›
›

Giáo trình Giải tích 1 - Bài 9: Tích phân xác định, tích phân suy rộng - Nguyễn Xuân Thảo

Download
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
GIẢI TÍCH I  
BÀI 9  
§2.2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (TIẾP THEO)  
2. Các tính chất của tích phân xác định  
b
b
   
   
a) Tuyến tính.   
,   
f x dx  
g x dx  
a
a
b
b f x g x  
b
   
   
     
dx = f x dx g x dx , , .  
  
a
a
a
b) Cộng tính. f(x) khả tích trên khoảng có độ dài lớn nhất từ [a ; b], [a ; c], [c ; b]  
b
c
b
   
   
   
f(x) khả tích trên các khoảng còn lại và có f x dx f x dx f x dx  
a
a
c
c) Bảo toàn thứ tự  
b
   
f x dx 0  
+) f(x) khả tích và không âm trên [a ; b]   
a
b
b
   
   
f x dx g x dx  
+) f(x), g(x) khả tích trên [a ; b] và f(x) g(x)   
a
a
b
b
   
   
+) f(x) khả tích trên [a ; b]   
f x dx f x dx  
a
a
b
   
f x dx  
+) Nếu m f(x) M trên [a ; b] m(b a)   
M(b a).  
a
d) Các định lí trung bình.  
- Định lí trung bình thứ nhất.  
b
   
f x dx  
f(x) khả tích trên [a ; b], m f(x) M  [m ; M] để có  
= (b a).  
a
b
   
f x dx f (c)(b a)  
Nếu thêm f(x) liên tục trên [a ; b] thì c [a ; b]:  
a
- Định lí trung bình thứ hai. f(x), g(x) khả tích trên [a ; b], m f(x) M và có  
b
b
     
   
f x g x dx g x dx  
g(x) không đổi dấu trên [a ; b]   [m ; M]:  
a
a
b
b
     
     
f x g x dx f c g x dx  
Nếu thêm f(x) liên tục trên [a ; b] thì c [a ; b]:  
a
a
e) Tính chất  
1/ Tích phân các hàm chẵn, lẻ :  
46  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
a
a
   
2 f x dx f (x) f (x)  
   
f x dx   
,a  
0
a  
0
f (x)   f (x)  
(n 1)!!  
/2  
/2  
. , n =2k,k  
n!!  
(n 1)!!  
n!!  
2
2/ Công thức Warllis: sinn xdx cosn xdx   
0
0
,
n =2k+1  
III. Công thức đạo hàm theo cận, công thức Newton – Leibnitz  
x
   
   
Định lí. f(x) khả tích trên [a ; b] I x f t dt liên tục trên [a ; b].  
a
Nếu thêm f(t) liên tục tại t = x [a ; b] I’(x) = f(x).  
Hệ quả. Cho  
khả vi, f liên tục, ta có  
,  
   
x  
d
   
f t dt f  
   
x  
   
     
x x  
x f  
dx x  
   
Ví dụ 1.  
3
x
1
x
2
d
d
d
et dt  
1t3 dt  
sint2 dt  
a)  
b)  
c)  
dx   
dx   
dx   
2
1
x
x
x
1
4
2
d )(K52) 1.  
( )  
lim cot x t sint dt  
4
x0  
0
/2  
3
2t cost dt  
2.  
(0)  
lim tan x  
x0  
x
2
3
x
x
tant dt  
ln 12t dt  
1
( )  
2
0
0
lim  
2.  
e )(K53) 1.  
(1)  
lim  
x0 x2 ln(1x4)  
x sin3 x  
x0  
a
x
e arctan 1x dx  
f )(K52) 1. Tìm a để tích phân đạt giá trị nhỏ nhất  
.(a = 1)  
(a = 1)  
0
a
x  
e arctan 1x dx  
2. Tìm a để tích phân đạt giá trị lớn nhất  
0
x
x
t sin2 2t dt  
t2 sin3 3t dt  
0
0
x
lim  
lim  
g)(K55) 1)  
(2)  
2)  
(0)  
x
x0  
x0  
3
4
ln 12t dt  
ln 13t dt  
0
0
47  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
1
h)(K56) 1) lim cot3 x (t)tant dt  
( )  
x  
3
x
/2  
2
lim tan3 x (2t )cott dt  
2)  
(
)
3
x  
x
2
2x  
x
arctan t dt  
(arctan t)3 dt  
3 x2  
3
( )3  
2
x  
0
m)(K59)  
( )  
n)(K62)  
(
)
lim  
lim  
sin2 x  
x0  
2
x  
Công thức Newton – Leibnitz: f(x) liên tục trên [a ; b] và có nguyên hàm là F(x)  
b
   
f x dx = F(b) F(a)  
  
a
Ví dụ 2.  
n   
1
n
2  
n
n 1   
d) lim  
sin sin  
/2  
n  
n
x2 cosx dx  
a)  
b)  
c)  
;
1p 2p
0
1
lim  
e)  
, p > 0  
k  
np1  
n  
x3exdx  
n
k
4
0
3
f )(K52) 1. lim  
2 sin  
(
(
)
n   
2  
2n  
k1 n  
n
k
k  
2n  
24  
2 x dx  
lim  
n   
2 cos  
2.  
)
2  
0
k1 n  
1
2
51  
ex dx   
g )(K60) CMR :  
35  
0
Ví dụ 3. Cửa thẳng đứng của một con đập có dạng hình vuông với cạnh bằng  
4ft ngập trong nước và cách mặt nước 2ft. Hãy tính áp lực của nước tác động  
lên cửa đập.  
Ví dụ 4. Một thùng hình trụ có bán kính r, chiều cao h, chứa nước có chiều  
cao D. Tính công sản ra khi bơm nước qua đáy trên thùng.  
Ví dụ 5. Trong buồng đốt của một xi lanh hình trụ chứa một lượng khí nhất  
định với áp suất ban đầu là p = 101325N/m2 và thể tích ban đầu là V1 = 0,4m3.  
Tính công sản ra khi pittông chuyển động đến vị trí sao cho buồng đốt có thể  
tích V2 = 0,8m3 (coi nhiệt độ không khí không thay đổi)  
IV. Các phương pháp tính  
b
   
f x dx  
a) Đổi biến số. Xét  
, f(x) liên tục trên [a ; b].  
a
48  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
Định lí 1. Xét x = (t) thoả mãn:  
+)  (t) liên tục trên [; ]  
+) () = a, () = b.  
+) Khi t biến thiên trong [; ] thì (t) biến thiên trong [a ; b].  
b
   
     
t dt  
Khi đó ta có  
.
t  
f x dx f  
a
Định lí 2. Xét t = (x) thoả mãn:  
+) (x) biến thiên đơn điệu trên [a ; b] và có đạo hàm liên tục.  
+) f(x)dx trở thành g(t)dt, ở đó g(t) liên tục trong [(a) ; (b)].  
   
b  
b
   
f x dx   
   
g t dt  
Khi đó ta có  
   
a  
a
/2  
Ví dụ 1.  
sinx sinx cos x  
h)(K53)1.  
2.  
dx (1)  
1
ex  
1sin2x  
a)  
dx  
/2  
ex ex  
2/3  
0
dx  
3
2 6ln  
(
)
2
x2 1  
x
2   
2  
4
x 3x 1  
dx  
b)  
1/3  
3
1
(x 2)dx  
x2 2x 10  
ln5 ex ex 1  
i )(K54) 1.  
(
(
2 ln3  
2 ln3  
)
)
)
dx  
c)  
1  
ex 6  
5
0
(x 2)dx  
x2 2x 10  
29  
2.  
k )(K55) 1.  
2.  
2/3  
x 2  
dx  
d)  
1
2/3  
  
x 2  
3  
2
3
xdx  
1
1   
2  
(
1x n dx, n   
x2 2x 2  
  
2
8 2  
e)  
1
0
0
xdx  
8
2
(
)
ex arctanx  
2  
  
dx  
x2 2x 2  
f)  
1  
1x6 sinx2  
  
15  
2
/2  
x2 1  
x4 x2 1  
3
4
1cos x  
1sin3 x  
dx  
p)(K57)  
(
)
ln  
dx  
g )(K50) 1.  
(0)  
1
0
2  
4
x sinx  
0 1cos2 x  
dx  
dx  
2.  
(
)
2
0
x3  
x3  
23  
)
q)(K58)1)  
(
dx  
3 2  
2)  
(
)
12x x2  
12x x2  
0
2  
49  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
ln 2  
ln 2  
e3x  
e3x  
4 1  
1 1 5  
)
ln  
r )(K59) 1.  
dx  
(
)
2.  
dx  
(
4ln  
3 2  
x
x
e 2  
2e 1  
2 8 3  
0
0
b) Tích phân từng phần  
b
b
Cho các hàm u, v khả vi liên tục trên [a ; b], khi đó ta có udv uv ab v du  
a
a
Ví dụ 2.  
1
e
/3 x sinx  
a) x arctanx dx  
b)  
lnx dx  
c)  
f)  
dx  
cos2 x  
1/e  
1
1  
0
1
x2 arcsin x  
d) e2x sin3x dx  
e) x3e2xdx  
dx  
1x2 cos x  
0
0
1  
2
x 1  
x
2
g )(K50) 1. arcsin  
dx  
(
1  
)
1
2
2x 1  
2x  
1
arccos  
dx  
3 1  
2.  
h )(K52) 1.  
2.  
(
)
12 2  
1
1
2  
2
2  
x 12arctanx dx  
1  
24ln2  
(
)
1  
1
2
2
3  
x 1arctanx dx  
(
13  
  ln2  
)
1  
1
8
1
2  
4
2  
arccosx dx  
arcsin2 x dx  
2  
)
i)(K55) 1)  
3)  
(
2  
)
2)  
4)  
(
0
1
0
2
x
x 1  
dx  
2
arccos  
dx  
arcsin  
1  
)
(1)  
(
x 1  
x
0
1
2
2
2
2
  
  
5)  
3x 2 sin x dx  
()  
6)  
4 5x sin x dx  
(2)  
2
0
2
2  
8
2
(arctan 1x)2dx  
k)(K56) 1)  
2)  
(
(
ln2  
)
1  
2
2  
8
(arccot x 1)2dx  
  ln2  
)
2
1
50  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
0
2
2
3) arctan 1xdx  
(
1  
)
4) arccot x 1 dx (1)  
1  
1
l)(K59) Cho  
f
(n1) khả tích trên [a, b],  
. CMR :  
n 0  
n
f (k)(a)  
1 b  
n!a  
f (b)   
(b a)k   
f (n1)(t)(b t)ndt  
k!  
ko  
3
x
3  
m)(K62) 1) Tính  
arccos dx  
(
)
2
6
0
2) Cho hàm số f(x) khả vi liên tục đến cấp hai trên [a;b] và f(a)=f(b)=0. CMR :  
b  
2 b  
 b  
2
  
2  
  
( f (x)dx)  
f (x)dx  
f (x)dx  
  
  
   
a
a
a
  
b
f (x)dx 0  
3) Cho hàm số f(x) liên trên [a;b] và  
. CMR tồn tại  
sao  
c(a;b)  
a
c
f (x)dx 2017f (c)  
cho :  
a
§2.3. TÍCH PHÂN SUY RỘNG  
Đặt vấn đề  
I. Tích phân suy rộng với cận vô tận  
A
   
   
f x dx lim f x dx  
1. Định nghĩa  
A   
a
a
Ta nói tích phân suy rộng hội tụ nếu vế phải tồn tại (hữu hạn) và phân kì trong  
trường hợp ngược lại.  
a
a
   
   
f x dx lim f x dx  
Tương tự ta định nghĩa  
B   
  
B
a
   
   
   
f x dx f x dx f x dx  
Ta định nghĩa  
  
  
a
Tích phân trên hội tụ cả hai tích phân vế phải hội tụ.  
Ví dụ 1. Tính  
dx  
1x2  
dx  
arctanx  
dx  
a)  
b)  
c)  
x2  
14x2  
1
  
1
51  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
dx  
dx  
d)  
,  
e) x3ex2dx  
f)  
x  
  
2
1x2  
1
0
  
2x 1  
g)(K50) 1.  
dx  
(1)  
2. ex1dx  
(2)  
e2x  
0
0
1
0
1  
8ln2 2  
3  
4ln2 3  
h)(K54) 1. x22x1dx  
(
)
2. x32x1dx  
(
)
  
  
dx  
dx  
1
4
ln2  
)
i)(K55) 1.  
(
ln3  
)
2.  
(
2
2
2
1 x 2 x  
1 x 1x  
arctan x  
(arctan x)2  
3  
l
k)(K59)  
dx  
(
)
l)(K62)  
dx  
(
)
(ln2)  
x2 1  
2  
24  
5
x 2  
0
0
2. Các dấu hiệu hội tụ  
a) Khi f(x) 0 và khả tích trên [a ; A], A > a.  
A
   
f x dx  
   
f x dx  
L, A.  
Định lí 1.  
hội tụ   
a
a
Định lí 2. f, g khả tích trên [a ; A], A > a; 0 f(x) g(x), x a.  
   
g x dx  
   
f x dx  
hội tụ  
Nếu  
hội tụ   
a
a
   
f x dx  
   
g x dx  
Nếu  
phân kì   
phân kì  
a
a
dx  
e3x x2  
Ví dụ 2. (K62) Xét sự hội tụ, phân kỳ  
(HT)  
0
Have a good understanding!  
52  
pdf 7 trang Thùy Anh 16080 Free
Download
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 1 - Bài 9: Tích phân xác định, tích phân suy rộng - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_giai_tich_1_bai_9_tich_phan_xac_dinh_tich_phan_su.pdf