›
›

Giáo trình Giải tích 1 - Bài 3: Đạo hàm và vi phân - Nguyễn Xuân Thảo

Download
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
GIẢI TÍCH I  
BÀI 3.  
§1.9. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN  
Đặt vấn đề  
I. Định nghĩa. f(x) xác định trong  
, f'(x ) = a  
x
0
U  
   
0
0
f(x0 x) f(x0)  
x  
lim  
a  
x0  
Ví dụ 1. y = 2010, tính y'  
Ví dụ 2. y = x3, tính y’  
Ví dụ 3. y = ax, 0 < a 1, tính y'  
Ví dụ 4. y = |x|, xét y'(0), y'(-1)  
a) Ý nghĩa hình học  
f'(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm  
số y = f(x) tại x = x0.  
b) Ý nghĩa cơ học. Xét chất điểm M chuyển  
động thẳng, không đều với quãng đường là S(t)  
tính từ điểm O nào đó. Khi đó vận tốc tức thời  
S(t) S(t0)  
S (t0)  
tại t0 là v(t0 ) lim  
tt  
t t0  
0
Ví dụ 5. Một người đi xe máy với vận tốc 30km/h trong nửa đầu tiên của đoạn  
đường và 20km/h trong nửa thứ hai. Hỏi vận tốc trung bình là bao nhiêu?  
(24km/h)  
Ví dụ 6. Một tên lửa bắn thẳng lên từ mặt đất với vận tốc ban đầu v0 m/s và  
đạt độ cao trong t giây là S = tv0 16t2  
a) Tìm vận tốc ở thời điểm t  
b) Mất bao lâu để tên lửa đạt tới độ cao tối đa?  
c) Tính vận tốc tên lửa khi chạm đất  
d) Vận tốc ban đầu là bao nhiêu để tên lửa chạm đất sau khi bắn 15 giây.  
dy  
c) Ý nghĩa thực tế.  
là suất biến đổi của y theo x.  
dx  
Ví dụ 7. Cho hình tròn bán kính r, ta có S = r2, ta có S' = 2r. Như vậy suất  
biến đổi diện tích của một hình tròn theo bán kính chính bằng chu vi của nó.  
Ví dụ 8. Một cái thang dài 13ft đứng dựa vào bức tường thì chân thang bị  
trượt ra xa bức tường với tốc độ không đổi 6ft/s. Đầu trên của chiếc thang  
chuyển động xuống dưới nhanh như thế nào khi chân thang cách tường 5ft?  
Ví dụ 9. Người ta hút dầu ra khỏi thùng để làm sạch nó. Biết sau khi hút t phút  
lượng dầu còn lại trong thùng là V = 40(50 t)2 lít.  
a) Tìm lượng dầu hút trung bình trong 20 phút đầu tiên.  
40.502 40.302  
v   
3200  
(l/p))  
(
tb  
20  
16  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
b) Tìm tốc độ dầu được hút ra khỏi thùng tại thời điểm t = 20 phút.  
2
(
v 20 (40.50 v)t10 2400 l/p)  
Ví dụ 10. Một cái thùng hình nón với đỉnh ở phía dưới có chiều cao 12 ft và  
đường kính đáy là 12ft được bơm đầy nước với tốc độ không đổi là 4ft3/phút.  
Hãy tính tốc độ biến đổi chiều cao cột nước khi  
1
1
   
   
y 8   
a) nước sâu 2ft  
(
)
b) nước sâu 8ft. (  
)
y 2   
16  
Ví dụ 11. a)(K57) Chứng minh rằng:  
2x  
1)  
2arctanx arcsin  
, x 1  
1x2  
2x  
1x2  
5  
2
1
2)  
2arccot x arccos  
, x  1  
xarccot , x 0  
x2  
   
, tính f x  
   
f x   
b)(K58) Cho  
0
x 0  
1
2x2  
x2 1x4  
   
y 0 0  
f(x) arc cot  
, x 0;  
(
)
x5 sinx 2x 2,  
c)(K59) 1) Chứng minh rằng phương trình  
có duy nhất  
nghiệm thực.  
2
3x e x , x 0  
   
f 0  
   
f x   
2) Cho  
, tính  
.
(3)  
0
x 0  
2. Đạo hàm một phía, mối liên hệ với liên tục, đạo hàm của hàm ngược.  
a) Đạo hàm một phía.  
Định nghĩa.  
f x x f x  
f x x f x  
   
   
0
0
0
0
;
f x 0 lim  
0
f x 0 lim  
0
x0  
x0  
x  
x  
Nhận xét. f'(x0) f'(x0 + 0) = f'(x0 0)  
Ví dụ 1. a)  
, xét y'(1 0)  
y 1x  
2
1.  
b)(K60)  
tích các đạo hàm phải, trái tại  
(2; -2; 2; -2)  
y 1x ,  
1
x
e
x 0  
x 0  
f(x)   
,
c)(K61) Tínhf (0),ở đó  
(0)  
0
b) Liên hệ đạo hàm và liên tục.  
f'(x0) f(x) liên tục tại x0.  
17  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
y 3 x  
Ngược lại không đúng, ví dụ  
liên tục tại x0 = 0 nhưng f'(0).  
c) Đạo hàm của hàm số ngược  
+) Hàm số x = (y) có hàm ngược y = f(x)  
+) y = f(x) liên tục tại x0 = (y0)  
+) '(y0) 0  
1
Khi đó ta có  
.
f x   
0   
y  
0   
Ví dụ 2. y = arccot x, tính y'.  
Ví dụ 3. a) y = arcsin x, tính y'.  
1
b)(K58) 1) Cho các hàm f, g khả vi, g(x) f 1(x) . Đặt  
, tính  
,
G(x)  
G (2)  
g(x)  
biết  
1
,
.
(
)
f(3) 2 f (3) 1  
9
2) Cho các hàm f, g khả vi, g(x) f 1(x) . Đặt G(x) eg(x) , tính  
, biết  
G (2)  
1
,
.
(
)
f(3) 2 f (3) 1  
9
3) Cho các hàm f, g khả vi, biết  
,
f (x) 1(f(x))2 . Tìm g(x)  
f(g(x)) x  
(
arctanx C  
)
c)(K59) Chứng minh rằng hàm số f(x) 2x 2 ln(x2 1) có hàm số ngược  
1
g(x) f 1(x). Tính  
( )  
g (2).  
2
3. Phép toán và công thức.  
a) Phép toán. Các hàm f, g khả vi tại x0, khi đó  
(f g)'(x0) = f'(x0) g'(x0)  
(f.g)'(x0) = f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0)  
f x g x g x f x  
     
     
f
   
0
0
0
0
x   
   
, g(x0) 0.  
0
   
g2 x  
g
   
   
0
b) Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản.  
Ta dẫn ra công thức của một vài hàm  
1
(x)' = x1 (ax)’ = ax lna  
log x   
c' = 0  
a
xlna  
1
1
1
arccosx    
tanx  
arccot x    
cos2 x  
1x2  
1x2  
   
f x  
Ví dụ 1(K52) Tìm k để hàm số  
liên tục tại x = 0  
18  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
1
k  
arcsinx cos , x 0  
   
a)  
b)  
(k > 2)  
(k > 2)  
f x   
x
0,  
x 0  
1
k  
0,  
arctanx sin , x 0  
   
f x   
x
x 0  
4
2
11x cosx  
, x 0  
4
2
Ví dụ 2(K57) Tính  
, ở đó f(x)   
(0)  
f(0)  
x ln 12x  
0,  
x 0  
c) Đạo hàm của hàm hợp.  
y'u(u0), u'x(x0) y = y(u(x)) có đạo hàm tại x0 và có y'x(x0) = y'u(u0).u'x(x0).  
Ví dụ 1. y = (x 1)(x 2) ... (x 2009), tính y'(1).  
(2008!)  
2 x,  
x  2  
1,  
x  2  
y 2 x x 3 ,  
2 x 3  
x 3  
2x 1, 2 x 3  
Ví dụ 2.  
,
tính y'. (  
)
x 3,  
1,  
x 3  
Ví dụ 3. y = xx, tính y'.  
Ví dụ 4. Chứng minh rằng:  
- Đạo hàm của hàm chẵn là hàm lẻ (K58)  
- Đạo hàm của hàm lẻ là hàm chẵn (K58)  
- Đạo hàm của hàm tuần hoàn là hàm tuần hoàn có cùng chu kì  
Ví dụ 5. y = xxx , tính y’.  
Ví dụ 6.(K53) Chứng minh rằng  
a)  
3arctanx arctan(x 2) 4arctan(x 1), x 0  
b) 2arccot x arccot(x 2) 3arccot(x 1), x 0  
x2  
y2  
Ví dụ 7(K50) a) CMR arctanx4 arctany4 ln  
, x, y: x y > 0.  
y2  
x2  
4
4
ln  
b) CMR arccotx arccoty   
, x, y: x y > 0.  
Ví dụ 8(K56) CMR f(x) liên tục với mọi x.  
1
1
0,  
0,  
x2arccot , x 0  
x2arctan , x 0  
f(x)   
f(x)   
b)  
a)  
x
x
x 0  
x 0  
19  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
1
1
0,  
0,  
x3 sin , x 0  
x3 cos , x 0  
c)  
d)  
f(x)   
f(x)   
x
x
x 0  
x 0  
4. Vi phân  
a) Định nghĩa. f(x) xác định trong U  
x
, nếu có f = Ax + (x), ở đó A  
   
0
0
chỉ phụ thuộc vào x0 chứ không phụ thuộc vào x, (x) là VCB cấp cao hơn  
so với x thì ta nói f(x) khả vi tại x0 và có  
df = Ax.  
Ví dụ 1. y = 2x + 3, tính dy.  
b) Ý nghĩa hình học. Nếu A 0 thì f df.  
Nhận xét Ax là tuyến tính đối với x nên nó đơn giản hơn f nhiều.  
c) Ứng dụng tính gần đúng. f(x0 + x) f(x0) + df(x0).  
4,01  
Ví dụ 2. a) Tính gần đúng  
.
2 0,06  
2 0,06  
3
b)(K59) Tính gần đúng  
.
(1,02)  
Ví dụ 3. Một mảnh kim loại hình vuông, mỗi cạnh 20cm, khi nung nóng mỗi  
cạnh dãn ra 0,1cm. Tính gần đúng phần diện tích mảnh kim loại dãn ra.  
d) Liên hệ giữa đạo hàm và khả vi  
f'(x0) = A df(x0) = Ax.  
x   
d
d
e
6
4
Ví dụ 4.  
x 3x 1  
Ví dụ 5.  
2
3
  x   
d x  
d x  
e) Tính bất biến của vi phân cấp 1  
y = f(x) khả vi, x = (t) khả vi dy = f'(x)dx.  
5. Đạo hàm và vi phân cấp cao  
a) Đạo hàm cấp cao.  
Định nghĩa. f(n)(x) = (f(n 1)(x))'  
2   
   
n
Ví dụ 1. y = x, y(n) = ?  
y = sinx,  
y
sin x n  
   
Quy tắc. f(n)(x), g(n)(x) thì có  
1) (f(x) g(x))(n) = f(n)(x) g(n)(x)  
n
   
n
     
   
x
k
n k  
Cnkf  
x g  
     
f x .g x  
2)  
(Quy tắc Leibnitz).  
Ví dụ 3. y = sinax cosbx, tính y(20)  
k 0  
Ví dụ 2. y = x lnx, tính y(5)  
20  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
1
Ví dụ 4. y = x2 cosx, tính y(30)  
Ví dụ 5.  
, tính y(n)  
y  
x2 1  
Ví dụ 6(K50) Tính y(n),  
n  
n 2x   
2 e  
12x  
e2x  
n 12x  
a)  
(
)
y   
n1   
n 2 !3  
b)  
(
)
3x n  
y xln(13x)  
n  
13x  
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!  
21  
pdf 6 trang Thùy Anh 18780 Free
Download
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 1 - Bài 3: Đạo hàm và vi phân - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

  • pdfbai_giang_giai_tich_1_bai_3_dao_ham_va_vi_phan_nguyen_xuan_t.pdf