Giáo trình Giải tích 1 - Bài 7: Tích phân bất định

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@hust.edu.vn

GIẢI TÍCH I

BÀI 7

CHƯƠNG II. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ

§2.1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

 Đặt vấn đề

I. Định nghĩa.

1. Định nghĩa.

f(x) trên (a ; b), F(x) là nguyên hàm của f(x)  F’(x) = f(x),  x  (a ; b)

Ví dụ

a) f(x) = 2010

d) f(x) = sinx

g) f(x) = x²lnx

b) f(x) = 0

e) f(x) = lnx

h) f(x) = x cosx

c) f(x) = x^,  

f) y = x²e^x

i) f(x) = x³sinx

Định lí. F’(x) = f(x), x  (a ; b), khi đó tập tất cả các nguyên hàm của f(x) là

F(x) + C

 

Định nghĩa.

f x dx  F x C



2. Tính chất

 

a) f(x) liên tục trên (a ; b)  

f x dx



 

f x dx

 

, 

g x dx

b) Tuyến tính. 



 



, ,  

^^{f x  g x dx }^{f x dx   g x dx}





Toán tử

có khả nghịch trái, không có khả nghịch phải



d





c)

d)

f(x) dx  f(x) C

f(x)dx  f(x)





_dx

_

dx



3. Bảng một số tích phân thông dụng

1





x

C,   1

1

x^dx 

₂dx  arctanx C

dx  cot x C

 1

ln x C,   1



_{1 x}





1

sinxdx  cosx C

2

_{sin x}

1

dx

dx  arcsinx C

 tanx C



2

_{cos x}

1 x²

a^x

a^xdx 

 C



lna

II. Các phương pháp tính

1. Đổi biến số

 

     

   



g w x w x dx G w x C

Mệnh đề 1. Nếu g t dt G t C



^

37

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@hust.edu.vn

 

^1 

Mệnh đề 2. Nếu

’(x)dx = G(x) + C 

, ở đó

g t dt G( t ) C

g



 x





t = (x) có hàm ngược là x = ^1(t)

Ví dụ 1

x³dx

1 x²

dx

e^x1



¹²

a)

d)

g)

b)

e)

h)

c)

x x  4 dx



sin³x

ln2x

dx

f)

 _{x 1 x}₂

_xln4x

cosx

x²dx

dx

a² x²dx

i)

 _x₂



4  x²

1 x²

1

 ln

2

cos²x

tanx

k )(K54) 1.

(

 C

)

dx

1 cos²x

sin²x

1 sin²x

2

_{1 cos x}

1

ln

2

cot x

2.

(

C

)

2

_{1 sin x}

2^x1

2

2^x1

l)(K57)

dx

(

x 

ln

 C

)

x

2 1

2^x



ln2

2

m)(K61)

n)(K62)

e^{sin x}sin(2x)dx

(

e^{sin x} C

)



 ^{3  2x}

dx

3arcsinx  2 1 x²C

(

)

1 x²

2. Tích phân từng phần. Các hàm u, v khả vi, có



^{udv  uv }^vdu

Ví dụ 2

ln²xdx

5x  6 cos3xdx

sin lnx dx

xcos x









a)

b)

e)

c)

f)



x

2



²

arcsin x dx

d)

dx

3

_{cos x}

 _{sin x}

arcsin x

1 x

1 x

a² x²dx

dx

xln

dx

g)

k)

h)

i)



1 x

2





xln x  1 x

1 x²

dx



Ví dụ 3.

e^x

x





xdx

1 x dx



 C



 C

)

a )

(

)

b )

(

^x

²

_{e x 1}

x²e^x



x 1

1









2xarccot 2x 1 2x 1 C

)

c)(K53) 1)

(

arccot 2x 1dx



2

38

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@hust.edu.vn

1

2









2)

d)(K56) 1)

2)

(

2 x 1 arctan 2x 1 2x 1 C

)

arctan 2x 1dx







1

xln(1 2x)

(

 e^2x(2x 1)ln(1 2x) 1 C

)

dx





e^2x

4

xln(1 3x)

1

3x

(

)

(3x 1)ln(3x 1) 1 C

dx

 e





e^3x

9

ln(x² 2x  3)dx

e)(K59) 1)



ln(x²1) 1

2 2

3

x

2

(



 ln(x² 2) 

arctan

 ln x 1 C

)

x 1

3

2

ln(x² 2)

(x 1)²

2)

dx



ln(x²1) 2

2

4

2

(

)



 ln(x 1)  arctanx  ln x  2  C

x  2

5

x²

(

 2x)lnx 

 2x  C

)

f)(K62)

(

(x  2)lnxdx



2

4

3. Sử dụng các lớp hàm có tính chất đặc biệt

Ví dụ 4

x⁸e^xdx

x⁹cosxdx

xⁿcosxdx

x¹⁰sinxdx

a)

b)

e)

c)

f)



xⁿe^xdx

xⁿsinxdx

d)

4. Tích phân của một vài lớp hàm khác

 

P_mx

 

Q_nx

 

a) Hàm hữu tỉ R x 

, P_m(x), Q_n(x) là các đa thức bậc m, n của x

(m<n).

Định lí. Nếu Q_n(x) = a_n(x  a)^(x  b)^... (x²+ px + q)^... (x²+ lx + s)^, ở đó ,

, ...,   ; a, b  , p² 4q < 0, l² 4s < 0,  +  + ... + 2( + ... + ) = n.

Khi đó

A

A_{ 1}

x  a

B

B₁

1

 

R x 



+ ...





^



^{ 1}



^



^{ 1}

x  a

x  b

B_{ 1}



M_1x  N_1

x² px  q

Mx  N

M₁x  N₁





+ ...



^



^1

x  b

2



x  px  q

P x Q_{ 1}

Px Q

P x Q₁

 1

1



+ ...

,

x² lx  s

^



^{ 1}

2



x  lx  s

các hệ số nêu trên được tính theo phương pháp hệ số bất định.

39

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@hust.edu.vn

 

R x dx

Từ đó, để tính

ta sẽ dẫn đến tính các tích phân sau



A

Mx  N

1)

;

2)

;

dx

3)

;

dx

^k

2

_

_{x  px  q}



^m

_

x² px  q

x  a

ở đó p² 4q < 0.

Ví dụ 5.

dx

2x 1

a)

b)

dx

⁵

_

2

_{x  3x  4}

x  2

x²1

3x  2

x² 2x  2

x² 2

 _{x  4}

c)

dx

d)

dx

²

_

³

_





x  3 x 1

dx

_{x  x}

e)

dx

f)

g)

4



8

6

5



5

²

x x 1

x²1

1

x  3

7

h)(K58)

dx

(

ln



C

)

4(x  3)²

3

_{(x  3) (x 1)}

32 x 1 8(x  3)

(3x² 4x 1)arctanxdx

(x  2)²

i)(K60)



(x³ 2x² x)arctanx 

 2arctanx  C

)

(

2

x³

1

4

₈dx

arctan(x⁴) C

)

k)(K61)

(

_{1 x}

HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

40

Giáo trình Giải tích 1 - Bài 7: Tích phân bất định - Nguyễn Xuân Thảo