꢴꢑ + 3ꢴꢐꢜ = (8 − 11ꢖꢑ).
ꣂ
Chú ý: Đối với biến X ~ꢰ(ꢶ, ꢤꢑ) ta có:
EX = ꢶ; VX = ꢤꢑ; modX = medX = EX; ꢶꢣ = 0; ꢶꢜ = 3ꢤꢜ.
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
BÀI TẬP
1. Tìm kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X có:
a) phân phối Poisson ꣃ(ꢕ) với ꢕ = 4;
b)phân phối mũ ℰ(ꢕ) với với ꢕ = 0,4.
2. Cho ꢂ và ꢉ là hai biến ngẫu nhiên ꢂ độc lập.
a) Giả sử X ~ ℬ(1; 0,2) và Y ~ ℬ(2; 0,2), lập bảng PPXS
của Z = X + ꢉ, sau đó tính EZ và VZ.
b) Giả sử X ~ ℬ(1; 0,5) và Y ~ ℬ(2; 0,2), lập bảng PPXS
của Z = X + ꢉ; ꣁ có phân phối nhị thức không?
3. Một người cho thuê 3 xe con. Anh ta hàng ngày phải nộp
thuế 8$ cho 1 xe (dù xe có được thuê hay không), mỗi xe
được cho thuê với giá 20$. Giả sử số yêu cầu thuê xe trong
một ngày tuân theo luật Poisson với ꢕ = 2,8.
a) Tìm PPXS của số tiền anh ta thu được trong 1 ngày,
sau đó tính số tiền trung bình thu được trong ngày.
b) Giải bài toán trong trường hợp có 4 xe. So sánh nên có
3 hay 4 xe.
4. Gieo một đồng tiền cho đến khi xuất hiện mặt ngửa thì
dừng. XS xuất hiện mặt ngửa là ꢃ. Gọi X là số lần gieo cần
thiết.
a) Tính trị trung bình ꢂ.
b) Tìm PPXS của X với điều kiện trong n lần gieo đầu tiên
chỉ có đúng 1 lần xuất hiện mặt ngửa.
5. Cho hàm mật độ của X
ꢐ
ꢏ,ꢡ ꢈꢏ,ꢡꢄ
ꢀ ꢁ =
ꢁ ꢖ
, ꢁ > 0.
ꢑꢿ
a) Tìm trị trung bình, phương sai và mốt của X.
b) Tính các hệ số ꢷꢐ và ꢷꢑ.
Gợi ý: Dùng ꢆꢇ ꢁꢀꢈꢐ ꢖꢈꢁꢄꢅꢁ = Γ(ꢂ)/ꢃꢀ, p>0.
ꢏ
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
6. Một tổ có 5 công nhân với XS mắc bệnh nghề nghiệp A sau
10 năm làm việc là 0,3.
a) Lập bảng PPXS của số người mắc bệnh nghề nghiệp
A sau 10 năm công tác.
b) Tìm số người chắc nhất mắc bệnh.
7. Một người đi làm từ nhà đến cơ quan phải qua 3 ngã tư,
XS gặp đèn đỏ ở các ngã tư tương ứng là 0,2; 0,4 và 0,5.
Gọi X là số đèn đỏ mà người đó gặp trong một lần đi làm
a) Lập bảng PPXS và hàm phân phối của X. Tính EX, VX.
b)Hỏi thời gian trung bình người đó phải dừng vì đèn
đỏ là bao nhiêu, biết rằng mỗi khi gặp đèn đỏ phải đợi
khoảng 3 phút?
8. Tuổi thọ của một loại côn trùng là biến ngẫu nhiên X
(đơn vị tháng) với hàm mật độ
ꢲꢁꢑ 4 − ꢁ ; ꢁ ∈ [0; 4];
ꢀ(ꢁ) =
0;
ꢁ ∉ 0; 4 .
a) Tìm ꢲ và modX.
b) Tính XS để côn trùng chết trước khi nó tròn 1 tháng
tuổi.
9. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ
ꢲꢁꢑꢖꢈꢑꢄ; ꢁ ≥ 0;
ꢀ(ꢁ) =
0;
ꢁ < 0.
a) Tìm ꢲ và hàm phân phối của X.
b) Tìm kỳ vọng, phương sai và mốt của .
X
10. Cho ꢂ là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với tham số ꢕ
= 2, tính kỳ vọng và độ lệch chuẩn của Y = ꢖꢈꢬ.
11. Một nhà máy bán một loại sản phẩm với giá 1$/1 sản
phẩm. Trọng lượng một sản phẩm là biến ngẫu nhiên có
phân phối chuẩn với kỳ vọng ꢶ kg và độ lệch chuẩn 1 kg.
Giá thành một sản phẩm là c = 0,05ꢶ + 0,3. Nếu trọng
lượng bé hơn 8 kg thì phải loại bỏ vì không bán được.
Hãy xác định ꢶ để lợi nhuận của nhà máy là lớn nhất.
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
12. Đối với luật phân phối đối xứng có thể lấy độ lệch trung
bình ꢃ xác định từ điều kiện
P( ꢂ − ꢓꢂ < ꢃ) = 1/2
làm thước đo độ phân tán của biến ngẫu nhiên. Hãy tìm
phương sai và độ lệch trung bình của biến ngẫu nhiên X
có hàm mật độ
ꢐ
ꢢ , ꢁ ≤ ꢳ;
ꢢ
ꢿ ꢸ ꢈꢄ
ꢀ ꢁ =
0,
ꢁ > ꢳ.
14 trang
17020
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Xác suất thống kê - Chương 2 - Bài 3: Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên - Tống Đình Quỳ", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_xac_suat_thong_ke_chuong_2_bai_3_cac_so_dac_trung.pdf
