Giáo trình Giải tích 3 - Bài 14: Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản - Nguyễn Xuân Thảo
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI
BÀI 14
§3. Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản
Quy tắc phân thức đơn giản
1. Mở đầu.
Sự cộng hưởng và nhân tử tích lặp bậc hai
Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng có nghiệm là biến đổi Laplace
P(s)
nghịch đảo của hàm hữu tỉ
R(s)
Q(s)
Cần đưa ra kĩ thuật cho phép tính L 1 R(s) được thuận lợi.
2. quy tắc phân thức đơn giản
a) Quy tắc 1. Phân thức đơn giản tuyến tính
n
có các số hạng sau
R s
Nếu
có
thì
Q(s)
s a
A1
A2
An
...
, A , i 1,n
i
2
n
s a
s a
s a
b) Quy tắc 2. Phân thức đơn giản bậc hai
n
2
s a b2
R s
Q s
có dạng
Nếu
có
thì
A1s B1
A2s B2
Ans Bn
...
2
2
n
s a b2
2
2
2
2
s a b
s a b
ở đó
A , Bi , i 1,n
i
Định lí 1. Biến đổi trên trục
s
Nếu F(s) L f(t) tồn tại với
, thì tồn tại L eatf(t) với
và có
s a c
s c
at
.
L e f(t) F(s a) L f t s a
L 1 F(s a) eatf(t) eatL 1 F s
t
Hay tương đương với
Chứng minh. Ta có
sa t
st
at
at
F s a e
f t dt e
e f t dt L e f t , s a c
0
0
Từ kết quả này và từ bảng 4.1.2 có
F s
f t
n!
n1 , s a
eattn
(2.1)
s a
s a
eat cos(kt)
, s a
(2.2)
2
s a k2
91
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
k
eat sin(kt)
2
, s a
(2.3)
s a k2
Ví dụ 1. Tìm phép biến đổi Laplace ngược của
s2 1
a)
R(s)
s3 2s2 8s
s2 1
A
s
B
C
R s
s s 2 s 4
s 2 s 4
2
.
s 1 A(s 2)(s 4) Bs(s 4) Cs(s 2)
Thay
,
, và
ta có
s 4
s 0 s 2
1
5
17
,
,
A ; B
, C
8A 1 12B 5 24C 17
8
12
24
1 1 17
5
1
1
R s .
.
.
,
8 s 12 s 2 24 s 4
1
5
17
24
L 1 R s e2t
e4t.
8 12
s2 2s
1
b) F s
(f t
2cos t sint 2cos 2t 2sin 2t )
s4 5s2 4
s2 2s
3
c) F s
(
)
f t 2 cos t sin t 2 cos 2t 2 sin 2t
s4 3s2 2
2
Ví dụ 2. Giải bài toán giá trị ban đầu
;
y 4y 4y t y(0) y (0) 0.
2
s3
s2Y(s) 4sY(s) 4Y(s)
.
Tác động phép biến đổi Laplace ta có
2
A
B
C
s
D
s 2
1
E
Y(s)
s3(s 2)2 s3 s2
2
s 2
3
3
1
2
1
4
8
s
8
s 2
2
Đồng nhất các hệ số ta có
Y(s)
2
s3 s2
s 2
1
1
3 1
3
y(t) t2 t te2t e2t
.
4
2
8 4
8
1
Ví dụ 3. Xét một hệ con lắc lò xo với m ,
,
đơn vị (mét, kilôgam,
k 17
c 3
2
giây).
là khoảng dịch chuyển của khối lượng
m
từ vị trí cân bằng của nó. Nếu
x(t)
khối lượng được đặt ở vị trí
tắt dần.
,
. Tìm
là hàm của dao động tự do
x(t)
x(0) 3 x '(0) 1
Hình 4.3.1. Hệ khối lượng-lò xo và vật cản của Ví dụ 1
92
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
1
Ta có phương trình vi phân tương ứng với bài toán là:
x 3x 17x 0
2
;
với điều kiện ban đầu
x(0) 3 x (0) 1
Tác động phép biến đổi Laplace vào hai vế, chú ý L 0 0 ta có
2
s X(s) 3s 1 6 sX(s) 3 34X(s) 0
3s 19
s2 6s 34
s 3
5
X(s)
3.
2
2
2
s 3 25
s 3 25
x(t) e3t 3cos5t 2sin5t
Sử dụng (2.2), (2.3) có
Hình 4.3.2. Hàm vị trí
trong Ví dụ 1.
x(t)
Từ hình ta thấy đồ thị của dao động tắt dần.
Ví dụ 4. a) Xét hệ con lắc lò xo - giảm xóc như trong Ví dụ 3, tuy nhiên với điều kiện
và với một lực tác động bên ngoài
. Tìm chuyển động
F(t) 15sin2t
x(0) x (0) 0
tức thời và ổn định của khối lượng đó.
Ta cần giải bài toán với giá trị ban đầu
;
.
x " 6x ' 34x 30sin2t x(0) x '(0) 0
60
s2 4
2
Tác động phép biến đổi Laplace vào ta có
s X(s) 6sX(s) 34X(s)
Cs D
60
As B
s2 4
X s
.
2
2
2
s 4 (s 3) 25
s 3 25
10
50
10
Đồng nhất ta có A
, B
, C D
. Vì vậy,
29
29
29
1 10s 50
29
10s 10
1 10s 25.2 10(s 3) 4.5
X s
.
2
2
s2 4
s2 4
29
s 3 25
s 3 25
5
29
2
Do đó x(t)
2cos2t 5sin2t
e3t 5cos5t 2sin5t .
29
3
b)
+)
x
x 6x 0, x 0 0, x 0 x 0 1
3
2
s X s s 1 s X s 1 6sX s 0
s 2
s3 s2 6s
1
5
1
6
X s
+)
15 s s 3 s 2
93
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
1
1
3t
2t
2t
3t
6e e 5
5L 1 L e
6L e
+)
L
15
15
1
2t
3t
+) x t
6e e 5
15
1
2t
4t
c)
d)
(x t 1 2e e
x 6x 8x 2, x 0 0 x 0
4
1
t
t
2t
(x t
2e e
2cos2t sin2t )
x 4x 8x e , x 0 x 0 0
10
1
x x 0, x 0 1, x 0 x 0 x
0 0
4
3
e)
f)
(x t cosht cost )
2
x 13x 36x 0, x 0 x 0 0, x 0 2, x
0 13
3
4
1
1
(x t sin2t sin3t )
2
3
x 2x x e , x 0 x 0 x 0 x
4
2t
3
0 0
g)
h)
1
2t
(x t
2e 10t 2 cost 5t 14 sint )
50
x 6x 18x cos2t, x 0 1, x 0 1
1
1
(x t
3t
e
489cos3t 307sin3t
7cos2t 6sin2t )
510
170
1
5
1
3
x 12x 0, x 0 0, x 0 x 0 1
i)
(x t e3t e4t
)
)
x
6 21
1
14
1
1
3
(x t
k)
e4t
e5t
x
x 20x 0, x 0 0, x 0 x 0 1
10 6
15
x 3x 4x 0, x 0 x 0 x 0 0, x 0 1
4
l) 1/
1
1
1
( sint
e2t
e2t
)
5
20
20
2/ x 8x 9x 0, x 0 x 0 x 0 0, x 0 1
4
1
1
1
( sint
10
e3t
e3t
)
.
60
60
m)
4
k
0 0, k 0, 5
6
4x x 4x sinh2t, x
1/
. . ..
x
sinh2t sin2t sinht sint
.
20
15
sinh2t sin2t sinht sint
4x x 4x sin2t,x
0 0, k 0, 5
6
4
k
2/
,
x
20
15
1
4
n)
(
)
sint sinh2t
x
4x 0 x(0) 0 x 0 x (0), x (0) 1.
2
94
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
3. Sự cộng hưởng và nhân tử tích lặp bậc hai
Hay dùng hai phép biến đổi Laplace ngược của hàm phân thức đơn giản trong trường
hợp phân tích lặp bậc hai (nhận được khi sử dụng kỹ thuật như ở Ví dụ 5, Bài 13)
s
1
1
1
2k3
L 1
t sinkt
L 1
(sinkt kt coskt)
;
2
2
2k
s2 k2
s2 k2
Ví dụ 5. Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải bài toán với giá trị ban đầu
2
x 0 x F0 sint ;
x(0) 0 x (0)
F0
s2 2
s2X(s) 02X(s)
Tác động phép biến đổi Laplace vào có
F0
F0
1
1
tìm được
0 x t
X(s)
2
,
2
2 0 s 0
s2 2
2
s2 2 s2 2
0
F00
F0
Nếu
ta có X(s)
2 , khi đó x(t)
sin t t cos t
0 0 0
0
2
s2 2
20
0
1
Hình 4.3.4. Nghiệm cộng hưởng trong (18) với 0 và
,
F0 1
2
cùng với đường bao của nó
x C(t)
Ví dụ 6. Giải bài toán với giá trị ban đầu
4
y 2y " y 4te y(0) y '(0) y "(0) y (0) 0
t
(3)
;
.
1
4
2
t
L y (t) s Y(s)
Có
, L y(t) s4Y(s),
.
L te
s 1 2
4
s4 2s2 1 Y(s)
Tác động phép biến đổi Laplace vào có
.
s 1 2
4
A
B
Cs D E s F
Y(s)
(s 1)2(s2 1)2 (s 1)2
s2 1
s2 1 2
s 1
Dùng hệ số bất định có
1
2
2s
2s 1
s2 1
Y s
2
2
s 1
2
s 1
s 1
t
Do đó
.
y(t) (t 2)e t 1 sint 2cost
95
6 trang
26/04/2022
8420
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 3 - Bài 14: Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_3_bai_14_phep_tinh_tien_va_phan_thuc_do.pdf
