Giáo trình Giải tích 1 - Bài 5: Định lí về hàm khả vi và ứng dụng - Nguyễn Xuân Thảo
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
GIẢI TÍCH I
BÀI 5
§1.10 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG
Đặt vấn đề
1 Đặt vấn đề
“Cấu trúc thế giới hoàn hảo nhất, được sáng tạo bởi người thông minh nhất.
Không có gì xảy ra trên thế giới mà không có sự tham gia của lí thuyết cực đại,
cực tiểu” – Euler
2 Tia sáng qua gương: Heron, cực tiểu đường đi, thế kỉ 1 trước công nguyên
sin
const
3 Tia sáng qua nước, Fermat 1657,
, cực tiểu thời gian
cos
2. Công thức khai triển Taylor, Maclaurin
Định lý. Giả sử có f (k)(x),k 1,2,..,n,liên tục và có f (n1)(x),trong
U (x0),
n
f (k)(x0)
k!
f (n1)(c)
(n 1)!
f(x)
(x x0)k
(x x0)n1,
k0
c ở giữa
và
x0 (x x0),0 1.
x0
Ví dụ 1. Viết công thức Taylor f(x) = x4 tại x0 = 1.
a 0 và x;
2
cos c 2n 1
x2 x4
x2n
2n !
n
1
x
2n1,x
;
cosx 1
2n 1 !
2! 4!
c giữa 0 và x;
3!
1
1 2
x2
x3
1 x 1x
2!
n 1
n
1
x R x , x 1
,
n
n!
n
1 2
n1
ở đó Rn(x) =
n1, c giữa 0 và x;
x
1 c
n 1 !
x2 x3 x4
n1 xn
xn1
1
n
1
ln 1 x x
, x 1
,
n1
2
3
4
n
n 1 1 c
c giữa 0 và x.
Ví dụ 3. Tính gần đúng sin40 với sai số < 0,0001.
2
sin40 sin
9
26
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
7
2
9
0,77
7!
0,0000163
7!
3
5
2 1 2
1 2
.
0,6428
sin40
9
3! 9
5! 9
Ví dụ 4. Tính gần đúng e với sai số < 0,00001.
2
4
2
x ax sin x
, x 0
2
2
f x
Ví dụ 5 a)(K53) 1. Tìm a để
x ln 1 x
0,
x 0
1
khả vi tại x = 0.
(
)
a
3
2
4
2
x ax ln(1 x )
,
x 0
x 0
3
2x
f x
2. Tìm a để
x e 1
0,
1
)
a
(
khả vi tại x = 0.
2
4
2
1 1 x cosx
,
x 0
x 0
f x
4
2
b)(K57) Tính
, ở đó
(0)
f (0)
x ln 1 2x
0,
x4 x6
x2
o(x7)
)
6
c)(K57) Khai triển Maclaurin hàm số
đến
(
y xsinx
x
3! 5!
3. Quy tắc L'Hospital, ứng dụng khai triển hữu hạn
a) Quy tắc L'Hospital
Định lí L'Hospital 1. f(x), g(x) khả vi U
x
, f(x ) = g(x ) = 0, g'(x) 0 trong
0
0
0
0
0 g x
f x
0 g x
f x
lim
A
lim
A
U
x
,
0
0
xx
xx
lim f x
,
Định lí L'Hospital 2. f(x), g(x) khả vi U
x
\{x },
0
0
0
xx
0
0 g x
f x
0 g x
f x
lim
A
lim
A
lim g x
, g'(x) 0 trong U
x
,
0
0
xx
x x
xx
0
Chú ý. Quy tắc L'Hospital vẫn đúng khi thay x0 =
Có thể áp dụng nhiều lần quy tắc L'Hospital
Quy tắc L'Hospital chỉ là điều kiện đủ mà không là điều kiện cần
27
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
x cosx
tanx x
x sinx
Ví dụ 1.
Ví dụ 2.
lim
lim
x
x0
3x
ex
2009
Ví dụ 3. lim
Ví dụ 4. lim x lnx, > 0
x+
x
x0
2x
x
1
x1
Ví dụ 5.
Ví dụ 6.
lim lnx
lim
x 1 lnx
x0
1
x
x
2x 1
x
lim tan
x
lim xx 1
Ví dụ 7.
Ví dụ 8.
x0
sinx
cot x
Ví dụ 9(K50) 1. lim arctanx
(1)
2.
(1)
(1)
lim 1 sinx
x
2
x0
tanx
cos x
lim 1 cos x
lim 1 x
2
3.
(1)
4.
x0
x1
2
e
2
x
5. lim
arctanx
(
)
x
Ví dụ 10(K52)
3
2
2
2
cot x
e
2
2
tan x
lim cos x sin x
1.
(
e
)
2.
4.
(
lim sinx cos x
x
2
x0
2
lim cos x 1 cos x 1
lim sinx sin 1 x
3.
(0)
(0)
x
x
Ví dụ 11.(K53)
1
sinx 3 sinx
cos2 x
2
lim cosx
e
1
cot x
2
a)(K53) 1.
(
)
2.
(
)
lim
x0
12
x
2
2
x
ln(1 2t)dt
x sin3 x
1
1
1
0
lim
x2
3.
(1)
4.
( )
lim
ln x 1 2 x
2
x0
1
1
1
( )
2
1
cos3x cosx cos2x
cos3x cosx
lim
b)(K57) 1.
2.
( )
lim
x1
ln 2 x
x 1
2
x0
2
x2 1
2
2
lim (cos )x
lim (
)
x
c)(K58) 1)
3)
(
e2
)
2)
(
e2
)
x2 1
x
x
x
1
lim xsinx
lim ( )tanx
(1)
4)
(1)
x
x0
x0
28
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
x
4
x
4
d)(K59) 1) lim tan
ln(3 x)
( )
2) lim (1 cos )tanx
( )
1
x2
x0
2
1
2
ex -tanx-1
1
ln(1 x) sinx
3)
(
)
4) lim
( )
lim
x2
x2
x0
x0
2
cosx
1
1
1
2
1
x
lim
e)(K60) 1)
(
)
2) lim (1 sin2 x)
(
)
e
x0
ex 1
sinx
x0
1
ex cosx
ln(1 2x)
1
3) lim
( )
4) lim ex 3x
( )
4
sinx
e
x0
x0
2
x
x
5) lim (sinx)
( )
1
6)
(1)
lim 1 cosx
x0
x0
x5 sinx5
1
lim x[ 2arctan(2x)]
f)(K61) 1) lim
( )
2)
2)
( )
1
sin15 x
x0
x
6
lim (1 cos x)tanx
lim (1 cos x)sinx
g)(K62) 1)
(1)
1
( )
x0
x0
x
1
x ln 3 dt
Ví dụ 12.a)(K54) 1) CMR: Bất phương trình
2) CMR: Bất phương trình
có nghiệm x > 1.
có nghiệm x > 2.
t
1
x
2
x ln 3 dt
t
2
b)(K58) Cho
liên tục trong lân cận x=1. CMR :
f (x)
f(1 h) 2f(1) f(1 h)
f (1)
lim
h2
h0
4. Hàm số đơn điệu
Định nghĩa.
f(x) tăng (đồng biến) trên [a ; b] x1, x2 [a ; b], x1 < x2 f(x1) < f(x2).
f(x) giảm (nghịch biến) trên [a ; b] x1, x2 [a ; b], x1 < x2 f(x1) > f(x2).
Định nghĩa. Hàm số f(x) đơn điệu trong [a ; b] trên đoạn này hàm số chỉ
tăng (giảm, không tăng, không giảm)
Định lí 1. f(x) liên tục trong [a ; b], khả vi trong (a ; b)
Nếu f(x) tăng (giảm) trong [a ; b] f’(x) 0 (f’(x) 0)
Nếu f’(x) 0 (f’(x) 0) trong (a ; b), có ít nhất một điểm x để f’(x) >0 (f’(x) < 0)
f(b) > f(a) (f(b) < f(a))
Hệ quả. 1) f(a) g(a), f’(x) g’(x), x (a ; b) f(x) g(x), x [a ; b]
2) f(a) < g(a), f’(x) < g’(x), x (a ; b) f(x) < g(x), x [a ; b]
29
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
y2
x2
Ví dụ 1(K50) a) x y > 0. CMR arccot x4 arccot y4 ln
x2
y2
b) x y > 0. CMR arctan x4 arctan y4 ln
Ví dụ 2(K53) a) 1) CMR: x > 0 có 3arctanx + arctan(x + 2) < 4arctan(x + 1)
2) CMR: x > 0 có 2arccotx + arccot(x + 2) > 3arccot(x + 1)
2
2
2
b) 1) CMR
(1 2x )ln 1 2x x , x
2
2
2
2) CMR
(1 3x )ln 1 3x x , x
5. Bất đẳng thức hàm lồi
Định nghĩa. f(x) xác định trên [a ; b], f(x) lồi trong [a ; b] t [0 ; 1] ta có
tf(a) + (1 t)f(b) f(ta + (1 t)b)
Nếu dấu “” thì ta có f(x) lõm trong [a ; b]
Định lí. Nếu f’’(x) > 0 trong khoảng I f(x) lồi trong [a ; b], a, b I, a < b.
Nếu f’’(x) < 0 trong khoảng I f(x) lõm trong [a ; b], a, b I, a < b.
Ví dụ 1(K53) a) CMR: x có 3arctanx + arctan(x + 2) < 4arctan(x + 1)
b) CMR: x có 2arccotx + arccot(x + 2) > 3arccot(x + 1)
2(K61) Xét tính lồi, lõm y (x 1)ex
(lồi khi x>-1; lõm khi x<-1)
6. Cực trị
Định nghĩa. f(x) xác định trong (a ; b), đạt cực đại tại x0 (a ; b) U
x
để
0
0
có f(x) < f(x0), x U
x
\{x }
0
0
0
tương tự thì f(x) > f(x0), x U
x \{x } thì f(x) đạt cực tiểu tại x
0
0
0
0
Định lí. f(x) liên tục trong [a ; b], khả vi trong (a ; b) (có thể trừ ra hữu hạn điểm).
Khi x biến thiên qua c, f’(x) đổi dấu từ + sang thì f(x) đạt cực đại tại x = c.
Tương tự khi f’(x) đổi dấu ngược lại thì ta có f(x) đạt giá trị cực tiểu tại x = c.
Nếu f’(x) không đổi dấu khi x biến thiên qua c thì không có cực trị tại x = c.
Ví dụ 1. a) y = x2, y = x3, y = |x|
y 3arctan x ln( x2 1)
b)(K60)
()
và có f’(c) = f’’(c) = ... = f(n 1)(c) =0, f (c) 0.
c
(n)
(n)
U
Định lí 2. f (x) liên tục trên
0
Nếu n chẵn, đạt cực tiểu tại x = c nếu f(n)(c) > 0
đạt cực đại tại x = c nếu f(n)(c) < 0
Nếu n lẻ thì không đạt cực trị tại x = c.
30
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
Cách tìm cực trị.
-) Tìm c (a ; b):
,
i 1, n hoặc không tồn tại
(Điểm tới hạn)
f c 0
f (ci )
i
i
-) Xét dấu
khi x biến thiên qua
,
i 1, n
.
f (x)
ci
f(x) c, x [a ; b]
Định nghĩa.
maxf c
a ; b
x0 [a ; b] : f(x0) c
Cách tìm max f, min f.
-) Tìm các điểm tới hạn ci (a ; b).
min f min f c , f a , f b
;
maxf max f c , f a , f b
-)
i
i
a ; b
a ; b
Ví dụ 2. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 450m2 được rào lại để thỏ
không vào phá vườn. Biết cạnh của mảnh vườn là một bức tường. Hỏi kích
thước chiều dài cần rào ngắn nhất là bao nhiêu?
Ví dụ 3. Một kg khoai tây cửa hàng nhập vào có giá 70 cent, người bán hàng có
thể bán được 500kg khoai tây với giá 1,5đôla/1kg. Biết rằng với mỗi cent mà
người bán hàng hạ giá thì số lượng bán được sẽ tăng gấp 25 lần. Hỏi người bán
hàng cần đưa ra giá khuyến mãi là bao nhiêu để thu được nhiều lợi nhuận nhất.
Ví dụ 4. Một tia sáng đi từ A đến mặt gương phẳng và đến B theo luật phản xạ.
CMR: đó là đường đi ngắn nhất từ A đến B qua gương. Có kết luận gì khi thay
mặt gương bằng mặt nước và điểm B nằm ở dưới nước?
Ví dụ 5. Tìm cực trị:
3
2
2
a )(K53) 1. y x 4 x
(ymin(4) = ymin(0) = 0; ymax(3) = 9)
2. y x 8 x
(ymin(0) = ymin(8) = 0; ymax(6) = 363 4
)
3
33 20
2
3
3
y x 1 x
b)(K55) 1.
(ymin(1) = 0 ; ymax
(ymin(0) = 0 ; ymax
=
=
)
)
25
5
33 20
25
2
3
2
2. y 1 x x
5
2
3 4
3
2
y
0 0, y
c)(K57) y x 1 x
(
)
max
min
3
3
2x2 x 1
8 5 2
4 2 2
8 5 2
4 2 2
y
1 2
, ymax 1 2
y
d)(K59)
e)(K60)
g)(K62)
(
)
min
x2 1
3
3
13
4
y 3arctan x ln(x2 1)
y x3 2ln x
ymax( ) 3arctan ln
(
(
)
2
2
2
2 2 2
3
ymin
(
) ln
)
3
3 3 3
31
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
Vídụ 6 . a)(K53)1.Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất y = 3x2 6arccot x2, 1 x
4 3
2
(max f = 3 ; min f =
)
)
2
2. Tìm giá trị lớn nhất,bé nhất y = +3x2 6arccotx2,
(max f =
x 1
4 3
2
2
, min f = 3
3 3
2
2
4
c)(K55) 1. Chứng minh rằng 2x arctanx ln 1 x , x
3
3
6
2.Chứng minh rằng 2x arctanx ln 1 x , x
7. Phương pháp Newton (tiếp tuyến)
Ta cần giải gần đúng phương trình
hàm f khả vi trên khoảng này.
, biết rằng nó có nghiệm r trên (a;b) và
f(x) 0
+) Lấy
, viết phương trình tiếp tuyến với
tại
, có
có
x1(a;b)
y f (x1)(x x1)f(x1)
+) Tiếp tuyến
y f(x)
(x1;f(x1))
này
cắt
trục
ox
tại
,
nên
(x2;0)
f(x1)
0 f (x1)(x2 x1) f(x1) x2 x1
,
nếu
.
f (x1) 0
f (x1)
f(xn )
+) Tiếp tục quá trình nàysau (n-1) bước, ta được xn1 xn
,
khiđó ta có
f (xn )
lim xn r
n
cos x x
Ví dụ. Tìm nghiệm gầnđúng của phương trình
đến 6 chữ số thập phân.
phương trình đã cho luôn
+) Đặt
, có
f(0) 1,f(1) cos11 0
f(x) cosx x
có nghiệm
.
(0;1)
cos xn xn
sinxn 1
x
n1 xn
.
+) Theo trên tacó
, nên có
f (x) sinx 1
+) Lấy x1 1, ta có x2 0,75036387
x5 0,73908513
+) Do x4
x5 trùng nhau đến 6 chữ số thập phân, nên nghiệm chính xác đến 6 chữ
x 0,73908513
x3 0,73911289 x4 0,73908513
, , ,
.
,
số thập phâncủaphương trình đã cho là
.
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
32
7 trang
15540
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 1 - Bài 5: Định lí về hàm khả vi và ứng dụng - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_giai_tich_1_bai_5_dinh_li_ve_ham_kha_vi_va_ung_dun.pdf
