Giáo trình Giải tích 3 - Bài 8: Phương trình vi phân cấp hai khuyết - Nguyễn Xuân Thảo
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI
BÀI 8
§3. Phương trình vi phân cấp hai
Đặt vấn đề. Bài trước đã học xong phương trình vi phân cấp một và có ứng dụng thú vị
sau:
Phương trình logistic được đưa ra (vào khoảng năm 1840) bởi nhà toán học và nhân
chủng học người Bỉ P.F. Verhulst và nó trở thành một mô hình cho sự tăng trưởng dân số.
Trong ví dụ sau đây chúng ta so sánh mô hình tăng trưởng tự nhiên và mô hình
logistic cho dữ liệu điều tra dân số ở Mỹ vào thế kỷ 19, sau đó đưa ra dự án so
sánh cho thế kỷ 20.
Ví dụ. Dân số nước Mỹ năm 1850 là 23.192 triệu. Nếu lấy P0 = 5,308.
Thế các dữ liệu t = 50, P = 23,192 (với thời điểm 1850) và t = 100, P = 76212 (với
dP
thời điểm 1900) vào phương trình logistic
kP M P
(1)
dt
(5,308)M
5,308 (M 5,308)e50kM
ta có hệ hai phương trình
;
23,192
(5.308)M
5,308 (M 5,308)e100kM
.
76,212
Giải hệ này ta có
.
M 188,121, k 0,000167716
998,546
5,308 (182,813)e(0,031551)t
Thế vào (1) ta có P(t)
(2)
Sai số
dạng mũ
0.000
0.311
0.594
1.056
1.655
3.079
5.190
4.290
5.459
4.593
0.000
-7.251
-23.827
-46.289
-89.072
-137.454
-197.620
-288.721
-415.694
-589.598
-812.818
Dân số thực
Năm
Mô hình dân số
dạng mũ
5.308
Mô hình
logistic
5.308
7.202
9.735
Sai số logistic
của nước Mỹ
1800
1810
1820
1830
1840
1850
1860
1870
1880
1890
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
5.308
7.240
9.638
0.000
0.038
-0.097
-0.234
-0.437
0.000
1.038
-0.768
0.155
0.545
-0.001
1.394
0.410
3.369
-0.721
6.972
25.271
41.312
58.226
76.458
104.384
6.929
9.044
11.805
15.409
20.113
26.253
34.268
44.730
12.861
17.064
23.192
31.443
38.558
50.189
62.980
76.212
92.228
106.022
123.203
132.165
151.326
179.323
203.302
226.542
248.710
281.422
13.095
17.501
23.192
30.405
39.326
50.034
62.435
76.213
90.834
105.612
119.834
132.886
144.354
154.052
161.990
168.316
173.252
177.038
58.387
76.212
99.479
129.849
169.492
221.237
288.780
376.943
492.023
642.236
838.308
1094.240
55
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Hình 1.7.4. So sánh kết quả của mô hình dạng mũ và mô hình logistic
với dân số thực của nước Mỹ (tính theo triệu)
P(t) (5,308)e(0,026643)t
Những dự đoán theo mô hình dạng mũ
và theo mô hình
dạng logistic (2) đối chiếu với kết quả thống kê dân số thực của Mỹ, ta thấy
Cả 2 mô hình đều cho kết quả tốt trong giai đoạn thế kỉ 19
Mô hình dạng mũ cho số liệu phân kỳ ngay từ thập niên đầu tiên của thế kỉ 20,
trong khi mô hình logistic có kết quả tương đối tốt cho tới tận những năm 1940.
Đến cuối thế kỉ 20 mô hình dạng mũ cho kết quả vượt quá xa dân số thực của
Mỹ, còn mô hình logistic lại cho số liệu dự đoán thấp hơn số liệu thực.
Sai số trung bình để đo mức độ cho phép của mô hình hợp lí với dữ liệu thực tế:
là căn bậc hai của trung bình các bình phương của các sai số thành phần.
Từ bảng 1.7.4 trên được: mô hình dạng mũ có sai số trung bình là 3.162, còn mô
hình logistic có sai số trung bình là 0.452. Do đó mô hình logistic dự đoán tốc độ
tăng trưởng dân số nước Mỹ suốt thế kỷ 20 tốt hơn mô hình dạng mũ.
1. Đại cương
F(x, y, y , y ) 0
Định nghĩa.
(1)
hoặc
(2)
y f(x, y, y )
2
Ví dụ.
a)
yy y xy 0
3
b)
y xy y 1
Định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm
f
y
f
y
3
liên tục trên
f(x, y, y )
Nếu
,
,
,
thì
f(x, y, y )
f(x, y, y )
D (x0, y0, y0)D
(2) có nghiệm duy nhất trong
thoả mãn
y(x0) y0, y (x0) y0
U (x0)
Về mặt hình học: Định lí trên khẳng định nếu
trong
(x0, y0, y0)D
có đường tích phân duy nhất của phương trình (2) đi qua
U (x0, y0)
và hệ số góc của
(x0, y0)
y0
tiếp tuyến của nó tại điểm này bằng
.
Định nghĩa. Hàm y ((x,C1,C2) là nghiệm tổng quát của (2)
+)
+)
thoả mãn (2) với
C1,C2
(x,C1,C2)
0
0
(x0, y0, y0)D
c10, c20 y (x, c1 , c2 )
nêu trong định lí tìm được
:
thoả mãn
0
0
(x, c10, c20)
y0 , (x, c1 , c2 ) xx y0
xx
0
0
0
0
Hàm
được gọi là nghiệm riêng
(x, c1 , c2 )
Định nghĩa. Hệ thức
xác định nghiệm tổng quát của (2) dưới
(x, y, c1, c2) 0
(x, y, c10, c20)
dạng ẩn được gọi là tích phân tổng quát. Hệ thức
phân riêng
được gọi là tích
Một số ứng dụng
1
Là mô hình toán học của những hệ cơ học và mạch điện : LI RI I E (t),
C
56
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
ở đó E(t) là điện áp (nguồn điện).
d2x
dt2
dx
dt
Phương trình mô tả dao động tự do của chất điểm
ở đó
kx 0,
m
c
chất điểm có khối lượng m, các hằng số dương
.
k, c
Phương trình mô tả dao động cưỡng bức của chất điểm bởi tác động của ngoại lực
F t
d2x
dt2
dx
dt
m
c
kx F(t).
d2r
dt2
Mm
, r(0) R, r (0) v0
Bài toán vận tốc vũ trụ cấp hai :
m
k
r2
2. Phương trình khuyết
F(x, y ) 0
a)
Cách giải. Đặt
phương trình vi phân cấp một
.
p (x, c)
y p
F(x, p ) 0
Giải phương trình vi phân cấp một
y (x, c)
2
Ví dụ 1. 1/
x y
y 1
2
x
p y
p
p 1
2
t2
p t3 c1
2
Đặt
Từ
và
x t t 1 dp tdx t(2t 1)dt
p t
3
2
2
3
t2
t3 c (2t 1)dt
y pdx
y p
1
4
4
5
1
t5 t4 t3 c1t2 c1t c2
15
12
6
Tích phân tổng quát của phương trình đã cho là
4
5
1
2
, y
x t t 1
t5 t4 t3 c1t2 c1t c2
15
12
6
1
2/ y
(y x(ln x C1) C2 )
x
x3
3/
4/
5/
6/
(y
sinx C1x C2 )
y x sinx
6
x2
3
2
(y
lnx
C x C )
1 2
y lnx
2
x2 1
x
)
y arctanx
y
arctanx ln(1 x2) C1x C2
(
2
2
x2 x3
2
xy x x,
y(0)=0 .
( y a1x
, a1 )
6
2
57
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
F(x,y ,y ) 0
b)
phương trình vi phân cấp một F(x, p, p ) 0
Cách giải. Đặt
p y
p (x, c), giải phương trình vi phân cấp một y (x, c)
2
Ví dụ 2. 1/ (1 x )y xy 2, y(0) 0, y (0) 0
x
2
2
là phương trình vi
p y
(1 x )p xp 2
p
p
, x 1
1 x2
1 x2
phân tuyến tính cấp 1, có nghiệm tổng quát
x
x
x
1x
dx
dx
dx
1x
1x
2
1 x
2
2
2
2
p c1e
e
2 e
dx
1
1
1
2
2
2
c1e ln1x e ln1x
2 e2ln1x dx
dx
c1
1 x2
1
2
2
2
1 x
1 x2
1 x2
c1
2
arcsinx
1 x2
1 x2
c1
1 x2
2
2
y
arcsinx y arcsinx c1arcsinx c2
1 x2
y(0) 0
c2 0 y (0) 0 c1 0
y (arcsinx)2
Nghiệm cần tìm :
x2
(y C1ex C2 x
)
2/
y y x
2
x
y
1
(y x3 C1x2 C2 )
3/ y x
3
x
1
y
C
2
1
4/ xy y ln
(
)
C2
y (C1x C1 )e
x
2
2
2
5/
6/
7/
(
)
y (1 C1 )ln x C1 C1x C2
(1 x )y y 1 0
2
2
2
2
(
)
x y y
C1x C1 y ln C1x 1 C2; 2y x C; y C
2
2
3
2
(
)
9C1 (y C1 ) 4(C1x 1) ; y C x
2xy y y 1
x2
x3
2
y y xy
8/*
(y C1
C12x C2; y
C )
2
12
12
5
p3
3
9/*
( x C2p 3p2; y
p5 C1p4 C12
C2; y C )
y xy 2y
5
4
6
3
2
2
10/*
(
)
2y (y 2) xy
3C1y (x C1) C2; y C; y C 2x
Ví dụ 3
58
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
2
x
y
1
2
4
2
3
a). 1/ y x y , y 1 2, y 1 1
(y
5 (1 3ln x ) )
2
2
2/
(
)
(x 1)y x(y ) y , y(0) 1, y (0) 2
y ln(1 x ) 2arctanx 1
1
x4 x3 3x2
1
b). y
y x(x 1), y 2 1, y 2 1
(y
3x )
x 1
8
6
2
3
x3 x4
7
2
c).
d).
e/
(y
)
2xy 6y x 0, y 1 0, y 1 1
6
8
24
2
2
(C1x 1)3 C2
(
)
1 y 2xy y
y
3C1
2
2
2
(1 x )y y 1 0, y (0) 1
(
)
y x ln(1 x) C2, x 0
c) F(y, y , y ) 0
dp
dy
dp
dx
dp
dy
Cách giải. Đặt
là phương trình vi phân
0
p y
p
F y, p, p
cấp một, giải ra có p (y, c), giải phương trình vi phân cấp một y (y, c) ta
được nghiệm cần tìm.
2
Ví dụ 4. 1/
2yy y 1
dp
dp
dy
p2 1
, thay vào có
2yp
p y
y p
dy
2p
dy
dp
, y 0
1 p2
y
2
y c1(1 p2)
hay
ln y ln(1 p ) ln c1
dy
x
Từ
p
c2
p y
dx
2c1dp, p 0
p
2c1
(x 2c1c2)2
4c1
2
x
Nghiệm tổng quát
Đặt
y c 1
c2
c1
1
2c1
b
2b y
(x a)2 là parabol phụ thuộc 2 tham số và
2c1c2 a, 2c1 b
2
có đường chuẩn là trục
.
Ox
3
2
2
y 2yy 0
yy 1 y
2/
3/
4/
5/
6/
(
(
(
(
(
)
y C1(x C2) , y C
2
)
C1y sin(C1x C2)
y C1ln y x C2, y C
2
3
yy y y
)
2
2
)
y C1(1 ch(x C2))
2yy y y
y
y
3
y y 2e
2
e C1 (x C2)
59
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
2
3
2
7/
8/
(
(
)
y (3y 2y )y
x 3C1p lnC2p; y 2C1p p; y C
y C2
2
y (1 y ) ay
)
x C1 aln sin
a
Ví dụ 5. (Bài toán vận tốc vũ trụ cấp 2). Xác định vận tốc nhỏ nhất để phóng một
vật thẳng đứng vào vũ trụ sao cho vật không trở lại trái đất, giả thiết sức cản không
khí không đáng kể.
Khối lượng trái đất là M , vật phóng là m, khoảng cách giữa tâm trái đất và tâm
vật phóng là r , theo định luật hấp dẫn của Newton, lực hút tác dụng lên vật là
Mm
r2
, k là hằng số hấp dẫn.
f k
d2r
dt2
Mm
r2
, ở đó R
, r(0) R, r (0) v0
Phương trình chuyển động của vật là
m
k
là bán kính trái đất,
là vận tốc lúc phóng.
v0
dv
dr
v2
1
dv
dr
M
r2
kM
r2
r v
Đặt
dr
v r
v
k
vdv
kM c1
2
r
2
v02
v0
kM
R
v2
M
r
kM
Từ
có
c1
k
0
v(0) 0
v(R) v0
2kM
2
2
2
m3
R
11
Cho
v0
11,2km/s (do
,
5m.
R 63.10
r
k 6,68.10
kg.s2
R
Vận tốc vũ trụ cấp hai là
km/s
11,2
Ví dụ 6
1
)
4
2
a).
b)
(y
yy y y , y 0 1, y 0 1
1 x
x2 1
2
.
1.
2.
2
(y
)
2yy y 1, y 1 1, y 1 1
2
2
(
)
yy y 1, y 0 1, y 0 1 y x 1
x2 1
c).
(y
)
2yy y 1 0, y 1 1, y 1 1
2
2
2
2
d).
e)
(
)
C1 (x C2) 4(C1y 1)
1 y 2yy
c1
2 2
2
(y
x c
, y=C)
y 2yy 0
4
y
2
y
y y 3e
2
f)
,
,
(2e2 6(x
) 0 , y=C)
y(0) 0 y (0) 6
3
d) Một số trường hợp F x,y,y ,y 0
Ví dụ 1.
60
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
2
a)
b)
yy y 2x
y C1
y C1
y 2yy
(
)
y C1tan(C1x C2); ln
2C1y C2; y(x C2) 1; y C
C x
1
(
c)
)
yy y (1 y ) C1y 1 C2e ; y C x, y 0
2
2
yy y 1
2
d)
(
)
y x C1x C2
y
e) 1/
xy y e 1 0
1
y ln ey C , ey ln x C2 0 y c
(
,
)
ln x C2
1
C1
y
2/
xy y e 1 0
1
(ln x C2
y ln ey C , ey ln x C ; y c )
1
2
C1
y2
yy y 2 x sinx 0
3/
(
(
x sinx 2cosx C1x C2 0)
2
y2 x2
3
4/ yy y 2 lnx 0
lnx x2 C1x C2 0)
2
2
4
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
61
7 trang
18760
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 3 - Bài 8: Phương trình vi phân cấp hai khuyết - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_3_bai_8_phuong_trinh_vi_phan_cap_hai_kh.pdf
