Giáo trình Giải tích 3 - Bài 7: Phương trình vi phân cấp một - Nguyễn Xuân Thảo
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI
BÀI 7
§2. Phương trình vi phân cấp một (TT)
3. Phương trình vi phân phân li biến số
a) Định nghĩa. f(y) dy = g(x) dx
b) Cách giải. f y dy g x dx
F y g x dx
dy
Ví dụ 1. 1/ 2 x
1 y2
dx
dx
dy
dy
1 y2
dx
2 x
+)
, |y| < 1, x > 0
+)
+)
1 y2
2 x
+) sin1y =
+) y = 1 là nghiệm kỳ dị
2/ y' = 1 + x + y + xy
x C
y sin x C
dy
dx
+) y' = (1 + x)(1 + y)
+)
1 x 1 y
x2
dy
+)
, y 1, ln 1 y x
C
1 x dx
2
1 y
+) y = 1 là nghiệm kì dị
2
2
xy2 x
dx
y x2y
dy 0
(
)
)
3/
4/
1 y C 1 x
2
2
2
2
(
tan x sin y dx cos x cot y dy 0 cot y tan x C
Cx
5/
(y a
)
y xy a
1 x2y
0
1 ax
(x y ln C(x 1) (y 1))
6/ x xy y y xy 0
2
7/
8/
(arctan x y x C )
y (x y)
(
)
(2x y)dx (4x 2y 3)dy 0
5x 10y C 3 ln 10x 5y 6
9/ y 4x 2y 1
(
)
4x 2y 1 2ln 4x 2y 1 2 x C
10/
(
xy2 2x
c) Một số ứng dụng
dx
2y 2x2y
dy 0
x2 1 C
y2 2
)
1/ Sinh trưởng tự nhiên và thoái hoá
dP
Sự tăng dân số:
P , là tỉ lệ sinh, là tỉ lệ chết
dt
dA
2/ Lãi luỹ tiến
rA
dt
A là lượng đô la trong quỹ tiết kiệm tại thời điểm t, tính theo năm
44
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
r là tỉ lệ lãi luỹ tiến tính theo năm.
dN
3/ Sự phân rã phóng xạ
kN , k phụ thuộc vào từng loại đồng vị phóng xạ
dt
dA
4/ Giải độc
A, là hằng số giải độc của thuốc
dt
dx
kx
5/ Phương trình tăng trưởng tự nhiên
dt
dT
k A T , k là hằng số dương, A là
6/ Quá trình nguội đi và nóng lên
dt
nhiệt độ của môi trường
Ví dụ 2. Một miếng thịt 4-lb có nhiệt độ ban đầu là 500 F, được cho vào một cái lò
3750 F vào lúc 5 giờ chiều. Sau 75 phút người ta thấy nhiệt độ miếng thịt là 1250 F.
Hỏi tới khi nào miếng thịt đạt nhiệt độ 1500 F (vừa chín tới)?
dT
k(375 T),
,
T(0) 50 T(75) 125
dt
dT
kt
kdt
375 T Be
375 T
Thay T(0) = 50, T(75) = 125 B = 325, k 0,0035
t 105 phút tức vào lúc khoảng 6h45’.
dy
7/ Quy luật Torricelli A y
a 2gy , ở đó v là thể tích nước trong thùng,
dt
A(y) là diện tích tiết diện thẳng nằm ngang của bình ở độ cao y so với đáy, 2gy là
tốc độ nước thoát ra khỏi lỗ hổng
Ví dụ 3. Một cái bát dạng bán cầu có bán kính miệng bát là 4ft được chứa đầy nước
vào thời điểm t = 0. Vào thời điểm này, người ta mở một lỗ tròn đường kính 1 inch ở
đáy bát. Hỏi sau bao lâu sẽ không còn nước trong bát?
A(y) = r2 = (8y y2),
2
dy
dt
1
(8y y2)
2.32y ;
24
3
5
2
16
3
2
1
2
y y
t C.
5
72
448
y(0) = 4 C
.
15
tức là khoảng 35 phút 50 giây.
Tháo nước từ một bát bán cầu
t 2150 (s);
x y
x y
y
x
Ví dụ 4. 1. y sin
sin
, y( ) (
)
C 2, ln tan
2 2 sin
2
2
4
2
2. x xy y (y xy) 0
(y 1, x y ln (y 1)(1 x) C )
45
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
4. Phương trình thuần nhất (đẳng cấp)
a) Đặt vấn đề
Nhiều ứng dụng dẫn đến các phương trình vi phân không phân li
Chẳng hạn, một máy bay xuất phát từ điểm (a ; 0) đặt ở đúng phía Đông của nơi nó
đến, là một sân bay đặt tại gốc tọa độ (0 ; 0). Máy bay di chuyển với vận tốc không
đổi v0 liên quan đến gió, mà thổi theo đúng hướng Nam với vận tốc không đổi w.
Như đã thể hiện trong Hình vẽ, ta giả thiết rằng phi công luôn giữ hướng bay về phía
gốc tọa độ.
Máy bay hướng về gốc
Đường bay y = f(x) của máy bay thỏa mãn phương trình vi phân
dy
1
v0y w x2 y2
dx v0x
y
dy
dx
y
dx
dy
x
b) Định nghĩa.
F
(hoặc
G
)
x
(1)
c) Cách giải
y
dy
dx
dv
Đặt v
v x
x
dx
dv
dx
Biến đổi (1) thành phương trình phân ly: x
F(v) v.
Ví dụ 1
dy 4x2 3y2
1/ Giải phương trình:
dx
2xy
dy
dx
x 3 y
y
x
dy
dx
dv
dx
1 x
v
, y = vx
v x
2
2 x
y
v
y
dv 2 3
v
dv 2 v v2 4
dx v 2
ln(v 4) ln x lnC.
v x
x
;
dx v 2
2v
2v
2
1
2
dv
dx
v 4 x
v2 4 C x
y2
x2
4 C x
y2 4x2 kx3.
2/ Giải: xy2y' = x3 + y3
46
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
x2
y2
y
x
+) y = 0 không là nghiệm
+) y 0;
y
y
1
u2
+)
y = xu y' = u + xu'
+)
u
u xu u
x
+) u3 = 3 ln |x| + C y3 = x3 (3 ln |x| + C)
3/ (x + 2y)dx x dy = 0
(x + y = Cx2)
x
4/ (x y)y dx = x2 dy
(
(
)
y
x Ce
3
5/ 2x y y
2x2 y2
)
x y lnCx
x y
6/ xy y (x y)ln
(y x lnlnCx)
x
x
7/ (3y2 + 3xy + x2)dx = (x2 + 2xy)dy
1 3x 3y
(
)
2
3
xy
(x y) Cx e
8/
((3x y 2ln x y 1 0)
y
1 x y
2
x2
2
(1 xy Cx3(2 xy), xy 2)
9/ y y
y
Ví dụ 2. 1/
, y(1) = e ( x ln )
xy y y(ln y ln x)
x
x
y
2
2
2/
(
, đẳng cấp)
(x y )dy 2xydx
y2dx (xy x2)dy
y 0, x
2y 2x
(ey / x Cy, y 0, x 0)
3/
4/
2
1
(
)
(x y)ydx x dy
y x ln Cx
, y 0, x 0
2
2
2
2
2
5/
6/
(
(
)
xy y x y , y(1) 0
y x y Cx , C 1
3
)
(2x y 4)dx (x 2y 5)dy 0
(x y 1) C(x y 3)
2
3
3
7/
(
)
1
(2x y 1)dx (x 2y 3)dy 0
C y x 4 y x
2
3
yy y
8/
9/
x3
(x2 y2 )dx xydy
1
(y2 (ln x2 C), x=0)
3
5. Phương trình tuyến tính
a) Đặt vấn đề
Phương trình đại số tuyến tính cấp một ax = b luôn giải được
Liệu có thể xây dựng được cách giải đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp
một hay không?
dy
b) Định nghĩa.
+ p(x) y = q(x) hoặc
(1)
x p(y)x q(y)
dx
47
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
c) Phương pháp giải. Có 3 phương pháp giải là :
- Sử dụng công thức nghiệm tổng quát.
- Thừa số tích phân.
- Biến thiên hằng số.
Dưới đây là phương pháp thừa số tích phân :
p(x)dx
Tính thừa số tích phân (x) e
,
Nhân hai vế của phương trình vi phân với (x),
Đưa vế trái của phương trình được xét về dạng đạo hàm của một tích:
D (x)y(x) (x)q(x).
x
Tích phân phương trình này
(x)y(x) (x)q(x)dx C,
rồi giải theo y để nhận được nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.
Ngoài ra có thể giải bằng các phương pháp khác như : Sử dụng công thức ngiệm tổng
quát (3), phương pháp biến thiên hằng số)
dy
dx
11
8
Ví dụ 1. 1/ Giải bài toán giá trị ban đầu
y
e
x /3, y(0) 1.
(1)dx
11
ex.
e
x /3, thừa số tích phân là
(x) e
Có p(x) = –1 và q(x) =
8
dy
11
Nhân cả hai vế của phương trình đã cho với e–x được ex
exy e4x /3
dx
8
d
11
(exy) e4x /3
dx
8
11
33
exy
e
4x /3dx e4x /3 C,
8
32
33
32
y(x) Cex
ex /3
.
Thay x = 0 và y = –1 vào ta có C = 1/32, nghiệm riêng cần tìm là
1
33
1
y(x)
ex
ex /3
(ex 33ex /3).
32
32
32
2/ Giải phương trình y' + 3y = 2x.e3x
+) p = 3, q = 2x.e3x
3dx
= e3x
+)
e
d
+) e3x (y' + 3y) = 2x
+)
+)
y.e
2x
3x
dx
+) y.e3x = x2 + C y = (x2 + C)e3x
dy
y
3/ Giải: x y.e
1
dx
dy
dx
x y.ey
e
ey
+)
dy
48
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
d
+) ey(x' x) = y
+)
xe
y
y
dy
1
1
+) xey y2 C x
y2 C ey
2
2
4/ y (2x 1) 4x 2y
(y (2x 1)(C ln 2x 1 1)
5/
(
(
)
y x(C sin x)
y x(y x cos x)
6/ (x y2)dy y dx
)
2
x y Cy
1
2
y2dx (2xy 3)dy 0 x Cy
7/
(
)
y
8/ (1 y2)dx 1 y2 sin y xy dy
(
)
2
x 1 y cos y C
9/ (2x y)dy y dx 4 ln y dy
(x 2ln y y 1 Cy2 )
ĐỊNH LÝ 1. Phương trình tuyến tính cấp một
Nếu hàm p(x) và q(x) liên tục trên một khoảng mở I chứa điểm x0, thì bài toán giá trị ban
đầu
dy
+ p(x)y = q(x),
y(x0) = y0
(2)
(3)
dx
có nghiệm duy nhất y(x) trên I, cho bởi công thức
p(x)dx
p(x)dx
y(x) e
(q(x)e
)dx C
với một giá trị C thích hợp.
Chú ý:
Định lý 1 cho ta biết mọi nghiệm của phương trình (1) đều nằm trong nghiệm tổng
quát cho bởi (3). Như vậy phương trình vi phân tuyến tính cấp một không có các
nghiệm kì dị.
Giá trị thích hợp của hằng số C–cần để giải bài toán giá trị ban đầu với phương
trình (2) – có thể chọn “một cách tự động” bằng cách viết
x
t
p(t)dt
p(u)du
x
x
x
0
0
y(x) e
y0 e
.q(t)dt
x
0
Các cận x0 và x nêu trên đặt vào các tích phân bất định trong (3) đảm bảo trước
cho (x0) = 1 và vì thế y(x0) = y0.
Ví dụ 2. Giả sử hồ Erie có thể tích 480 km3 và vận tốc của dòng chảy vào (từ hồ
Huron) và của dòng chảy ra (vào hồ Ontario) đều là 350 km3/năm. Giả sử tại thời
điểm t = 0 (năm), nồng độ ô nhiễm của hồ Erie – mà nguyên nhân là ô nhiễm công
nghiệp và nay đã được giảm bớt – bằng 5 lần so với hồ Huron. Nếu dòng chảy ra đã
được hoà tan hoàn toàn với nước hồ, thì sau bao lâu nồng độ ô nhiễm của hồ Erie
sẽ gấp 2 lần hồ Huron?
49
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
dx
dt
r
rc x
Phương trình vi phân cấp 1:
V
dx
dt
Ta viết lại nó theo dạng tuyến tính cấp 1:
px q
ept
với hệ số hằng
, q rc và nhân tử tích phân
.
p r /V
x(t) cV 4cVert /V
.
Để xác định khi nào x(t)=2cV, ta cần giải phương trình:
V
480
cV 4cVert /V 2cV
; t ln4
ln4 1,901 (năm).
r
350
Ví dụ 3. Một bình dung tích 120 gallon (gal) lúc đầu chứa 90 lb (pao-khoảng 450g)
muối hoà tan trong 90 gal nước. Nước mặn có nồng độ muối 2 lb/gal chảy vào bình
với vận tốc 4 gal/phút và dung dịch đã được trộn đều sẽ chảy ra khỏi bình với vận
tốc 3 gal/phút. Hỏi có bao nhiêu muối trong bình khi bình đầy?
dx
3
Phương trình vi phân :
x 8
dt 90 t
Bình sẽ đầy sau 30 phút, và khi t = 30 ta có lượng muối trong bình là :
904
1203
(lb).
x(30) 2(90 30)
202
Ví dụ 4.
1
a) 1/ (2xy 3)dy y2dx 0, y(0) 1
(
)
2
x y
y
y2
2/ 2ydx (y2 6x)dy 0, y(1) 1
(x
(1 y))
2
ydx (x y2 sin y)dy 0
b) 1/
(x (C cos y)y, y 0)
2
arctan y
2/
(
)
(1 y )dx (arctan y x)dy 0
x arctan y 1 Ce
y
2
c) 1/
(
)
y
x cos x, y
y x x sin x
x
ex
x
2/ y y
, y(1) e
(
)
y (1 ln x)e
ex C
x
ex
y
3/ y
(y
)
x 1 x 1
x 1
y
x
4/
(y
(x ln x C))
y 1
x(x 1)
x 1
y2
2
d) 1/
(x
(1 y))
2ydx (6x y )dy 0, y(1) 1
2
1
3
2/
(
)
(y 2)dx (y x 2)dy 0, y(1) 1
x
ln y 2 (y 2)
ex e 1
x
e) 1/
(y
)
xy y e 0, y(1) 1
x
50
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
y
x
x 1 ln x )
2/ xy
x 0, y(1) 0
(y
x 1
4ydx 12x 8y dy 0
x 1
1
3
f) 1/
2/
(
(
)
; y 0
x y c
y2
1
3
2
)
; y 0
2 2ydx 6 2x 2y dy 0
x y c
y 2
6. Phương trình Bernoulli
dy
p(x)y q(x)y , 0, 1 hoặc
a) Định nghĩa.
x p(y)x q(y)x , 0
dx
(2)
b) Cách giải
1
Với y 0, đặt
v y
Biến đổi phương trình (2) thành phương trình tuyến tính:
dv
(1 )p(x)v (1 )q(x).
dx
dy
3
2x
Ví dụ 1. 1/
y
dx 2x
y
Là phương trình Bernoulli với p(x) = 3/(2x), q(x) = 2x, = 1 và 1 = 2
3
yy
y2 2x
2x
dv 3
v 4x
dx x
2
Đặt:
ta thu được phương trình tuyến tính:
v y
(3/ x)dx
x3.
+) Nhân tử tích phân
e
4
4
4
x2
x3v C x3y2 C
3
+)
Dx(x v)
x
x
y2 4x2 Cx3.
(y(ex Ce2x ) 1; y 0)
(y3 = Cx3 3x2)
2 x
2/
y 2y y e
3/ xy2y = x2 + y3
4
4/
y y cos x y tan x
(y3 C cos3 x 3 sin x cos2 x; y 0)
2
5/
(
)
y(x 1)(ln x 1 C) 1, y 0
(x 1)(y y ) y
6/ 3x dy y(1 x sin x 3y3 sin x) dx
(y3(3 cecos x ) x, x 0, y 0)
1
2
Ví dụ 2
1/
y 2xy 2x y
(y2 (Ce2x 2x2 1), y 0)
3 3
2
y
2/ y
y2 0
(y1 (1 x)(ln 1 x C), y 0)
x 1
2
3
3
3
3/
4/
(y x(x sin x cos x C )
3xy y x cos x y
2
y 0, y x 1 ln x 1 C
1
(
51
)
(x 1)(y y ) y
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
3
2
2
3
(y x3 c
)
5/ a)
xy y x y
x
1
3
2
2
3
y 3 c
x5
)
b)
(
8xy y x 8y
x
40
7. Phương trình vi phân toàn phần
a) Định nghĩa. Phương trình P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
(1)
được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu các hàm P(x, y) và Q(x, y) liên tục
cùng với các đạo hàm riêng cấp một trên miền đơn liên D và có
P Q
(2)
y x
thì có tích phân tổng quát là
x
y
y
x
hoặc
P t, y dt Q x,t dt C
0
Q
x0,t dt P t, y dt C
x
y
y
x
0
0
0
0
Chú ý. Có hai cách giải phương trình VPTP : Sử dụng công thức tích phân tổng
quát nêu trên, hoặc Định lý 4 mệnh đề tương đương học trong Giải tích 2.
Ví dụ 1. 1/ Giải phương trình vi phân (6xy – y3)dx + (4y + 3x2 – 3xy2)dy = 0
P(x, y) = (6xy – y3) ; Q(x, y) = (4y + 3x2 – 3xy2)
Q
x
P
y
F
x
F
= 6x – 3y2 =
Phương trình vi phân toàn phần
= 3x2y – xy3 + g(y).
(6xy y3)dx
P x,y F(x, y) =
F
y
= 3x2 – 3xy2 + g'(y) = 4y + 3x2 – 3xy2,
Q x,y
y
g'(y) = 4y g(y) = 2y2 + C1,
F(x, y) = 3x2y – xy3 + 2y2 + C1.
Tích phân tổng quát 3x2y – xy3 + 2y2 = C
2/ (2x + 3y)dx + (3x + 2y)dy = 0
+) P = 2x + 3y; Q = 3x + 2y Qx = Py = 3
+) F 2x 3y dx = x2 + 3xy + g(y)
+) Fy(y) = 3x + 2y 3x + g'(y) = 3x + 2y g(y) = y2
+) x2 + 3xy + y2 = C
y2
x2
2y
2
2
3/ 4
dx
dy 0
(
(
(
)
)
(4x y ) Cx
x
y
y
y
4/
)
e dx (1 xe )dy 0
y xe C
y
5/ dx (y3 ln x)dy 0
4
4y ln x y C
x
2x
y3
y2 3x2
2
2
2
6/
dx
dy 0
(
)
x y Cy
y4
52
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
x dy y dx
y
7/ x dx y dy
(x2 y2 2arctan C )
x2 y2
x
8/ 2x cos2 y dx (2y x2 sin 2y)dy 0
(
(
)
2
2
2
x cos y y C
x
(x2 1)cos y
2
9/
2 dx
dy 0
)
x 1 2(C 2x) sin y
sin y
cos 2y 1
10)
2x
y2 3x2
x2
y3
y4
1
a)
(
(
)
dx
dy 0
C
y3
y4
y
y
b) dx (y3 ln x)dy 0
y ln x C)
x
4
y
y4
c) sin x
dx (y3 ln x)dy 0
( cos x
y ln x C )
x
y2
x2
4
y
y2
d)
( cos x sin y
C )
sin x
dx cos y 2
dy 0
x
x
11)
y2
x2
y2
2y
y2
a) sin x
dx
dy 0
(
)
C
cos x
x
x
y2
2y
b)
(sin x
C )
cos x
dx
dy 0
dy 0
x2
x
x
2
2
2
xy2 x
xy2 x
dx
dx
y x2y
y x2y
(
)
)
c)
d)
x x 1 y C
2
2
2
(
dy 0
x x 1 y C
y2
2y
y2
x
(1 )dx
dy 0
dy 0
12)
13)
( x
C )
x2
x
y 3x2
x2
1
2x
y3
dx
(
)
C
y4
y3 2y2
b) Thừa số tích phân
có thể đưa về
Phương trình vi phân
với
P(x, y)dx Q(x, y)dy 0
Qx Py
phương trình vi phân toàn phần khi tìm được
(hoặc
) sao cho
(y) 0
(x) 0
x
y
phương trình
có
. Khi đó hàm
(P) (x) ((y))
Pdx Qdy 0
(Q)
được gọi là thừa số tích phân, và được tính như sau.
Qx Py
(x)dx
Nếu
Nếu
(x)
(x) e
(y) e
Q
Qx Py
(y)dy
(y)
P
53
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
2
Ví dụ 2. 1/
(1)
(x y )dx 2xydy 0
2
dx
x
Qx Py
4y
2xy
2
1
x2
+)
+)
+)
+) (x) e
Q
x
là nghiệm
x 0
x y2
2y
: (1)
dx
dy 0 là phương trình vi phân toàn phần
x 0
x2
x
y
x 1
2t
y2
+)
dt
dt C
+) ln x
C là tích phân tổng quát
x
1 t
x
0
1
x2
y
2/ (x2 y)dx x dy 0
(
, x C, x 0)
x
1
( cos y, x2 sin y cos 2y C)
2
3/
2x tan y dx (x 2 sin y)dy 0
2
4/ (e2x y2)dx y dy 0 ( e2x, y2 (C 2x)e2x )
1
x
5/ (1 3x2 sin y)dx x cot y dy 0
(
)
, x3
C
sin y
sin y
Ví dụ 3.
x
2
x
x
x 2
a) 1/
(
)
2xe e y C
e (2 2x y )dx 2e ydy 0
1
2 3
2
3 2
2/
3/
(x2y x3y3 C )
(2xy x y )dx (x x y )dy 0
3
là
Tìm
để
phương
trình
sau
sau
toàn
phần
và
giải
h(x)
h(x) (y cos y)dx (1 sin y)dy 0
(h K1ex, ex(y cos y) C)
là
4/
Tìm
để
phương
trình
toàn
phần
và
giải
h(y)
h(y) (1 sin x)dx (cos x x)dy 0
y
y
(
)
h K1e , e (x cos x) C
b)
1/ Tìm
để phương trình sau là toàn phần và giải h(x) (y ln x)dx xdy 0
h(x)
C
1
1 y
(
)
C
h
, ln x
x2
x
x
x
2/ Tìm
để phương trình
sau
là toàn phần và giải
h(y)
h(y) y(1 xy) dx xdy 0
C x x2
(
)
C
h
,
y2
y
2
c)
1/
Tìm
để
phương
trình
sau
là
toàn
phần
và
giải
h(y)
h(y) (1 sin x)dx (cos x x)dy 0
54
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
(h Cey, ey (x cos x) C )
2/
Tìm
để
phương
trình
sau
là
toàn
phần
và
giải
h(x)
h(x) (y cos y)dx (1 sin y)dy 0
(h Cex, ex(y cos y) C
(1 3x2 sin y)dx xcot ydy 0
d)
e) Tìm h(y) để phương trình sau là phương trình vi phân toàn phần và giải phương trình đó
cos2y
2xh(y) tan ydx h(y)(x2 2sin y)dy 0,
.
(h(y) cos y, x2 siny
C)
2
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
55
12 trang
26/04/2022
8640
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 3 - Bài 7: Phương trình vi phân cấp một - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_3_bai_7_phuong_trinh_vi_phan_cap_mot_ng.pdf
