Giáo trình Giải tích 2 - Bài 7 - Nguyễn Xuân Thảo
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
GIẢI TÍCH 2
BÀI 7
TÍCH PHÂN HAI LỚP (TT)
3.7. Diện tích mặt cong
a) Mặt cong tham số trơn.
Mặt cong tham số: U là miền (mở và liên thông) trong 2 , mặt cong tham số :
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) U.
Mặt trơn: Mặt cong trơn :
1/ Các hàm x, y, z có các đạo hàm riêng liên tục trên U
uur
uur
¢
¢
2/ Hai vectơ
,
u
là độc lập tuyến tính, (u, v)
¢
¢ ¢
¢
¢ ¢
v
M u
= x , y , z
M v
=
x , y , z
(
)
(
)
u
u
v
v
U
Mặt đơn. Mặt cong là đơn ánh xạ
u,v M u,v x u,v , y u,v , z u,v
a
=
là đơn ánh
b) Mặt trơn với biểu diễn tham số
2
Cho mặt cong với tham số : x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) U, U
Pháp tuyến của mặt tại điểm M(u, v) là
ur
¢
¢
¢
¢
¢ ¢
xu yu
yu zu
zu xu
A
=
, B
=
, C =
N u,v
= A,B,C , ở đó
¢
¢
¢
¢
¢ ¢
xv yv
yv zv
zv xv
r
r
ur
i
j
k
ur
N u,v
¢ ¢ ¢
xu yu zu
=
(
)
Hay
¢
¢
¢
xv yv zv
ur
º + +
A2 B2 C2
Hàm số sau liên tục
u,v
a
N u,v
(
)
(
)
c) Diện tích mặt cong. Cho mặt cong tham số đơn, trơn x = x(u, v), y = y(u, v),
2
z = z(u, v), (u, v) U, U là miền trong
.
(
ur
N u, v dudv
)
Định nghĩa. Số thực không âm
gọi là diện tích của mặt S, kí
D
hiệu là (S) hoặc |S|.
ur
dS
=
N u,v dudv
Ta gọi
là yếu tố diện tích của mặt S.
(
)
25
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
z
= f x, y
. Cho f có các đạo hàm riêng liên tục trên U, tập compact
d) Diện tích mặt
2
2
¢ ¢
1+ fx + fy dxdy
D U, khi đó ta có (S) =
, ở đó S: z = f(x, y), (x, y) D.
D
Ví dụ 1. Tính diện tích phần của mặt đinh ốc
x = r cos, y = r sin, z = h, 0 r a, 0 2.
Ví dụ 2.
Tìm diện tích phần của mặt paraboloit z = 1 x2 y2 nằm trong mặt trụ x2 + y2 = 1
B. TÍCH PHÂN BA LỚP
3.8. Tích phân ba lớp trên hình chữ nhật đóng
a) Phép phân hoạch hình hộp chữ nhật.
Cho hình hộp chữ nhật đóng P = [a ; a¢] [b ; b¢] [c ; c¢]. Chia P thành những hình
họp chữ nhật đóng V1, V2, ..., Vn, đôi một có phần trong không giao nhau gọi là
( )
p = maxdi
d
phép phân hoạch . Kí hiệu di là đường chéo của hình chữ nhật Vi,
gọi là đường kính của phân hoạch .
i=1,n
Dãy {n} những phép phân hoạch hình hộp chữ nhật P gọi là chuẩn tắc nếu
lim d
p
n
= 0.
n
®¥
b) Tổng tích phân và các tổng Dacbu trên, dưới của hàm số xác định trên hình
hợp chữ nhật được định nghĩa hoàn toàn tương tự như trong trường hợp tích
phân hai lớp và tích phân một lớp.
c) Định nghĩa. Cho hàm số f xác định trên hình hộp chữ nhật đóng P, dãy chuẩn
V
tắc {n} các phép phân hoạch P; n = {V1, V2, ...,
}
P
n
P
n
s
f,
p
n,Q1,
L
,Qn
=
f Q
DV
i i
(
)
( )
Lấy tuỳ ý Qi(i, i, i) Vi, i = 1, 2, ..., Pn. Đặt
lim sn =
n
å
i=1
I
¡
, với mọi dãy chuẩn tắc {n} các phân hoạch của hình hộp P
Nếu có
n
®¥
và mọi cách chọn điểm Qi Vi, thì khi đó ta nói hàm f khả tích trên P và I gọi là
tích phân ba lớp của hàm số f trên hình hộp chữ nhật đóng P, kí hiệu là
f x, y, z dx dy dz
f x, y, z dV
(
)
(
)
hoặc
P
P
2dxdy dz
Ví dụ. Tính
, D = [1 ; 2] [2 ; 4] [1 ; 4]
D
d) Điều kiện khả tích được thiết lập hoàn toàn tương tự như đối với tích phân hai
lớp. Ở đây ta chỉ nêu một định lí về sự tồn tại tích phân
Định lí 1. Cho hàm số f bị chặn trên hình hộp chữ nhật đóng P, E P, E là tập
hợp có thể tích 0. Nếu f liên tục trên tập hợp D\E thì f khả tích trên P.
26
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
3.9. Tích phân ba lớp trên một tập hợp bị chặn
a) Định nghĩa. Cho tập bị chặn
3 , hình hộp chữ nhật đóng P B và hàm số
B
f x, y, z , x, y, z
B
ï
f0
=
í
.
0,
x, y, z P \ B
(
)
ï
î
Nếu hàm số f0 khả tích trên P thì ta nói f khả tích trên B và định nghĩa
f x, y, z dx dy dz
=
f x, y, z dxdy dz
0
(
)
(
)
.
B
P
b) Tính chất. Tích phân ba lớp có các tính chất tương tự như tích phân hai lớp,
cụ thể: tuyên tính, cộng tính, bảo toàn thứ tự, định lí giá trị trung bình, ....
c) Độ đo Jordan.
1/ Tập bị chặn
3 , X(x , y, z) = 1, (x, y, z) B
B
Tập B đo được theo nghĩa Jordan hàm số X khả tích trên B. Khi đó thể tích của
( )
V B
º
B
X x, y, z dxdy dz
dxdy dz
=
=
(
)
B là
.
B
B
Hệ quả 1. B bị chặn 3 , khi đó B đo được theo nghĩa Jordan V (B) = 0
2/ D đo được trong 2 , f khả tích trên D, khi đó V(S) = 0, ở đó
S
=
x, y, z
¡
3 : x, y
D, z
=
f x, y
(
.
(
)
)
(
)
2
Hệ quả 2. D là miền chính quy trong
và hàm số f liên tục, bị chặn trên D thì có
V(S) = 0.
Hệ quả 3. Tập B bị chặn trong 3 , B là hợp của một họ hữu hạn z = z(x, y), (x, y)
Dz, x = x(y, z), (y, z) Dx, y = y(z, x), (z, x) Dy, các hàm x, y, z liên tục trên các
miền chính quy đóng Dz, Dx, Dy, thì tập B đo được theo nghĩa Jordan
Ví dụ. Hình cầu, elipxoit, trụ tròn xoay là những tập hợp đo được theo nghĩa
Jordan
d) Các lớp hàm khả tích: Tập B đo được trong 3 , hàm số f liên tục, bị chặn trên
B thì khả tích trên B.
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
27
3 trang
19640
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 2 - Bài 7 - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_2_bai_7_nguyen_xuan_thao.pdf
