›
›

Giáo trình Giải tích 2 - Bài 2 - Nguyễn Xuân Thảo

Download
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
[email protected]u.vn  
GIẢI TÍCH 2  
BÀI 2.  
§ 4. Mặt trong  
3
Điểm  
trên mặt được gọi là điểm chính quy nếu tại đó có các đạo hàm riêng  
S
M0  
F M , F M , F M và chúng không đồng thời bằng không. Một điểm không  
x
0
y
0
z
0
  
chính quy gọi là điểm kì dị.  
Định lí. Tập hợp tất cả các tiếp tuyến của mặt S tại điểm chính quy M0 là một mặt  
phẳng đi qua M0.  
Phương trình pháp tuyến của mặt S tại điểm chính quy M0 là  
X x0  
Y y0  
Z z0  
F M  
x 0   
F M  
y 0   
F M  
z 0   
Phương trình tiếp diện của mặt S: F(x, y, z) = 0, tại M0 là  
F M X x F M Y y F M Z z 0  
x
0
0
0
0
z
0
0
  
y
Nói riêng khi mặt S có phương trình z = f(x, y) thì phương trình tiếp diện và pháp  
tuyến với S tại điểm chính quy M0(x0 ; y0 ; z0) lần lượt là  
y
X x f M Y y f M Z z 0;  
0
 
0
 
 
0
 
0
 
 
0
  
x
X x0 Y y0 Z z0  
.
f M  
f M  
1  
x 0   
y 0   
Nếu mặt S có phương trình tham số x x u, v , y y u,v , z z u,v , (u, v) D.  
Khi đó phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt S tại điểm chính quy M0(x0 ; y0  
; z0) lần lượt là  
;
X x A Y y B Z z C 0  
0
  
0
  
0
  
X x0 Y y0 Z z0  
A
B
C
y M  
z M  
z M  
x M  
x M  
u
0
  
y M  
u
0
  
u
0
u
0
  
u
0
u
0
  
ở đó A  
, B   
, C   
y M  
z M  
z M  
x M  
x M  
v 0   
y M  
v 0   
v 0 v 0   
v 0 v 0   
Vectơ pháp tuyến của mặt S tại M là  
.
N A ; B ;C  
0
Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong z = x2 + y2 tại  
điểm M(1 ; 2 ; 5).  
Ví dụ 2. Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt x2 + y2 z2 = 0 tại  
điểm M0(3 ; 4 ; 5).  
Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong  
tại r,  
x r cos, y r sin, z r cot  
8
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
[email protected]u.vn  
CHƯƠNG II.  
TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ  
§ 1. Tích phân phụ thuộc tham số trên một đoạn  
1.1. Khái niệm.  
Định nghĩa. Cho K(x, t) bị chặn: x [c ; d], t [a ; b] và khả tích theo t trên [a ; b],  
b
   
khi đó ta gọi I x K x, t dt là tích phân phụ thuộc tham số x.  
a
1
xt  
   
Ví dụ 1.  
, x [1 ; 2]  
I x te dt  
0
b
   
Ví dụ 2.  
, x [c ; d], cd > 0.  
I x t sinxt dt  
a
1
dt  
   
Ví dụ 3. I x   
2 2 , x [1 ; 2]  
0 1x t  
1.2. Tính liên tục, khả vi, khả tích  
Định lí 1. (Leibnitz). Cho K(x, t) liên tục trên hình chữ nhật D: a t b, c x d thì  
1/ I(x) liên tục trên [c ; d]  
b
   
I x dx dt K x, t dx  
2/ I(x) khả tích trên [; ] [c ; d] và có  
   
a
b
   
3/ Nếu có  
K x, t liên tục trên D thì có  
.
K x, t dt  
I x   
x  
x  
a
Ta vận dụng định lí trên để tính một số tích phân phụ thuộc tham số sau  
1 xb xa  
Ví dụ 1. Tính  
Ví dụ 2. Tính  
Ví dụ 3. Tính  
Ví dụ 4. Tính  
dx, a, b 0  
0
1
lnx  
arctanx  
dx,  
x 1x2  
0
1
dx  
   
In a   
n , a 0, 0 n  
  
0
x2 a2  
/2  
2
2
2
2
   
I a   
.
ln a sin x b cos x dx, a,b 0  
0
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!  
9
pdf 2 trang Thùy Anh 18600 Free
Download
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 2 - Bài 2 - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_giai_tich_2_bai_2_nguyen_xuan_thao.pdf