Bài giảng Phương pháp tính - Chương 2: Giải hệ phương trình Ax=b - Ngô Thu Lương
Chöông II : GIAÛI HEÄ PHÖÔNG TRÌNH
Û Ä
Ax=b
ä ù ø
ä
ù â
ù â
1) Heä coù A laø ma traän tam giaùc treân
ä ù ø
ä
b
a a
. . a
x
1
11 12
1n 1
b
0 a
a
. a
x
2n 2
2
22 23
.
A x = 0 0 a . . . =
33
.
.
.
. . . .
b
0 0 0 0 a
x
n
nn n
Tính nghieäm
xn → xn−1 → xn−2 → xn−3.... → x1
Phương pháp Tính
Ngô Thu Lương
ï
Ví duï :
ï
x + 2x + x = 18.0
1
2
3
0 + 0.1x + 2x = 20.2
2
3
0 +0 + 0.01x =0.1
3
x = 4
1
x = 2
2
x =10
3
Phương pháp Tính
Ngô Thu Lương
ä
ø
ä
ù ù
ù ù
2) Heä có A laø ma traän tam giaùc döôùi
ä
ø
ä
b
a
0
. . 0 x
1
11
1
b
a
a
0 . 0 x
2
.
21 22
2
A x = a
a
a . .
. =
31 32 33
.
.
.
. . 0 .
b
n
a
a
. . a x
nn n
n1
n2
Tính nghieäm x1 → x2 → x3 → x4.... → xn
Phương pháp Tính
Ngô Thu Lương
û è
3) Giaûi baèng phöông phaùp nhaân töû LU :
û è ù â û
ù â û
ä â á ø
( A ma traän vuoâng baát kyø )
ä â á ø
ä
a) Noäi dung
ä
: Phaân tích ma traän A = L.U
L laø ma traän tam giaùc döôùi
U laø ma traän tam giaùc treân
ä
hai heä
Vieäc giaûi heä phöông trình seõ ñöa veà giaûi
ä
ù
tam giaùc
phöông trình daïng
ù
Quy öôùc l11 = l22 = l33 =.. =1 : coù nghieäm duy nhaát
Phương pháp Tính
Ngô Thu Lương
ù
Caùch tìm L,
ù
U töø ma traän A :
ø
ä
Nhaân haøng1 cuûa
Nhaân haøng2 cuûa
Nhaân haøng3 cuûa
vôùi coät 1 cuûa
vôùi coät 1 cuûa
vôùi coät 1 cuûa
tìm ñöôïc
tìm ñöôïc
tìm ñöôïc
u
11
l
l
Nhaân haøng1 cuûa vôùi coät 2 cuûa
U
tìm ñöôïc
tìm ñöôïc
tìm ñöôïc
tìm ñöôïc
tìm ñöôïc
tìm ñöôïc
u
Nhaân haøng1 cuûa vôùi coät 3 cuûa
U
U
u
Nhaân haøng2 cuûa vôùi coät 2 cuûa
u
22
Nhaân haøng3 cuûa
Nhaân haøng2 cuûa
Nhaân haøng3 cuûa
vôùi coät 2 cuûa
vôùi coät 3 cuûa
vôùi coät 3 cuûa
l
u
u
Phương pháp Tính
Ngô Thu Lương
ù
4) Phöông phaùp Cholesky
ù
ù ê ä
( phöông phaùp caên baäc hai )
ù ê ä
ä
a) Noäi dung
ä
:
T
Bieåu dieãn ma traän A döôùi daïng A = B.B
trong ñoù laø ma traän tam giaùc döôùi
T
( : ma traän chuyeån vò cuûa , laø ma traän tam
giaùc treân )
Phương pháp Tính
Ngô Thu Lương
b) Nhaän xeùt :
ä ù
ï
töông töï
nhö phöông phaùp LU
Caùch tìm
ï
nhöng soá pheùp tính giaûm ñi 2 laàn
â
khoâng
Phöông phaùp Cholesky â ñoøi hoûi ñöôøng
cheùo cuûa ma traän B baèng 1
ê á ï
caên soá hoïc
Khi laáy caên baäc 2 quy öôùc raèng laáy ê á ï
ê ø á
caên laø soá döông
( ê ø á
)
Phương pháp Tính
Ngô Thu Lương
1 1 1
Ví du
ï :
A = 1 5 5
1 5 14
0 0
0
B =
Phương pháp Tính
Ngô Thu Lương
2 −1 0
A = −1 2 −1
0 −1 2
0 0
B =
0
Phương pháp Tính
Ngô Thu Lương
ä ù
b) Nhaän xeùt :
ä ù
*) Phöông phaùp chæ duøng ñöôïc neáu A laø
á ù
ñoái xöùng xaùc ñònh döông
á ù vaø ù
ù
ù
ù ë
5) Caùc phöông phaùp laëp :
ù ë
ù
(thöôøng duøng cho caùc heä vôùi ma traän
A coù kích thöôùc raát lôùn)
5.1) Ñònh nghóa
: (Chuaån cuûa vectô )
x = max x
i
∞
(
x
: caùc thaønh phaàn cuûa veùctô
(chuaån voâ haïn , haøng )
)
Phương pháp Tính
Ngô Thu Lương
5.1) Ñònh nghóa
: (Chuaån cuûa vectô )
n
x =
x
∑
i=1
i
1
( chuaån 1, coät )
−1
x =
x =
− 3
1
x ≥ 0
x = 0
↔ x = 0
Phương pháp Tính
Ngô Thu Lương
5.2) Ñònh nghóa
( Chuaån cuûa ma traän )
n
A = Max
∞
a
∑
i j
1≤ i ≤ n
j=1
(chuaån voâ haïn , chuaån haøng)
n
i =1
i j
1
1≤ j ≤ n
(chuaån 1 , chuaån coät )
Phương pháp Tính
Ngô Thu Lương
4 3
ï
Ví duï
ï :
A =
ta coù
2 1
n
A = Max
a = Max ( 7,3) = 7
∑
i j
∞
1≤ i ≤ n
j=1
n
∑
A = Max
a = Max( 6,4) = 6
i j
1
ù
á û
å
ä
ä
Caùc tính chaát cuûa chuaån ma traän :
ù
á û
å
A ≥ 0
A = 0 A= 0
A + B ≤ A + B
A. x ≤ A . x
Ngô Thu Lương
Phương pháp Tính
5.3) Ñònh nghóa
( Soá ñieàu kieän cuaû ma traän A)
−1
k ( A) = cond ( A) = A . A
1
1
1
−1
k ( A) = cond ( A) = A . A
∞
∞
∞
4 3
−1/2 3/2
−1
A =
A=
ï
Ví duï
ï :
,
1 −2
2 1
−1
k (A)= A . A = 7.3=21
∞
∞
7
k1(A) = A . A−1 = 6 = 21
1
1
Phương pháp Tính
Ngô Thu Lương
1 2 1
ï
Ví duï :
ï
A = 2 4.1 4
3 6.1 5.01
− 3859 − 3920 3900
−1
A = 1980 2010 − 2000
−100 −100 100
k (A)= 164790.69
k (A)= 73566
Phương pháp Tính
Ngô Thu Lương
Söï bieán thieân cuûa nghieäm tyû leä vôùi söï bieán
ä á û ä
heä soá tyû leä
thieân cuûa veá phaûi vôùi ä á û ä laø
k(A)
x − x' ≈ k(A) b −b'
ù ë
) Phöông phaùp laëp Jacobi ( laëp ñôn ) :
5.4 ù ë
ë
ë
ä
a) Noäi dung:
ä
*) Ñöa heä A x = b veà daïng x = Φ x + g
*) Kieåm tra ñieàu kieän Φ = q < 1
(chuaån haøng hoaëc coät)
(0)
*) Laáy
laø veùctô giaù trò ban ñaàu tuøu yù
(k)
*) Daõy laëp
x
xaây döïng theo coâng thöùc
(k+1)
(k)
x = Φ x + g
Phương pháp Tính
Ngô Thu Lương
ù
ù á
ù á
b) Ñaùnh giaù sai soá :
ù
q k
x(k) − xd ≤
x(1) − x(0)
1− q
coâng thöùc tieân nghieäm
q
x(k) − xd ≤
x(k) − x(k−1)
1− q
coâng thöùc haäu nghieäm
Phương pháp Tính
Ngô Thu Lương
ï
Ví duï
ï : Xeùt heä phöông trình
10 x −1x + 2x = 0
1 2 3
1x +10 x −1x = 5
1
2 3
2x + 3x + 10 x = −10
1 2
3
x =
+ 0.1x − 0.2x + 0
1
2
3
x = − 0.1x
+ 0.1x + 0.5
2
1
3
x = − 0.2x − 0.3x
−1
3
1
2
Φ = 0.5
=
=
q
∞
Φ = 0.4
q
Phương pháp Tính
Ngô Thu Lương
(k+1)
(k)
(k)
x
=
+0.1x −0.2x + 0
1
2
3
(k+1)
(k)
(k)
3
x = −0.1x
+0.1x +0.5
2
1
(k+1)
(k)
1
(k)
2
x = −0.2x −0.3x
−1
3
(0)
T
Vôùi
, soá böôùc laëp laø k = 3
x =[ 0 0 0 ]
k
0 1
0 0 0.25
2 3
(k)
x
1
(k)
0 0.5 0.4
x
x
(k)
0 -1 -1.15
3
-
Sai soá
∞
Phương pháp Tính
Ngô Thu Lương
ä ù
c)Nhaän xeùt
ä ù :
ø
ù ä
ø
ø
ñöôøng cheùo troäi haøng
ma traän coù
ø
ù ä theo
:
Φ < 1
a < a
∑
i≠ j
i j
ii
∞
ø
ù ä
ä
ä
ñöôøng cheùo troäi coät
ma traän coù
ø
ù ä theo
a < a
Φ < 1
∑
j≠i
i j
i i
1
Phương pháp Tính
Ngô Thu Lương
Tải về để xem bản đầy đủ
25 trang
15680
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Phương pháp tính - Chương 2: Giải hệ phương trình Ax=b - Ngô Thu Lương", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_phuong_phap_tinh_chuong_2_giai_he_phuong_trinh_axb.pdf
