›
›

Giáo trình Giải tích 1 - Bài 2: Giới hạn, liên tục - Nguyễn Xuân Thảo

Download
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
GIẢI TÍCH I  
BÀI 2.  
(§1.6 - §1.8)  
§1.6. Giới hạn hàm số  
Đặt vấn đề  
1
1
lim 2x ?  
a)  
b) lim ?  
c) lim ?  
x1  
x0  
x  
x
x
I. Định nghĩa  
ĐN1. x0 là điểm tụ của X  
(U (x )\ x )X  , > 0.  
   
o
o
ĐN2. f(x) xác định trên X, x0 là điểm tụ của X. Ta bảo  
   
lim f x a  
  (xn) X, xn x0, xn x0 f(xn) a.  
xx  
0
ĐN3. f(x) xác định trên X, x0 là điểm tụ của X. Ta bảo  
   
lim f x a  
  > 0 bé tuỳ ý, () > 0: 0 < |x x0| < () |f(x) a| < .  
xx  
0
Chú ý. ĐN2 ĐN3.  
1
lim cos  
Ví dụ 2.  
Ví dụ 1. lim 3x 2  
x2  
x0  
x
II. Tính chất và phép toán  
1) Tính chất  
   
   
lim f x a, lim f x b  
a)  
a = b  
xx  
xx  
0
0
   
   
lim f x a  
lim f x a 0  
b)  
xx  
xx  
0
0
   
lim f x c  
c) f(x) = c   
xx  
0
   
   
   
lim h x a  
lim f x a lim g x  
x U  
x
;
   
0
d) f(x) h(x) g(x),  
0
xx  
xx  
xx  
0
0
0
   
lim f x a  
x U x \ x  
e)  
f)  
, f(x) c,  
a c  
     
0
0
0
xx  
0
   
lim f x a  
x U x \ x  
, a > p f(x) > p,  
     
0
0
0
xx  
0
2. Phép toán  
   
   
   
   
lim   
xx  
0
f x g x  
a b  
lim f x a, lim g x b  
a)  
xx  
xx  
0
0
   
f x  
   
0 g x  
a
b
   
   
     
a.b  
và  
lim  
lim f x a, lim g x b  
lim   
xx  
0
f x .g x  
b)  
, (b 0)  
xx  
xx  
xx  
0
0
7
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
3. Khử dạng vô định  
0   
;
; 0.;    ; 1; 00 ; 0  
a) Các dạng vô định  
0   
b) Khử dạng vô định. Sử dụng các phép biến đổi đại số và các giới hạn đặc biệt  
x
sinx  
1
lim  
1  
;
lim 1  
e  
x   
x0  
x
x   
x 4 2  
x  
4
lim  
Ví dụ 1.  
Ví dụ 2. lim 2 x tan  
x0  
x
x2  
2x1  
x 2  
x 1  
Ví dụ 3.  
lim  
x1  
1
2
cot x  
2
Ví dụ 4. a)(K53) lim cosx  
(
e  
)
x0  
1
tanx  
x
1sinx  
12sinx  
x
3
b)(K59) lim 1cos  
(
1
)
c)(K59) lim  
x0  
( )  
e
x0  
3
2
1
2
14x 1  
ln(13x)  
sinx  
lim ln(e2x)  
.
d)(K62) 1)lim  
.
( )  
2)  
ee  
( )  
x0  
x0  
3
III. Giới hạn hàm hợp, một phía, vô cực  
   
   
   
lim f u a  
,
lim f u x a  
lim u x u0  
1. Giới hạn hàm hợp.  
uu  
xx  
xx  
0
0
0
2. Giới hạn một phía.  
Định nghĩa 4.  
   
lim f x a   > 0 bé tuỳ ý, () > 0: 0 < x x0 < () |f(x) a| < .  
xx  
0
Định nghĩa 5.  
   
lim f x b  
  > 0 bé tuỳ ý, () > 0: 0 < x0 x < () |f(x) b| < .  
xx  
0
Mối liên hệ giữa giới hạn một phía và giới hạn  
   
   
   
lim f x a  
lim f x a lim f x  
xx  
0
xx  
xx  
0
0
3. Giới hạn ở vô cực và giới hạn vô cực  
   
lim f x a  
  (xn)   có  
lim f x a  
Định nghĩa 6.  
   
n
n  
x  
   
lim f x a  
Định nghĩa 7.  
> 0 bé tuỳ ý, N() >0:|x| > N() |f(x) a| < .  
x  
Chú ý. ĐN6 ĐN7.  
8
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
x2 4 x  
x 5 x4 2x  
Ví dụ 1. lim  
Ví dụ 2. lim  
x 1x  
x  
x  
1
Ví dụ 3. lim x1x  
x1  
2
Ví dụ 4(K52) 1. lim sinx sin 1x  
(0)  
(0)  
x  
2. lim cos x 1cos x 1  
x  
2
x
2
   
lim [3 x3 3x2 x2 2x].  
(2)  
2  
Ví dụ 5(K58) a)  
Định nghĩa 8.  
Định nghĩa 9  
(
)
b)(K60)  
e
lim cos  
x  
x  
x   
  (x )   có lim f x    
lim f x    
   
n
n
n  
x  
   
lim f x    
  N > 0 lớn tuỳ ý, (N) > 0: |x x0| < (N) |f(x)| > N.  
không có giới hạn khi  
xx  
0
Khi đó ta bảo  
.
x x0  
f(x)  
§1.7. Vô cùng bé, vô cùng lớn  
Đặt vấn đề  
I. Vô cùng bé  
   
lim x 0  
I. Định nghĩa. (x) là vô cùng bé (VCB), x x0   
.
xx  
0
2. Tính chất.  
a) (x) là VCB, x x0, c = const c(x) là VCB khi x x0.  
n
   
i x  
là VCB khi x x0  
i 1, n  
b) i(x),  
là VCB khi x x0   
i 1  
U
c) (x) là VCB khi x x0, f(x) bị chặn trong 0 (x0) (x)f(x) là VCB, x x0  
3. Liên hệ giữa VCB và giới hạn  
lim f(x) L  
Định lí.  
f(x) L là VCB khi x x0 (hay f(x) = L + (x), (x) là VCB)  
xx  
0
4. So sánh VCB. Giả sử (x), (x) là các VCB khi x x0.  
   
x  
   
x  
lim  
1  
Định nghĩa. (x) (x)   
xx  
0
   
x  
   
x  
lim  
a   
Định nghĩa. (x) làVCB cùng cấp với VCB (x) khi x x0   
\{0}  
xx  
0
9
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
   
x  
   
x  
lim  
0  
Định nghĩa. (x) là VCB cấp cao hơn VCB (x) khi x x0   
xx  
0
Ví dụ 1.  
a) sinx x, ex 1 x, ln(1 + x) x, (1 + x)1 x , arcsinx x ,  
arctanx x khi x 0  
ex  
   
x   
   
1  
b)(K55) Cho  
.
, x e 1x x  
2
   
x  
x  
Chứng minh rằng  
khi x 0.  
1
   
   
c)(K55) Cho x e 12x 2x , x ex  
.
  
Chứng minh rằng  
khi x 0.  
x  
x  
d)(K59) So sánh hai VCB sau trong quá trình x 1  
:
2
(x1)  
   
x tan(x )e  
   
1, x 1cosx lnx  
(2 VCB cùng bậc)  
5. Ứng dụng tìm giới hạn  
   
x  
   
x  
   
x  
   
x  
   
   
x  
lim  
, x x0   
lim  
a) (x) x , (x)   
xx  
xx  
0
0
x
3 13x 4 14x 1  
1x 1  
e 1 tanx  
sin2 x  
lim  
Ví dụ 2. lim  
Ví dụ 3(K53)  
(4)  
x0  
x0  
b) (x) là VCB cấp cao hơn (x) khi x x0 (x) + (x) (x)  
x sinx  
Ví dụ 4.  
lim  
x3  
x0  
c) Quy tắc ngắt bỏ VCB : (x), (x) là các VCB khi x x0;  
m
   
x   
   
k x  
k1  
, 1(x) là VCB có cấp thấp nhất;  
   
, 1(x) là VCB có cấp thấp nhất  
n
   
x  
   
x  
   
1 x  
   
x   
k x  
lim  
lim  
   
xx  
xx  
0
x  
0
1
k1  
x sin3 x tan4 x  
4x x4 5x8  
x2 ln(14x)  
lim  
Ví dụ 5. a)  
b)(K56) 1)  
x0  
xln(13x2)  
lim  
lim  
(2)  
2)  
4)  
(3)  
x0 2x3 3tanx4  
x3(e2x 1)  
x0 x3 2sin4 x  
x3(e3x 1)  
x4 3x5  
lim  
lim  
3)  
(2)  
(3)  
x4 2x5  
x0  
x0  
3
ln(cos3x)  
a,  
a   , 2  
c)(K61) 1) Tìm  
để lim  
1  
(
)
ax  
x0  
2
10  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
1
e5  
1
x
lim ( ) x5  
2)  
(
)
x5  
5
II. Vô cùng lớn  
1. Định nghĩa. f(x) xác định U(x0) (có thể trừ x0), f(x) là vô cùng lớn (VCL) khi x  
0
   
x0 lim f x    
xx  
0
Chú ý. Hàm là VCL  
không bị chặn  
Ví dụ 6. f(x) = x sinx là không bị chặn nhưng không phải là VCL.  
2. Liên hệ giữa VCB và VCL  
1
   
f x  
a) f(x) là VCB, x x0 và f(x) 0   
là VCL khi x x0.  
1
   
f x  
b) f(x) là VCL, x x0   
là VCB khi x x0.  
3. So sánh các VCL. Giả sử A(x), B(x) là các VCL khi x x0,  
   
   
0 B x  
A x  
lim  
   
a) A(x) là VCL cấp cao hơn VCL B(x), x x0   
xx  
   
A x  
   
0 B x  
lim  
a  
0  
b) A(x), B(x) là các VCL cùng cấp, x x0   
xx  
   
A x  
   
0 B x  
lim  
1  
.
c) A(x), B(x) là các VCL tương đương, x x0   
xx  
4. Ứng dụng tìm giới hạn  
   
   
,
a) Cho các VCL tương đương A(x) A x , B(x) B x  
   
   
0 B x  
   
   
0 B x  
A x A x  
lim  
lim  
x x0   
xx  
xx  
b) Quy tắc ngắt bỏ VCL : Cho A(x), B(x) là các VCL khi x x0;  
m
   
A x   
   
Ak x  
, A1(x) là VCL có cấp cao nhất;  
k1  
n
   
B x   
   
Bk x  
, B1(x) là VCL có cấp cao nhất  
k1  
   
A x  
   
A x  
   
0 B x  
1   
lim  
lim  
xx  
xx  
0 B1 x  
11  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
9x4 x3 x 2  
9
Ví dụ 7. lim  
4
2
x  
2009  
2009x 3x x 1  
Ví dụ 8. Tính giới hạn  
1
2
1
e2  
e  
)
2.  
(
)
2
2
lim (2 x)cot(1x )  
x1  
a)(K54) 1. lim(2 x)cot(x 1)  
(
x1  
(14x )ln(12x)  
(19x )ln(13x)  
3. lim  
(  
)
4. lim  
(  
)
2ln3  
2ln4  
x2 2x3  
3x2 4x3  
x0  
x0  
b)(K58) 1) Tìm a để các VCB sau tương đương khi x    
:
1
(x) ln(1)sin  
x
1
1
ax2  
và  
, (a=1)  
(x)  
x
2) Tìm a để các VCB sau tương đương khi x 0  
:
(x) ln(1ax2) và  
, (a=-0,5)  
2
(x) ( 1x 1)  
1
( )  
4
1tanx 1sinx  
3)  
,
lim   
ln(1x3)  
x0  
1
lim (ex 3x)sinx  
4
c)(K60)  
( )  
e
x0  
a,  
d)(K61) Tìm  
x    
để  
và g(x) axlà hai VCL tương đươpng  
f(x) ln(3x 5x)  
a ln5,1  
)
khi  
(
§ 1.8. HÀM SỐ LIÊN TỤC  
Đặt vấn đề  
I. Hàm liên tục  
U
+) f(x) xác định trên 0 (x0)  
1. Định nghĩa. f(x) liên tục tại x0   
   
(lim f x 0  
lim f(x) f(x )  
+)  
)
0
xx  
x0  
0
U
+) f(x) xác định trên 0 (x0) {x < x0}  
f(x) liên tục trái tại x0   
lim f(x) f(x0)  
+)  
xx  
0
Tương tự ta có ĐN liên tục phải.  
Định nghĩa. f(x) liên tục trên (a ; b) f(x) liên tục tại x (a ; b)  
f(x) liên tục trên [a ; b] f(x) liên tục trong (a ; b), liên tục trái tại b và liên tục phải tại a.  
12  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
1
x sin ,  
x
a,  
x 0  
x 0  
   
f x   
Ví dụ 1. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 0:  
Ví dụ 2.(K51)  
1
sin  
x 1  
,
,
x 1  
x 1  
1
a) Tìm a để y   
liên tục tại x = 1.  
liên tục tại x = 1.  
(
)
a  
2x1 1  
a,  
1
sin  
x 1  
x  1  
1
b) Tìm a để y   
(
)
a  
2x1 1  
a,  
x  1  
Ví dụ 3. a)(K55)  
asin arccot x , x 0  
1. Tìm a để y   
liên tục tại x = 0.  
liên tục tại x = 0.  
(a = 0)  
2
coslnx cosln x x , x 0  
acos arctan x , x 0  
2. Tìm a để y   
(a = 0).  
2
sinln x x sinln x, x 0  
ln(1x) sinx  
x 0  
x 0  
1
b)(K59) 1. Tìm a để y   
liên tục tại x = 0.  
(
).  
x sinx  
2
a
1cos2x  
ln(1x2)  
0
x 0  
x 0  
x 0  
).  
2. Xét tính liên tục f(x)   
c)(K60) Xét tính liên tục  
.
(chỉ liên tục tại  
x  
cos  
nêu | x |1  
f (x)   
.
2
(
).  
| x 1| nêu | x |1  
x  
2
cos  
nêu | x |1  
f (x)   
.
d)(K62) Tìm a để hàm số sau liên tục trên  
:
(-1 và 4).  
| x 1| nêu | x |1  
2. Tính liên tục của các hàm sơ cấp. Mọi hàm số sơ cấp liên tục trên các  
khoảng mà hàm số đó xác định.  
13  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
3. Phép toán. Cho f(x), g(x) liên tục tại x0 f(x) g(x) liên tục tại x0, f(x)g(x) liên  
   
f x  
   
g x  
tục tại x0 và  
liên tục tại x0 nếu g(x0) 0  
4. Ý nghĩa. f(x) liên tục trên [a ; b] đồ thị là đường liền nét.  
5. Tính chất  
Định lí 1. (Weierstrass 1) f(x) liên tục trên [a ; b] f(x) bị chặn trên [a ; b]  
Định lí 2. (Weierstrass 2) f(x) liên tục trên [a ; b] f(x) đạt giá trị lớn nhất và bé  
nhất trên [a ; b]  
Định lí 3 (Bolzano-Cauchy). f(x) liên tục trên [a ; b], M = max f , N = min f ,   
a ; b  
a ; b  
[m ; M]   c [a ; b]: f(c) = .  
Hệ quả. f(x) liên tục trên [a ; b], f(a)f(b) < 0   c (a ; b): f(c) = 0.  
6. Điểm gián đoạn  
Định nghĩa. f(x) xác định U(x0), gián đoạn tại x0 f(x) không liên tục tại x0.  
0
f(x) xác định U(x0)\{x0} thì ta bảo f(x) gián đoạn tại x0  
0
Định nghĩa. Điểm gián đoạn x0 của hàm f(x) là điểm gián đoạn loại 1  
   
, lim f x  
   
   
.
lim f x  
xx  
xx  
0
0
Các điểm gián đoạn còn lại được gọi là điểm gián đoạn loại 2.  
1
sin x  
x
   
f x   
   
f x e  
Ví dụ 5.  
Ví dụ 4.  
x
Ví dụ 6(K54) Phân loại điểm gián đoạn của hàm số  
1
a) f(x)  
(x = 1, loại 2; x = 0, loại 1)  
(x = 1, loại 2; x = 0, loại 1)  
x1  
x
12  
1
f(x)   
b)  
x1  
x
13  
Ví dụ 7(K56) Các điểm sau là các điểm gián đoạn loại gì của hàm số  
1
2
1
a) x = 0 ; f(x)  
(loại 1)  
b) x , f(x)   
(loại 1)  
2 3cot x  
3 2tanx  
Ví dụ 8 a)(K60) Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số  
14  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
x2  
y 2 x2  
sinx  
1.  
(x = 2 là loại 2; x = 0 là loại 1)  
x
1
1
y 21x ex  
x
2.  
(x = 1; x = 0 là loại 2)  
b)(K61) 1. Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số :  
1
x 0,9  
x 0,9  
2 log x  
(x = 0 là gi đ bỏ được; x = 9 là gi đ loại 2)  
y   
3
3
6
2. Tìm điểm gián đoạn của hàm số :  
x  
,
(
)
x  1  
f(x) lim  
2n  
n  
2 x  
Định nghĩa. f(x) liên tục từng khúc trên [a;b] khi [a;b] chia thành hữu hạn đoạn  
và hàm f(x) liên tục trên mỗi đoạn này.  
II. Hàm số liên tục đều  
Định nghĩa. f(x) liên tục đều trên X   > 0 bé tuỳ ý. () > 0, x1, x2 X,  
|x1 x2| < () |f(x1) f(x2)| < .  
1
x
0,  
, x (0 ;1]  
x 0  
Ví dụ 8. a) y = x + 2.  
b) y   
Định lí (Cantor). f(x) liên tục trong [a ; b] f(x) liên tục đều trong [a ; b]  
15  
pdf 9 trang Thùy Anh 24400 Free
Download
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 1 - Bài 2: Giới hạn, liên tục - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

  • pdfbai_giang_giai_tich_1_bai_2_gioi_han_lien_tuc_nguyen_xuan_th.pdf