Giáo trình Giải tích 3 - Bài 11: Phương trình Euler, hệ phương trình vi phân - Nguyễn Xuân Thảo
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI
BÀI 11
§3. Phương trình vi phân cấp hai (TT)
4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi
2
c) Phương trình Euler
Cách giải.
x y axy by 0, a, b
Đặt x et t ln x
dy dy dt 1 dy
dy
xy
y
.
dx dt dx x dt
dt
1 dy 1 d dy dt
d
d 1 dy
y
y
.
.
.
x2
dx
dx x dt
dt x dt dt dx
2
1 d2y
x2 dt2
1 d y dy
d2y dy
1 dy
2
x y
x2
x2 dt2
dt2
dt
dt
dt
d2y dy
dy
d2y
dt2
dy
Thay vào có
là phương trình
by 0
a
by 0
(a 1)
dt2
dt
dt
dt
vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi
Ví dụ 1. Giải phương trình vi phân
2
a)
b)
(1)
x y 2xy 6y 0
2
2
c)
x y 9xy 21y 0
x y xy y x
x
y
y
x2
2
2
3
e) y
d)
x y 2xy 2y x 2x 0
x
Giải a)
x et
t lnx
2
1 dy
1 d y dy
dy
dt
d2y dy
2
,
x y
,
y .
y
xy
x2 dt2
dt2
x dt
dt
dt
d2y dy
dy
dt
d2y dy
Thay vào ta có
(2)
2
6y 0
6y 0
dt2
dt2
dt
dt
r2 r 6 0
Phương trình đặc trưng
(2) có nghiệm tổng quát
r 2, r 3
y c1e2t c2e3t
c2
x3
y c1e2lnx c2e3lnx c1x2
(1) có nghiệm tổng quát
2
2
Ví dụ 2. a) Giải phương trình vi phân
x et
bằng cách đặt
x y 2xy 2y 3x , x 0
71
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
2
2
(
)
y C1x C2 3x lnx
x
2
b) 1)
2)
(C1coslnx C2 sinlnx
)
x y xy y x, x 0
2
3
3
2
2
4x y 2xy y 2x, x 0
4 x C cos
lnx C sin
lnx x
(
)
1
2
4
4
3
§4. Hệ phương trình vi phân
Đặt vấn đề
Các quy luật của tự nhiên không diễn ra đơn lẻ mà gồm nhiều quá trình đan xen
nhau
Hệ phương trình vi phân tuyến tính giải quyết nhiều bài toán nêu trên, chẳng hạn
như :
1/ Ví dụ 1. Xét hệ hai khối lượng và hai lò xo như trong
Hình 1, với một lực tác động từ bên ngoài
bên phải
f(t)
khối lượng
khối lượng
. Ta kí hiệu
là hàm vị trí (sang phải) của
m2
m1
x(t)
từ trạng thái cân bằng (khi hệ bất động và
) và là vị trí của khối lượng từ
cân bằng với
f(t) 0
y(t)
m2
Hình 1. Hệ khối lượng và
trạng thái tĩnh của nó.
lò xo trong Ví dụ 1
m x" k x k (y x)
1
1
2
Có mô hình toán là
m2y " k2(y x) f(t)
2/ Ví dụ 2. Xét hai thùng nước muối được nối với nhau
như trong Hình 2. Thùng 1 chứa x(t) pounds muối trong
100 gallon của nước biển và thùng 2 chứa
pounds
y(t)
muối trong 200 gallon (gal = 4,54 lit ở Anh và = 3,78 lít ở
Mỹ) nước biển. Nước biển trong mỗi thùng được giữ
nguyên bởi các vòi bơm và nước biển thùng này sang
thùng khác với tốc độ chỉ ra trên Hình 2. Thêm nữa nước
nguyên chất chảy vào thùng 1 với tốc độ 20gal/phút và
nước muối trong thùng 2 chảy ra với tốc độ 20gal/phút
Hình 2. Hai thùng nước
biển trong Ví dụ 2
3
1
x x
y
10
20
Có mô hình toán là
3
3
y
x
y
10
20
3/ Ví dụ 3. Xét mạch điện như trong Hình 3, ở đó
(t) kí hiệu của dòng điện chạy qua cảm biến L và
I1
(t) kí hiệu của dòng điện chạy qua điện trở
.
I2
R2
Dòng điện chạy qua điện trở
hướng đã chỉ.
là
I I1 I2
theo
R1
Hình 3. Mạng điện
trong Ví dụ 3
72
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
dI
1 25I1 25I2 50
dt
Có mô hình toán là
dI
1 3
dt
dI2
dt
2
5I2 0
1. Đại cương
Định nghĩa. Hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp một có dạng
y f (x, y , y ,, y )
1
1
1
2
n
y f (x, y , y ,, y )
2
2
1
2
n
(1)
y fn(x, y1, y2,, yn )
n
Định lí 1. Giả sử các hàm
và các đạo hàm riêng
fi (x, y1, y2,,yn )
fi
n1
liên tục trên D
.
(x, y1, y2,,yn )
y j
0
0
0
Cho
, khi đó
để (1) có nghiệm duy nhất thoả mãn
U (x0)
(x0, y1, y2,, yn )D
yi (x0) yi0, i 1, n
các điều kiện
Định nghĩa. Ta bảo (y1,, yn ), ở đó yi i (x, c1, c2,, cn ) là nghiệm tổng quát
của hệ (1)
thoả mãn hệ (1)
c1, c2,,cn
(x0, y10, y20,,yn0)
ci ci0
yi0, i 1, n
thoả mãn định lí 1
sao cho các hàm số
0
0
0
thoả mãn điều kiện
yi i (x, c1 , c2,,cn )
yi
xx
0
Nghiệm riêng của (1) nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho ci, i 1, n các giá trị xác
định
2. Cách giải
n1
y f(x, y, y ,, y
)
n
Phương trình vi phân cấp n :
trình vi phân chuẩn tắc cấp 1: Đặt
luôn đưa về hệ phương
, có
y y1
y y
1
2
y2 y3
yn1 yn
y f(x, y1, y2,, yn )
n
Ngược lại, hệ PTVP chuẩn tắc luôn đưa về phương trình cấp cao bằng cách khử
những hàm số chưa biết từ các phương trình của hệ, được gọi là phương pháp khử
73
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
y2
y
y z
z y
y 5y 4z
y y z
z
y
Ví dụ 1. a)
b)
)
c)
d)
z 4y 5z
z y z x
z
2
y C cosx C sinx
y z
1
2
e)
f)
(
z y z C2 cosx C1sinx
x
y e (C1cos x C2 sinx)
y y 5z
(
(
)
1
z ex (C 2C )cosx (C 2C )sinx
z y 3z
2
1
1
2
5
2x
y (C C C x)e
1 2 1
z (C x C )e2x
y 3y z
g)
)
z y z
1
2
Giải a)
Từ phương trình thứ nhất
y 5y 4z
Thay
vào phương trình 1 có
1
z 4y 5z
y 5y 16y 20z
Từ phương trình 1 z (y 5y), thay vào ta có
y 10y 9 0
4
y c1ex c2e9x
Nghiệm tổng quát
x
z c1ex c2e9x
2C1
9x , thay vào phương trình đầu có
1
y c1e 9c2e
zz 2z
2
c) +)
+)
+)
y
z
(C1x C2)2
C1x C2
3. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng số
dy
1
a11y1 a12y2 a1nyn
a21y1 a22y2 a2nyn
dx
dy
2
a) Định nghĩa
(1)
dx
dy
n
an1y1 an2y2 annyn
dx
ở đó
aij
dy
1
a11y1 a12y2
a21y1 a22y2
dx
dy2
dx
b) Cách giải. Để đơn giản ta xét hệ
(2)
(3)
a11
Giải phương trình đặc trưng
a21
a12
0
a22
Nếu (3) có 2 nghiệm thực phân biệt 1, 2 (2) có nghiệm tổng quát là (y1, y2) ở đó
74
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
;
y1 c1y11 c2y12
y2 c1y21 c2y22
y11 p11e x y21 p21e x y12 p12e x y22 p22e x (p1k, p2k )
1
1
2
2
ở đó
,
,
,
,
là vectơ
riêng ứng với giá trị riêng
k, k 1, 2
y y z
z y 3z
y y 2z
y y 5z
Ví dụ 1. Giải các hệ sau a)
b)
c)
z 4y 3z
z 2y z
Giải a) Cách 1. Phương pháp khử:
với
và
y y 2z
z 4y 3z
y 4y 5y 0
x
y C e C2e5x
1
1
z (y y)
1
z C ex 2C2e5x
2
z (y y)
1
2
Cách 2. Phương pháp toán tử
L x L y f (t)
1
2
1
Hệ
, ở đó
là các toán tử tuyến tính
Li
L x L4y f2(t)
3
L1 L2
f1(t) L2
f2(t) L4
L1 L2
L3 L4
L1 f1(t)
L3 f2(t)
;
x
y
L3 L4
(D 1)y 2z 0
4y (3 D)z 0
D 1 2
d
, D
dx
(D 1)(3 D) 8 D2 4D 5
Ta có
4
3 D
y 4y 5y 0
Hệ
z 4z 5z 0
k2 4k 5 0
Phương trình đặc trưng
k1 1, k2 5
y c1ex c2e5x
y, z
z c3ex c4e5x
Ta có
Thay
;
vào phương trình 1 ta có
0 y y 2z c1e c2.5e5x c1ex c2e5x 2(c3ex c4e5x )
x
(2c1 2c3)ex (4c2 2c4)e5x, x
2c 2c 0
c c
3 1
1
3
4c2 2c4 0
c 2c2
4
Nghiệm tổng quát (y, z), ở đó y c1ex c2e5x ; z c1ex 2c2e5x
1
2
2
Cách 3.
0
4 5 0
1 5, 2 1
4
3
(1 5)p 2p 0
11
21
:
4p11 2p21 0
1 5
4p11 (3 5)p21 0
p11 1, p21 2
Chọn
75
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
1 1 p 2p 0
12
22
:
2p12 2p22 0
2 1
4p 3 1 p 0
12
22
Chọn
p12 1, p22 1
x
y1 e5x z1 2e5x y2 ex z2 e
Hệ nghiệm cơ bản là
;
;
;
5x
y c1e5x c2ex z 2c1e c2ex
Nghiệm tổng quát: y ; z , ở đó
;
Ví dụ 2
dx
1
2x y
3x 4y
x 3y
3x y
x C et C e5t
t
5t
x C e C e
1
2
dt
dy
dt
1
2
3
a)
(
hoặc
)
y C et 3C e5t
t
5t
1
2
y C1e C2e
dx
t
t
x e (C cos3t C sin3t)
y et (C sin3t C cos3t)
y e (C cos3t C sin3t)
1 2
x et (C sin3t C cos3t)
dt
dy
1
2
b)
(
hoặc
)
1
2
1 2
dt
Chú ý. Phương pháp toán tử giải được hệ phương trình tuyến tính không thuần
nhất với hệ số hằng số
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
76
6 trang
18140
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 3 - Bài 11: Phương trình Euler, hệ phương trình vi phân - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_3_bai_11_phuong_trinh_euler_he_phuong_t.pdf
