Bài tập Đại số áp dụng từ K60
ĐHBKHN
Viện Toán ứng dụng và Tin học
Bài tập đại số áp dụng từ k60
(Kiểm tra giữa kỳ chung toàn khóa: Tự luận, 60 phút, sau khi học tám tuần, hệ số 0,3, nội dung : Các
chương 1 và 2) .
Chương I
Tập hợp – Logic – Ánh xạ - Cấu trúc đại số - Số phức
Bài 1. Lập bảng giá trị chân lý của các biểu thức mệnh đề sau
b)
A B C B
a)
A B C C
Bài 2. Chứng minh các mệnh đề sau đây là đúng :
c)
d)
.
A A B B
a)
.
A A C C
A B A C B C C
b)
.
A B B C A C
Bài 3. Chứng minh rằng:
a)
và
là tương đương logic.
A B
A B A B
b) A B C và A B C không tương đương logic.
c)
và
là tương đương logic.
A B
A B
Bài 4. Cho A là tập hợp con của tập số thực, cận dưới đúng của A kí hiệu
x0
có thể xác định bởi
Inf(A) = x0
mệnh đề sau: “ Với mọi x trong A có x0 x và với x1 có tính chất là x1 x với mọi x trong A thì suy ra
”. Hãy dùng các kí hiệu để diễn tả mệnh đề trên và mệnh đề phủ định của nó. Từ đó đưa ra cách chứng
x1 x0
minh một số không phải là Inf(A).
Bài 5. Giả sử
là các hàm số xác định trên . Kí hiệu
,
.
f(x),g(x)
A x f (x) 0 B x g(x) 0
Xác định tập nghiệm phương trình:
2
2
a)
b)
f (x) g(x) 0
f(x)g(x) 0
2
A x x2 4x 3 0 B x x 1 1 C x x 5x 6 0
Bài 6. Cho 3 tập hợp
,
,
. Xác
định tập hợp sau: A B C và A B C.
Bài 7. Cho A, B, C là các tập hợp bất kì, chứng minh:
a) A B \ C A B \ A C .
b) A B\ A A B.
1
ĐHBKHN
Viện Toán ứng dụng và Tin học
Bài 8. Cho hai ánh xạ
g :
f : \ 0
2x
1
x
x
x
1 x2
a) Ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh. Tìm
.
g()
b) Xác định ánh xạ
.
h g f
Bài 9. Chứng minh các tính chất của ảnh và nghịch ảnh của ánh xạ f: X
Y
a)
b)
c)
d)
e)
.
f(A B) f (A) f(B); A, B X
f(A B) f(A) f (B); A, B X
.Nêu ví dụ chứng tỏ điều ngược lại không đúng.
f 1(A B) f 1(A) f 1(B); A,B Y
f 1(A B) f 1(A) f 1(B); A,B Y
f 1(A \ B) f 1(A) \ f 1(B); A,B Y
f) Chứng minh f là đơn ánh khi và chỉ khi
f(A B) f (A)f (B); A,B X
xác định bởi f x x2 4x 5, x , và
.
A x 3 x 3
Bài 10. Cho ánh xạ
f :
Xác định các tập hợp f(A), f-1(A).
Bài 11. Cho G f ,f ,f ,f ,f ,f là tập các ánh xạ từ \ 0;1 \ 0;1 xác định như sau:
1 6
2
3
4
5
1
1
1
x
.
f1(x) x;f2 (x)
;f3 (x) 1 ;f4 (x) ;f5 (x) 1 x;f6 (x)
1 x
x
x
x 1
Chứng minh G cùng với phép toán là phép hợp thành tích ánh xạ lập thành một nhóm không Abel.
Bài 12. Nêu rõ các tập sau với các phép toán thông thường các lập thành một vành, trường không?
a) Tập các số nguyên lẻ.
d)
e)
.
X a b 2 a, b
b) Tập các số nguyên chẵn.
c) Tập các số hữu tỉ.
Y a b 3 a,b
Bài 13. Viết các số phức sau dưới dạng chính tắc:
(1i)21
(1i)13
(1 i 3)9
8 1 i 3
(2 i 12)5 ( 3 i)11
.
a)
b)
c)
d)
Bài 14. Tìm nghiệm phức của phương trình sau:
z2 z 1 0
z2 2iz 5 0
z4 3iz2 4 0
a)
b)
c)
2
ĐHBKHN
Viện Toán ứng dụng và Tin học
(z i)4
(z i)4
z6 7z3 8 0
z ( 3 i) 1 i
z2 (7 i)z 14 5i 0
g)
8
d)
e)
1
f)
1
.
1
z 2cos
zn 2cosn,n
Bài 15. Chứng minh nếu
thì
z
zn
Bài 16.
a) Tính tổng các căn bậc n của 1.
b) Tính tổng các căn bậc n của số phức z bất kỳ.
n1
2k
n
2k
n
m
c) Cho
. Tính tổng S
;k 0,1,...,(n 1)
m .
k cos
isin
k
k0
(x 1)9 1
Bài 17. Cho phương trình
.
0
x
a) Tìm các nghiệm của phương trình trên.
b) Tính môđun của các nghiệm.
8
k
9
c) Tính tích của các nghiệm từ đó tính
.
sin
k1
Bài 18. Tìm nghiệm phức của phương trình sau:
1024
z3
z7
a)
b) z4 z z.
Bài 19. Cho x, y, z là các số phức có môđun bằng 1. So sánh môđun của các số phức x + y + z và xy + yz + zx.
Chương II
Ma trận - Định thức - Hệ phương trình
1 3
2
2
1 1
1 2 1
Bài 1. Cho các ma trận A 2
1
3
1 ,B 2 3 0 ,C 3 4 1 .
0
2
1
2 4
2
0 2
Tính các ma trận : A+BC, AtB-C, A(BC), (A+3B)(B-C).
Bài 2. Tìm ma trận X thoả mãn:
1
2 3 0
1 2
a)
2X
3 4 2 1
5
7
3
ĐHBKHN
Viện Toán ứng dụng và Tin học
1 3 2 2 5 6
0
6 6
1
b) X 3 4 1 1 2 5 2
9
2
2
2 5 3 1 3 2
4 8 6
1 2 3
2
Bài 3. Cho ma trận A 2 4 1 và hàm số
. Tính f(A).
f(x) 3x 2x 5
3 5 3
a 1 0
cosa -sina
sina cosa
Bài 4. a) Cho
. Tính
.
b) Cho A 0 a 1 . Tính
A
An
An
.
0 0 a
Bài 5. Tìm tất cả các ma trận vuông cấp 2 thoả mãn:
0 0
0 0
1 0
0 1
a) X2
b) X2
a b
2
Bài 6. a) Chứng minh rằng ma trận
thoả mãn phương trình sau:
.
x (a d)x ad bc 0
A
c d
Ak 0,(k 2)
2
b) Chứng minh với A là ma trận vuông cấp 2 thoả mãn thì
.
A 0
Bài 7. Không khai triển định thức mà dùng các tính chất của định thức để chứng minh:
a1 b1x a1 b1x c1
a1 b1 c1
a) a2 b2x a2 b2x c2 2x a2 b2 c2
a3 b3x a3 b3x c3
a3 b3 c3
1 a bc 1 a a2
b) 1 b ac 1 b b2 .
1 c ab 1 c c2
1 a a3
1 a a2
c) 1 b b3 (a b c) 1 b b2 .
1 c c3
1 c c2
Bài 8. Tính các định thức sau:
1
3
5
1
4
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a
a b ab a2 b2
B b c bc b2 c2
c a ca a2 c2
2 1 1
a)
b)
c)
C
A
5
7
1
7
1
7
9
1
4
ĐHBKHN
Viện Toán ứng dụng và Tin học
1
1
2
2
1
3
3
5
1 x
1
1 x
1
1
1
1
1
1 2 x2
1
1
1
d)
e)
.
D
E
2
2
3
3
1 z
1
1
1 9 x2
1
1 z
Bài 9. Chứng minh nếu A là ma trận phản xứng cấp n lẻ thì det(A)=0.
Bài 10. Tìm hạng của các ma trận sau:
4 3 5 2
8 6 7 4
3
2
7
1
3
5
1
2 1 1
4
a)
b)
A
B 4 3 8 2
5
7
1
7
1 7
4 3
1
2 5
9
1
8 6 1 4 6
Bài 11. Biện luận theo a hạng của ma trận sau:
3
1
a
1
7
2
2
1 2 1 1 1
4
a 1 1 1 1
a)
b)
.
A
B
1 10 17 4
1 a
0
1
1
4
1
3
3
1 2 2 1 1
Bài 12. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:
1 a
0
a
1
0
0
3 4 5
3 4
5 7
0
0
0
1
0
0
a)
b) B 2 3 1
c)
.
A
C
a
1
3 5 1
0
akAk ak1Ak1 a1A a0E 0,(a0 0)
Bài 13. Chứng minh rằng ma trận A vuông cấp n thoả mãn
thì A là
ma trận khả nghịch.
1 2
1
1 2
2 12 10
AX B CT
.
Bài 14. Cho A 2
3
4 ;B 3 4 ;C
. Tìm ma trận X thỏa mãn
6 16
7
3
1 1
0 3
Bài 15. Giải hệ phương trình sau:
x 2x x 4
3x 5x 7x 1
1
2
3
1
2
3
a)
b)
2x x x 0
x 2x 3x 2
1
2
3
1
2
3
x1 x2 x3 1
2x1 x2 5x3 2
5
ĐHBKHN
Viện Toán ứng dụng và Tin học
3x1 x2 3x3 1
4x1 2x2 x3 3
2x1 x2 4x3 4
2x 3x 4x 1
1
2
3
3x 5x 2x 4x 2
1
2
3
4
3x1 x2 x3 2
5x1 2x2 5x3 3
x1 4x2 3x3 1
c) 7x 4x x 3x 5
d)
e)
1
2
3
4
5x1 7x2 4x3 6x4 3
10x1 5x2 6x3 10
Bài 16. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss.
2x1 3x2 x3 x4 3 0
3x x 2x 4x 8 0
3x 2x x x 0
1
2
3
4
1
2
3
4
a)
c)
b) 3x 2x x x 0
1
2
3
4
x1 x2 3x3 2x4 6 0
x1 x2 2x3 5x4 0
x1 2x2 3x3 5x4 3 0
2x1 2x2 x3 x4 x5 1
x1 2x2 x3 x4 2x5 1
4x1 10x2 5x3 5x4 7x5 1
2x1 14x2 7x3 7x4 11x5 1
Bài 17. Giải và biện luận các hệ phương trình :
ax x x x 1
2
(2 a)x x x 0
x1 ax2 a x3 a
1
2
3
4
1
2
3
2
a) x ax x x a
b) x (2 a)x x 0
c)
.
ax -a x ax 1
1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
2
3
x1 x2 ax3 x4 a
x1 x2 (2 a)x3 0
ax1 x2 a x3 1
3
2
Bài 18. Tìm đa thức bậc 3 :
thoả mãn p(1) = 0; p(-1) = 4 ; p(2) = 5; p(-2) = -15.
p(x) ax bx cx d
1 2
a
1
Bài 19. Cho phương trình ma trận: 2 7 2a 1 X 2
3 9
4a
1
a) Giải phương trình khi a = 0.
b) Tìm a để phương trình có vô số nghiệm.
x1 2x2 x3 mx4 4
x1 x2 3x3 2x4 k
2x1 x2 3x3 (m 1)x4 3
x1 x2 x3 2mx4 5
Bài 20. Cho hệ phương trình
.
a) Giải hệ phương trình khi m = 2, k = 5.
b) Tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất.
b) Tìm điều kiện để hệ phương trình có vô số nghiệm.
6
ĐHBKHN
Viện Toán ứng dụng và Tin học
Chương III. Không gian véc tơ
Một vài ký hiệu thường gặp:
n
(x ,x ,,x ) x ,i 1,n
1
2
n
i
P x a a x a xn a ,i 0,n
n
0
1
n
i
M
mn = tập các ma trận kích thước mxn. Đặc biệt Mn là tập các ma trận vuông cấp n.
Bài 1. Tập V với các phép toán có phải là không gian véc tơ không?
a) V (x, y, z) x, y,z với các phép toán xác định như sau
(x, y,z) (x ', y',z') (x x ', y y',z z')
k(x, y,z) ( k x, k y, k z)
2
b)
với các phép toán xác định như sau:
V x (x , x ) x 0, x 0
1
2
1
2
k
k
và
trong đó k là số thực bất kỳ
k(x1, x2 ) (x1 , x2 )
(x1, x2 ) (y1, y2 ) (x1y1, x2y2 )
Bài 2. Chứng minh các tập hợp con của các không gian véc tơ quen thuộc sau là các không gian véc tơ con của
chúng:
3
a) Tập
.
E x , x , x 2x 5x 3x 0
3
1
2
1
2
3
b) Tập các đa thức có hệ số bậc nhất bằng 0 (hệ số của x )của KGVT Pn[x] .
c) Tập các ma trận tam giác trên của tập các ma trận vuông cấp n.
d) Tập các ma trận đối xứng của tập các ma trận vuông cấp n.
e) Tập các ma trận phản xứng của tập các ma trận vuông cấp n (
).
aij aji
f) Tập các hàm khả vi trong không gian các hàm số xác định trên [a,b].
Bài 3. Cho là hai không gian véc tơ con của KGVT V. Chứng minh:
V ,V2
1
a)
là KGVT con của V.
V V2
1
b) Cho
. Chứng minh
là KGVT con của V.
V V2
V V : u u u V ,u V
2
1
2
1
2
1
1
2
1
Bài 4. Cho
là hai không gian véc tơ con của KGVT V. Ta nói
là bù nhau nếu
V ,V2
V ,V2
1
1
V V V,V V . Chứng minh rằng
bù nhau khi và chỉ khi mọi véc tơ u của V có biểu diễn
V ,V2
1
2
1
2
1
duy nhất dưới dạng
.
u u1 u2 , (u1 V , u2 V2 )
1
7
ĐHBKHN
Viện Toán ứng dụng và Tin học
Bài 5. Cho V là KGVT các hàm số xác định trên [a,b] . Đặt
;
.
V f(x) V f (x) f (x),x a,b
V f (x)V f(x) f(x),x a,b
1
2
Chứng minh
là bù nhau.
V ,V2
1
Bài 6. Cho
là hai không gian véc tơ con của KGVT V, v ,v ,,v là hệ sinh của , u ,u ,,u
V ,V2
V
m
n
1
1
2
1
1
2
là hệ sinh của
. Chứng minh v ,,v ,u ,u ,,u là hệ sinh của
.
V2
V V2
n
1
m
1
2
1
Bài 7. Trong KGVT V, cho hệ véctơ u , u ,,u , u
là phụ thuộc tuyến tính và u ,u ,,u là hệ độc lập
n
n1
1
2
n
1
2
tuyến tính. Chứng minh
là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ
.
un1
u1, u2 ,,un
3
Bài 8. Trong
xét xem các hệ véc tơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính:
a)
.
v1 (1;2;3), v2 (3;6;7)
b) v 4;2;6 , v (6;3;9).
1
2
c) v (2;3;1),v (3;1;5),v 1;3;4 .
1
2
3
3
Bài 9. Trong , chứng minh v (1;1;1),v (1;1;2),v 1;2;3 lập thành một cơ sở. Xác định ma trận
1
2
3
chuyển từ cơ sở chính tắc sang cơ sở trên và tìm toạ độ của
đối với cơ sở trên theo hai cách trực
x (6;9;14)
tiếp và dùng công thức đổi tọa độ.
3
Bài 10. Trong các trường hợp sau, chứng minh B v ,v ,v là một cơ sở của và tìm v biết rằng:
3
1
2
B
a) v (2;1;1),v (6;2;0),v (7;0;7),v 15;3;1 .
1
2
3
b)
.
v (0;1;1), v (2;3;0), v 1;0;1 , v (2;3;0)
1
2
3
Bài 11. Tìm cơ sở và số chiều của KGVT sinh bởi hệ véc tơ sau:
4
a)
trong .
v1 (2;1;3;4), v2 (1;2;0;1), v3 (1;1;3;0)
5
b)
trong .
v1 (2;0;1;3;1), v2 (1;1;0;1;1), v3 (0;2;1;5;3), v4 (1;3;2;9;5)
4
Bài 12. Trong
cho các véc tơ :
. Đặt
v1 (1;0;1;0), v2 (0;1;1;1), v3 (1;1;1;2), v4 (0;0;1;1)
. Tìm cơ sở và số chiều của các KGVT
.
V V2 , V V2
V span{v1, v2}, V2 span{v3, v4}
1
1
1
2
2
3
Bài 13. Trong P x cho các véc tơ
.
v1 1, v2 1 x, v3 x x , v4 x x
3
a) Chứng minh
là một cơ sở của
.
B v , v , v , v
P x
3
4
v 2 3x x2 2x3
1
2
3
b) Tìm toạ độ của véc tơ
đối với cơ sở trên.
8
ĐHBKHN
c) Tìm toạ độ của véc tơ
Viện Toán ứng dụng và Tin học
v a0 a1x a2x2 a3x3
đối với cơ sở trên.
2
3
B 1,a x,(a x)2 ,(a x)3
Bài 14. Cho KGVT P x với cơ sở chính tắc
và cở sở
. Tìm
E 1, x, x , x
3
v 2 2x x2 3x3
ma trận chuyển cơ sở từ E sang B và ngược lại từ B sang E. Từ đó tìm tọa độ của véc tơ
đối với cơ sở B.
2
3
v1 1 x x v2 x x2 2x3 v1 2 x 3x3
Bài 15. Cho KGVT P x và hệ véc tơ
,
,
,
3
v4 1 x x2 2x3 .
a) Tìm hạng của hệ véc tơ.
b) Tìm một cơ sở của không gian
span{v1,v2 ,v3,v4}
Bài 16. Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình thuần nhất sau:
x x 2x 2x x 0
1
2
3
4
5
2x x 3x 2x 4x 0
1
2
3
4
5
x 2x 3x x 5x 0
1
2
3
4
5
a)
b) 4x 2x 5x x 7x 0
1
2
3
4
5
2x1 x2 x3 x4 3x5 0
3x1 x2 2x3 x4 x5 0
2x1 x2 x3 8x4 2x5 0
Bài 17. Cho A,B là các không gian hữu hạn chiều. Chứng minh
dim(A B) dim(A) dim(B) dim(A B)
Chương IV. Ánh xạ tuyến tính
3
2
Bài 1. Cho ánh xạ
xác định bởi công thức
.
f(x1, x2, x3 ) (3x1 x2 x3,2x1 x3 )
f :
a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc.
c) Tìm một cơ sở của kerf.
3
4
Bài 2. Cho ánh xạ
xác định bởi công thức
f(x1, x2, x3 ) (x1 x2, x2 x3, x3 x1, x1 x2 x3 )
f :
a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc.
Bài 3. Cho ánh xạ đạo hàm D :P x P x xác định bởi
n n
D(a0 a1x a2x2 an xn ) a1 2a2x nan xn1
.
a) Chứng minh D là ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm ma trận của D đối với cơ sở chính tắc E 1, x, x2 ,, xn .
c) Xác định kerf và imf
Bài 4. Cho ánh xạ f : P x P x xác định như sau: f(p) p x2p,pP x
2 4 2.
9
ĐHBKHN
a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.
Viện Toán ứng dụng và Tin học
E 1, x, x2
E 1, x, x2 , x3, x4
b) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc
của P x và
2
của
1
2
P x .
4
2
2
3
4
c) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở
của P x và
của
E ' 1 x, 2x,1 x
E 1, x, x , x , x
2
1
2
P x .
4
2
Bài 5. Xét giống như tập các véc tơ thông thường trong mặt phẳng có gốc ở gốc tọa độ. Cho f là phép quay
2
một góc .Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của .
a b a b b c
Bài 6. Cho ánh xạ
xác định như sau:
.
f : M2 M2
f
c d
c d d a
a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
1 0
0 0
0 1
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc e1
,e2
,e3
,e4
của M2
.
1
3
0
1
Bài 7. Cho A 2
5 là ma trận của axtt f : P x P x đối với cơ sở B v ,v ,v trong đó:
2
2
3
1
2
6 2
4
v1 3x 3x2, v2 1 3x 2x2 , v3 3 7x 2x2.
2
a) Tìm
.
b) Tìm
.
f(v1),f (v2 ),f(v3)
f(1 x )
3
3
Bài 8. Cho ánh xạ
xác định bởi f x ,x ,x (x x x ,x x x ,x x x ). Tìm ma
f :
3
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
trận của f đối với cơ sở B v (1;0;0),v (1;1;0),v (1;1;1) .
1
2
3
*
Bài 9. Cho V là KGVT
={f: V R, f là ánh xạ tuyến tính}.
V Hom(V,R)
1
khi i j
khi i j
*
Giả sử V có cơ sở {e ,e ,...,e }. Xét tập hợp {f ,f ,...,f }
trong đó
. Chứng minh
V
f (e )
1
2
n
1
2
n
i
j
0
{f1,f2,...,fn} là cơ sở của V*, và được gọi là cơ sở đối ngẫu ứng với {e1,e2,...,en}.
Bài 10. Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta xác định ánh xạ
như sau
fA (X) AX.
fA : Mn Mn
a) Chứng minh là biến đổi tuyến tính.
fA
b) Giả sử
. Chứng minh f là đẳng cấu tuyến tính.
A
det(A) 0
10
ĐHBKHN
Viện Toán ứng dụng và Tin học
là
M2
a b
c d
c) Cho
. Tìm ma trận của đối với cơ sở chính tắc của
fA
A
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
1 0
0 0
0 1
E1
,E2
, E3
,E3
.
3 2 1 0
4
3
Bài 11. Cho ma trận A 1 6 2 1 là ma trận của ánh xạ tuyến tính
đối với cặp cơ sở
f :
3 0 7 1
3
B v ,v ,v ,v của 4 và B' u ,u ,u của
trong đó :
4
3
1
2
3
1
2
và
.
u1 (0;8;8),u2 (7;8;1),u3 (6;9;1)
v1 (0;1;1;1), v2 (2;1;1;1), v3 (1;4;1;2), v4 (6;9;4;2)
a) Tìm f (v ) , f(v ) , f (v ) , f(v ) .
1
2
3
4
B'
B'
B'
B'
b) Tìm f(v1),f(v2 ),f(v3 ),f (v4 ).
c) Tìm
.
f(2;2;0;0)
Bài 12. Cho toán tử tuyến tính trên ꢀꢁ[ꢂ] xác định bởi:
ꢁ
ꢁ
ꢁ
ꢁ
(
)
(
)
(
)
ꢃ 1 + 2ꢂ = −19 + 12ꢂ + 2ꢂ ;ꢃ 2 + ꢂ = −14 + 9ꢂ + ꢂ ;ꢃ ꢂ = 4 − 2ꢂ − 2ꢂ
( )
Tìm ma trận của ꢃ đối với cơ sở chính tắc của ꢀꢁ[ꢂ] và tìm ꢄꢅꢆꢇ ꢃ .
Bài 13. Cho V,V' là 2 KGVT n chiều và
là ánh xạ tuyến tính. Chứng minh các khẳng định sau tương
f : V V '
đương:
a) f là đơn ánh.
b) f là toàn ánh.
c) f là song ánh.
Bài 14. Tìm các giá trị riêng và cơ sở không gian riêng của các ma trận:
2
1
0
3
3
0
10 9
a)
b)
c) C 5 3
A
B
8 1
4
2
1
0
2
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 1
0
1 0
4 5 2
d) D 4 4 0
e) E 5 7 3
f)
.
F
2 1 2
6 9 4
Bài 15. Cho ánh xạ tuyến tính f : P x P x xác định như sau:
2
2
f(a0 a1x a2x2 ) (5a0 6a1 2a2 ) (a1 8a2 )x (a0 2a2 )x2
.
a) Tìm giá trị riêng của f.
11
ĐHBKHN
b) Tìm các véc tơ riêng ứng với các giá trị riêng tìm được.
Viện Toán ứng dụng và Tin học
Bài 16. Tìm ma trận P làm chéo hóa A và xác định P-1AP khi đó với:
1 0 0
2 1 2
14 12
20 17
1
0
a)
b)
c) C 0 1 1 d) D 0 3 1 .
A
B
6 1
0 1 1
0 0
3
Bài 17. Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo không? Nếu có , tìm ma trận cheo đó:
1 4 2
5 0 0
0 0 0
a) A 3 4
0
3
b) B 1 5 0
c) C 0 0 0 .
3 1
0 1 5
3 0 1
3
3
Bài 18. Cho ánh xạ tuyến tính
xác định như sau:
f :
. Hãy tìm cơ sở để f có dạng chéo.
f(x1, x2 , x3) (2x1 x2 x3, x1 x2 ,x1 x2 2x3 )
3
3
3
Bài 19. Tìm cở sở của để ma trận của
có dạng chéo trong đó
f :
.
f(x1, x2, x3 ) (2x1 x2 x3, x1 2x2 x3, x1 x2 2x3)
f 2 f f : V V
Bài 20. Cho
là toán tử tuyến tính. Giả sử
là giá trị riêng của f.
có giá trị riêng 2 . Chứng minh một
f : V V
trong 2 giá trị hoặc
Bài 21. Cho D : P x P x là ánh xạ đạo hàm, còn g : P [x] P [x] xác định bởi
n
n
n
n
2
n
n1
. Tìm các giá trị riêng của D và g.
g(a0 a1x a2x an x ) (2x 3)(a1 2a2x nan x )
Bài 22. Cho A là ma trận kích thước mn , B là ma trận kích thước
. Chứng minh
n p
rank(AB) min rank(A),rank(B) , với rank(A) = hạng của ma trận A.
Chương V
Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclide, đường mặt bậc hai
Bài 1. Cho f là dạng song tuyến tính trên không gian véc tơ 3 chiều V có ma trận đối với cơ sở ꢈ = {ꢉꢊ,ꢉꢁ, ꢉꢋ}
1
1
0
0
1
1
1
là A 2
2 . Cho
là ánh xạ tuyến tính có ma trận đối với cơ sở B là B 3 4 2 .
h : V V
3
4
5
1
2 3
(
) (
)
a) Xác định ꢃ ꢉꢊ; ꢉꢋ ;ꢃ ꢉꢊ − ꢉꢁ + ꢉꢋ,2ꢉꢊ + 3ꢉꢁ − ꢉꢋ
12
ĐHBKHN
Viện Toán ứng dụng và Tin học
b) Chứng minh ánh xạ g(u,v) f u,h(v) là dạng song tuyến tính trên V. Tìm ma trận của nó đối với cơ
sở B.
( ) ( )
( )
Bài 2. Cho dạng song tuyến tính trên ꢀꢁ[ꢂ] xác định bởi ꢃꢌꢍ ꢂ ,ꢎ ꢂ ꢏ = ꢍ 1 ꢎ(2). Tìm ma trận và biểu thức
của ꢃ đối với cơ sở chính tắc.
3
Bài 3. Trên cho các dạng toàn phương có biểu thức tọa độ:
2
2
1(x1, x2 , x3 ) x12 5x2 4x3 2x1x2 4x1x3 .
2 (x1, x2, x3 ) x1x2 4x1x3 x2x3 .
a) Bằng phương pháp Lagrange, đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc.
b) Xét xem các dạng toàn phương xác định dương , âm không?
Bài 4. Xác định a để các dạng toàn phương xác định dương:
2
2
2
a)
.
5x1 x2 ax3 4x1x2 2x1x3 2x2x3
2
2
2
2
2
2
b)
.
c)
.
x1 x2 5x3 2ax1x2 2x1x3 4x2x3
2x1 x2 3x3 2ax1x2 2x1x3
Bài 5. Cho dạng song tuyến tính trên ℝꢋ xác định bởi:
(
) (
)
< ꢂꢊ, ꢂꢁ, ꢂꢋ , ꢐꢊ, ꢐꢁ, ꢐꢋ > = 2ꢂꢊꢐꢊ + ꢂꢊꢐꢁ + ꢂꢁꢐꢊ + ꢅꢂꢁꢐꢁ − 2ꢂꢁꢐꢋ − 2ꢂꢋꢐꢁ + 3ꢂꢋꢐꢋ
(ꢅ là tham số). Tìm ma trận của dạng song tuyến tính trên đối với cơ sở chính tắc của ℝꢋ và tìm điều kiện của ꢅ
để dạng song tuyến tính là một tích vô hướng trên ℝꢋ.
3
Bài 6. Trong trang bị một dạng song tuyến tính như sau:
4
2
3
1
f (x, y) (x1, x2 , x3 )A(y1, y2 , y3 )t với: A 2
4
và x (x1, x2 , x3 ), y (y1, y2, y3) . Xác định a để
2
1 a 2a
3
f(x,y) là một tích vô hướng trên .
Bài 7. Cho V là không gían Euclide. Chứng minh:
2
2
2
2
a)
.
u v u v 2 u v
2
2
2
b)
.
u v u v u v ,u, v V
Bài 8. Giả sử V là KGVT n chiều với cơ sở B e ,e ,...,e . Với u, v là các véc tơ của V ta có
n
1
2
. Đặt
u a1e1 a2e2 anen ;v b1e1 b2e2 bnen
u, v a1b1 a2b2 anbn
a) Chứng minh
là một tích vô hướng trên V.
u, v
13
ĐHBKHN
b) Áp dụng cho trường hợp
Viện Toán ứng dụng và Tin học
3 , với e 1;0;1 ,e 1;1;1 ,e 0;1;1 ,u 2;1;2 ,v 2;0;5 .
V
1
2
3
Tính u, v .
c) Áp dụng cho trường hợp V P x , với
B 1;x;x2 ,u 2 3x2 , v 6 3x 3x2
.
2
Tính
.
u, v
d) Áp dụng cho trường hợp V P x , với B 1 x;2x;x x2 , u 2 3x2 , v 6 3x 3x2 . Tính
2
.
u, v
Bài 9. Xét không gian P x . Kiểm tra các dạng
sau có phải là tích vô hướng hay không?
p,q
3
p,q p(0)q(0) p(1)q(1) p(2)q(2)
a)
b)
p,q p(0)q(0) p(1)q(1) p(2)q(2) p(3)q(3)
1
c)
p,q p(x)q(x)dx
1
Trong trường hợp là tích vô hướng tính p,q với p 2 3x 5x2 x3.q 4 x 3x2 2x3
ꢋ
(
) (
) (
)
Bài 10. Cho cơ sở ꢑ = { 1; 1;−2 , 2; 0;1 , 1; 2; 3 } trong không gian ℝ với tích vô hướng chính tắc. Trực
giao hóa Gram-Schmidt cơ sở ꢑ để thu được cơ sở trực chuẩn ꢑꢒ và tìm tọa độ của véc tơ ꢉ = (5; 8; 6) đối với
cơ sở ꢑꢒ.
Bài 11. Tìm hình chiếu trực giao của véc tơ u lên không gian sinh bởi véc tơ v:
a) u 1;3;2;4 , v 2;2;4;5
b) u 4;1;2;3;3 ,v 1;2;5;1;4
ꢋ
(
)
(
)
Bài 12. Cho không gian ℝ với tích vô hướng chính tắc và các véc tơ ꢉ = 3;−2;1 , ꢓꢊ = 2;2;1 , ꢓꢁ =
(
)
2;5; 4 . Đặt ꢔ = ꢕꢍꢅꢆ{ꢓꢊ,ꢓꢁ}. Xác định hình chiếu trực giao của véc tơ ꢉ lên không gian ꢔ.
4
Bài 13. Cho với tích vô hướng chính tắc. Cho u 6;3;3;6 ,u 5;1;3;1 . Tìm cơ sở trực chuẩn của
1
2
không gian sinh bỡi u ,u .
2
1
1
Bài 14. Trong P x định nghĩa tích vô hướng
với p,qP x .
p,q p(x)q(x)dx
2
2
1
2
a) Trực chuẩn hoá Gram – Smit cơ sở
để nhân được cơ sở trực chuẩn A.
B 1;x;x
b) Xác định ma trận chuyển cơ sở từ B sang A
14
ĐHBKHN
c) Tìm r biết
Viện Toán ứng dụng và Tin học
2
r 2 3x 3x
A
Bài 15. Cho không gian Euclide V hữu hạn chiều, W là không gian con của V và u là một véctơ của V. Chứng
minh:
a) Tồn tại véc tơ u' của W sao cho u u ' W
u u ' u w ,w W
b) Khi đó
5
Bài 16. Trong với tích vô hướng chính tắc cho các véc tơ
v 1;1;0;0;0 ,v 0;1;1;2;1 ,v 2;3;1;2;1 . Gọi
5
V x x v ,i 1;2;3
1
2
3
i
5
a) Chứng minh V là không gian véc tơ con của
b) Tìm dimV.
.
Bài 17. Cho V là không gian Ơclit n chiều, V1 là không gian con m chiều của V. Gọi
.
V x V x v, vV
1
2
a) Chứng minh V2 là không gian véc tơ con của V.
b) Chứng minh V1 và V2 bù nhau.
c) Tìm dimV2.
Bài 18. Cho V là không gian Ơclit n chiều, chứng minh điều kiện cần và đủ để ánh xạ
tuyến tính là
f : V
tồn tại véc tơ a cố định của V để
.
f(x) a, x ,x V
Bài 19. Chéo hoá trực giao các ma trận sau
1 0 0
1
1 0
7
2 0
7 24
a) A 0 1 1
b)
c) C 1 1
0
1
d) D 2
6
2
2
5
B
24
7
0
0 1 1
0
0
Bài 20. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp trực giao
2
2
2
a)
x1 x2 x3 2x1x2
2
2
b)
7x1 7x2 48x1x2
2
2
c) 2x1 2x22 3x3 2x1x2 2x2x3
Bài 21. Nhận dạng đường cong phẳng sau:
2
2
2
2
2
2
a)
. b)
. c)
11x 24xy 4y 15 0
.
2x 4xy y 8 0
x 2xy y 8x y 0
2
2
d)
.
2x 4xy 5y 24
15
ĐHBKHN
Viện Toán ứng dụng và Tin học
Bài 22. Nhận dạng các mặt bậc 2 sau:
2
2
2
2
2
2
a)
c)
. b)
.
5x y z 6xy 2xz 2xy 1
x1 x2 x3 2x1x2 4
2
2
2
.
2x1 2x2 3x3 2x1x2 2x2x3 16
2
1
2
2
Bài 23. Cho Q x , x , x 9x 7x 11x 8x x 8x x .
3
1
2
2
3
1
2
1 3
a) Tìm
b) Tìm
. Với giá trị nào thì Q x , x , x đạt max, min.
1 2
Max Q x , x , x , Min Q x , x , x
3
3
3
1
2
1
2
x12 x22 x32 1
x12 x22 x32 1
Max Q x , x , x , Min Q x , x , x
3
3
1
2
1
2
x12 x22 x32 16
x12 x22 x32 16
Bài 24. Cho A, B là các ma trận vuông đối xứng cấp n có các trị riêng đều dương. Chứng minh A+B cũng có
các trị riêng dương.
16
16 trang
18860
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài tập Đại số áp dụng từ K60", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_tap_dai_so_ap_dung_tu_k60.pdf
