Tóm tắt Sức bền vật liệu 2 - Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng

Chapter 7. UỐN PHẲNG THANH THẲNG

§1 KHÁI NIỆM CHUNG

Một thanh lăng trụ có trục bị uốn cong khi chịu tác dụng của tải trọng nằm trong mặt phẳng chứa

trục thanh và có phương vuông góc với trục thanh. Khi đó, ta nói thanh chịu uốn và được gọi là

dầm.

P

3

O₂

P

2

P

5

P

1

O₁

P

4

Hình 7-1

Mặt phẳng tải trọng là mp chứa tất cả các loại lực tác dụng và trục thanh.

Đường tải trọng là giao tuyến giữa mp tải trọng và mặt cắt ngang.

Trong chương này, chỉ khảo sát những trường hợp:

 Mặt cắt ngang có ít nhất một trục đối xứng.

 Mặt phẳng đối xứng này cũng là mặt phẳng quán tính chính trung tâm.

 Giả thiết tải trọng nằm trong mặt phẳng này.

Khi đó trục dầm sau khi bị biến dạng vẫn nằm trong mặt phẳng này nên sự uốn còn được gọi là

uốn phẳng.

Có hai loại uốn phẳng:

 Uốn thuần túy phẳng: khi trên mặt cắt ngang của thanh chỉ có 1 thành phần nội lực là

mômen uốn.

 Uốn ngang phẳng: khi trên mặt cắt ngang của thanh có mômen uốn và lực cắt.

§2 UỐN THUẦN TÚY PHẲNG

Độ cong:

1

M_x

EI_x

 



(7-1)

(7-2)



Ứng suất:

M_x

I_x

_z

y

Trong đó:

M_xlà mômen uốn (>0 khi căng phía dương của trục y)

I_xmômen quán tính đối với trục x.

y là khoảng cách từ trục trung hòa đến điểm cần tính ứng suất.

Hay:

M_x

(7-3)

_z 

y

I_x

1

Lấy dấu + nếu M gây kéo tại điểm cần tính ứng suất.

Lấy dấu – nếu M gây nén tại điểm cần tính ứng suất.

Ứng suất khi kéo và khi nén lớn nhất ở những điểm cách xa trục trung hòa nhất:

M_x

I_x

M_x

W_x^k

M_x

W_xⁿ

(7-4)

(7-5)

_max

_min



y_m^k_ax



M_x

I_x

y_mⁿ_ax

Trong đó:

I_x

W_x^k

W_xⁿ

(7-6)

(7-7)

y_m^k_ax

I_x

y_mⁿ_ax

Được gọi là các suất tiết diện hoặc mômen chống uốn của mặt cắt ngang.

Điều kiện bền:

M_x

(7-8)

(7-9)

_max

_min



 

 _k

W_x^k

M_x

W_xⁿ

 

 _n

Ba bài toán cơ bản:

Bài toán 1: Kiểm tra bền

Biết:

 Hình dạng và kích thước mặt cắt ngang dầm

 Tải trọng

 Ứng suất cho phép của vật liệu

Kiểm tra: điều kiện bền có thỏa mãn không?

Giải:

Từ các dữ kiện đã biết, ta xác định Mx tại mặt cắt cần kiểm tra, tính Wx, tính ứng suất rồi so sánh.

Bài toán 2: Chọn kích thước mặt cắt ngang

Biết:

 Hình dạng mặt cắt ngang dầm

 Tải trọng

 Ứng suất cho phép của vật liệu

Xác định: kích thước mặt cắt ngang dầm?

Giải:

Từ các dữ kiện đã biết, ta xác định Mx tại mặt cắt cần kiểm tra, tính Wx. Từ đó, xác định được kích

thước.

Bài toán 3: Xác định tải trọng cho phép

Biết:

2

 Hình dạng và kích thước mặt cắt ngang dầm

 Dạng tải trọng nhưng chưa biết trị số.

 Ứng suất cho phép của vật liệu

Kiểm tra: xác định trị số tải trọng?

Giải:

Từ các dữ kiện đã biết, ta xác định Mx. Từ Mx ta xác định được trị số tải trọng.

§3 UỐN NGANG PHẲNG

Uốn ngang phẳng (có cả momen và lực cắt):

 Ứng suất pháp: do M_xgây ra, tính như uốn thuần túy phẳng.

 Ứng suất tiếp: do lực cắt gây ra:

Tách một đoạn dầm giới hạn bởi 2 mặt cắt ngang rất gần nhau dz.

Để khảo sát ứng suất tiếp tại 1 điểm K cách trục trung hòa một đoạn y_o, ta dùng mặt cắt qua K và

song song với mặt trung hòa.

q

A

dz

M+dM

I

y

M

M+dM

M

I

y

dz

M+dM

y

b

I

M

I

y

yz

h

C

C'

D

D'

B

A

B'

A'

M+dM

I

y

M

y

I

Xét cân bằng phần hình hộp ABCDA’B’C’D’

Phương trình cân bằng:

3

N₁ N₂ T  0

Trong đó:

N₁là lực tác dụng trên mặt ABCD:

M_x

N₁

_zdA 

ydA



I_x

ABCD

N₂là lực tác dụng trên mặt A’B’C’D’:

M_x dM_x

N₂

_z^'dA 

ydA



I_x

A'B'C' D'

A' B'C 'D '

T là lực tác dụng trên mặt BB’C’B:

T _yzbdz

Thay vào phương trình cân bằng ta được:

M_x

I_x

M_x dM_x

ydA

ydA _yzbdz  0



I_x

ABCD

A'B 'C ' D'

dM_x

I_x

 _yzbdz 

 _yz

ydA



A' B'C 'D'

dM_x

1



dz I_xb _{A' B'C 'D'}

Mà:

dM_x

Q_y

dz

ydA là mômen tĩnh của ABCD hoặc A’B’C’D’ (phần diện tích bị cắt giới hạn bởi mặt phẳng



A'B 'C ' D'

đi qua điểm K và song song với mặt trung hòa).

ydA  S_x^c



A'B 'C ' D'

Q_yS_x^c

I_xb^c

 _yz _zy

(7-10)

§4 KIỂM TRA BỀN

Trong dầm chịu uốn ngang phẳng, có 3 loại trạng thái ứng suất:

-

+

 Trạng thái ứng suất đơn: chỉ có ứng suất pháp (điểm biên trên, biên dưới).

 Trạng thái trượt thuần túy: chỉ có ứng suất tiếp (điểm nằm trên trục trung hòa).

 Trạng thái ứng suất phẳng: có cả ứng suất tiếp và ứng suất pháp (các điểm còn lại).

4

Do đó, khi kiểm tra bền, ta phải kiểm tra cho cả 3 loại phân tố:

 Trạng thái ứng suất đơn:

Với vật liệu dẻo      :

 

_k

 

_n

 

Max   

(7-11)

 

Với vật liệu dòn    :

 

_k

 

_n

_max 

(7-12)

(7-13)

 

_k

_min 

 

_n

 Trạng thái trượt thuần túy: (những điểm nằm trên trục trung hòa), xét tại mặt cắt có Qmax,

ta có:

Với vật liệu dẻo:

-

Thuyết bền 3:



 

(7-14)

(7-15)

_max



2

-

Thuyết bền 4:



 

_max

Với vật liệu dòn: dùng thuyết bền Mohr.

3

 Trạng thái ứng suất phẳng: mặt cắt có Mx và Qy cùng lớn. Đối với mặt cắt chữ I, C, … ta

chọn nơi tiếp giáp giữa long và đế để kiểm tra.

5

Tóm tắt Sức bền vật liệu 2 - Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng - Cao Văn Vui