Giáo trình Giải tích 3 - Bài 4: Chuỗi luỹ thừa - Nguyễn Xuân Thảo
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI
BÀI 4
§ 5 Chuỗi luỹ thừa
Định nghĩa
Đặt vấn đề
Các tính chất
Khai triển thành chuỗi luỹ thừa
a0 a1x a2x2 anxn
1. Định nghĩa.
(1)
Kýhiệulà
n ,ởđó
làcácsốthực, làbiếnsố.
an x
anx
n0
Ta bảo chuỗi luỹ thừa hội tụ (phân kỳ) tại
chuỗi số
anx0n hội tụ (phân kỳ),
x0
n0
chuỗi
a xn hội tụ trên khoảng a ; b chuỗi số
anx0n hội tụ,
tuỳ ý
x0
n
n0
n0
.
(a; b)
Ví dụ 1.
xn 1 x x2
n0
1
x 1
xn
Đã biết hội tụ khi
, có
1 x
n0
Phân kỳ khi
x 1
anxn
Định lí 1 (Abel).
Chứng minh. +)
hội tụ tại
hội tụ tuyệt đối tại
x0 0 x : x x0
n0
anx0n
lim anx0 0
anx0n M, n N0
n
hội tụ
n
n1
n
n
x
x
x
+) anxn anx0n
M
x0
0
n
x
x
+)
1
M
hội tụ (Định lí so sánh 1)
anxn hội tụ tuyệt đối
x0
x0
n1
n0
Nhận xét. Từ định lí Abel suy ra:
anxn
Nếu
phân kỳ tại
phân kỳ tại x : x x0
x0
n0
Tập hội tụ khác rỗng
20
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
an1
n
Định lý 2. Nếu lim
(hoặc lim an ) thì bán kính hội tụ R của chuỗi
n
n
an
1
,
0
luỹ thừa
a xn được xác định bởi R
n
0,
0
n1
,
Nhận xét. Quy ước viết
ở khẳng định 2), R ở khẳng định 3), từ đó có thể
R 0
anxn
phát biểu gọn định lý này như sau: Mọi chuỗi luỹ thừa
đều có một bán kính hội
n0
tụ R với
, khi đó chuỗi hội tụ tuyệt đối với
an
và phân kỳ với
x R
.
0 R
x R
1
Cách tìm bán kính hội tụ R:
hoặc
R lim
R lim
n
n
n
an1
an
xn
Ví dụ 1. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi
n
2
n1
2
an
1
n2
1
n 1
n
:
n 1 2
an1
an
lim
1
n
an1
R 1, chuỗi hội tụ với
, phân kỳ với
.
x 1
x 1
x2
1
1
Tại
có
, mặt khác
hội tụ, do đó chuỗi luỹ thừa hội tụ tại
.
x 1
x 1
n1 n2
n2 n2
Khoảng hội tụ là 1; 1 .
n 2
3n
Ví dụ 2. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi luỹ thừa
xn
n0
an
n 2 n 3
n 2
n 3
:
3
3n
3n1
an1
an
lim
3
n
an1
, chuỗi hội tụ khi
, phân kỳ khi
.
x 3
R 3
x 3
Tại
có
anxn
n 2 phân kỳ.
x 3
n0
n0
anxn
1 n n 2
Tại
có
phân kỳ
x 3
n0
n0
Khoảng hội tụ:
.
3 ; 3
21
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
xn
Ví dụ 3. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi luỹ thừa
n0 n 1
an
1
1
n 2
:
a
n 1 n 2 n 1
n1
an
lim
1
n
a
n1
R 1, chuỗi hội tụ với
, phân kỳ với
x 1
x 1
1
Khi x 1 có
phân kỳ
n1 n 1
1 n
Khi x 1 có
là chuỗi đan dấu hội tụ
.
n1 n 1
Khoảng hội tụ là
[1; 1)
x2n
1 n
Ví dụ 4. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi luỹ thừa:
.
2n !
n0
Không thể dùng ngay công thức vì một nửa các hệ số của chuỗi bằng : a2n+1 = 0
0
1 n
Đặt y = x2 có chuỗi luỹ thừa:
yn
2n !
n0
1 n
1 n1
2 n 1 !
an
Có
:
2n 1 2n 2
an1
2n ! 2 n 1 !
2n !
an
lim
n
an1
Khoảng hội tụ: ,
Ví dụ 5. Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa
2
5
n
x 2
n 1
a)
d)
x2n (1 x 1)
b)
e)
xn! (
)c)
(
)
3 x 1
x 1
n1
n1
nn
2n 1
2
n1
2n
n!
x 3
xn 4 x 4
(
)
(
)
2 x 4
n 1 ln n 1
2n !
n1
n1
2
n
1
1
1
n
n
f)
1
x 1 (1 x 1 )
n1
e
e
2n 3
3n2 4n 1
n1
g)
i)
n!xn! (1 x 1)
h)
1
x2n1
(
)
x 1
n1
n1
2n 3
n1
1
x2n
(
)
x 1
3n2 4n 5
n0
22
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
3n
n2 1
2n
1
1
n1
2n
k)
l)
1
x 1
( 1
; 1
)
n1
3
3
x 1
(
)
0 x 2
n 1 ln n 1
n1
2
n
1
1
1
n
m)
n)
1
x 2 (2 x 2 )
n1
n
e
e
4n
2n
x 3
x 4
(2 x 4)
o)
(
)
3 x 5
n 2 ln n 1
n 1 ln n 2
n1
n1
2
2
2n !
n!
n!
2n1
2n1
(-3<x<1)
x 1
(1)n
x 1
p 1)
(-1<x<3)
2)
2n !
n1
n1
n!
n!
nn
2n
2n
x 3
(3 e,3 e)
(1)n
x 3
(3 e,3 e)
3)
5)
4)
n1 nn
n1
lnn
n
x 1
(
)
0 x 2
n
n1
32n1
n1 7n ln(n 1)
2n2 3n 1
(n3 5)3n
2
16
9
(x 1)n
(1)n
(x 3)n
q) 1)
( x
) 2)
(
)
0 x 6
9
n1
n 1 n
(x 1)n
r)
(
)
3 x 1
2n
n1
Nhận xét
n
(1) được gọi là chuỗi luỹ thừa tại
,
x a
a x a
n
n0
Đặt z = x – a có
anzn (2), tìm bán kính hội tụ R của chuỗi (2), thì có tập hội
n0
tụ của chuỗi (1), cụ thể hội tụ với: –R < x – a < R hay a – R < x < a + R và phân
kỳ với x < a – R, hoặc x > a + R; để nhận được khoảng hội tụ ta cần xét tại x =
a – R và x = a + R.
2. Các tính chất của chuỗi luỹ thừa
anxn
a) Chuỗi luỹ thừa
hội tụ đều trên mọi đoạn
nằm trong khoảng hội tụ
a ; b
n0
của nó.
n
liên tục trên khoảng
S x
b)
.
R ; R
anx S x , x R 0
n0
23
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
n
c)
d)
khả tích trên mọi đoạn a ; b R ; R và có
anx S x , x R 0
S x
n0
b
b
a xn dx
anx dx
n
n
n0
n0
a
a
n
khả vi trên khoảng
S x
và có:
R ; R
anx S x , x R 0
n0
d
d
anxn
a xn
n
dx
n0 dx
n0
Nhận xét. Thực chất từ a) ta có:
lim
anxn
lim a xn
n
xx
xx
0
0
n0
n0
Ví dụ 1. Tìm biểu thức chuỗi luỹ thừa của ln 1 x
Miền xác định:
1
.
x 1
f (x)
, ở đó đặt f(x) = ln(1 + x)
1 x
1
1
n
1 n xn
f (x)
x
x 1 1 (x)
n0
n0
x
x
1 n tn dt
f t dt
n0
0
0
x
xn1
n
1 n
n
0
f(x) f 0
1 t dt
n 1
n0
n0
n1 xn
x2 x3 x4
Do
nên có ln 1 x
1
x
, x 1
4
f 0 0
n
2
3
n1
1
Ví dụ 2. Tìm biểu diễn chuỗi luỹ thừa của hàm
tan x
2
2
Đặt f(x) tan1 x,
f(x)
1
f (x)
1 x2
n
1
1
x2
1 n .x2n, x 1
1 x2
1 x2
n0
n0
x
x
x
x
dt
x2n1
1 n
f t dt
1 n t2n dt
1 n t2ndt
2
2n 1
0 1 t
n0
n0
n0
0
0
0
24
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
x2n1
x3 x5 x7
tan1 x tan10
1 n
x
, x 1
7
3
5
2n 1
n0
x3 x5 x7
tan1 x
x
, x 1
7
3
5
xn
Ví dụ 3. Tính tổng
n
n1
Có R = 1, chuỗi hội tụ với |x| < 1
xn
xn1
n
1
n1
Đặt f(x)
có f (x)
n
x
n
1 x
n1
n1
n1
x
x
dt
1 t
0
f (t)dt
x 1
0
f(x) f 0 ln 1 x , x 1 f(x) ln 1 x , x 1
1
Ví dụ 4. Biểu diễn chuỗi luỹ thừa của hàm
2
1 x
1
d
1
d
n
nxn1
n 1 xn, x 1
x
2
dx 1 x
dx
1 x
n1
n0
n0
Ví dụ 5. Tính tổng của chuỗi
n2xn
n1
R = 1, chuỗi hội tụ về f(x) với |x| < 1.
f(x)
n2xn
x.n2xn1 xg(x),
n1
n1
d
d
d
n 1 2 xn
n 1
n1
x
n 1 xn1
x
n 1 x
n
g(x)
dx
dx
dx
n0
n0
n0
n0
1
n 1 xn
Theo ví dụ 4 có
2
1 x
n0
d
x
1 x
g(x)
f(x)
3
2
dx
1 x
1 x
x x2
3
1 x
Ví dụ 6. Tính tổng
25
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
2n1
x
n1
a)
b)
d)
1
(
, x 1)
arctanx
n1
2n 1
n
n
x
2n 1
(
)
c)
( )
3
, x 1
x
(x 1)2
2n
n1
n1
3n2
x 1
1
3
x
1
2x 3
n
1
(
,
,
x 1
ln
arctan
x2 3x 3
3n 1
3
3
6 3
n0
)
0 x 2
3n2
x 1
1
x 2
x2 x 1
1
2x 1
6 3
n
e)
(
1
(x 1) ln
arctan
3n 1
3
3
3
n0
2 x 0
)
n1
1
n
(
ln x 2 2 x 0
f)
,
)
x 1
n1
n
x2 1
x2
n1
1
n
g)
h)
(
,
)
0 x 2
n 1 x 1
n1
n
1
1 1
)
(
ln3
3n2
2 3
6 3
3n 1 2
n0
n 1
2n
n 1
9
k: 1)
(4)
2)
( )
n0
n0
3n
4
n1
1
1
3
3)
(ln2)
4)
(ln )
4
n0
n1
n1
n 1 2
n 1 3
n0
1
1
.
1
1
2 3 1
1
3 1
3 1
l : 1)
(
ln
), 2)
(
)
ln
2n 1
n1
2n 1 3
3n
2 3
3
2 3
3 1
n1
n1
1
m)
n1 (n 1)3n
Hướng dẫn.
a) +)
x
x
1
1
2n
n
+)
+)
R 1
S x
1 x
S t dt
2 dt
1 x2
0 1 t
n0
0
+)
S x arctanx
S x S 0 arctanx
1
1
2n2
c) +) Xét chuỗi S x
2n 1 x
có
S
A
2
2
n1
26
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
1
1 d
1 d
x
1 1 x2
S x
+)
+)
+)
S
R 1
x2n1
.
3
2
2
2 dx
2 dx
2
2
2
1 x
n1
1 x
3. Khai triển thành chuỗi luỹ thừa
f
x
0
n
0 n
Định nghĩa.
x x
được gọi là chuỗi Taylor của hàm số
tại lân
f(x)
f(x)
n!
n0
cận điểm
Nếu
.
x0
f(n)(0)
n!
ta có
xn được gọi là chuỗi MacLaurin của hàm số
.
x0 0
n0
f(n)(x0)
n!
(x x0)n f(x)
Định nghĩa. Nếu
ta bảo hàm số
được khai triển
f(x)
n0
thành chuỗi Taylor trong lân cận điểm
x0
, lim Rn x 0,
x0
Định lí 3.
có đạo hàm mọi cấp trong lân cận nào đó của
f(x)
n
f n1 ()
(x x0)n1
Rn x
,
ở giữa
và
x0 x
(n 1)!
f(n)(x0)
f(x)
(x x0)n
n!
có đạo hàm mọi cấp trong lân cận nào đó của điểm
n0
Định lí 4.
;
x0
f(x)
(n)
,
thuộc lân cận của
nói trên
x0
f () M
f(n)(x0)
f(x)
(x x0)n
.
n!
n0
Chú ý. Có hàm khả vi vô hạn không được khai triển thành chuỗi Taylor, ví dụ
1
2
x
e
,
x 0
x 0
f(x)
0,
n
, n tự nhiên bất kỳ
f
(0) 0
Thật vậy có ngay
1
2
1
x
f(x) f(0)
e
0
t
1
x
lim
lim
0.
t
f 0 lim
lim
lim
2
1
ex
t et
x0
x0
x0
t
x 0
x
2t e
Từ đó có đạo hàm mọi cấp tại x = 0 cũng bằng 0.
Chuỗi Taylor của hàm f(x) là 0 + 0 + 0 + 0 + ....
Chuỗi này hội tụ, chúng hội tụ về . Nhưng hàm
0
f(x) 0,x 0
Nên f(x) nói trên không được khai triển thành chuỗi Taylor
27
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
f(n1)( )
Số dư Rn(x)
xn1 nhận được do sử dụng định lý Rolle
n 1 !
1
2
x
3
,
x 0
x 0
Ví dụ 7. Tìm chuỗi Maclaurin của hàm số
.
f(x)
0,
Hàm này có được khai triển thành chuỗi Maclaurin hay không? Vì sao?
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
28
9 trang
18320
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 3 - Bài 4: Chuỗi luỹ thừa - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_3_bai_4_chuoi_luy_thua_nguyen_xuan_thao.pdf
