Giáo trình Xác suất thống kê - Chương 2 - Bài 2: Biến ngẫu nhiên liên tục - Tống Đình Quỳ
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
§2 BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC
2.1 Biến ngẫu nhiên liên tục và hàm phân phối
* Khái niệm
Khái niệm biến ngẫu nhiên liên tục đã được đưa ra ở tiểu mục
1.1. Ta nhắc lại các khái niệm biến liên tục và hàm phân phối XS.
- Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục, nếu tập giá trị của nó
lấp kín một khoảng (đoạn) hoặc một số khoảng trên trục số hoặc
cũng có thể là cả trục số (tập không đếm được).
- Hàm phân phối xác suất (probability distribution
function) của một biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là F(ꢀ), được xác
định như sau
F(ꢀ) = P(ꢁ < ꢀ), ꢀ ∈ ℝ.
Ý nghĩa: F(ꢀ) phản ánh độ tập trung XS ở bên trái điểm ꢀ
⇒ hàm phân phối tích luỹ (xác suất tích luỹ)
⇒ hàm phân phối tích phân.
- Tính chất
i
1 ≥ ꢂ(x) ≥ 0;
(ii) F(ꢀ) là hàm không giảm ⟺ ∀ ꢀꢃ > ꢀꢄ ⇒ ꢂ(ꢀꢃ) ≥ ꢂ(ꢀꢄ);
(iii) P (ꢅ ≤ ꢁ < ꢆ) = F(ꢆ) − F(ꢅ);
(iv) F (+∞) = 1; F (−∞) = 0.
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Hạn chế:
+ khó biết nơi nào tập trung nhiều XS hơn,
+ sau này ta thấy không thể biểu diễn ꢂ(ꢀ) dưới
dạng hàm sơ cấp trong một số trường hợp.
* Thí dụ 1
. Cho hàm phân phối của biến ꢁ liên tục có dạng
0;
ꢀ ≤ ꢇ,
ꢈ(ꢀ − ꢇ); ꢇ < ꢀ ≤ ꢉ,
ꢂ ꢀ =
1;
ꢀ > ꢉ.
Tìm hằng số ꢈ để hàm F(ꢀ) liên tục.
ꢄ
Giải: Dùng kiến thức của giải tích toán ta có ngay c =
. Dễ
ꢊ ꢋ ꢌ
dàng kiểm chứng hàm F(ꢀ) này thoả mãn các tính chất (i) – (iv) ở
trên.
Từ tính chất (iii) nếu ꢁ là biến ngẫu nhiên liên tục
P(X = ꢅ) = 0, ∀ꢅ ∈ ℝ.
Trong trường hợp này:
P (ꢅ ≤ ꢁ < ꢆ) = P (ꢅ < ꢁ < ꢆ) = P (ꢅ < ꢁ ≤ ꢆ) = P (ꢅ ≤ ꢁ ≤ ꢆ).
* Thí dụ 2
. Cho hàm phân phối của biến ꢁ liên tục có dạng
0;
ꢅ(ꢀ − 2)ꢃ; 2 < ꢀ ≤ 4,
1; ꢀ > 4.
ꢀ ≤ 2,
ꢂ ꢀ =
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Xác định hằng số ꢅ và tính P(2 < X < 3).
Giải: Do F(ꢀ) liên tục nên tại ꢀ = 4 phải có ꢅ(ꢀ − 2)ꢃ = 1, từ đó
ꢅ =1/4. Sử dụng tính chất (iii) của hàm F(ꢀ) ta có
P(2 < X < 3) = ꢂ 3 − ꢂ 2 = 1/4.
2.2 Hàm mật độ
Từ hạn chế của hàm PP ta không xác định được XS sẽ tập trung
nhiều ở chỗ nào trên trục số ⇒
* Định nghĩa.
Hàm mật độ xác suất (probability density function),
ký hiệu là ꢍ(ꢀ), của biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối ꢂ(ꢀ),
được xác định từ biểu diễn sau
ꢐ
ꢂ(ꢀ) = ꢋꢑ ꢍ(ꢎ)ꢏꢎ .
(1)
* Tính chất:
ꢍ(x) ≥ 0;
i
(ii) Nếu F (ꢀ) khả vi ⇒ f ꢀ = F ’ (ꢀ);
(iii) P (ꢅ < ꢁ < ꢆ) = ꢒ ꢍ(ꢀ)ꢏꢀ;
ꢓ
(iv) ꢔꢑ ꢍ(ꢀ)ꢏꢀ = 1.
ꢋꢑ
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
f (x)
0
a
x
b
P(ꢅ < ꢁ < ꢆ)
* Thí dụ 3
. Xét hàm ꢂ(ꢀ) trong thí dụ 1. Tìm hàm mật độ của biến
ngẫu nhiên ꢁ tương ứng.
Giải: Sử dụng tính chất (ii) của hàm ꢂ(ꢀ), ta có
ꢄ
, ꢀ ∈ (ꢇ; ꢉ)
ꢊ ꢋ ꢌ
ꢍ(ꢀ) =
.
0, ꢀ ∉ (ꢇ; ꢉ)
Để ý rằng ꢍ(ꢀ) luôn nhận giá trị hằng (khác 0) trên (ꢇ; ꢉ), ta nói
rằng X có phân phối đều (liên tục) trên (ꢇ; ꢉ) và ký hiệu
X ~ ꢕ ꢇ; ꢉ .
1, ꢀ ∈ (0; 1)
X ~ ꢕ 0; 1
⟺
ꢍ(ꢀ) =
,
0, ꢀ ∉ (0; 1)
0;
ꢀ; 0 < ꢀ ≤ 1,
1; ꢀ > 1.
ꢀ ≤ 0,
⟺
ꢂ ꢀ =
khi ꢇ = 0, ꢉ = 1, hàm ꢍ(ꢀ) ≡ 1 trên (0; 1); trong các ngôn ngữ lập
trình bậc cao đã xây dựng lệnh máy để tạo ra các số ngẫu nhiên
có phân phối đều trên (0; 1) để tính toán mô phỏng (simulation).
* Thí dụ 4
. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
ꢖ ꢖ
ꢇcosꢀ; ꢀ ∈ − ,
ꢃ ꢃ
ꢍ(ꢀ) =
.
ꢖ ꢖ
0; ꢀ ∉ − ,
ꢃ ꢃ
a) Tìm ꢇ và xác định hàm phân phối ꢂ ꢀ .
ꢖ
b) Tính XS P( < ꢁ < ꢘ).
ꢗ
Giải: a) Dùng tính chất (iv) của hàm mật độ
ꢖ/ꢃ
ꢔꢑ ꢍ(ꢀ)ꢏꢀ = ꢇ –ꢖ/ꢃ cos ꢀ ꢏꢀ = 2ꢇ = 1
ꢋꢑ
⟹
ꢇ = 1/2.
Dựa vào (1) ta có:
ꢐ
ꢘ
2
với ꢀ ≤ − , ꢋꢑ ꢍ(ꢀ)ꢏꢀ = 0;
ꢐ
ꢖ/ꢃ
ꢘ
với ꢀ > , ꢋꢑ ꢍ(ꢀ)ꢏꢀ = –ꢖ/ꢃ ꢍ(ꢀ)ꢏꢀ = 1;
2
ꢐ
ꢘ
ꢘ
2
với − < ꢀ ≤
2
,
ꢋꢑ ꢍ(ꢀ)ꢏꢀ =
ꢄ
ꢐ
=
–ꢖ/ꢃ ꢍ(ꢀ)ꢏꢀ + –ꢖ/ꢃ ꢍ(ꢀ)ꢏꢀ = (sin ꢀ + 1).
ꢋꢑ
ꢃ
Từ đó
ꢘ
0;
ꢀ ≤ − ,
2
1
2
ꢘ
ꢘ
2
ꢂ ꢀ =
sin ꢀ + 1 ; − < ꢀ ≤
2
,
ꢘ
1;
ꢀ > .
2
b) Theo tính chất (iii) của hàm phân phối
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
ꢖ
ꢘ
4
2
4
P ( < ꢁ < ꢘ) = ꢂ ꢘ − ꢂ( ) = 1 −
.
ꢗ
* Thí dụ 5
. Cho XS phân rã của một nguyên tử chất phóng xạ trong
khoảng thời gian đủ bé ꢏꢎ là ꢙdt (giả sử việc phân rã đó không
phụ thuộc vào quá khứ). Hãy xác định:
a) XS để nguyên tử đó phân rã trong khoảng thời gian t,
b) hàm mật độ XS của thời điểm phân rã của nguyên tử.
Giải:
a) XS không phân rã của một nguyên tử chất phóng xạ trong
khoảng thời gian ꢏꢎ dễ thấy là 1 – ꢙdt. Chia khoảng thời gian
ꢎ thành t/dt các khoảng con có độ dài ꢏꢎ; từ đó XS để nguyên
tử không phân rã trong khoảng thời gian đó xấp xỉ là (do có
giả thiết độc lập) (1 – ꢙdt)t/dt. Lấy giới hạn khi ꢏꢎ ⟶ 0, ta có
XS cần tìm
(1 – ꢙdt)t/dt ⟶ 1 – ꢚꢋꢛꢜ
(để ý ꢚꢋꢛꢜ là XS nguyên tử không phân rã trong khoảng thời
gian t).
b) Gọi ꢝ là thời điểm phân rã của nguyên tử và ꢍ(ꢎ) là hàm mật
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
độ của T. XS để nguyên tử phân rã trong khoảng thời gian từ
t đến ꢎ + ꢏꢎ sẽ bằng XS không phân rã trong khoảng thời
gian ꢎ trước đó nhân với XS phân rã trong khoảng thời gian
dt, từ đó
P (t < ꢝ < ꢎ + ꢏꢎ) = ꢍ(t)dt = ꢚꢋꢛꢜꢙdt.
0, ꢎ ≤ 0;
ꢙꢚꢋꢛꢜ, ꢎ > 0.
Vậy ta có
ꢍ(t) =
Đây chính là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên tuân theo luật
phân phối mũ, ký hiệu T ∼ ℰ(ꢙ), ꢙ là tham số.
2.3 Các số đặc trưng cơ bản
A. Kỳ vọng
Ta xét phép tính kỳ vọng trong trường hợp biến liên tục. Giả
thiết rằng X có hàm mật độ XS ꢍ(ꢀ). Khi đó kỳ vọng của Z = ꢞ(X)
được định nghĩa như sau
* Định nghĩa 1.
Kỳ vọng của Z = ꢞ(X), với ꢍ(ꢀ) là hàm mật độ đã
cho của biến ꢁ, được tính theo công thức
EZ = ꢔꢑ ꢞ(ꢀ)ꢍ(ꢀ)ꢏꢀ.
ꢋꢑ
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Trường hợp riêng khi Z = X, ta có
* Định nghĩa 2.
Kỳ vọng của X, với ꢍ(ꢀ) là hàm mật độ XS đã cho
của biến X, được tính như sau
EX = ꢔꢑ ꢀꢍ(ꢀ)ꢏꢀ.
(2)
ꢋꢑ
* Tính chất
i
E(c) = c, c = const;
(ii) E(cX) = cEX;
(iii) E (X + Y) = EX + EY;
(iv) E(XY) = EX.EY, X và Y độc lập.
Chú ý: tính chất (ii) và (iii) được gọi là tính tuyến tính của phép
toán, vốn quen thuộc trong phép tính đạo hàm hay tích phân.
Ý nghĩa thực tế: kỳ vọng là giá trị trung bình (mean value) của
biến ngẫu nhiên hoặc đóng vai trò định vị của biến.
* Thí dụ 6
. Xét lại thí dụ 3 và cần tính kỳ vọng của X.
Giải: Do X ~ ꢕ(ꢇ, ꢉ) nên sử dụng (2)
ꢊ
EX = ꢔꢑ ꢀꢍ(ꢀ)ꢏꢀ = ꢊ ꢋ ꢌ ꢀꢏꢀ = ꢌꢔꢊ
.
ꢄ
ꢋꢑ
ꢌ
ꢃ
* Thí dụ 7
. Biến ngẫu nhiên ꢁ được cho là tuân theo luật phân
phối chuẩn (normal distribution) hay luật PP Gauss, ký hiệu là
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
ꢁ ~ ꢟ(ꢠ, ꢡꢃ), nếu hàm mật độ của nó dạng
ꢦ
(ꢣ ꢤ ꢥ)
ꢄ
ꢍ(ꢀ) = ꢢ ꢃꢖ ꢚꢋ
, ꢀ ∈ ℝ.
ꢦ
ꢧ
f (x)
a
68,26%
0
x
95,44%
99,74%
ꢦ
ꢄ
ꢋꢐ /ꢃ
Nếu ꢁ ~ ꢟ(0; 1), thì hàm Gauss ꢨ(ꢀ) =
ꢚ
chính là mật độ
ꢃꢖ
ꢦ
ꢐ ꢚꢋꢜ /ꢃ ꢏꢎ - tích phân của X
ꢄ
của biến X. Hàm Laplace ꢩ ꢀ =
ꢪ
ꢃꢖ
và ta có (tích phân Euler-Poisson)
ꢦ
ꢔꢑ ꢚꢋꢐ /ꢃ ꢏꢀ = 2ꢘ/2.
ꢪ
Dễ dàng tính được ꢫꢁ = ꢠ. Để ý hàm ꢚꢋꢐꢦ không có nguyên hàm
dạng hàm sơ cấp nên không viết được hàm PP dưới dạng các hàm
sơ cấp. Có thể chứng minh, nếu ꢁ ~ ꢟ(ꢠ, ꢡꢃ), bằng đổi biến ꢬ =
(t −ꢠ)/ꢡ hay t = ꢠ + ꢡꢬ
ꢦ
ꢯꢤꢥ
ꢦ
(ꢭ ꢤ ꢥ)
ꢦꢧ
ꢮ
P (ꢅ < ꢁ < ꢆ) = ꢢ ꢃꢖ ꢒ ꢚꢋ
ꢏꢎ =
ꢚꢋ ꢏꢬ
ꢄ
ꢄ
ꢧ
ꢦ
ꢦ
ꢰꢤꢥ
ꢓ
ꢃꢖ
ꢧ
ꢒꢋꢱ
ꢓꢋꢱ
ꢢ
= ꢩ
− ꢩ
.
(3)
ꢢ
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
* Thí dụ 8
. Gọi ꢁ là độ dài một chi tiết do một máy tự động sản
xuất ra và giả sử ꢁ ~ ꢟ(ꢠ, ꢡꢃ), với ꢠ được coi là độ dài quy định
(trung bình), ꢡ = 2. Tính XS để độ dài lệch so với quy định không
vượt quá ꢲ = 3.
Giải: Ta cần tính P( ꢁ − ꢠ < ꢲ) = P(ꢠ − ꢲ < ꢁ < ꢠ + ꢲ), áp
dụng công thức (3)
⇒ P(ꢠ − ꢲ < ꢁ < ꢠ + ꢲ)
ꢳ
ꢋꢳ
ꢢ
ꢳ
= ꢩ
− ꢩ
= 2ꢩ
= 2ꢩ(1,5) = 2.0,4332 = 0,8664.
ꢢ
ꢢ
Nếu coi ꢲ là dung sai cho phép, ý nghĩa thực tế của kết quả 86,64%
chính là tỷ lệ chính phẩm của máy đã cho.
* Thí dụ 9
. Cho biến ngẫu nhiên ꢁ có hàm mật độ
ꢴꢀꢃ; 1 ≥ ꢀ ≥ 0
ꢍ(ꢀ) =
.
0;
ꢀ ꢴℎáꢈ
a) Tìm hằng số ꢴ.
b) Xét biến ngẫu nhiên Y = 2 ꢁ. Tính ꢈáꢈ ꢁꢵ: ꢶ(0,5 <Y < 1,5)
và ꢶ(Y > 1).
Giải:
a) Ta có theo tính chất (iv) của hàm mật độ
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
ꢄ
ꢴ ꢀꢃ ꢏꢀ = ꢴ/3 = 1 ⇒ ꢴ = 3.
ꢪ
b) Từ đó ꢶ(0,5 <Y < 1,5) = ꢶ(1/16 < X < 9/16)
= 3 ꢷ/ꢄꢸ ꢀꢃ ꢏꢀ = 91/512;
ꢄ/ꢄꢸ
ꢄ
ꢶ(Y > 1) = ꢶ(X > 1/4) = 3 ꢪ,ꢃꢹ ꢀꢃ ꢏꢀ = 63/64.
B. Phương sai
* Định nghĩa.
Phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là VX,
được xác định như sau
VX = E[(X − Eꢁ)2].
(4)
Nhận xét: X – ꢫꢁ là độ lệch của X so với trung bình của nó
⇒ Phương sai – trung bình của bình phương độ lệch
⇒ Đặc trưng cho độ phân tán của X quanh trung bình
độ bất định; độ rủi ro …
Chú ý: Công thức (4) có dạng tương đương
VX = E(X 2) − (Eꢁ)2.
ꢔꢑ
ꢃ
Cách tính: VX =
=
ꢀ − ꢫꢁ ꢍ ꢀ ꢏꢀ
ꢋꢑ
ꢔꢑ ꢀꢃꢍ(ꢀ)ꢏꢀ – (ꢫꢁ)ꢃ.
ꢋꢑ
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
* Tính chất
ꢺ(c) = 0, c = const;
i
(ii) V(cꢁ) = c2VX;
(iii) V (X + ꢻ) = VX + VY, với X và Y độc lập.
* Thí dụ 10
. Tính phương sai của X ~ ꢕ(ꢇ, ꢉ) (xem thí dụ 3).
Giải: Ta đã có trong thí dụ 3 EX = (ꢇ + ꢉ)/2. Bây giờ ta phải
tính
E(X 2) =
Từ đó
⇒ VX = E(X 2) − (EX)2 =
ꢼ
ꢼ
ꢦ
ꢦ
ꢊ ꢋꢌ
ꢊ ꢔꢌꢊꢔꢌ
ꢔꢑ
ꢋꢑ
ꢊ
ꢄ
ꢀꢃꢍ(ꢀ)ꢏꢀ = ꢊ ꢋ ꢌ ꢀꢃꢏꢀ =
=
,
ꢌ
ꢽ(ꢊꢋꢌ)
ꢽ
ꢦ
ꢦ
ꢦ
ꢦ
ꢊ ꢔꢌꢊꢔꢌ
(ꢌꢔꢊ)
(ꢌ−ꢊ)
ꢄꢃ
−
=
.
ꢽ
ꢗ
* Thí dụ 11
. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ
ꢇꢚꢋꢐꢦ; ꢀ ≥ 0
ꢍ(ꢀ) =
.
0; ꢀ < 0
Xác định hằng số ꢇ; sau đó tính ꢫꢁ và ꢺꢁ.
Giải: Tìm ꢇ bằng cách dùng tính chất (iv) của hàm mật độ
ꢔꢑ ꢍ(ꢀ)ꢏꢀ = 1 = ꢇ ꢔꢑ ꢚꢋꢐꢦꢏꢀ
ꢋꢑ
ꢪ
ꢃ
ꢦ
ꢔꢑ ꢚꢋꢜ /ꢃꢏꢎ =
=
ꢌ ꢖ ⇒ ꢇ =
.
ꢌ
ꢌ
ꢃꢖ
ꢃ
=
ꢪ
ꢃ
ꢃ
ꢃ
ꢖ
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Bây giờ ta tính kỳ vọng và phương sai của X:
ꢄ
ꢦ
ꢔꢑ ꢀꢚꢋꢐꢦꢏꢀ =
ꢖ
ꢔꢑ ꢚꢋꢐ ꢏ(ꢀꢃ) = ,
ꢃ
ꢄ
EX =
ꢪ
ꢪ
ꢖ
ꢖ
ꢃ
ꢄ
− =
ꢖ
ꢖ ꢃꢋꢃ
ꢃꢖ
ꢦ
ꢔꢑ ꢀꢃꢚꢋꢐ ꢏꢀ − (ꢫꢁ)2 =
.
ꢃ
VX =
ꢪ
ꢖ
ꢃ
* Thí dụ 12
. Chặt ngẫu nhiên một đoạn dây dài 1m thành hai đoạn
con và lấy hai đoạn con đó làm hai cạnh của một hình chữ nhật.
Tính diện tích trung bình của hình chữ nhật, sau đó tính phương
sai của diện tích đó.
Giải: Gọi ꢁ là độ dài của một đoạn con, diện tích hình chữ nhật
sẽ là S = ꢁ(1 − ꢁ). Ta tìm hàm phân phối của S, để ý X ~ ꢕ 0; 1
và 0 < S ≤ 0,25,
ꢂ(ꢾ) = P(S < s) = P[ꢁ(1 − ꢁ) < s] = P(ꢁꢃ − ꢁ + ꢾ > 0).
Với 0 < s ≤ 0,25
P(S < s) = P({ꢀꢄ < ꢁ} ∨ {ꢁ > ꢀꢃ}), ꢀꢄ;ꢃ =
ꢄ± ꢄꢋꢗꢿ
.
ꢃ
⇒ ꢂ(ꢾ) = P({ꢀꢄ < ꢁ) + P(ꢁ > ꢀꢃ) = ꢂꣀ(ꢀꢄ) + 1 − ꢂꣀ(ꢀꢃ).
Để ý hàm PP của ꢁ với ꢀ ∈ (0; 1) nhận giá trị ꢂꣀ ꢀ = ꢀ, đồng thời
do 0 < ꢀꢄ;ꢃ < 1, nên
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
0,
1 − 1 − 4ꢾ, 0 < ꢾ ≤ 0,25;
1, ꢾ > 0,25.
ꢾ ≤ 0;
ꢂ(ꢾ) =
2 1 − 4ꢾ, ꢾ ∈ 0; 0,25 ;
0, ꢾ ∉ 0; 0,25 .
⇔ ꢍ(ꢾ) =
Từ đó:
ES = ꢔꢑ ꢾꢍ(ꢾ)ꢏꢾ = 2 ꢪ,ꢃꢹ ꢾ 1 − 4ꢾ ꢏꢾ = 1/30 (m);
ꢋꢑ
ꢪ
VS = E(X 2) − (ꢫꢁ)2 =
= 2 ꢪ,ꢃꢹ ꢾꢃ 1 − 4ꢾ ꢏꢾ – 1/900 = 1/840 −1/900 = 1/12600.
ꢪ
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
BÀI TẬP
1. Cho biên độ dao động của thành tầu thuỷ là biến ngẫu
nhiên ꢁ tuân theo luật phân phối Reley có hàm PPXS
1 − ꢚꢋꢐ /ꢃꢢꢦ; ꢀ ≥ 0
ꢦ
ꢂ(ꢀ) =
,
0;
ꢀ < 0
trong đó ꢡ là tham số đã biết. Tính xác suất để biên độ dao
động trên lớn hơn trị trung bình của nó.
2. Cho biến ngẫu nhiên ꢁ có hàm mật độ
ꢴ(1 + ꢀ)ꢋꢽ; ꢀ ≥ 0
ꢍ(ꢀ) =
.
0;
ꢀ < 0
Tìm ꢴ, hàm PPXS và sau đó tính ꢫꢁ.
3. Cho biến ngẫu nhiên ꢁ tuân theo luật phân phối Lô-ga
chuẩn với hàm mật độ
ꢦ
ꢄ
exp − (ꣁꢀꢐꢋꢓ) ; ꢀ ≥ 0
ꢦ
ꢢꢐ ꢃꢖ
ꢃꢢ
ꢍ(ꢀ) =
,
0;
ꢀ < 0
trong đó ꢅ, ꢡ là tham số đã biết. Tính ꢫꢁ.
4. Thời gian đi từ nhà đến trường của một sinh viên A là biến
ngẫu nhiên ꢝ ꢈó phân phối chuẩn. Theo thống kê biết
rằng 65% số ngày đến trường của A mất hơn 20 phút và
8% số ngày mất hơn 30 phút.
a) Tính trị trung bình và phương sai của thời gian đến
trường của A.
b) Giả sử A xuất phát ở nhà trước giờ vào học 25 phút,
tính xác suất để A muộn học.
c) A cần xuất phát trước giờ học bao nhiêu phút để XS bị
muộn học của A bé hơn 0,02?
Cho: ꢂ −0,385 =0,35; ꢂ(0,695)= 0,51; ꢂ(1,405)=0,92; ꢂ(2,054)=0,98;
ꢂ(ꢀ) là hàm PP của biến X ~ ꢟ(0, 1).
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Chú ý: Trong (13) tiết 4 chương I có thể hiệu chỉnh ꢀꢁ như sau:
ꢂ ꢋꢃꢄꢋꢪ,ꢹ
ꢀꢃ = ꢂ ꢋꢃꢄꢔꢪ,ꢹ
;
ꢀꢄ =
.
ꢦ
ꢆ
ꢃꢄꢅ
ꢃꢄꢅ
5. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ
ꢂ
ꢍ(ꢀ) =
, ꢀ ∈ ℝ.
ꢤꢣ
ꢣ
ꢇ ꢔꢇ
a) Tìm hằng số ꢴ và hàm PPXS.
b) Phải quan sát ꢁ bao nhiêu lần để thấy có ít nhất một lần
ꢁ có giá trị rơi vào khoảng (ln ꢄ , ln 3) với XS 0,9?
ꢽ
6. Cho biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với tham số ꢙ = 1.
Xét biến Y = 2ꢁ2. Tính: a) ꢶ(2 <Y < 18), b) ꢶ(Y < 4).
7. Lãi suất đầu tư vào một dự án được coi là biến ngẫu nhiên
tuân theo luật chuẩn. Theo đánh giá của các chuyên gia
thì với XS 0,1587 dự án cho lãi suất lớn hơn 20% và với
XS 0,0288 cho lãi suất lớn hơn 25%. Vậy khả năng đầu tư
không bị lỗ là bao nhiêu?
8. Trong một kỳ thi điểm số trung bình của các sinh viên là
80 và phương sai là 100. Giả sử điểm thi đó tuân theo luật
phân phối chuẩn.
a) Nếu giáo viên muốn 25% sinh viên đạt điểm A (nhóm
điểm cao nhất) thì điểm số thấp nhất của nhóm phải là
bao nhiêu?
b) Nếu chọn ngẫu nhiên 50 sinh viên, tính XS trong đó có
nhiều hơn 10 sinh viên đạt điểm A (điểm A ở câu a).
9. Cho X ~ ꢟ(0, 1) và xét Y = ꢇ + ꢉꢁ + ꢈꢁꢃ, ꢇ, ꢉ, ꢈ là các
hằng số. Tính ꢫꢻ và ꢺꢻ.
10. Chặt ngẫu nhiên một đoạn dây có độ dài ꢇ và dùng một
đoạn con làm bán kính của một mặt tròn. Tìm trị trung
bình và phương sai của diện tích mặt tròn đó.
11. Cho biến ngẫu nhiên ꢁ có hàm mật độ
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
ꢍ(ꢀ) = ꢴꢚꢋꢛ ꢐ , ꢀ ∈ ℝ.
a) Tìm ꢴ và hàm PPXS của ꢁ.
b) Tính kỳ vọng và phương sai của X.
12. Cho một phần tư mặt tròn tâm O(0,0) bán kính bằng a, ký
hiệu là OAB, với toạ độ tương ứng A(ꢇ,0) và B(0,ꢇ). Trên
đoạn OA lấy ngẫu nhiên một điểm C, dựng một đường
thẳng đi qua C vuông góc với OA và cắt cung tròn tại điểm
D. Tính kỳ vọng và phương sai của độ dài đoạn CD.
17 trang
23320
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Xác suất thống kê - Chương 2 - Bài 2: Biến ngẫu nhiên liên tục - Tống Đình Quỳ", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_xac_suat_thong_ke_chuong_2_bai_2_bien_ngau_nhien.pdf
