Giáo trình Giải tích 3 - Bài 12: Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược - Nguyễn Xuân Thảo
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI
BÀI 12
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE
§1. Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược
Phép biến đổi Laplace
Tính chất của phép biến đổi Laplace
Phép biến đổi Laplace ngược
1. Đặt vấn đề
Thường gặp trong thực tế các phương trình vi phân
1
;
LI RI I E (t)
mx cx kx F(t)
C
F t
nói chung là gián
E t
tương ứng với hệ thống giảm sóc và chuỗi mạch RLC,
và
đoạn, khi đó phương pháp như đã biết khá bất tiện. Có hay không phương pháp tiện lợi
hơn?
biến phương trình vi phân với ẩn hàm
Phép biến đổi Laplace:
f t
L f t s F s
thành một phương trình đại số với ẩn hàm
- có lời giải được tìm ra dễ
F s
hơn nhiều. Chẳng hạn như đối với phương trình vi phân cấp cao
n1
y a1y
an1y any f x
n
,
với điều kiện ban đầu nhận được công thức nghiệm tường minh biểu diễn qua tích chập
Laplace.
Giải một lớp phương trình vi phân cấp cao với hệ số hàm số (điều này không thể
làm được với các phương pháp đã biết), chẳng hạn
xy 4x 1 y 2 2x 1 y 0
Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp cao
n
y
n
a1kyk f1 x
1
k1
n
n
ankyk fn x
yn
kn
Giải một lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với hệ số hàm số.
2. Phép biến đổi Laplace
st
s, f t
Định nghĩa:
ở đó
F s L f t s e f(t)dt,
0
s, f t
Nhận xét. Phép biến đổi Laplace xác định với
. Nhưng trong chương
s, f t
này ta chỉ cần sử dụng
L 1 s
Ví dụ 1. Tính
77
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
1
1
1
1
st
estdt e
lim ebs
s 0
,
0 b
s
s
s
s
0
Không tồn tại
khi
.
L 1 s
s 0
at
at
Ví dụ 2.
. Tính
.
f t e , t 0
L e , a
b
e sa t
at
st at
L e
(sa)tdt lim
s e e dt e
b
s a
0
0
0
1
1
sa b
lim
1 e
, nếu
s a
b
s a
s a
Phân kì khi
s a
a
n
và
Ví dụ 3. Cho
. Tính
f t t , a 1
L f t
L t , n
a
st a
.
L t s e t dt
0
u
du
s
1
(a 1)
sa1
a
euuadu
, s 0
L t
Đặt u st t , dt
có
sa1
s
0
(2.1)
n!
sn1
n
L t
, s 0
3. Tính chất của phép biến đổi Laplace
Định lý 1. Tính tuyến tính của phép biến đổi Laplace
Cho
là hằng số và L f t s và L
g t s , khi đó
,
f t g t
g t s , s
L
s L f t s L
st
f t g t dt
Chứng minh.
+) L f g s e
0
b
lim est
f t g t
dt
+)
b
0
b
b
st
st
+)
lim e f t dt lim e g t dt
b
b
0
0
st
st
+) e f t dt e g t dt
0
0
L f L g
+)
.
3
2
2
Ví dụ 4. Tính
L 3t 4t
78
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
1
Ta có
2
5
3
3
3
3
1
3 1
1 . .
1
3
1
2
2 2 2 2 2 2 2 2 4
3
3
2
2
2
2
L 3t 4t 3L t 4L t
Sử dụng (2.1) ta có
3
2!
s3
2
L t
, s 0
s3
5
2
3
3
2
L t
5
5
s2
4.s2
5
3
2
2!
s3
6
s3
2
2
3
L 3t 4t
3. 4
s5
5
s2
Ví dụ 5. Tính
L coshkt , L sinhkt , L coskt , L sinkt
kt
kt
e e
1
2
kt
kt
L coshkt L
L e L e
2
1
1
1
s
Theo ví dụ 2 có L coshkt
2 , s k 0
2
2 s k s k
s k
k
Tương tự
,
s k 0
L sinhkt
s2 k2
est
s2 k2
s
st
k sinkt scoskt
L coskt s e coskt dt
s2 k2
0
0
ikt
ikt
e e
1
1
1
s
(hoặcL coskt L
)
, s 0
s2 k2
2
2 s ik s ik
k
Tương tự
L sinkt
, s 0
s2 k2
2t
2
Ví dụ 6. Tính
L 3e 2sin 3t
2t
2
2t
L 3e 2sin 3t L 3e 1 cos6t
2t
s
s2 36
3L e L 1 L cos6t
3
1
s 2 s
3s3 144s 72
s(s 2)(s2 36)
, s 2
79
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
4. Phép biến đổi Laplace ngược
là biến đổi Laplace ngược của
f t
Định nghĩa. Nếu
thì ta gọi
F s L f t
s
1
và viết
F s
f t L
F s
s
s
1
1
Ví dụ 7 a.
; b.
L
coskt, s 0
L
coshkt, s k 0
s2 k
s2 k
2
2
f t
F s
1
s
1
s2
n!
sn1
(
(
)
)
)
s 0
s 0
s 0
1
t
tn n 0
(
(a 1)
s1 t
(
),
s 0
s t e dt
ta (a 1)
sa1
0
(
)
Res 0
1
eat
(
(
(
(
(
)
s a
s 0
s 0
s k
s k
s a
s
)
coskt
s2 k2
k
)
sinkt
s2 k2
s
)
)
coshkt
sinhkt
s2 k2
k
s2 k2
eas
u t a
(
), a>0
s 0
s
Bảng 4. 1. 2. Bảng các phép biến đổi Laplace
4.e5t
4
1
c.
+)
d.
+)
L
s 5
4
4
5t
5t
4L e
+)
L 4e
L 1
+)
4e5t
s 5
s 5
2
4
1
1
L
t3
3
s
2
1
2
s4
2 3!
1
1
+)
+) L 1
t3
3
.
L t
L
t3
s4
4
3
3!
3
3
s
80
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Nhận xét. Phép biến đổi ngược Laplace có tính chất tuyến tính.
Thật vậy, ta có
+) F G L f L g L f g
1
1
+)
L L
F L
G
1
F L
1
1F G
L
+) Từ đó và từ định nghĩa có
.
G
L
Định nghĩa. Hàm số
được gọi là liên tục từng khúc trên a ; b nếu như
f t
f t
liên tục trên mỗi khoảng nhỏ (ở đó a ; b được chia thành hữu hạn khoảng
nhỏ)
có giới hạn hữu hạn khi tiến tới hai điểm biên của mỗi đoạn này.
f t
t
Hình 4.1.3. Đồ thị của hàm liên tục từng khúc.
Các dấu chấm chỉ ra các giá trị mà hàm số gián đoạn
Hình 4.1.4. Đồ thị của hàm đơn vị bậc thang
0 t a
Ví dụ 8. Tính L u t , a 0,
u t u t a
a
a
1 t a.
est
s
b
st
st
L u t e u (t)dt e dt lim
b
a
a
ta
0
a
1
sa
. lim e
esb
b
s
eas
, s 0, a 0
s
Định nghĩa. Hàm f được gọi là bậc mũ khi
nếu tồn tại các hằng số không
t
ct
âm
sao cho
M, c,T
f t Me , t T
Định lý 2. Sự tồn tại của phép biến đổi Laplace
Nếu hàm
liên tục từng khúc với
và là bậc mũ khi
thì tồn tại
t
f
t 0
.
L f t s , s c
81
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
ct
Chứng minh. +) Từ giả thiết f là bậc mũ khi
f t Me , t 0
t
b
b
b
b
M
st
st
st
ct
sc tdt
, s c.
+) Ta có e f t dt e f t dt e .Me dt M e
s c
0
0
0
0
M
st
F s , s c .
có F s e f t dt
+) Cho
b
s c
0
Từ đó, khi cho
, ta có
s
Hệ quả. Nếu
thỏa mãn giả thiết của Định lý 2 thì
lim F(s) 0
f t
s
Chú ý.
Một hàm hữu tỉ (bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu) là ảnh của phép biến đổi Laplace
Định lí 2 không là điều kiện cần, ví dụ:
1
Hàm
không liên tục từng khúc tại
và là bậc mũ khi
, nhưng ở
t
f(t)
t 0
t
ví dụ 3 có
1
1
s
2
2
.
L t
1
s2
Định lý 3. Sự duy nhất của biến đổi Laplace nghịch đảo
Giả sử rằng các hàm
thỏa mãn giả thiết của Định lý 2 để tồn tại
f t , g t
, G s L
tại mà cả hai hàm liên tục.
t
, s c thì có
F s G s f t g t
g t s . Nếu
F s L f t
s
Ví dụ 9. Dùng bảng tính biến đổi Laplace của các hàm số sau
2
2
a)
b)
c)
f(t) cos t
f(t) sin2t cos3t
f(t) cosh 3t
2
t
3t
d)
e)
f)
f(t) (2 t)
f(t) te
f(t) t 2e
Ví dụ 10. Dùng bảng tính biến đổi Laplace ngược của các hàm số sau
2
2
s3
5s 2
9 s2
4 2s
s2 4
a)
b) F(s)
c)
F(s)
F(s)
F(s)
s 3
1 5s
d)
e)
F(s) 3s e
Chú ý
Hai hàm liên tục từng khúc, là bậc mũ và bằng nhau qua phép biến đổi Laplace chỉ
có thể khác nhau tại những điểm gián đoạn cô lập. Điều này không quan trọng trong
hầu hết các ứng dụng thực tế.
Phép biến đổi Laplace có một lịch sử khá thú vị: Xuất hiện đầu tiên trong nghiên
cứu của Euler, mang tên nhà toán học Pháp Laplace (1749-1827) - người đã dùng
tích phân trong lý thuyết xác xuất của mình, nhưng việc vận dụng phương pháp
82
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân lại không thuộc về Laplace mà thuộc
về kĩ sư người Anh Oliver Heaviside (1850-1925).
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
83
7 trang
20660
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 3 - Bài 12: Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_3_bai_12_phep_bien_doi_laplace_va_phep.pdf
