Giáo trình Giải tích 1 - Bài 8: Tích phân bất định (Tiếp theo)

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@hust.edu.vn

GIẢI TÍCH I

BÀI 8

§2.1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (TIẾP THEO)

4. Tích phân của một vài lớp hàm

b) Hàm lượng giác.

, ở đó R(sinx, cosx) là hàm hữu tỉ đối với

R sinx, cosx dx







các biến







²

x

2t

1 t

2

Đặt t  tan

R

,

dt

^{,  < x <  }



1 t²1 t²1 t²

2



Chú ý. +) R(sinx, cosx) chẵn với sinx và cosx thì đặt t = tanx hoặc t = cotx

+) R(sinx, cosx) lẻ với sinx thì đặt t = cosx

+) R(sinx, cosx) lẻ với cosx thì đặt t = sinx

Ví dụ 1.

dx

sin³xcos²xdx

a)

c)

e)

g)

b)

d)

f)

2

4

_{sin xcos x}



dx

cos2xdx

4

_{2sinx  cosx  3}

sinxsin2xsin3xdx

_{cos x  sin x}

sin2x

dx

3

2

_{cos x  sin x 1}



dx

h)

²

dx

_

2

_{1 sin x}

sinx  cosx

3sinx  2cosx

i)

k)

dx

2

_{sin x  3sinxcosx  cos x}

_{2sinx  3cosx}

1

cos²x

1 cos²x

sin²x

tanx

 ln

 C

l )(K54) 1.

(

)

dx

2

_{1 cos x}

2

1

2

cot x

_{1 sin x}

ln

C

)

2.

(

dx

1 sin²x

2

dx

C

)

m)(K60)

(

_{3sinx  4cosx  5}

x

3  tan

2

1

dx

C

n)(K61)

(

)

_{5cosx 12sinx 13}

x

2(2tan  3)

2





ax  b

cx  d

2

R x, ⁿ

dx





R x, Ax  Bx C dx

c)Tích phân các hàm số vô tỉ

và











2





R x, a  x dx

1)

, đặt x = asint hoặc x = acost đưa về tích phân hàm



lượng giác (4b).

41

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@hust.edu.vn

2





2)

3)

, đặt x = atant hoặc x = acott  (4b)

R x, a  x dx



a

2





, đặt

hoặc

 (4b).

R x, x  a dx

x 

cost

sint

Ví dụ 2.

x⁵

1 x²

a² x²

x  3

x² 2x  2

dx

a)

b)

e)

c)

dx



_{x x}₂_{ x 1}

₃2  x dx



x  1

x 1

d)

dx, a  0

f)

i)

dx





²



x

2  x

2  x

x 1

_{1 x}

x 1

x  1

x x² 3x  2dx

x

dx

g)

k)

h)

3



x³dx

1 2x  x²

x  4

2

dx

l )(K51) 1.

(

)

x  2x  3  3ln x 1 x  2x  3 C



x² 2x  3

x  3

2

2.

(

)

x  4x  5  ln x  2  x  4x  5 C



x² 4x  5

x  2

2

dx

m )(K59)

n )(K60)

o )(K61)

(

)

 x  2x  3arcsin(x 1) C



x² 2x

2x 1

x²1

x 1

x² 2x 1

2

dx

(

)

2 x 1 ln(x  x 1) C



2

dx

(

)

x  2x 1 2ln(x 1 x  2x 1) C

Ví dụ 3. Dùng phép thế Euler để tính

Ax² Bx C  t  Ax

 A > 0, đặt

Ax² Bx C  xt  C

 C > 0, đặt

Ax² Bx C

 Nếu Ax²+ Bx + C = A(x  )(x  ), đặt

= t(x  ) hoặc t(x 

) sẽ đưa về tích phân hàm hữu tỉ.

dx

a)

c)

b)

 _{x  x}₂_{ x 1}

_{1 1 2x  x}₂

x²1

dx

d)

_

x² a²x² a²

2

4



x 1 x 1

Chú ý. Có những hàm không có nguyên hàm sơ cấp:

42

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@hust.edu.vn

e^xcos x sinx

1

2

e^x, cos x², sinx²,

,

, 1 x³,



,

(Chứng minh

1 x³

x

lnx

bởi Liouville (Pháp) vào thế kỉ 19).

 Một số công thức hay dùng

dx

x² a²

dx

a² x²

 ln x  x² a²C



x

 arcsin C

a

x

a²

2

a²

x

a² x²dx 

a² x²

x² a²

arcsin C



2

x

2

a

x² a²dx 

ln x  x² a² C

2

§2.2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Đặt vấn đề

I. Định nghĩa.

1) Ý nghĩa hình học:

+) Bài toán diện tích hình

thang cong: f(x) liên tục và

không âm trên [a ; b], khi đó

diện tích của hình thang cong

0  y  f(x), a  x  b

n

S  lim

f x x   max x

,

i

i i

là

 



0

i1, n

i 0

b

 

f x dx

2) Ý nghĩa cơ học

, f(x) > 0



a

 Là khối lượng của đoạn [a ; b] với mật độ khối lượng là f(x)

 là công của lực có độ lớn f(x) > 0 tác động vào vật chuyển động thẳng từ x =

a đến x = b.

3) Tính áp lực lên mặt đĩa. Tính áp lực lên một mặt đĩa phẳng chìm trong

nước trong hình

b

F  whxdh

,



a

1

ở đó w là trọng lượng riêng của nước =

tấn/(ft)³

32

4) Định nghĩa. f(x) xác định, bị chặn trên [a ; b]

+) Chia [a ; b] bởi các điểm chia a  x₀< x₁< x₂< ... < x_n b

+) Lấy _i [x_{i  1}; x_i]

43

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@hust.edu.vn

n

+) Lập tổng

_i, đặt   max x_i

 

f  x

 

i



i1, n

i 1

Nếu

không phụ thuộc vào cách chia [a ; b] và cách chọn điểm _ithì

lim   I

0

(n)

b

 

I là tích phân xác định của hàm f(x) trên [a ; b] và kí hiệu là f x dx

.



a

30

2

Ví dụ 1. a) Tính 0dx

b) Tính 2010dx



20

11

1

1, x 







 

c) y x dx, y x 

, là tập số hữu tỷ, còn là tập số vô tỷ.

I



0, x I

0

b

a

 

Định nghĩa.  Khi b < a có f x dx   f x dx



a

b



b

 

 Khi a = b có f x dx  0



a

II. Tiêu chuẩn khả tích, tính chất

1) Tiêu chuẩn khả tích





Định lí 1. f(x) khả tích trên [a ; b]  lim S  s  0

,

0

n

 

S 

M_ix_is 

,

m_ix_iM  max f x m  minf x

,

i



x

i

i 0

i0

Định lí 2. f(x) liên tục trên [a ; b]  f(x) khả tích trên [a ; b]

Định lí 3. f(x) bị chặn trên [a ; b] và có hữu hạn điểm gián đoạn trong [a ; b] 

f(x) khả tích trên [a ; b]

Định lí 4. f(x) bị chặn và đơn điệu trong [a ; b]  f(x) khả tích trong [a ; b]

Ví dụ 2. Tính

2

1

2

xdx

x²dx

e^xdx

a)

d)

b)

e)

c)



0

1

5

1

b

x³dx

a^xdx, a  0

x^dx, a  0

f)



1

0

a

n

1

k

2n

1

k

2n

2  4

4

²

lim

k cos

lim

k sin

g )(K52) 1.

h )(K54) 1.

(

)

2.

(

)

₂

 ²

n

n

k1

n



4

n

lim

_n

( )

2.

(

)

_n

_k1n² k²

_k13n² k²

6 3

44

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@hust.edu.vn

n

1

i)(K55) 1. Chứng minh rằng

.

 ln2



_k1n  k

n

1

2. Chứng minh rằng

 ln2



_k12n  k

n



1

n

k)(K57)1. lim

(

)

2. lim

(

)

_n

_k1n² 3k²

4n² 3k²

3 3

k1

HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

45

Giáo trình Giải tích 1 - Bài 8: Tích phân bất định (Tiếp theo) - Nguyễn Xuân Thảo