Giáo trình Phương pháp tính - Trường Đại học Hàng Hải
BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC HÀNG HẢI
́ ́
BỘ MÔN: KHOA HOC MAY TINH
̣
KHOA: CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
BÀI GIẢNG
PHƢƠNG PHÁP TÍNH
TÊN HỌC PHẦN : Phƣơng pháp tính
MÃ HỌC PHẦN : 17201
TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO : ĐẠI HỌC CHÍNH QUY
DÙNG CHO SV NGÀNH : CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
HẢI PHÕNG - 2009
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính
ĐỀ CƢƠNG CHI TIẾT
Tên học phần: Phƣơng pháp tính
Bộ môn phụ trách giảng dạy: Khoa học máy tính
CNTT
Loại học phần: 2
Khoa phụ trách:
Mã học phần: 17201
Tổng số TC: 3
TS tiết Lý thuyết Thực hành/Xemina Tự học Bài tập lớn
Đồ án môn học
60
45
15
0
0
0
Điều kiện tiên quyết:
Sinh viên phải học xong các học phần sau mới đƣợc đăng ký học phần này:
Đại số; Giải tích 1; Giải tích 2
Mục tiêu của học phần:
Trang bị cho sinh viên các kiến thức cần thiết trong việc giải số các bài toán ứng dụng
thƣờng gặp trong kỹ thuật và tăng cƣờng khả năng lập trình của sinh viên cho các bài toán
đó.
Nội dung chủ yếu
Trình bày các khái niệm sai số; cách tính gần đúng nghiệm của phƣơng trình; cách tính
gần đúng đạo hàm và tích phân; phép nội suy hàm và giải gần đúng phƣơng trình vi phân
thƣờng.
Nội dung chi tiết của học phần:
PHÂN PHỐI SỐ TIẾT
TÊN CHƢƠNG MỤC
Chƣơng 1. Sai số
TS
10
LT
8
TH/Xemina
2
BT
KT
0
1.1. Khái niệm số gần đúng và sai số
1.2. Cách viết số xấp xỉ
1
2
1.3. Sự quy tròn số và sai số quy tròn
1.4. Các quy tắc tính sai số
1.5. Sai số phƣơng pháp và sai số tính toán
Chƣơng 2. Giải gần đúng phƣơng trình
2.1. Đặt vấn đề
2.2. Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm
2.3. Phƣơng pháp chia đôi
2.4. Phƣơng pháp lặp
2
2
1
10
1
1
2
2
2
1
1
1
4
15
12
1
0
1
1
1
1
3
2.5. Phƣơng pháp dây cung
2.6. Phƣơng pháp tiếp tuyến (Newton)
Chƣơng 3. Xấp xỉ hàm
2
9
3.1. Đa thức nội suy. Lƣợc đồ Hoócne
3.2. Đa thức nội suy Lagrange
3.3. Đa thức nội suy Newton
3.4. Phƣơng pháp bình phƣơng bé nhất
Chƣơng 4. Đạo hàm số. Tích phân số
4.1. Tính gần đúng đạo hàm
2
2
2
3
8
4
4
7
1
1
1
3
1
2
3
12
11
1
1
4.2. Tính gần đúng tích phân xác định
Chƣơng 5. Giải gần đúng phƣơng trình vi
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính
PHÂN PHỐI SỐ TIẾT
TÊN CHƢƠNG MỤC
phân
5.1. Đặt vấn đề
5.2. Phƣơng pháp Euler, Euler cải tiến
5.3. Phƣơng pháp Runger-Kutta
Tổng số tiết:
TS
60
LT
TH/Xemina
BT
KT
3
1
3
3
2
1
15
42
Nhiệm vụ của sinh viên :
Tham dự các buổi thuyết trình của giáo viên, tự học, tự làm bài tập do giáo viên giao, tham
dự các buổi thực hành, các bài kiểm tra định kỳ và cuối kỳ.
Tài liệu học tập :
Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, NXB ĐHQG Hà Nội, 1996.
-
-
-
Tạ Văn Đĩnh, Phương pháp tính, NXB Giáo dục Hà Nội, 2006.
Dƣơng Thủy Vỹ, Giáo trình Phương pháp tính, NXB KH&KT Hà Nội, 2006.
Hình thức và tiêu chuẩn đánh giá sinh viên:
-
-
Hình thức thi cuối kỳ : Thi viết.
Sinh viên phải đảm bảo các điều kiện theo Quy chế của Nhà trƣờng và của Bộ
Thang điểm: Thang điểm chữ A, B, C, D, F
Điểm đánh giá học phần: Z = 0,3X + 0,7Y.
Bài giảng này là tài liệu chính thức và thống nhất của Bộ môn Khoa học máy tính,
Khoa Công nghệ thông tin và đƣợc dùng để giảng dạy cho sinh viên.
Ngày phê duyệt:
/
/2010
Trƣởng Bộ môn: Thạc sỹ Nguyễn Hữu Tuân
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính
MỤC LỤC
Nội dung
Trang
Mục lục
1
Chƣơng 1: SAI SỐ
2
1. 1. Khái niệm số gần đúng và sai số
1. 2. Cách viết số xấp xỉ
2
3
1. 3. Sự quy tròn số và sai số quy tròn
1. 4. Các quy tắc tính sai số
1. 5. Sai số tính toán và sai số phƣơng pháp
Phụ lục 1: Sự ổn định của một quá trình tính
Bài tập
Chƣơng 2: GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH
2. 1. Đặt vấn đề
2. 2. Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm
2. 3. Phƣơng pháp chia đôi
2. 4. Phƣơng pháp lặp
4
5
7
10
12
14
14
14
17
20
26
28
33
34
34
34
35
36
37
38
38
38
40
41
41
41
42
43
2. 5. Phƣơng pháp dây cung
2. 6. Phƣơng pháp tiếp tuyến (Newton)
Bài tập
Chƣơng 3: XẤP XỈ HÀM
3. 1. Đa thức nội suy. Lƣợc đồ Hoócne
3. 2. Đa thức nội suy Lagrange
3. 3. Đa thức nội suy Newton
3. 4. Phƣơng pháp bình phƣơng bé nhất
Bài tập
Chƣơng 4: ĐẠO HÀM SỐ. TÍCH PHÂN SỐ
4. 1. Tính gần đúng đạo hàm
4. 2. Tính gần đúng tích phân xác định
Bài tập
Chƣơng 5: GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
5. 1. Đặt vấn đề
5. 2. Phƣơng pháp Euler, phƣơng pháp Euler cải tiến
5. 3. Phƣơng pháp Runge-Kutta
Bài tập
Đọc thêm: Chƣơng 6: TÍNH GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA MỘT HỆ ĐẠI SỐ
TUYẾN TÍNH
6. 1. Mở đầu
44
44
46
54
60
60
62
64
65
6. 2. Phƣơng pháp Gauss
6. 3. Phƣơng pháp lặp đơn
Phụ lục 2: Hệ đại số tuyến tính không ổn định
Bài tập
Một số đề thi mẫu
Tóm tắt đáp án và thang điểm
Tài liệu tham khảo
1
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính
CHƢƠNG 1
́
SAI SÔ
́
1.1. Khái niệm số gần đúng và sai sô
́
́
̣
đôi
1. Sai sô tuyêt
Trong tinh gâ
̀
n đung ta lam viêc
̣
̣ ̣ ̣
vơi cac gia tri gần đung cua cac đai lƣơng . Cho nên
̉
́ ́
́
̀
́
́
́
́
vâ
a. Lúc đó ta nói “ a xâ
của a (Xem la gia tri gâ
tính đƣợc sai số tuyệt đối của a. Do đo ta tim cach ưꢀc lưꢁng sai sô
́n đề đầu tiên cần nghiên cƣu , là vấn đề sai số. Xét đại lƣợng đúng A có giá trị gần đúng là
́
́
p xi A” va viê
́
t “ a
A ”. Trị tuyệt đối
a A
̣
gọi là sai số tuyêt đối
̀
̉
̣
̀n đung cua A ). Vì nói chung ta không cần biết số đúng A , nên không
̉
̀
́
́
́
đo bă
̀
ng sô
́
dƣơng ∆a nào
́
́
́
̀
đo lơn hơn hoăc
̣
bă
̀
ng
:
a A
́
́
a A ∆a
dƣơng ∆a này gọi là sai sô
(1.1)
Sô
́
́
tuyêt
∆’ > ∆a có thể xem là sai số tuyệt đối giới hạn của a . Vì vậy trong
thê ngƣơi ta chon ∆a sô dương bꢂ nhꢃt cꢄ rhꢅ đưꢁc thoả mꢁn nhƣng (1.1)
đôi giơi han
̣
đối giơi han của a. Rꢀ ràng nếu ∆ a là sai số tuyệt đối
̣
́
giơi han
̣
cua a thi moi
̣
số
̉
́
̀
̉
nhƣng điê
̀
u kiên
xâ
A = a ∆a
̣
cu
̣
̣
́
̃
̀
̃
Nê
́
u sô
́
́
p xi a cua A co sai sô
́
tuyêt
̣
́
̣
la ∆a thì ta quy ƣơc viết
̀ ́
̉
̉
́
́
(1.2)
vơi nghĩa của( 1.1) tƣc la:
́
́
̀
a - ∆a A a + ∆a
(1.3)
́
́
2. Sai sô tƣơng đôi:
a A
a A
Tỉ số
gọi là sai số số tƣơng đối của a (so vơi A). Nói chung tỉ số
́
a
A
đo không tinh đƣơc
̣
vi A noi chung không biê
́
t .
́
́
́
̀
Ta goi
̣
ti sô
́
:
̉
a
a =
( 1.4)
a
Gọi là sai số tƣơng đối gới hạn của a.
Ta suy ra: ∆a = a
Các công thức (1.4) và (1.5) cho liên hê
a
( 1.5)
i va sai sô tuyêt
̣
giƣa sai sô
́
tƣơng đô
́
́
̣
đô
́
i
.
̃
̀
Biê
́
t ∆a thì ( 1.4) cho phep a , biê
́
t a thì ( 1.5) cho phep tinh ∆a .
́
́
́
Do ( 1.5) nên ( 1.2) cꢂng có thể viết :
A= a ( 1 a )
(1.6)
̣
Trong thƣc tế ngƣơi ta xem ∆a là sai số tuyệt đối và lúc đó a cꢂng gọi là sai số tƣơng đối.
̀
2
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính
3. Chú thích
Sai sô
g” đƣơc phan anh qua sai sô
m vơi ∆a = 0,05 m va b = 2m Vơi ∆b = 0,05m. Rꢀ ràng phép đo A thực hiện “ Chất lƣợng”
́
tuyêt
̣
đô
́
i không noi lên đâ
̀
y đu “ Châ
́
t lươn
̣
g” cua môt
̣
sô
́
xâ
́
p xi, thƣc
̣
tê
́
“ Châ
́t
̉
̉
́
̉
lươn
̣
̣
́
tƣơng đô
́
i . Lâ
́
y thi dụ: đo hai chiê
̀
u dai A va B đƣơc
̣
a = 10
̉
́
̀
̀
́
́
̀
́
hơn phep đo B. Điê
̀
u đo không phan anh qua sai sô
́
tuyêt
̣
đô
́
i vi chung bă
̀
ng nhau , mà qua sai
̉
́
́
́
́
̀
số
tƣơng đô
́
i:
0,05
10
0,05
2
a
= 0,5% < b =
= 2,5%
1.2. Cách viết số xấp xỉ
1. Chƣ co nghia
̃
́
̃
̉ ̉
̣ ̣ ̣
số viết ơ dang thâp phân co thê gồm nhiều chƣ số , nhƣng ta chi kê cac chƣ số tƣ
̉
̃ ̃
̉
́ ́ ̀
Môt
̣
khac không đ ầu tiên tính tꢃ trái sang phải là chꢄ có nghĩa . Chăng han co 2,74 có 3
́
̉
chƣ sô
́
̃
́
chƣ số co nghia, số 0,0207 có ba chꢄ số có nghĩa.
́
̃
̃
́
2. Chƣ sô đang tin
̃
́
Mọi số thập phân đều có dạng:
s
A =
(1.7)
as10
̉
̣
là nhꢄng số nguyên tꢃ 0 đến 9, chăng han số 65,807 viết:
Trong đo: as
́
65,807 = 6.101 + 5.100 + 8.10-1 + 0.10-2 + 7.10 -3
Tƣc ta co dang ( 1.7) vơi:
̣
́
́
́
1 = 6, o = 5, -1 = 8, -2 = 0, -3 = 7
Giả sꢅ a là giá trị xấp xỉ của A với sai số tuyệt đối giới hạn ∆ a . Ta chu y chƣ s là
́
́
̃
chƣ sô
́
đƣng ơ hang thƣ s cua a. Nê
́
u ∆a 0,5 .10s thì nói s là chư sô
́
đang tin, nê
́
u Nê
́
u ∆a >
̃
́
̉
̀
́
̉
̃
́
0,5 .10s thì nói s là chư sô
́
đang nghi.
̃
́
̣ ̣ ̣ ̣
Nhƣ vây ta đa gắn khai niêm sai số tuyêt đối vơi khai niêm chƣ số đang. tin
́ ́ ́ ́
̃ ̃
Thí dꢆ: Cho a = 65,827 vơi ∆a thì các chꢄ số 6, 5, 8, 2 là đáng tin, còn các chꢄ số
́
7, 4 là đáng nghi. Nếu ∆a = 0,0067 thì các chꢄ số 6, 5, 8, là đáng tin còn các chꢄ số 2, 7,
4 là đáng nghi.
Rꢀ ràng nếu s là đáng tin thì tất cả nhꢄng chꢄ số có nghĩa đứng ở bên trái nó cꢂng
là đáng tin và nếu s là đáng nghi thì tất cả nhꢄng chꢄ số có nghĩa ở bên phải nó cꢂng đáng
nghi.
3. Cách viết số xấp xỉ
Cho sô
́
a la gia tri
xâ
́
p xi cua A vơi sai sô
́
tuyêt
̣ ̣
đối giơi han la ∆ . Có hai cách viết số
a
́ ̀
̉
̀
́
̉
́
xâ
́
p xi a. Cách thứ nhất la viê
́
t kem theo sai sô
́
nhƣ ơ công thƣc (1.2) hoăc
̣
( 1.6) . Cách thứ
̉
̉
̀
̀
́
3
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính
hai la viê
́
t theo quy ươc : Mꢇi chꢈ số cꢄ nghꢉa lꢊ đáng tin . Môt
̣
sô
́
viê
ơ hang cuối cung. Các
̀
́t theo cach thƣ hai co
̀
́
́
́
́
nghĩa là nó có sai số tuyệt đối giới hạn không lơn hơn môt
̣
nưa đơn vi
̣
̉
̉
́
̀
bảng số cho sꢆn nhƣ bảng lôgarít, v...v.. thƣơng in cac số xấp xi theo quy ƣơc nay.
̉
́ ̀
̀
́
́
1.3. Sự quy tròn và sai sô quy tron
̀
́ ́
̣ ̣
tƣơng quy tron sô va sai sô quy tron.
̀ ̀ ̀
1. Hiên
Trong tinh toan khi găp
̣
̣ ̣
môt số co qua nhiều chƣ số đang nghi ngƣơi ta bo đi môt vai
́ ́ ́ ̀ ̀
̃
̉
́
́
chƣ sô
́
ơ cuô
́
i cho gon
̣
, viêc
̣
lam đo goi
̣
la quy tron sô
́
. Mô
̃
i khi quy tron môt số ngƣơi ta tao
̣ ̣
̀ ̀
̃
̉
̀
́
̀
̀
ra môt
̣
sai sô
́
mơi goi la sai sô
̣
́ quy tron nó bꢇng hiệu giꢄa số đꢁ quy tròn và số chƣa quy tròn.
́
̀
̀
Trị tuyệt đối của hiệu đó gọi là sai số quy tròn tuyệt đối cꢊng bꢂ cꢊng tốt.
Ta chon
̣
quy tă
́
c sau đây : quy tron sao cho sai sô
́
quy tron tuyêt
̣
đối không lơn hơn
́
̀
̀
môt
lꢊ, nê
chư sô
̣
nưa đơn vi
̣
ơ hang đươc
̣
giư lai
̣
cuô
́
i cung, tưc la 5 đơn vi
̣
ơ hang bo đi đầu tiên , cꢆ thꢅ
̉
̉
̃
̉
̉
̀
̀
́
̀
̀
́
u chư sô
́
bo đi đâ
̀
u tiên 5 thì thêm vꢊo chꢈ số giꢈ lꢋi cuối cꢌng mꢍt đơn vꢎ , cꢏn nꢐu
u tiên < 5 thì đꢅ nguyên chꢈ số giꢈ lꢋi cuôi cung.
Thí dꢆ: Sô 62,8274 quy tron đên chƣ sô le thâp phân thƣ ba (tƣc la giƣ lai
u đên chƣ sô
phân thƣ hai se than h 62,83; và cꢂng số đó quy tròn đến ba chꢄ số có nghĩa (tƣc la chi
̃
̉
́
bo đi đâ
̀
́
̃
̉
̀
́
́
́
̣
̣
cac chƣ số
́
̃
̃
̉
́
́
̀
̃
̀
tƣ đâ
̀
́
̣
́ le thâp phân thƣ b a) sꢈ thành số 62,827; cꢂng số đó quy tròn đến chꢄ số lꢉ
̉
́
̀
̃
thâp
̣
́
̃
̀
́
̀
̉
giƣ lai
̣
ba chƣ số co nghia) sꢈ thành 62,8.
̃
́
̃
̃
́
́
2. Sai sô cua sô đa quy tron.
̉
̃
̀
Giả sꢅ a là số xấp xỉ của số đúng A với sai số tuyệt đối giới hạn là ∆ a . Giả sꢅ ta quy
tròn a thành a’ thì a' a là sai số quy tron tuyêt đôi. Sô lƣơng ôa thoả mꢁn:
̣
́
́
̣
́
̀
a' a ốa’
( 1.8)
Gọi là sai số quy tròn tuyệt đối giới hạn, cꢂng gọi là sai số quy tròn tuyệt đối cho gọn.
Hꢁy tính sai số tuyệt đối giới hạn ∆a’ của a’. Ta co:
́
a’ - A = a’ - a + a - A
Do đo:
́
a' A
y ∆a’ = ∆a + a’
̣ ̣
Rꢀ ràng ∆a’ > ∆a tƣc la viêc quy tron số lam tăng sai số tuyêt đối giơi han.
̀ ́
a' a a A ốa’ + ∆a
+
̉
Vây
̣
ta co thê lâ
́
(1.9)
́
̣
́
̀
̀
́
3. Ảnh hƣơng cua sai sô quy tron
̉
̉
̀
Thí dụ: Xét đại lƣợng A = (
ta co công thƣc đung:
2
- 1 )10 . áp dụng công thức nhị thức niutơn (Newton)
́
́
́
(
2
- 1)10 = 3363 - 2378
2
( 1.10)
4
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính
Vơi:
2
= 1,41421356....
́
Bây giơ ta tinh hai vê
́
cua (1.10) băng cach thay
̀
2
bơi cac sô
́
quy tron (xem bang 1.1):
̉
̉
̉
̀
́
́
̀
́
Bꢀng 1.1
Vê
́
trai
Vế phai
̉
́
2
1,4
0,0001048576
33,8
1,41
0,00013422659
0,00014791200
0,00014866399
0,00014867678
10,02
0,508
1,414
1,41421
0,00862
0,0001472
1,414213563
̉
́ quy tron co thê co
̀ ́ ́
Sƣ
̣
khac biêt
̣
giƣa cac gia tri
tinh ra cua hai vê
́
chƣng to ră
̀
ng sai sô
́
̃
́
́
̉
́
̉
́
nhƣng tac dụng rất đang ngai
̣
trong cac qua trinh tinh toan . Ta noi qua trinh tinh A bằng vế
̃
́
́
́
́
́
́
́
̀
́
̀
́
trái của (1.10) là quá trình tính ổn định , quá trình tính A bꢇng vế phải của (1.10) là quá trình
tính không ổn định.
1.4. Các quy tắc tính sai số
̀
1. Mơ đâu.
̉
Xét hàm số u của hai biến số x và y :
u = f( x,y)
vê x va y, hꢁy lập công thức tính sai số về u.
Đê tránh nhầm lẫn trƣớc hết ta nhắc lại ý nghĩa của các ký hiệu:
∆x, ∆y, ∆u chi cac sô gia cua x, y, u
(1.11)
Cho biê
́
t sai sô
́
̀
̀
̉
́
̉
̉
́
Dx, dy, du chi cac vi phân cua x, y, u
̉
̉
́
∆x, ∆y, ∆u lại là các sai số tuyệt đối của x, y, u. Theo đin
̣
h nghia (1.1) ta luôn co:
́
̃
x ∆x ; y ∆y
(1.12)
Ta phải tìm: ∆u để có
∆u
u
́
̉
2. Sai sô cua tông u = x + y
̉
Ta co: ∆u = ∆x + ∆y
́
Ta suy ra: u
x y
+
Do đo theo ( 1.12) ta co: u ∆x + ∆y
́
́
Ta chon
̣
: ∆x+y = ∆x + ∆y
(1.13)
̉
Đê có: u ∆u .
5
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính
Vây
Sai sô
hꢋng.
Chꢕ thích. Xét trƣờng hợp u = x - y vơi x va y cung dâ
̣
co quy tă
́
c:
̣ ̣
đôi (Giơi han) cꢑa mꢍt tꢒng bꢓng tꢒng các sai số tuyꢔt đối (Giơi han) cꢑa các số
́
́
́
tuyêt
̣
́
́
́
u .
́
̀
̀
x y
x y
u
Lúc đó: u =
=
u
Cho nên nê
́
u
râ
́
t be thi sai sô
́
tƣơng đô
́
i giơi han
̣
râ
́
t lơn. Do đo trong tinh toan ngƣơi
x y
́
́
́
́
́
̀
̀
́
ta tim cach tránh phải trꢖ các số gꢗn nhau.
́
̀
́
3. Sai sô cua tich u = xy
̉
́
Ta co: ∆u du = ydx + xdy y∆x + x∆y
́
u
y
x
+
x
y
y
∆x +
x
∆
y
Ta suy ra: ∆u =
y
x
∆x + ∆
y
y
x
y
x
y
u
x
Do đo: u =
=
=
́
u
xy
x
y
Tƣc la co:
́
̀
́
xy = x + y
( 1.14)
̣ ̣
Vây co quy tắc : Sai số tương đối (Giơi han) cꢑa mꢍt tích bꢓng tꢒng các sai số tương đối
́ ́
(Giơi hꢋn) cꢑa các số hꢋng cꢑa tích. Đꢘc biꢔt ta cꢄ:
́
n
(x ) = nx ; n nguyên dƣơng ∆
(1.15)
́
4. Sai sô cua thƣơng x/y (y ≠ o)
̉
Tƣơng tƣ
Sai sô tương đô
x/y = x +y
̣ ̣
nhƣ trƣơng hơp tich ta co quy tắc:
̀ ́
́
̉
́
́
i cua môt
̣
thương bă
̀
ng tông cac sai sô
́
tương đô
́
i cua cac han
̣
g sô
́
han
̣
g :
̉
̉
́
́
( 1.16)
̉
5. Công thƣc tông quat:
́
́
Cho :
u = f( x1, x2, ...,xn)
n
f
xi
Ta co sai sô
́
tuyêt
̣
đô
́
i : ∆u =
∆xi
( 1.17)
́
n 1
̣
Và tꢃ đó ta suy ra sai số tƣơng đối u theo đinh nghia (1.4)
̃
Thí dꢆ: Tính sai số tuyệt đối (giơi han) và sai số tƣơng đối (giơi han) của thể tích cầu:
̣
̣
́
́
1
V= đd3
6
Nếu đƣơng kinh d = 3,7 0,05 cm va đ = 3,14.
̀ ̀
́
6
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính
Giải . Xem đ va d la đối số cua ham V, theo (1.14) và (1.15) ta co:
̉
̀ ́
̀
̀
v = đ + 3d
đ = 0,0016/314 = 0,0005
d = 0,05/3,7 =0,0135
Suy ra: V = 0,0005 + 3.0,0135 = 0,04
1
Măt
̣
khac: V= đd3 = 26,5 cm3
́
6
Vây
̣
co:
∆V = 26,5 .0,04 = 1,06 1,1cm3
V= 26,5 1,1 cm3
1.5. Sai sô tính toán và sai số phƣơng phap
́
́
́
̀
1. Mơ đâu
̉
Khi giai gâ
̀
n đung môt
̣
bai toan phƣc tap
̣
ta phai thay bai toan đa cho bă
̀
̣
ng môt bai
̀
̉
̉
̃
́
̀
́
́
̀
́
toán đơn giản hơn có thể giải đƣợc thông qua việc t hƣc
băng tay hoăc may tinh điên tƣ. Phương phap thay bai toan phưc tap
như thê goi la phương phap gâ
̣
phƣơng pháp. Đê giai bai toan đơn gian ta phai thƣc cac phep tinh thông thƣơng, ta luôn
́ ́ ̀
́
̣
hiên cac phep tinh thông thƣơng
̣
́
́
̀
́
̀
̣
̣
̣
bă
̣ ̣
n đung tao ra goi la sai số
̀
̀ng bai toan đơn gian
̉
̀ ́
̉
́
́
̀
́
́
́
́
̣
̀
n đung. Sai sô
́
do phƣơng phap gâ
̀
̀
́
́
́
́
̉
̣
hiên
tao ra bơi tất ca cac lần quy tron nhƣ vây
̣
̉
́ ̀
̉
̉
̉
̀
́
luôn phai quy tron cac kê
́
t qua trung gian . Sai sô
́
̣
̉
̉
̉
̀
́
gọi là sai số tính toán . Sai sô
́
cuô
́
i cung là tổng hợp của hai loại sai số phƣơng pháp và tính
̀
toán nói trên.
2. Thí dụ
a) Tính tꢒng:
1
1
1
1
1
1
A =
-
+
-
+
-
13 23 33 43 53 63
̉
̉
́
Giải. A la tông cua 6 phân sô
́
. Ta co thê tinh trƣc
̣
tiê
́
p A ma không phai thay no bă
̀
ng môt
̣
̉
̉
̀
́
̀
́
̉
̉
́
tông đơn gian hơn . Vì vậy ở đây không có sai số phƣơng pháp . Đê tinh A ta hay thƣc
̣
hiên
̣
̉
̃
các phép chia dến ba chꢄ số lꢉ thập phân và đánh giá các sai số quy tròn tƣơng ƣng:
1
1
1
=
=
=
=
= 1,000 vơi 1 = 0
́
13
1
23
1
= 0,125 vơi 2 = 0
́
8
1
33
1
= 0,037 vơi
3 = 4.104
́
27
1
43
1
= 0,016 vơi
4 = 4.104
́
64
7
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính
1
53
1
=
= 0,008 vơi 5 = 0
́
125
1
63
1
=
= 0,005 vơi 6 = 4.104
́
216
Vây
̣
A
a =1,000 - 0,125 + 0,037 - 0,016 + 0,008 - 0,005 = 0,899
1
13
1
23
1
33
=
-
+
A a
1
0,125
0,037
1
43
1
53
1
63
-
+
-
0,016
0,008
0,005
1
1
1
1
1
53
1
+
0,125
+
+
0,037
+
+
0,016
0,008
A a
13
23
33
43
1
+
1
+
2
+
3
+ 5 +
6 = 9.104
0,005
4
63
Do đo
́
a = 0,899 là giá trị gần đúng của A với sai số tính toán 9.104
Ta viêt A = 0,899
9.104
:
́
( 1.18 )
b) Tính giá trꢎ cꢑa đai
̣
lươn
̣
g:
1
1
1
1
n3
B =
-
+
- … +
1 n1
+ …
13 23 33
Vơi sai sô
́
tuyêt
̣
đô
́
i không vƣơt
ly . Nhƣng vê
̣
qua 5.103
́
́
̉
̉
Giải . Vê
công hêt sô
̣
gân đung, cụ thể là thay B bꢇng tổng của n số hang đầu:
́
phai cua B la hơp
̣
́
phai la môt
̣
“ tông vô han
̣
sô
́
han
̣
g” , ta không thê
̉
̉
̉
̀
́
́
̉
̣
́
́
nay đê
́
n sô
́
khac mai đƣơc
̣
. Do đo đê tinh B ta phai sƣ dun
̣
g môt
̣
phƣơng phap
̃
́
̉
̉
́
̀
́
́
̀
́
1
1
1
n3
Bn
=
-
+ … +
1 n1
13 23
Bài toán tính Bn đơn gian hơn bai toan tinh B . Lúc đó B Bn là sai số phƣơng
̉
̀
́
́
pháp, và số n phải đƣợc chọn sao cho sai số phƣơng pháp ấy cộng với sai số tính toá n vân
̃
còn nhꢊ hơn 5.10-3. Ta co :
́
1
1
1
...
B Bn
=
3
n 1 3
n 2
n 1 3
(theo li thuyê
́
t vê
̀
chuô
̃
i sô
́
đan dâ
́
u), vơi n = 6 ta thâ
́
y :
́
́
1
73
1
B B6
3.103
334
8
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính
Ta chu y rằng B6 = A đa tinh ơ trên (xem 1.18):
̃
̉
́
́
́
B6 = A = 0,899 9.104
̉ ̉
̣
co thê lấy B 0,899. Đê xet sai số ta co :
́ ́ ́
Vây
B - 0,889 = B - B6 + A - 0,899
B 0,899 B B6 A 0,899
B 0,899 3.103 9.104 4.103
Vây
Chꢕ ꢙ rꢓng : trong sai sô
sai sô tinh toan , cho nên ta phai kheo phân bô
̣
ta đa tinh đƣơc
̣
B
0, 899 vơi sai sô
́
tuyêt
̣
đô
́
i không vƣơt
n cua sai sô
̣
qua 4.103
́
̃
́
́
̉
́
tông hơp
̣
cuô
́
i cung co phâ
̀
́
phƣơng phap va co phâ
̀
n cua
̉
̉
̀
́
́
̀
́
́
́
sao cho sai sô
́
cuô
́
i cung nho hơn sai sô
́
cho
̉
̉
́
́
̀
́
phép.
9
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính
PHỤ LỤC 1
̉
́ ̀ ́
̣ ̣
SƢ ỔN ĐỊNH CUA MÔT QUA TRINH TINH
̀
1. Mơ đâu
̉
Xét một quá trình vô hạn (tƣc la gồm vô số bƣơc) để tính ra một đại lƣợng nào đó. Ta
́
́
̀
nói quá trình tính là ổn định nếu sai số tính toán tức là các sai số quy tròn tính luỹ lại không
tăng vô hạn.
̉
̣ ̣
́ đo tăng vô han thi ta noi qua trinh tich la không ôn đinh.
́ ́ ́ ̀
̀ ̀ ́
Nê
́
u sai sô
Rꢀ ràng nếu quá trình tính không ổn định thì khó có hi vọng tính đƣợc đại lƣợng cần
tính với sai số cho phép. Cho nên trong tinh toan ki nhât la cac qua trình tính không ổn định.
qua trinh tinh thƣơng ngƣơi ta gia sƣ sai sô
̣
́
́
̀
́
́
́
̉
̉
̉
Đê kiêm tra tinh ôn đin
̣
h cua môt
̣
́ chi xay
̉
̉
̉
̉
̉
́
̀
̀
́
̀
́
ra tai
̣
môt
̣
bƣơc , sau đo cho phep tinh đê
̀
u lam đung không co sai sô
́
, nếu cuối cung sai số
̀
́
́
́
̀
́
́
́
̉
tính toán không tăng vô han
̣
thi xem nhƣ qua trinh tinh ôn đin
̣
h.
́
̀
̀
́
2. Thí dụ
Xét quá trình tính
yi1 =qyi ,
y0 và q cho trƣớc .
Giả sꢅ tại bƣớc i xác định nào đó khi tính y i ta pham
của sai số tƣơng đối nhƣ trƣơc đây), nghĩa là thay cho y ta chi thu đƣơc
( 1.19 )
̣
̣ ̣
môt sai số i (đây không phai la ki hiêu
̉
̀
́
~
̣
. Giả sꢅ :
́
̉
y
i
i
( 1. 20 )
y y
i
i
~
Sau đo thay cho y i+1 ta co
y
i + 1 vơi :
́
́
́
~
~
y
i + 1 = q y i = > 0
Lây( 1.21) trƣ (1.19) vê
́
́
vơi vê
́
ta đƣơc
̣
:
̀
́
~
y
i + 1 - yi+1
=
=
q
q
q
y y
i
i
~
~
y
i + 1 - yi+1
Tiê
(
)
i
y y
i
́
p theo ta co:
́
~
~
= q
;
= q
i2
y
y
y
y
i2
i1
i2
Bă
̀
ng phep trƣ nhƣ trên ta lai
̣
co:
́
̀
́
2
~
~
~
) = q ( -
i
-
= q(
-
)
i
y
y
y
y
y
y
i2
i2
i1
i1
--------------------------
10
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính
̉
Môt
̣
cach tông quat ta co:
́
́
́
n
~
~
-
i
-
= q (
)
i
y
y
y
y
in
in
n
~
~
i
=
`
i
q
y y
y y
in
in
~
Nhƣ vây
̣
, nê
́
u ơ bƣơc i ta mă
́
c môt
̣
sai sô
́
= và sau đó mọi phép tính đều làm đúng
y
1
y
̉
́
thì ở bƣớc i + n ta se mă
́
c sai sô
́
̃
n
~
=
in
q
y y
in
Ta thâ
́
y co hai trƣơng hơp
̣
̣
cần phân biêt;
́
̀
n
1. Trƣơng hơp
̣
q
1 lúc đó
q
̀
~
̣
vơi moi n
́
y y
in
in
̉
̣ ̣
qua trinh tinh ôn đinh.
́
̀ ́
nghĩa là sai số tính toán bị chặn ( không tăng vô han
̣
). Vây
q
n , nên sai sô
̀
n
2. Trƣơng hơp
̣
q
1 - Lúc đó
q
tăng khi n va
́
̀
~
khi n
y y
in
in
̉
̣ ̣
Vây qua trinh tinh không ôn đinh
́
̀ ́
Trong thƣc sô
̣ ̣ ̣ ̣
bƣơc, nhƣng vân phai đoi hoi qua trinh tinh ôn đinh mơi hy vong môt số hƣu han bƣơc co
́
̃
̣
tế
, măc
̣
du qua trinh tinh la vô han
̣
, ngƣơi ta cung chi lam môt
̣
́ hƣu hạn
̀
́
̀
̀
̃
̉
̀
̃
̀
́
̃
̉
̉
̉
́
̀
́
́
́
̀
́
̉
̣ ̣ ̣
thê đat đƣơc mƣc đô chinh xac mong muốn.
́ ́
́
11
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính
BÀI TꢀP
1. Khi đo môt
của các số xấp xỉ đó biết sai số tuyệt đối trong các phép đo là 1’’
̣
goc ta đƣơc cac gia tri ́ tƣơng đối
̣
sau : a = 21o37’3’’ ; b = 1o10’’. Tính sai sô
́
́
́
2. Hꢁy xác định sai số tuyệt đối của các số xấp xỉ sau đây cho biết sai số tƣơng đối của
chúng:
a = 13267
b = 2,32
;
a = 0,1%
b = 0,7%
;
3. Hꢁy xác định số các chꢄ số đáng tin trong các số đáng tin trong các số a với sai số tuyệt
đôi nhƣ sau:
́
a = 0,39410;
b = 38,2543 ;
= 0,25 .10 -2
= 0,25 .10 -2
a
b
4. hꢁy xác định số nhꢄng chꢄ số đáng tin trong các số a với sai số tƣơng đối nhƣ sau:
a = 1,8921 ;
b = 22,351;
a = 0,1.10-2
b= 0,1.
̣
5. Hꢁy quy tròn các số dƣới đây (xem la đung ) vơi ba chƣ số đang tin va xac đinh sai số
́ ̀ ́
̀
́
́
̃
̣
tuyêt đối và sai số tƣơng đối của chúng:
a) 2,1514;
c)0,01204;
b)0,16152;
d) - 0,0015281.
6. Hꢁy xác định giá trị của hàm số dƣới đây cùng với sai số tuyệt đối và sai số tƣơng đối ứng
vơi nhƣng gia tri
cua cac đô
́
i sô
́
cho vơi moi
̣
chƣ sô
́
co nghia đê
̀
u đang tin :
̉
̃
́
̃
́
́
́
́
́
̃
a) u = ln ( x + y2 ) ;
b) u = (x + y2)/z ;
x = 0,97 ;
x = 3,28;
y = 1,132
y= 0,932 ;
z= 1,132.
7. Tính tổng S sau đây với ba chꢄ số lꢉ thập phân đáng tin :
1
1
1
1
1
1
1
S =
+
+
+
+
+
+
11 12 13 14 15 16 17
1
1
1
8. Tính số e: e = 1 +
+
+ .... +
+ ...
1!
2!
n!
vơi sai số tuyêt đố
̣
i không qua 10-4
́
́
TRẢ LỜI
1. a = 0,13.10-4 ;
2. a = 0,13.102;
b = 0,28.10-3
b = 0,16.10-1
3. a) 2;
4. a) 3;
b) 4.
b)1.
12
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính
5. a)2,15;
= 0,14.10-2;
= 0,48.10-3;
= 0,4.10-4;
= 0,19.10-5;
u = 0,27. 10-2;
= 0,65.10-3
= 0,3.102
= 0,33.10-2
= 125. 10-2
u = 0,33. 10-2
b) 0,162;
c) 0,0120;
d) -0,00153;
6. a) u = 0,81;
b) u = 3,665; u = 0,7. 10-2;
7. S = 0,511.
8. e = 2,7183 0,0001.
u = 0,20. 10-2
13
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính
CHƢƠNG 2
̀
́
̀
GIẢI GÂN ĐUNG PHƢƠNG TRINH
2.1. Đặt vấn đề
Cho phƣơng trình f(x) = 0, trong đó f(x) là một hàm số nào đó của x. Chỉ có rất ít
trƣờng hợp, khi f(x) là một hàm số đơn giản, chẳng hạn hàm số bậc nhất, bậc hai thì ta mới
có thể tìm đƣợc nghiệm đúng của phƣơng trình. Vì vậy nhu cầu tìm nghiệm gần đúng của
phƣơng trình là một vấn đề tất yếu.
̣ ̣
2.2. Nghiêm va khoang phân ly nghiêm
̀
̉
1. Nghiệm của phƣơng trình
Xét phƣơng trình một ꢋn :
f(x) = 0
(2.1)
̣
trong đo : f la môt ham số cho trƣơc cua đối số x.
̉
̀ ́
́
̀
Nghiêm
̣
thƣc
̣
cua phƣơng trinh (2.1) là số thực thoả mꢁn (2.1) tƣc la khi thay vào x ở vế
̉
́
̀
̀
trái ta đƣợc:
f() = 0
(2.2)
2. Ý nghꢁa hình học của nghiệm
Ta ve đô
̀
thi
cua ham sô
́
:
̃
̉
̀
y
y= f(x)
(2.3)
̣
vuông goc oxy (hình2-
trong môt
̣
hê
̣
toa
̣
đô
́
1). Giả sꢅ đồ thị cắt trục hoành tại một điểm
̉
̣
M thi điêm M nay co tung đô y = 0 và hoành
̀
́
̀
M
đô
̣
x = . thay chung vao (2.3) ta đƣơc
̣
:
́
̀
x
0 = f()
(2.4)
Hình 2-1
14
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính
Vây
môt nghiêm
Trƣơc khi ve đô
̣
hoanh đô
̣
của giao điểm M chính là
̀
f
y
̣
̣
cua (2.1)
̉
M
̉
̣
thi ta cung co thê thay
̃
́
̀
́
̃
g
phƣơng trinh (2.1) bă
̀
ng phƣơng trinh
̀
̀
tƣơng đƣơng :
g(x) = h(x) (2.5)
x
̣
rồi ve đồ thi cua 2 hàm số (hình 2-2)
̃
̉
y = g(x), y = h(x)
(2.6)
Hình 2.2
Giả sꢅ hai dồ thị ấy cắt nhau tại điểm M có hoành độ x = thì ta có:
g() = h()
(2.7)
̣ ̣ ̣
Vây hoanh đô của giao điểm M của 2 đồ thi (2.6) chính là một nghiệm của phƣơng trình
̀
(2.5), tƣc la cua phƣơng trình (2.1).
̉
́
̀
̀
3. Sƣ
̣
tôn tai
̣ ̣ ̣
nghiêm thƣc cua phƣơng trinh (2.1)
̉
̀
Trƣơc khi tim cach tinh gâ
̀
̣ ̣ ̣
n đung nghiêm thƣc cua phƣơng trinh (2.1) ta phai tƣ hoi
̉ ̉ ̉
́
̀
́
́
̀
́
̉ ̉
̣ ̣ ̣ ̣
thƣc ấy co tồn tai hay không . Đê tra lơi ta co thê dung phƣơng phap đồ thi ơ
̉ ̉
́ ̀ ́ ̀ ́
xem nghiêm
mục 2 trên. Ta cung co thê dung đin
̉
̣
h ly sau:
́
̃
́
̀
Đin
̣
h li 2.1 - Nê
́
u co 2 sô
́
thưc
f(a).f(b) < 0
ng thơi f(x) liên tuc trên [a, b] thì ꢛ trong kho ảng [a, b] cꢄ ít nhꢃt mꢍt nghiꢔm thꢜc cꢑa
̣
a va b (a<b) sao cho f(a) vꢊ f(b) trái dꢃu tꢚc lꢊ
́
̀
́
(2.8)
đô
̀
̣
̀
phương trinh (2.1).
̀
̉
̣ ̣
̀u đo co thê minh hoa trên đồ thi (hình 2 -
́ ́
Điê
y
B
b
3). Đồ thị của hàm số y = f(x) tại a x b la
̀
̉
môt
̣
đƣơng liê
̀
n nô
́
i hai điêm A va B
, A ơ
̉
̀
̀
dƣơi , B ơ trên truc
̣
hoa nh, nên phai că
́
t truc
hoành tại ít nhất một điểm ở trong khoảng tꢃ
a đên b . Vây phƣơng trinh (2.1) có ít nhất
môt nghiêm ơ trong khoang [a, b].
̣
̉
̉
́
̀
a
x
́
̣
̀
̣
̣
̉
̉
A
Hình 2-3
4. Khoảng phân ly nghiệm (còn gọi là khoảng cách ly nghiệm hay khoảng tách nghiệm )
15
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính
̣
Đinh nghia 2.1 - Khoảng [a, b] nꢊo đꢄ gꢇi lꢊ khoảng phân ly nghiꢔm cꢑa phương trình (2.1)
̃
nêu co chưa môt
́
̣
va chi môt
̣
nghiêm
̣
Đê tim khoang phân ly nghiêm ta co đinh ly:
́
̣
cua phương trinh đo.
̉
́
̀
́
́
̀
̉
̉
̣
̉
́
̀
̣ ̣ ̣
Đinh ly 2.2 - Nếu [a, b] lꢊ mꢍt khoảng trong đꢄ hꢊm số f (x) liên tuc va đơn điêu , đồng thơi
́ ̀ ̀
f(a) vꢊ f(b) trái dꢃu, tưc la co (2.8) thì [a, b] lꢊ mꢍt k hoảng phân ly nghiꢔm cꢑa phương
́
̀
́
trình (2.1).
Điêu nay co thê minh hoa
Đồ thị của hàm số y = f(x) că
tại một và chỉ một điểm ở trong [a, b]. Vây
[a, b] chƣa môt va chi môt nghiêm ủa
̉
̀
̣
bă
̀
ng đô
̀
thi
̣
( hình 2 - 4).
̀
́
́
t truc
̣
hoanh
̀
y
B
b
̣
̣
̣
̣
c
́
̀
̉
phƣơng trinh (2.1).
̀
Nê
có thể thay bꢇng điều kiện không đôi dâ
́u f(x) có đạo hàm thì điều kiện đơn điệu
a
x
̉
́
u của
̉
đao
̣
ham vi đao
̣
ham không đôi dâ
́
u thi ham
̀
̀
̀
̀
̀
sô đơn điêu
́
̣
. ta co:
A
́
Hình 2-4
u [a, b] lꢊ mꢍt khoảng trong đꢄ hꢊm f (x) liên tuc
́u va f (a), f(b) trái dꢃu thì [a, b] lꢊ mꢍt khoảng phân ly nghiꢔm cꢑa phương
Đin
̣
h ly 2.3 - Nê
́
̣ ̣
, đao ham f’ (x)
̀
́
̉
không đôi dâ
trình (2.1)Muô
̀
́
n tim cac khoang phân ly nghiêm
̣
của phƣơng trình (2.1) thƣơng ngƣơi ta
̀ ̀
̉
́
̀
̣ ̣ ̣
nghiên cƣu sƣ biến thiên cua ham số y = f(x) rồi ap dung đinh ly 2.3.
̉
́ ̀ ́ ́
5. Thí dụ
Cho phƣơng trình: f(x) = x3 - x - 1 = 0
(2.9)
va tim khoang phân ly nghiêm
Hꢁy chứng tꢊ phƣơng trinh nay co nghiêm
̣
thƣc
̣
̣
.
̉
̀
́
̀
̀
̀
Giải : Trƣơc hê
́
t ta xet sƣ
̣
biê
́
n thiên cua ham số f(x). Nó xác định và liên tục tại mọi x, và
̉
́
́
̀
1
f’(x) = 3x2 - 1 = 0 tại x =
3
Ta suy ra bang biê
́
n thiên
̉
x
-
+
+
-1/
0
3
1/
0
3
f’(x)
+
-
+
f(x)
M
m
-
16
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính
1
1
1
trong đo : M = f (-
) = -
+
- 1 <0
́
3
3 3
3
y
̉
Vây
nhâ
nghiêm
̣
đô
̀
thi
̣
́
t truc
̣
hoanh tai
̣
môt
̣
điêm duy
̀
́
t (h. 2-5), do đo phƣơng trinh (2.9) có một
́
̀
x
1 3
1 3
̣
thƣc
́
t, ký hiệu là .
Ta tinh thêm: f(1) = 13 - 1 - 1 < 0
́
f(2) = 23 - 2 - 1 > 0
Vây
̣ ̣
khoang [1, 2] chƣa một nghiêm cua
̉ ̉
́
phƣơng trinh (2.9)
̀
Hình 2-5
̣ ̣
nên chinh nghiêm ấy phân ly ơ trong [1, 2].
́
Nhƣng vi phƣơng trinh nay chi co môt
̣
nghiêm
̉
̀
̉
́
̀
̀
Tóm lại, phương trinh (2. 9) cꢄ mꢍt nghiꢔm thꢜc duy nhꢃt , phân ly ơ trong khoang [1, 2].
̉
̉
̀
2.3. Phƣơng phap chia đôi
́
1. Mô ta phƣơng phap
̉
́
Xét phƣơng trình (2.1) vơi gia thiê
́
t no co nghiêm
̣
thƣc
x
b]. Lấy môt [a, b] làm giá trị gần đúng cho thì sai số tuyệt đối < b - a. Đê co
̣
̣
đa phân ly ơ trong khoang [a,
̉
̃
̉
̉
́
́
́
̉
́
sai sô
̣
́ nho ta tim cach thu nho dần khoang phân ly nghiêm bằng cach chia đôi liên tiếp các
̉ ̉ ̉
́ ́
̀
̉
khoảng phân ly nghiệm đꢁ tìm ra . Trƣơc hê
́
t ta chia đôi khoang [a, b], điêm chia la c = (a +
̉
́
̀
b)/2. Rꢀ ràng khoảng phân ly nghiệm mới sꢈ là [a, c] hay [c, b]. Ta tinh f(c). Nê
́
u f(c) = 0 thì
́
̣
c chinh la nghiêm đung . Thƣơng thi f(c) 0. Lúc đó ta so sánh dấu của f (c) vơi dấu cua
̉
́ ̀ ́
̀
̀
́
f(a) để suy ra khoảng phân ly nghiệm thu nhꢊ . Nê
nghiêm thu nho la [a, c]. Nêu f(c) cùng dấu với f(a) thì khoảng phân ly nghiệm thu nh ꢊ là [c,
b]. Nhƣ vây sau khi chia đôi khoang [a, b] ta đƣơc khoang phân ly nghiêm thu nho la [a, c]
hay [c, b], ký hiệu là [a1, b1], nó nꢇm trong [a, b] và chỉ dài bꢇng nꢅa khoảng [a, b] tƣc la :
́u f(c) trái dấu f (a) thì khoảng phân ly
̣
́
̉
̀
̣
̣
̣
̉
̉
̉
̀
́
̀
1
2
b1 - a1 =
(b - a).
̣
Tiếp tuc chia đôi khoang [a1,, b1] và làm nhƣ trên ta sꢈ đƣợc khoảng phân ly nghiệm
̉
thu nho mơi, kí hiệu là [a2, b2], nó nꢇm trong [a1, b1] tƣc la trong [a, b] và chỉ dài bꢇng nꢅa
̉
́
́
̀
khoảng [a1,, b1] :
1
2
1
22
b2 - a2 =
(b1 - a1 ) =
(b - a)
17
Tải về để xem bản đầy đủ
68 trang
04/05/2022
4220
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Phương pháp tính - Trường Đại học Hàng Hải", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_phuong_phap_tinh_truong_dai_hoc_hang_hai.pdf
