Giáo trình Giải tích 3 - Bài 2: Chuỗi với số hạng có dấu bất kì

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

[email protected]du.vn

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI

BÀI 2

§ 3. Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì

 Chuỗi với số hạng có dấu bất kì

 Tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối

1. Đặt vấn đề.

 Chuỗi đan dấu

2. Chuỗi với số hạng có dấu bất kì



Định nghĩa:

a_nđược gọi là hội tụ tuyệt đối 

a_nhội tụ. Chuỗi

a_nđược



n1



gọi là bán hội tụ 

a_nphân kì và

a_nhội tụ.



n1



Định lý.

a_nhội tụ  a_nhội tụ.



n1

Ví dụ 1. Xét sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi số sau

2



 ^{n n}

n

2ⁿ

a)

c)

1

2

;

b)

d)

sinn²



n1





n1



ⁿ

sinn







sin  2  3

(HTTĐ)



n³

n1

Hướng dẫn.

2



 ^{n n}

b)

+)

sinn²

n

2ⁿ

a)

1

2



n1

sinn²





n

+) Xét

lim sinn² 0

₂

+) Không có

n1

n

Thật vậy, phản chứng có lim sinn² 0

a_n1

1

+)

lim

  1

n

a_n

2



lim sin(2n  3)  0

lim sin(2n 1)  0



n

n

hội tụ

₂

lim cos(2n 1)  0

^n





n1

2

n n

2





(vô lí)

lim sin (2n 1)  cos (2n 1)  0

n

2ⁿ

n



+)

(1)

hội tụ



n1

+)

sinn²phân kì.



n1

11

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

[email protected]du.vn

Nhận xét.



1/ Nếu

a_nphân kì theo tiêu chuẩn D’Alembert hoặc Cauchy 

a_nphân



n1

kì



2/

a_nphân kì 

a_nphân kì (đúng hay sai?)



n1

3. Chuỗi đan dấu



 ^n1

1

Định nghĩa.

a_n, a_n 0 được gọi là chuỗi đan dấu



n1



 ⁿ

Chú ý.

1 a_n, a_n 0 cũng được gọi là chuỗi đan dấu.



n1

Định lí Leibnitz



 ^n1

1

Dãy

a

giảm,

,



a_nhội tụ và có

a_n 0

lim a_n 0

 

n



n

n1



 ^n1

1

a_n a₁



n1

Chứng minh:

+) n  2m:

 Có S_2m a  a  a  a   a_2m1 a_2m S

₂



_2m



tăng









₄



1

3

 S_2m a  a  a  a  a  a_2m2 a_2m1 a  a₁







₃

 

₅



1

2

4

2m

 Từ đó

và có

S  a₁

 lim S_2m S

m

+) n  2m 1:

 S_2m1 S_2m a_2m1

 Do



.

lim S_2m1 S

lim a_2m1 0

m

Định lí được chứng minh.

Ví dụ 2.

Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của các chuỗi số sau

 ^n1

 ^n1



1

a)

(Bán HT)

c)

(HTTĐ)

 _{2n 1}

_

n1



³

2n 1

n1



 ^n1

1

n

b)

(Bán HT)

d)

(PK)



6n  5

n1

n

n1

12

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

[email protected]du.vn











n  1 sin



2n



_n13.5.7 2n  1

 

1

e)

f)

(HTTĐ)

(PK)

o)

p)

,    (HTTĐ)



n1





n1



³n⁷ 2n³ 3

 ⁿ



2.5.8 3n 1





1.4.7 3n  2

1

 ^n1

1

(Bán HT)



n1



_{n  lnn}



7.9.11 2n  5

n1

q) Xét sự hội tụ

1

 ^n1



g)

1

tan

(HTTĐ)



lnn

 ^n1





n n

1)

2)

3)

1

ln 1

(HT)

n1







n1





n 

2



_n12ⁿ

 

1

h)

i)

(PK)







n1



ln n

 ^n1

n!

1

ln 1

(HT)









n 

n1

n

 ⁿ

ⁿ

1

(PK)













n1



1

n²

 ^{n1 }

2n²1

1

 1

1 (HT)













n

n1

n 1

 n  2

 ⁿ





2

k)

l)

1

(PK)







n1







ⁿ



1

n⁴

^n1^



 

4)

1

1

1 (HT)













₂n 1

n1

 ^n1

(HTTĐ)

1

ln



n1



n

n²



_n1lnn

n  2





(1)ⁿ

 

1

m)

(Bán HT)

r

r)1)

2)











n

n1



1.3.5...(2n 1)

3.5.8...(3n 1)

(1)^n1



n1

Hướng dẫn.

 ^n1

1 n

6n  5



1

b) +)

là chuỗi đan dấu

1

d) +)

là chuỗi đan dấu



n

n1



1









n

1

n

+)

giảm và có

lim

 0



+) lim





phân kì



n

n



n

6n  5 6

_n16n  5

+) Hội tụ theo Leibnitz

n

 ^n1

+)  lim 1



1

n

6n  5

+)

phân kì  bán hội tụ





n

n1

n

 ⁿ

+)

phân kì.

1



6n  5

n1

4. Tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối



a)

 chuỗi số nhận được từ chuỗi này bằng cách đổi thứ tự các số

a_n S



n1

hạng và nhóm tuỳ ý các số hạng cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng

S

13

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

[email protected]du.vn



b) Cho

a_n S ,

a_nphân kì  có thể thay đổi thứ tự các số hạng của nó



n1

để chuỗi thu được hội tụ và có tổng là một số bất kì cho trước hoặc trở nên phân

kì.



Định nghĩa. Cho

a_n,

b_n, khi đó ta định nghĩa phép nhân chuỗi:

 

n1

n

















, ở đó c_n

c_n

a_kb_n1k

a_n

b_n





_  





k1

n1 n1

n1

















c)

a_n S₁,

b_n S₂

a_n

b

 S₁S₂



ⁿ



_ 

n1

 n1  n1



1

n1

Ví dụ 3. a) Xét sự hội tụ của tích các chuỗi số sau:

và

.

_{n n}₂

n1



n







1

n  2  k

n 1 k

 ^k1

1

b) Xét sự hội tụ của chuỗi số

c) Xét sự hội tụ của chuỗi số

Hướng dẫn.

tan

.ln²





_

k k

n1 k1







n

k cos(k)

k⁷ k⁴1

(1)^n1k





,

 

3

 _k1



n1



(n 1 k)² ln(n 1 k)







1

a) +)

hội tụ tuyệt đối



_n1n n



1

n1

+)

hội tụ tuyệt đối

₂

n1





 



1

hội tụ

.



 

_n1

_ 

 





_{ n1}n n

_{ n1}2

HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

14

Giáo trình Giải tích 3 - Bài 2: Chuỗi với số hạng có dấu bất kì - Nguyễn Xuân Thảo