Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Bài giảng sức bền vật liệu

Chương 6

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG

I. KHÁI NIỆM

Ở chương 3, khi tính độ bền của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm, ta thấy ứng suất

trong thanh chỉ phụ thuộc vào độ lớn của diện tích mặt cắt ngang A.Trong những trường

hợp khác, như thanh chịu uốn, xoắn… thì ứng suất trong thanh không chỉ phụ thuộc vào

diện tích A mà còn phụ thuộc vào hình dáng, cách bố trí mặt cắt… nghĩa là còn những

yếu tố khác như: momen tĩnh, momen quán tính mà người ta gọi chung là đặc trưng

hình học của mặt cắt ngang.

P

y

z

a)

b)

y

x

H.6.1. Dầm chịu uốn

a) Tiết diện đứng; b) Tiết diện nằm ngang

Xét thanh chịu uốn trong hai trường hợp có cùng mặt cắt ngang A đặt lực khác nhau

như trên H.6.1. Bằng trực giác, dễ dàng nhận thấy trường hợp a), thanh chịu lực tốt hơn

trường hợp b). Như vậy, khả năng chịu lực của thanh còn phụ thuộc vào hình dáng và vị

trí mặt cắt ngang đối với phương tác dụng của lực.(Ứng suất nhỏ 04 lần độ võng nhỏ 16

lần). Cho nên sự chịu lực không những phụ thuộc A, mà cần phải nghiên cứu các đặc

trưng hình học khác của mặt cắt ngang để tính toán độ bền, độ cứng, độ ổn định để thiết

kế mặt cắt của thanh cho hợp lý.

II. MÔMEN TĨNH – TRỌNG TÂM

Xét một hình phẳng có mặt cắt ngang A như hình vẽ. Lập hệ tọa độ vuông góc Oxy

trong mặt phẳng của mặt cắt.Gọi M(x,y) là một điểm bất kỳ trên hình. Lấy chung quanh

M một diện tích vi phân dA.

 Mômen tĩnh của mặt cắt A với trục x (hay trục y) là tích phân:

^{S }^{ydA , S  xdA}



(6.1)

x

y

A

vì x, y có thể âm hoặc dương nên mômen tĩnh có thể có trị số âm hoặc dương.

Thứ nguyên của mômen tĩnh là [(chiều dài)³],thí dụ: cm³, m³,

 Trục trung tâm là trục có mômen tĩnh của mặt cắt A đối với trục đó bằng không.

 Trọng tâm là giao điểm của hai trục trung tâm.

 Mômen tĩnh đối với một trục đi qua trọng tâm bằng không.

_________________________________________________________________

Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Lê đức Thanh

1

Bài giảng sức bền vật liệu

 Cách xác định trọng tâm C của mặt cắt A:

x_oCy_o

Dựng hệ trục

song song với hệ trục xOy ban đầu (H.6.2). Ta có

x  x_C x_o; y  y_C y_o

với C(x_c,y_c) Thay vào (6.1), 

^{S }^{(y  y )dA  y dA  y dA  y A  S}

 

Nếu

x

C

o

C

o

C

xo

A

y

y₀

x_o

S  0

,

C là trọng tâm thì

là trục trung tâm nên

xo

S  0

A

tương tự

ta được:

yo

M

S  y A

S  x A

, và :

(6.2)

(6.3)

y

C

x

C

y₀

dA

x₀

S

S_x

A

C

x_C ^y; y_C

y

Từ (6.2) 

x₀

y_c

A

0

C(x_C, y_C)

Kết luận: Tọa độ trọng tâm

được xác

x

x_c

định trong hệ trục xOy ban đầu theo mômen tĩnh S_x,

S_yvà diện tích A theo (6.3).

x

Ngược lại, nếu biết trước tọa độ trọng tâm, có thể sử

dụng (6.2), (6.3) để xác định các mômen tĩnh.

Nhận xét:

Mặt cắt có trục đối xứng, trọng tâm nằm trên trục này vì mômen tĩnh đối với trục

đối xứng bằng không

Mặt cắt có hai trục đối xứng, trọng tâm nằm ở giao điểm hai trục đối xứng

y

C

x

Mặt cắt có trục đối xứng

Thực tế, có thể gặp những mặt cắt ngang có hình dáng phức tạp được ghép từ nhiều

hình đơn giản. Khi tính mômen tĩnh của hình phức tạp bằng cách tính tổng mômen tĩnh

của các hình đơn giản.

Với những hình đơn giản như chữ nhật, tròn, tam giác (trọng tâm và diện tích đã

biết) hoặc mặt cắt các loại thép định hình I, U, V, L… có thể tra theo các bảng trong

phần phụ lục) để biết diện tích, vị trí trọng tâm, từ đó dễ dàng tính được mômen tĩnh của

hình phức tạp gồm n hình đơn giản:

n

S  A y  A y ... A y 

A y



x

1

2

n

i

1

(6.4)

n

S  A x  A x ... A x 

A x

i i



y

1

2

n

1

A_i,x_i,y

trong đó:

_i: diện tích và tọa độ trọng tâm của hình đơn giản thứ i,

_________________________________________________________________

Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Lê đức Thanh

2

Bài giảng sức bền vật liệu

n : số hình đơn giản.

 Toạ độ trọng tâm của một hình phức tạp trong hệ tọa độ xy.

n

x_c

y

A x



i1

n

i

S_y

A

x_C



A



i

i1

C₁

n

C

y₁

A y

C₂



i1

n

i

y_c

S_x

y₂

y_C



(6.5)

x

A₂

A

x₁

A



i

x₂

i1

Thí dụ 1:

Xác định trọng tâm mặt cắt chữ L chỉ gồm hai hình chữ nhật như trên .

Tọa độ C là trọng tâm của hình (hình1 có diên tích A₁,toạ độ trọng tâm C₁(x₁, y₁,)

hình 2 có diện tích A₂,và C₂(x₂,y₂).

S_x

A

y₁A₁ y₂A₂

A₁ A₂

S_y

A

x₁A₁ x₂A₂

A₁ A₂

y_C



x_C



;

Thí dụ 2.

1cm

Tìm trọng tâm cho mặt cắt ngang hình chữ U

Chọn trục x qua đáy mặt cắt (trục y là trục đối xứng,

trọng tâm 0 nằm trên trục y)

a) Có thể tính cho ba hình chữ nhật nhỏ 2(1x20cm)

và 20x2cm cộng lại:

15,5cm

6,5cm

20cm

2cm

x

0

S_x

A

2021 2(20112)

(202)  2(201)

y_C



 6,5cm

y

20cm

b) Hay lấy hình chữ nhật lớn ngoài A₁= 20x22cm trừ

hình chữ nhật trong A₂= 18x20cm

H. 6.12

S_x S_x

(242212) (182012)

(2022) (1820)

1

2

y_C



 6,5cm

A  A₂

1

Thí dụ 3: Tìm trọng tâm hình chữ T. Chọn trục x ban đầu qua đáy mặt cắt

4a

(Tương tự cho hai hình còn lại)

10 cm

Y

y

1,5a

2 cm

6,87cm

2a

X

x

16cm

0

X

1,13cm

6cm

X

C

12 cm

6a

9,2cm

1

y

x

2 cm

8cm

a

_________________________________________________________________

Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Lê đức Thanh

3

Bài giảng sức bền vật liệu

S_x S_x

(10213)  (1226)

(102)  (122)

1

2

y_C



 9,2cm

A  A₂

1

III. MÔMEN QUÁN TÍNH - HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM

1- Mômen quán tính (MMQT)

y

Mômen quán tính độc cực (đối với 1điểm)

MMQT của mặt cắt A với điểm O được định nghĩa là biểu

thức tích phân:

M

x

y

dA

I_ ²dA

A

(6.6)





A



x

với : : khoảng cách từ điểm M đến gốc tọa độ O,

0

Mômen quán tính đối với trục y và x của mặt cắt A

được định nghĩa:

I_y x²dA; I_x y²dA

(6.7)



A

Mômen quán tính ly tâm của mặt cắt A (đối với hệ trục x,y) được định nghĩa:

^{I }^xydA

xy

(6.8)

A

Từ định nghĩa các mômen quán tính, ta nhận thấy:

- MMQT có thứ nguyên là [chiều dài]⁴

- I_x, I_y, I_p 0 (luôn luôn dương)

- MMQT ly tâm I_xycó thể dương, âm hoặc bằng không.

² x² y²

I_ I_x I_y

- Vì

nên

(6.9)

MMQT độc cực bằng tổng MMQT đối với hai trục vuông góc x, y có gốc tại điểm cực.

Theo định nghĩa của MMQT, ta cũng có:

Tính chất: Mômen quán tính của một hình phức tạp bằng tổng mômen quán tính của

từng hình đơn giản.

2- Hệ trục quán tính chính trung tâm (QTCTT)

Một hệ trục tọa độ có MMQT ly tâm đối với hệ trục đó bằng không được gọi là

hệ trục quán tính chính.

Hệ trục quán tính chính đi qua trọng tâm mặt cắt (gốc đặt tại

y

dA₁

A₁

trọng tâm) được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm (mọi

tính toán về sau đều dùng hệ trục nầy)

Đối với hệ trục này, ta có:

dA

A₂

0

x

S_x 0; S_y 0; I_xy 0

Tính chất: Khi mặt cắt A có một trục đối xứng thì bất kỳ hệ

trục nào vuông góc với trục đối xứng đó đều là hệ trục quán tính

Hình có một trục đối xứng

_________________________________________________________________

Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Lê đức Thanh

4

Bài giảng sức bền vật liệu

chính của mặt cắt.

Thật vậy: xét mặt cắt A có trục đối xứng là y như trên H.6.7. Ta luôn tìm được

những cặp vi phân diện tích đối xứng để:

^{I } ^{yxdA }



^{yxdA }^{(xy  yx)dA  0}

xy

1

A

A A₂

A

1

Nhận xét:

MMQT đối với trục chính trung tâm được gọi là mômen quán tính chính trung

tâm của mặt cắt A.

3.Bán kính quán tính

I _y

A

I_x

r_x

;

r_y

thứ nguyên là



chieudai



A

Bán tính quán tính đối với trục chính gọi là bán kính quán tính chính

VI. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH ĐƠN GIẢN

1- Hình chữ nhật

Tìm mômen quán tính chính trung tâm của hình chữ nhật b  h (H.6.8).

y

h/2

dy

y

h

dy

C

x

y

x

0

b

H.6.9

H.6.8

Hệ có hai trục đối xứng x,y cũng là hệ trục QTCTT.

Để tính I_x,lấy diện tích vi phân dA là một dải bề rộng b, bề dày dy, khoảng cách

đến trục là y.

h

bh³

2

Ta có

I_x y²dA  y²bdy 

(6.10)



12

h

A



2

hb³

12

I_y

Tương tự, đổi vai trò của x và y, b và h, ta được:

2- Hình tam giác(tự đọc)

(6.11)

Tính MMQT hình tam giác đối với trục x đi qua đáy (H.6.9).

Diện tích dA là dải vi phân song song với đáy, có chiều dày là dy, khoảng cách đến

b(h y)

trục x là y và có bề rộng ^b_yđược tính như sau: b_y



h

_________________________________________________________________

Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Lê đức Thanh

5

Bài giảng sức bền vật liệu

h

b ^h

b hy

y⁴

bh³

3



 ^h

b(h  y)

I_x y²dA  y²

dy 

y²(h  y)dy 





(6.12)







h

h _o

h

3

4

12



 _o

A

o

3. Hình tròn - Hình vành khăn (tự đọc)

y

x

C

x

C



R

d



d

D

a)

b)

H. 6.10

a) Hình tròn

b) Hình vành khăn

Tính MMQT của hình tròn đối với trục x (hay y) là đường kính.

Hệ trục (x,y) cũng là hệ trục chính trung tâm

Trước tiên tìm mômen quán tính độc cực đối với trọng tâm 0

Xét vòng tròn bán kính R ở H.6.10a. Lấy phân tố diện tích dA ở dạng một vành



d

tròn mảnh bán kính và bề dày

.

dA  2d

Như vậy,

Mômen quán tính độc cực của toàn bộ hình tròn:

R

R⁴D⁴

I_ ²dA  2 ³d 



 0,1D⁴



2

32

A

o

I_x I_y

Do đối xứng, ta có:

I_I_x I_y 2I_x 2I_y

R⁴D⁴

Theo (6.10), ta có:

I_x I_y



 0,05D⁴



(6.13)

4

64

Theo tính chất của MMQT đối với trục đã biết ở mục 6.3,

 MMQT của mặt cắt hình tròn rỗng (hình vành khăn) (H.6.10b) là hiệu MMQT của

hai hình tròn đường kính D và d:

D⁴d⁴D⁴

I_y I_x I_x^(D) I_x^(d)

D⁴









1⁴



(6.14)

64

(1⁴)

64

d

D

 

I_p



với

32

V. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG CỦA MMQT

Nếu biết các momen quán tính của hình phẳng A trong hệ trục tọa độ Oxy. Xác định

MMQT của hình phẳng này trong hệ trụcO₁XY song song với hệ trục đã cho (H.6.11).

Gọi a và b là tọa độ của O trong hệ tọa độ O₁XY.

_________________________________________________________________

Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Lê đức Thanh

6

Bài giảng sức bền vật liệu

X  a  x,Y  b y

 Theo định nghĩa:

Ta có :

I_X Y ²dA  (b  y)²dA  y²dA  2b ydA  b²dA

Y

y



A

 I_x 2bS_x b²A

M

°

x

y

(6.15)

0

x

I  I  2aS  a²A

tươngtự:

(6.16)

Y

y

b

X

 Đối với mômen quán tính ly tâm:

0₁

X

a

I_XY

    

^{ XYdA  (a  x)(b  y)dA  xydA  b}^{xdA  a ydA  ab dA}

A

 I_xy bS_x aS_y abA

(6.17)

 Nếu hệ trục Oxy là hệ trục trung tâm của hình A thì các công thức trên có dạng:

I_X I_x b²A; I_Y I_y a²A; I_XY I_xy abA

(6.18)

Công thức (6.18) thường được sử dụng để tính các mômen quán tính chính trung tâm

của một hình phức tạp khi đã biết mômen quán tính chính trung tâm của từng hình đơn

giản.

Từ công thức này, ta nhận thấy: trong tất cả các trục song song thì mômen

quán tính đối với trục trung tâm luôn có giá trị nhỏ nhất. Momen quán tính tăng

dần khi di chuyển trục song song xa dần trọng tâm mặt cắt (a,b tăng)

Thí dụ: Tính mômen quán tính đối với trục BB đi qua đáy của hình chữ nhật (H.6.8).

Giải.

Dùng công thức chuyển trục song song để tính I_BB:

2

h

2

 

bh³

12

h

 

2

 

bh³

3

b h³

12

 

I = I +

A 



hb 

 

>

 

BB

x

Thí dụ 4: Tìm MMQT chính trung tâm của mặt cắt chữ U như hình vẽ.

Giải

Tìm trọng tâm C:

Chọn hệ trục ban đầu qua đáy (trục y là trục đối

1cm

xứng, C nằm trên trục y)

S_x

A

2021 2(20112)

(202)  2(201)

y_C



 6,5cm

15,5cm

6,5cm

20cm

2cm

x

0

Tính MMQT đối với hệ trục chính trung tâm I_X,

I_Y

I_X I_X⁽¹⁾ 2I_X⁽²⁾ 3766,67cm⁴

Trong đó

y

20cm

20 2³

Với I¹_X

 5,5²(20 2) 13,333 1210

H. 6.12

12

_________________________________________________________________

Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Lê đức Thanh

7

Bài giảng sức bền vật liệu

1 20³

(2)

I_X I_X⁽³⁾



 (1 20)5,5² 666,67  605

12

2 20³

201

12



³

I_Y¹ 2I_Y²

 2

 9,5²(201) 13,333  2(1,666 1805)

18 20³









12

20 22³

I_x^lớn_I_x=(

 (20 22)4,5²)  (

 (18 20)5,5³)  3766,67cm⁴

)

nhỏ

12

22 20³2018³

Y_Y Y_Y^LÔN I_Y^NHO





 4946,67cm⁴

12

Thí dụ 5: Tìm trọng tâm và momen quán tính chính trung tâm.

I_X I_X⁽¹⁾ I_X⁽²⁾ I_x⁽¹⁾ b²A  I_x⁽²⁾ b₂²A₂

1

2.12³

12

10.2³

12



 (3,2)²24 

 (3,8)²20  829,227cm⁴

122²210³

I_Y I_Y⁽¹⁾ I_Y⁽²⁾





174,76cm⁴

12

10cm

Y

10 cm

y

15cm

2 cm

x

X

x

0

C

12 cm

12,9cm

9,2cm

x

12cm

2 cm

Thí dụ 6. Tìm trọng tâm và momen quán tính đối với trục nằm ngang.(hê trục qua đáy)

10²

4

301215 

 22,5

S_x

A

y_C



12,91cm

10²

4

Y

3012 

X

D

I_X I_X⁽¹⁾ I_X⁽²⁾ I_x⁽¹⁾ b²A  I_x⁽²⁾ b₂²A₂

1

12.30³

12

.10⁴

64

10²

4



 (2,09)²30.12  (

 (9,59)²

)  20862,4cm⁴

Thí dụ 7.Tìm momen quán tính chính trung tâm I_X

_________________________________________________________________

Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Lê đức Thanh

8

Bài giảng sức bền vật liệu

2

4













D

D

D

D²

4

5D⁴

64

















I  2 I 

 A  2





 2





X

x

2

64

2

























D⁴

64

I_X 2I_x 2

Tóm tắt:

D

X

- Nếu mặt cắt ngang có ít nhất một trục đối xứng.

Tìm momen quán tính chính trung tâm như sau:

-Tìm toạ độ trọng tâm của mặt cắt ngang ,tìm momen quán tính chính của từng hình

-Dùng công thức chuyển trục song song để tìm momen quán tính chính trung tâm

I_X I_x b²A; I_Y I_y a²A; I_XY I_xy abA

với x//X (cách nhau b), y//Y(cách nhau a)

- Nếu mặt cắt ngang không có trục đối xứng nào dùng công thức xoay trục như phần

sau:

VI. CÔNG THỨC XOAY TRỤC CỦA MMQT- XÁC ĐỊNH HỆ

TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH (HTQTC) :

1. Công thức xoay trục:

y

Biết các MMQT I_x, I_y, I_xycủa A trong hệ trục tọa độ

Oxy.

v

u

M

·

y

dA

x

v

A

Tính các MMQT I_u, I_v, I_uvđối với hệ trục mới Ouv ;

Hệ trục Ouv hình thành từ việc xoay hệ trục Oxy một

góc  ngược kim đồng hồ ( H.6.13)

a

u

a

O

x

Tọa độ của điểm trong hệ trục mới và hệ tọa độ cũ

được liên hệ như sau:

H. 6.13

u  ysin  xcos

v  ycos  xsin

Theo định nghĩa, các MMQT đối với trục u, v là:

I_u v²dA

;

I_v u²dA

;

^{I }^{uv dA}

uv



A

 Tính I_u

I_u v²dA 



y cos  xsin

²dA





aAÂI

A

 cos² y²dA  sin² x²dA  2sin cos xydA



A

I_u I_xcos²  I_ysin²  2I_xysin cos

(a)

_________________________________________________________________

Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Lê đức Thanh

9

Bài giảng sức bền vật liệu

Sử dụng các công thức lượng giác:

1

2

1

2

cos² 



1 cos2



; sin²  (1 cos2); 2sin cos  sin2

(a) trở thành:

I_x I_yI_x I_y

I_u



cos 2  I_xysin2

(6.20)

2

J

uv

 Tính I_v: Tương tự như tính MMQT I_u, ta

được mômen quán tính I_v(hoặc bằng cách thế

M



J

xy

uv

P

M_o

trực tiếp



bằng   90^otrong phương trình

(6.21)):

J

max

J

min

I_x I_yI_x I_y

x

A

I_u

O

I

x

J

u

C

I

B

y

I_v



cos 2  I_xysin2

2

(6.21)

 Tính I_uv:

H. 6.14

Voøng troøn Mohr quaùn tính



y cos  xsin



dA

^{I }^{uv dA  (ysin  x cos)}



uv

A

 sin cos y²dA  sin² xy dA  cos² xydA  sin cos x²dA



A

I_uv (I_x I_y)sin cos  I_xycos 2

I_x I_y

(b)

I_uv

sin2  I_xycos 2

(6.22)

2

2- Hệ trục quán tính chính- Cách xác định

 Hệ trục QTC: Theo định nghĩa ở mục 6.3, hệ trục quán tính chính là hệ trục

có MMQT ly tâm bằng không.

Để xác định hệ trục này, cho I_uv= 0 

2I_xy

tg2  

(6.23)

I_x I_y



trong đó: - là góc xác định trục quán tính chính.



180^o

Phương trình (6.24) luôn có hai nghiệm 2 sai khác nhau một góc

nghiệm  sai biệt nhau một góc

.  có hai

90^o

, nghĩa là luôn tìm được hai trục chính vuông góc

với nhau.

 MMQT cực trị : Để tìm góc  sao cho mômen quán tính có trị số lớn nhất hoặc

nhỏ nhất, lấy đạo hàm của J_utheo  và cho bằng không:

I_x I_y

dI_u

d

 2

sin2  2I_xycos 2  0

(c)

2

Dễ thấy nghiệm  của (c) cũng là nghiệm của (6.24).

Như vậy đối với hệ trục chính vuông góc, mômen quán tính có giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất, gọi là mômen quán tính chính.

Thế ngược lại 2 từ (6.24) vào (6.21) và (6.22), ta được trị số các mômen quán

tính chính:

_________________________________________________________________

Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Lê đức Thanh

10

Bài giảng sức bền vật liệu

I_x I_y

1

2

I_max

I_min





(I_x I_y)² 4I_xy

(6.24)

(6.25)

2

I_x I_y

1

2

(I_x I_y)² 4I_xy

và:





2

 Cách xác định hệ trục QTCTT của một hình phẳng bất kỳ

Trong trường hợp tổng quát, khi diện tích A không có trục đối xứng, hệ trục

QTCTT được xác định theo trình tự như sau:

- Chọn hệ trục Oxy bất kỳ ban đầu. Xác định trọng tâm của hình trong hệ trục này

- Chuyển trục song song về trọng tâm của hình. Tính các mômen quán tính đối với

hệ trục trung tâm

- Xoay trục để tìm trục quán tính chính đi qua trọng tâm.

Việc xác định hệ trục QTCTT cũng như tính toán các mômen quán tính chính là rất

cần thiết trong việc tính toán ứng suất, chuyển vị của thanh chịu uốn, xoắn… mà ta sẽ

nghiên cứu ở các chương sau.

Thí dụ 7

Tính momen quán tính chính trung tâm I_x,của hai thép C.30 có h =30cm, b =10cm

d=6,5cm, A =40,5cm², t =1cm I_x=5810cm⁴, I_y=327cm⁴, z₀=2,52cm được ghép với hai

tấm thép đối xứng 40x1cm

b=10 cm

Y

Giải:

Trọng tâm tại C vì hình đối xứng

1

I  2I⁽¹⁾ 2(I⁽²⁾b²A )

Tính :

cm

X

2

z_o

I_x1là moment quán tính của thép hình

I_x2là moment quán tính của tấm thép

c

h=30cm

1 cm

401³

12

I_X 25810  2(

 (15,5)²140

t=1 cm

30846,67cm⁴

Thí dụ 8:

b=40cm

Từ bài trên bỏ bớt tấm thép phía trên .Tìm lại

trọng tâm và moment quán tính chính trung

tâm I_X,I_Y

b=10 cm

Y

t=1 cm

z_o

h=30cm

1 cm

Chọn hệ trục ban đầu x0Yqua trọng tâm

c

X

tấm thép

0  2(40,515,5)

401 2 40,5

x

0

Y_c

10,38cm

b=40cm

_________________________________________________________________

Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Lê đức Thanh

11

Bài giảng sức bền vật liệu

401³

12

140³

I_X

I_Y

 (10,38)²401) 2(5810  (15,510,38)²40,5) 18056,5cm4

 2(327 (20 10  z₀)²40,5) 18684,11cm4

12

Thí dụ 9. Đọc thêm

Tính momen quán tính chính trung tâm của hình phẳng

sau (không có trục đối xứng nào)

Y

4a

Imin

Chọn hệ trục ban đầu xoy(qua tâm h.1)

0  3a2a2a

y

2a

0  3a2a2a

6a² 6a²

y_c

 a

6a² 6a²

x_c

 a

-29⁰

c

I_X I_X⁽¹⁾ I_X⁽²⁾ (I_x⁽¹⁾b²A )  (I_x⁽²⁾b₂²A )

X

6a

1

2

Imax

x

0₁

a(6a)³

3a(2a)²

 (

 (a6a)a²)  (

 (3a2a)a²)  32a⁴

12

I_Y I_Y⁽¹⁾ I_Y⁽²⁾ (I_y⁽¹⁾ a₁² A₂)  (I_y⁽²⁾ a₂²A₂)

6a(a)³

2a(3a)²

 (a6a)a²)  (

 (3a 2a)a²) 17a⁴

a

 (

12

(1)

XY

(2)

XY

(1)

xy

(2)

xy

I_XY I  I  I  a₁b₁A  I  a₂b₂A₂

1

 (0



 a)(a



6a²)(0(aa6a²12a⁴

212a⁴

2I_xy

Tìm hệ trục chính: tan2₀ 



 

 1,6

(32 17)a⁴

I_x I_y

_o⁽¹⁾29^o

_o⁽²⁾61^o

,

, cho a=1cm ta được:

I_x I_y

1

2

4

I_max







(I_x I_y)² 4I_xy

⁽¹⁾29^o

= 38,65cm ,với (

)

o

2

I_x I_y

1

2

=10,35cm⁴,

I_min

(I_x I_y)² 4I_xy

2

Cách tìm momen quán tính :

-Nếu mặt cắt ngang không có trục đối xứng.

-Tìm toạ độ trọng tâm của mặt cắt ngang,tìm momen quán tính đối với trục song song

cho từng hình bằng công thức chuyển trục song song

I_X I_x b²A; I_Y I_y a²A; I_XY I_xy abA

Dùng công thức xoay trục (đã biết trục quán tính chính) để tìm momen quán tính chính

trung tâm

_________________________________________________________________

Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Lê đức Thanh

12

Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang - Lê Đức Thanh