Giáo trình Giải tích 1 - Bài 12: Hàm nhiều biến - Nguyễn Xuân Thảo
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
GIẢI TÍCH I
BÀI 12
CHƯƠNG III. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN
§3.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Đặt vấn đề
I. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa
n
= {(x1, x2, ..., xn)}, xi }, x = (x1, x2, ..., xn) gọi là điểm hay vectơ.
Phép toán: x + y = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn)
x = (x1, x2, ..., xn),
n
Khoảng cách: (x, y) =
.
x y
i 2
i
i1
Định nghĩa
M0 n, lân cận của M0 là Sr(M0) = {M n : (M, M0) < r, 0 < r }.
Định nghĩa
n
A n, M
là điểm trong của A Sr(M) A
M là điểm biên của A Sr A , Sr CA , Sr(M)
Định nghĩa
là mở A chứa mọi điểm trong của nó (Khi đó kí hiệu là Ao)
n
A
A đóng A chứa các điểm biên của nó (Khi đó kí hiệu là )
A
A là bị chặn (giới nội) Sr(M) A
A là compact A đóng và giới nội
A là liên thông x, y A có thể nối với nhau bằng một đường cong liên tục A
n
A
A
là miền A mở và liên thông
n
là miền đóng A là liên thông và đóng
Miền D là đơn liên D giới hạn bởi một mặt kín
Miền D là đa liên D giới hạn bởi nhiều mặt kín rời nhau từng đôi
II. Hàm nhiều biến
1. Định nghĩa. Ánh xạ f: D 2 : được gọi là hàm hai biến số
Ánh xạ f: D 3 : được gọi là hàm ba biến số
Khi đó D được gọi là TXĐ của hàm số, tập giá trị = {f(M), M D}
Ví dụ 1
z2 1 x2 y2
z 1 x2 y2
d)
a)
2
2
2
2
2
2
z x y a 4a x y
e)
65
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
x2 y2
2
2
f)
z cos x y
b)
c)
z 1
4
9
g)
u arcsinx arcsiny arcsinz
2
2
2
u xln 1 x y z
Ý nghĩa hình học:
Vận dụng vào bản đồ trắc địa, nhờ sử dụng đường mức: f(x, y) = c
Việc vẽ đồ thị của hàm hai biến số có sự khác biệt đột phá so với hàm một
biến số (đã được nghiên cứu tỉ mỉ trong chương I). Khi n = 2 có thể vẽ đồ thị
kết hợp với sử dụng đường mức hoặc sử dụng các phần mềm đã có để nhận
được đồ thị một cách trực tiếp. Khi n 3, chỉ có thể mô tả đồ thị hàm số này
thông qua các mặt mức trong không gian 3 chiều.
Bản đồ địa hình quả đồi
Đồ thị hàm số z = xy
2. Giới hạn của hàm nhiều biến
Ví dụ 2
xy
xy
xy
lim lim
lim lim
a)
b)
c) lim
2
2
y0 x0 x2 y
x0 y0 x2 y
y kx x2 y2
x0
Định nghĩa.
lim xn x0
lim yn y0
và
Ta bảo Mn(xn ; yn) M0(x0 ; y0)
n
n
x ; y D
Định nghĩa. Cho f(x, y) xác định trên D,
.
0
0
lim f x ,y l
f x, y l Mn(xn ; yn) M0(x0 ; y0)
Ta bảo
lim
n
n
x,y x ,y
n
0
0
hoặc: > 0 bé tuỳ ý, () > 0: d(M0 ; M) < |f(M) l| < , ở đó M(x ; y) D.
Ví dụ 3
xy
1
lim
a)
lim
x2 y2 cos
d)
2
2
x ; y 0 ; 0
x y
x ; y 0 ; 0
xy
2 2
x y
xy
2
2
lim
b)
c)
lim
x y
e)
x2 y2
x2 y2
x ; y 0 ; 0
x ; y 0 ; 0
x2 2y2
lim
f)(K58)
lim
2
2
2
2
x ; y 0 ; 0
3x y
x ; y 0 ; 0
x y
66
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
(không có)
x3
y3
g)(K59) 1.
2.
lim
lim
2
3
2
x ; y 0 ; 0
x ; y 0 ; 0
3x y y
(không có)
x3
x 3xy
(không có)
1
2
2
h)(K61)
(0)
lim
2
4
lim
(1 3x3)x y
i)(K62)
(1)
x ; y 0 ; 0
x y
x ; y 0 ; 0
Các phép toán
Tương tự như hàm một biến số
3. Hàm liên tục
Định nghĩa. Hàm f(M) xác định trên D, M0 D, ta bảo hàm f(M) liên tục tại M0
lim f M f M
0
DMM
0
Hàm f(M) được gọi là liên tục trên D f(M) liên tục tại mọi điểm của D.
Ví dụ 4. Xét tính liên tục tại điểm (0 ; 0)
1
2xy
x2 y2
,
,
x2 y2 0
x2 y2 0
2
2
ex y
,
x ; y 0 ; 0
x ; y 0 ; 0
a) z
b) z
0,
0,
x2y3
x2 y2
x y
4
4
,
x ; y 0 ; 0
x ; y 0 ; 0
x2 y2
z
z
d)
c)
0,
x ; y 0 ; 0
0,
x ; y 0 ; 0
2
2
2
x x y
x4 y4
a,
,
x ; y 0 ; 0
e)(K50) 1)
(không liên tục, a)
z
z
x ; y 0 ; 0
xy y2
x2 y2
cos
,
x ; y 0 ; 0
2)
(không liên tục, a)
a,
x ; y 0 ; 0
x arcsin y y arcsin x
x4 y4
2
2
2
2
,
x ; y 0 ; 0
z
f)(K52) 1)
a,
x ; y 0 ; 0
(a = 0, liên tục; a 0, không liên tục)
67
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
2
2
2
2
y arctan x x arctan y
x4 y4
,
x ; y 0 ; 0
2)
z
a,
x ; y 0 ; 0
(a = 0, liên tục; a 0, không liên tục)
g)(K55) Tìm a để (0 ; 0) là điểm liên tục của hàm số
2
2
2x y xy
, x2 y2 0
x2 y2
1)
(0)
(0)
z
a,
2
x2 y2 0
2
x y 2xy
, x2 y2 0
x2 y2
2)
z
a,
x2 y2 0
h)(K56) Tìm a để (0 ; 0) là điểm liên tục của hàm số
2y
x
x(e 1) 2y(e 1)
, (x, y) (0, 0)
(x, y) (0, 0)
, (x, y) (0, 0)
(x, y) (0, 0)
x2 y2
1) z
(0)
(0)
a,
3x
y
y(e 1) 3x(e 1)
x2 y2
2) z
a,
Định nghĩa. Hàm f(M) liên tục đều trên D > 0 bé tuỳ ý, () > 0:
M’, M’’ D: d(M’ ; M’’) < |f(M’) f(M’’)| < .
Ví dụ. Xét tính liên tục đều của hàm f = x + y + 2
Chú ý. f liên tục đều f liên tục.
§2. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN
1. Đạo hàm riêng
Định nghĩa.
u = f(x , y) xác định trên D 2, ta định nghĩa các đạo hàm riêng
f x x, y f x , y
0
0
0
x
0
0
f x ; y
x 0
f x ; y lim
0
0
0
x0
x
f x , y y f x , y
y
0
0
0
f x ; y
y 0
f x ; y lim
0
0
0
y0
y
Chú ý.
d
d
f x ,y
;
f x ,y
f x,y
f x ,y
0
1/
x
0
0
xx
y
0
0
0
dx
dy
0
yy
0
68
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
d
2/ Tương tự có các định nghĩa f x ,y ,z
f x,y ,z
;
x
0
0
0
0
0
dx
xx
0
d
d
;
f x ,y ,z
f x ,y ,z
0 0
f x ,y ,z
y 0
f x ,y,z
0
z
0
zz
0
0
0
0
0
dz
dy
yy
0
0
Ví dụ 1.
a) u xyz , tính u’x(1 ; 2 ; 3), u’y(1 ; 2 ; 3), u’z(1 ; 2 ; 3)
z
b) u
, tính u’x(3 ; 4 ; 5), u’y(3 ; 4 ; 5), u’z(3 ; 4 ; 5)
x2 y2
u arctan xy
c)
d)
, tính u’x, u’y
3, tính z’x, z’y
z 1log x
y
x tany
x2 y2
0,
,
x, y 0, 0
e)(K50) 1. f x,y
, tính f’x(0, 0), f’y(0, 0)
x, y 0, 0
f 0 ; 0 0
(
x
,
f 0 ; 0 0
y
)
)
x siny
x2 y2
0,
,
x, y 0, 0
2. f x, y
, tính f’x(0, 0), f’y(0, 0)
x, y 0, 0
f 0 ; 0 0
f 0 ; 0 0
(
x
,
y
2x2y
y2
x
z
x
z
y
x2
y2
xy
xy
y2
x2
z
z
arctan
arctan
f)(K51) 1.
2.
, tính A =
, tính A =
(
)
x2 y2
2xy2
x2 y2
3x
y
x2
y
x
z
y
z
x
(
)
3y
g)(K59) Tính các đạo hàm riêng cấp một :
1
1
6
1
6
1
1. u e3x 2y z2 , tại A(1,1,-1)
(
)
)
2
2
1
1
1
e ; e ; e6
6
9
18
1
1
1
1
2
2
2. u ex 2y 3z2 , tại A(1,-1,1)
(
1
1
1
e6; e6; e6
18
9
6
h)(K60) Tính các đạo hàm riêng cấp một :
x2 sinx
2x2 y2
0,
,
x, y 0, 0
1
2
f x, y
;0
1.
, tại A(0;0)
(
)
x, y 0, 0
69
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
3
3
2x y
,
x, y 0, 0
x2 y2
2.
, tại A(0;0)
2;1
( )
f x, y
0,
x, y 0, 0
1 3 4
( ;
5 25 25
2
2
2
3. Tính
4. Tính
tại M(0;3;4).
u ln(x x y z )
;
)
1
2
2
, biết rằng : z ln
,
.
r x y
(1)
A xzx yzy
r
i)(K61) 1) Tính , biết
zx
y
0,
arctan , x 0
, tại A(0;0)
z
x
x 0
y
(
zx
,x 0;zx(0;0) 0;không có
)
zx(0;y),y 0
x2 y2
, biết rằng :
zx 2x y,zy x 2y,(x,y)
2) Tìm
z(x,y)
(x2 xy y2 C)
Have a good understanding!
70
6 trang
18400
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 1 - Bài 12: Hàm nhiều biến - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_1_bai_12_ham_nhieu_bien_nguyen_xuan_tha.pdf
