Giáo trình Giải tích 2 - Bài 4 - Nguyễn Xuân Thảo

Download

2/9/20142/9/20142/9/20142/9/2014PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

[email protected]u.vn

GIẢI TÍCH 2

BÀI 4.

§ 3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số (TT)

3.6. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số khác

3.6.1. Tính tich phân Dirichlet

^sin yx





dx, y 

^{a) Định nghĩa I y }

 

sin yx





hàm

xác định trên

, ở đó

f 0, y  y

f x, y 















b) Các tính chất.

1/ I y hội tụ đều trên [ ; ], với    > 0 (hoặc    < 0)

 



2/ I y  signy

 

3.7. Tính liên tục



Bổ đề. Cho

hội tụ đều trên tập U và dãy số {a_n} thoả mãn

I y  f x, y dx

 







, a > a,  n. Khi đó dãy hàm

hội tụ đều về hàm

lim a_n 

 y  f x, y dx

_n 







n

số I(y) trên U.



Định lí 1. Cho hàm f liên tục trên [a, )  [ ; ] và tích phân

tụ đều trên [ ; ]. Khi đó hàm I(y) liên tục trên [ ; ].

hội

I y  f x, y dx

 









Hệ quả. f liên tục và dương trên miền [a ; )  [ ; ], tích phân

hội tụ

f x, y dx







tới hàm liên tục I(y) trên [ ; ]. Khi đó ta có tích phân trên hội tụ đều.

3.8. Tính khả vi

Định lí. Giả thiết rằng



1/ Hàm f liên tục và có đạo hàm riêng f_yliên tục trên miền [a ; )  [ ; ]



^{2/ Tích phân I y }^{f x, y dx hội tụ trên [ ; ]}

 









3/ Tích phân

hội tụ đều trên [ ; ]

f x, y dx







2/9/20142/9/20142/9/20142/9/2014PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

[email protected]u.vn





Khi đó hàm I(y) khảvi trên[; ]và đạo hàmđược tínhtheocông thức I y  f x, y dx

 

_y





3.9. Tính khả tích

Định lí. Cho

1/ Hàm f liên tục trên miền [a ; )  [ ; ]



^{2/ Tích phân I y }^{f x, y dx hội tụ đều trên [ ; ]}

 









Khi đó I(y) khả tích trên [ ; ] và có

dy f x, y dx  dx f x, y dy









 



Hệ quả. Cho

1/ f liên tục, dương trên miền [a ; )  [ ; )



 

hội tụ tới các hàm liên tục

J x  f x, y dy I y  f x, y dx

2/ Các tích phân

 















Khi đó nếu một trong các tích phân sau tồn tại dx f x, y dy , dy f x, y dx









 



thì tích phân còn lại cũng tồn tại và chúng bằng nhau.

3.10. Một số ví dụ.



f_x  t^{ 1}e^te^ixtdt

 

a) Xét sự tồn tại, khả vi của các hàm



^e^ax e^bx

b) Tính

d) Tính

c) Tính

dx, a,b  0

sinmx dx, a,b  0





^arctanax

 _{x(1 x )}

dx, a  0

e) Tính e^ax²cosmx dx, a  0



§ 4. Các tích phân Euler

4.1. Tích phân Euler loại 1

a) Định nghĩa. Tích phân Euler loại 1 (hay gọi là hàm Beta) là tích phân phụ thuộc

^p1

1 x

^q1

dx, p  0, q  0

hai tham số dạng

B p, q  x







b) Tính chất

1/ B(p, q) hội tụ với p > 0, q > 0.

2/ B(p, q) hội tụ đều trên miền [p₀; p₁]  [q₀; q₁], ở đó p₁> p₀> 0, q₁> q₀> 0

2/9/20142/9/20142/9/20142/9/2014PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

[email protected]u.vn

3/ Hàm B(p, q) liên tục

4/ Hàm Beta có tính đối xứng

5/ Công thức truy hồi:

B p, q 1

B p 1, q 1 

B p 1, q 













p  q 1

Nói riêng B(1, 1) = 1, B(p + 1, 1) =

p 1

B p  1, n 

B p 1,1 









p  n p  n 1  p  2

  

p  n p  n 1  p 1

   







 





 



n 1 ! m 1 !

B m, n 

B 1,1 

















m  n 1 !

4.2. Tích phân Euler loại 2

a) Định nghĩa. Tích phân Euler loại 2 (hay còn gọi là hàm Gamma) là tích phân



phụ thuộc một tham số có dạng  p  x^p1e^xdx, p  0

 



b) Tính chất

1/ (p) hội tụ với mọi p > 0, và hội tụ đều trên miền [p₀; p₁] với p₁> p₀> 0

2/ (p) liên tục

3/ Công thức truy hồi

 (x 1)  x (x),x  0

(n + p) = (n + p  1)(n + p  2) ... p (p).



dx  2 e^z²dz  

^e^x

 

Nói riêng (1) = 1;

(n + 1) = n!;





 



 2

 p  q

 

4/ Liên hệ với B(p, q): B p, q 





 p  q





4.3. Một số ví dụ tính tích phân nhờ hàm Gamma và Beta



^t



 

)

 x

t  x t^x1lnt dt

Ví dụ 1. Tính

(





Ví dụ 2. Tính x^me^ax²dx , a>0

(

)

m 1



 2 









m1



B q, p

 /2

sin^2p1 cos^2q1 d

Ví dụ 3. Tính

, p, q > 0

(

)







^2p1



^2q1

1 x

pq

 ^

1 x

Ví dụ 4. Tính

(2^pq2B p, q )









1 x

1

HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

3 trang Thùy Anh 17660 Free

Download

Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 2 - Bài 4 - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

giao_trinh_giai_tich_2_bai_4_nguyen_xuan_thao.pdf