Giáo trình Giải tích 1 - Bài 1: Hàm số, dãy số - Nguyễn Xuân Thảo
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
GIẢI TÍCH I
CHƯƠNG I. PHÉP TÍNH VI PHÂN
BÀI 1
(§1.1 §1.5)
Tổng quan
Phương pháp học
§1.1 Mở đầu :Các tập hợp số
, , ,
Đặt vấn đề
I. Sơ lược về các yếu tố logic
1. Điều kiện cần và đủ
P Q
P Q
2. Mệnh đề tương đương P Q
3. Chứng minh logic
a) Phương pháp bắc cầu: (P Q, Q R) (P R)
Q
b) Phương pháp phủ định: (P Q) ( )
P
c) Phương pháp chỉ ra phản ví dụ
4. Phương pháp quy nạp. Cần chứng minh mệnh đề T(n) đúng n
Giả sử có +) T(1) đúng
+) T(k) đúng T(k + 1) đúng, k .
Khi đó T(n) đúng n .
2
n n 1
Ví dụ. 13 + 23 + ... + n3 =
, n .
2
II. Các tập hợp số
1. Sự cần thiết mở rộng tập hợp số .
2. Hệ tiên đề của tập hợp số thực
a)
(+, .): a, b, c
có a + b , a.b
giao hoán, kết hợp
b) a, b ! x : a + x = b.
c) a, b , a 0 ! x : a.x = b.
d) a, b a b hoặc b a
1
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
quan hệ thứ tự có tính chất phản đối xứng, bắc cầu.
e) Tiên đề supremum
A , A bị chặn trên đều có supremum
A , A bị chặn dưới đều có infimum
Chú ý
Từ trên nhận được các tính chất đã biết ở phổ thông, chẳng hạn
T/c Archimede: a, b , a > 0 n : na > b.
trù mật trong : a, b , a < b r : a < r < b.
§ 1.2. Mở đầu :TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ CÁC TÍNH CHẤT
Đặt vấn đề
1. Định nghĩa.
a,
a 0
a
a, a 0
2. Tính chất
a) |x| < a, a > 0 a < x < a.
b) |x| > b, b > 0 x > b hoặc x < b.
c) |a + b| |a| + |b|
d) |ab| = |a||b|
a
b
a
b
e)
, b 0
§ 1.3 HÀM SỐ
Đặt vấn đề
1. Định nghĩa. X , tương ứng f: X
+) x X f(x)
là hàm số nếu thoả mãn:
+) x1 = x2 f(x1) = f(x2)
Khi đó X là tập xác định, còn {f(x), x X} là tập giá trị.
Ví dụ 1. Một tên lửa phóng thẳng lên từ mặt đất với vận tốc
ban đầu là 128ft/s. Tên lửa này chuyển động lên hoặc xuống
theo đường thẳng. Bằng thực nghiệm, độ cao của tên lửa
được cho bởi công thức f(t) = 128t 16t2
x x2 y2 1
Ví dụ 2.
2
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
x
Ví dụ 3. Tìm tập xác định
y
cos x
Ví dụ 4. a) Tìm tập giá trị
y sinx cosx
b) (K59) Tìm tập xác định và tập giá trị
.
y lg(1 2sinx)
2
7
6
(
)
k2);(;lg3)
( k2;
2x
1
y arcsin
x 1
c) (K60) Tìm tập xác định
. (
)
1 x
3
1
Ví dụ 5. Tìm f(x) biết
2 , x > 0.
x 1 x
f
x
2. Một số khái niệm
a) Đồ thị của hàm y = f(x) là {(x, f(x)), x TXĐ}
b) y = f(x) chẵn x MXĐ có f(x) = f(x)
3
3
Ví dụ 1. y 1 x 1 x
c) y = f(x) lẻ x MXĐ có f(x) = f(x)
Ví dụ 2. a) y = ax ax, a > 0.
b) (K59) y sinx cos2x . (không chẵn, không lẻ)
d) Hàm y = f(x) tuần hoàn T 0: f(x + T) = f(x), x TXĐ.
Số T > 0 bé nhất để f(x + T) = f(x), x được gọi là chu kì.
Ví dụ 3.
y tanx
đ) Hàm hợp: y = f(x), x = (t), có hàm hợp y = f f((t))
e) Hàm ngược: y = f(x), TXĐ X, TGT: Y có hàm ngược x = (y)
+) (f )(y) = y, y Y
+) ( f)(x) = x, x X
y f 1(x)
Hàm ngược của hàm y=f(x) thường được ký hiệu là
x 1 y2
Ví dụ 4. a) y 1 x2 với 1 x 0, có
f(x) 2x 2
, y [0 ; 1].
b) (K59)
x , trên (,0]
.
x x2 4
y log
: [2,) (,0]
).
(
2
2
3
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
§ 1.4. HÀM SỐ SƠ CẤP
1. Định nghĩa. Các hàm số sơ cấp cơ bản là x, ax, logax, sinx, cosx, tanx, cotx,
và các hàm lượng giác ngược.
2. Các hàm số sơ cấp cơ bản
a) y = x, TXĐ: phụ thuộc , đồ thị (1 ; 1), .
b) y = ax, 0 < a 1, TXĐ: , TGT: y > 0, đồng biến khi a > 1, nghịch biến khi a < 1
ax + y =ax ay , ax y = ax / a y
c) y = logax, 0 < a 1, TXĐ: x > 0,TGT: , đồng biến khia >1, nghịchbiến khia < 1
x
= loga|x| loga|y|, logax = loga|x|;
log
logaxy = loga|x| + loga|y|,
a
y
y = logax có hàm ngược là x = ay.
d) Các hàm lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx.
e) Các hàm lượng giác ngược
2 2
+) y = arcsinx: [1 ; 1]
là hàm ngược của hàm y = sin x
;
+) y = arccosx: [1 ; 1] [0 ; ] là hàm ngược của hàm y = cosx
+) y = arctanx: ( ; )
là hàm ngược của hàm y = tan x
;
2 2
+) y = arccotx : ( ; ) (0 ; ) là hàm ngược của hàm y = cotx
f) Các hàm hyperbolic
ex ex
2
ex ex
2
+) y = sinhx=
+) y = coshx=
+) y = tanhx=
là hàm sin-hyperbolic của x
là hàm cosin-hyperbolic của x
sinhx ex ex
là hàm tan-hyperbolic của x
là hàm cotan-hyperbolic của x
ex ex
coshx
coshx ex ex
+) y = cothx=
ex ex
sinhx
Các hàm hyperbolic có một số tính chất tương tự các hàm lượng giác, cụ thể :
+) cosh2 x sinh2 x 1
+) cosh2x 2cosh2 x 1 2sinh2 x 1
1
1
+) 1 tanh2 x
+) coth2 x 1
cosh2 x
sinh2 x
1
+) cosh2x cosh2 x sinh2 x
+) coth2 x 1
sinh2 x
sinh2x 2sinhxcoshx
+)
+) sinh(x y) sinhxcoshy sinhycoshx
4
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
+)
cosh(x y) coshxcoshy sinhxsinhy
tanhx tanhy
1 tanhxtanhy
2tanhx
1 tanh2 x
+)
+)
tanh(x y)
tanh2x
3. Hàm số sơ cấp
Định nghĩa. Tạo nên từ các hàm số sơ cấp cơ bản bởi số hữu hạn các phép
tổng, hiệu, tích, thương, phép lấy hàm hợp và các hằng số
y 3 x+sinx
Ví dụ 1.
Ví dụ 2. y = |x|
x
Ví dụ 3. y sint2dt
.
0
§ 1.5. DÃY SỐ
Đặt vấn đề
1. Định nghĩa. x1, x2, ..., xn, ...,
.
xi
2. Giới hạn.
a) Định nghĩa
lim xn a, a
> 0, bé tuỳ ý, N(): n > N() thì có |xn a| < .
M > 0, lớn tuỳ ý, N: n > N có |xn| > M, ta nói dãy số
n
Định nghĩa.
lim x
Khi
n
n
phân kì
b) Tính chất
lim x a
1)
2)
3)
4)
, a > p (a < p) N: n > N có xn > p (xn < p)
, xn p (xn p) a p (a p)
n
n
lim x a
n
n
lim x a lim x b
,
a = b.
n
n
n
n
lim x a
M > 0: |xn| M, n.
n
n
c) Phép toán
lim x a lim y b
Có
,
, khi đó ta có
n
n
n
n
xn
yn
a
b
lim x y a b lim x y ab lim
;
;
, b 0, yn 0, n.
n
n n
n
n
n
n
5
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
d) Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn
1) Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn. dãy đơn điệu tăng (giảm) bị chặn trên (dưới)
có giới hạn.
2) Tiêu chuẩn kẹp. Có xn yn zn, lim xn a lim zn
.
lim yn a
n
n
n
3) Tiêu chuẩn Cauchy. lim xn a > 0, N(): m, n > N có |xm xn| < .
n
x1 2, xn1 2 xn
Ví dụ 1. Cho dãy xn:
. Chứng minh rằng {xn} hội tụ và tìm
giới hạn.
1
2
1
Ví dụ 2. Cho dãy xn: x1 0, xn1
xn
. Chứng minh rằng {xn} hội tụ và
xn
tìm giới hạn.
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
6
6 trang
22400
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 1 - Bài 1: Hàm số, dãy số - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_giai_tich_1_bai_1_ham_so_day_so_nguyen_xuan_thao.pdf
