Giáo trình Giải tích 3 - Bài 10: Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng số - Nguyễn Xuân Thảo
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI
BÀI 10
§3. Phương trình vi phân cấp hai (TT)
4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi
(1)
y py qy f(x), p, q
a) Phương trình thuần nhất
Cách giải.
(2)
y py qy 0
Giải phương trình đặc trưng k2 pk q 0
(3)
(3) có hai nghiệm thực k1 k2 (2) có nghiệm tổng quát y C1ek x C2ek x
1
2
k x
1
(3) có nghiệm kép k1 (2) có nghiệm tổng quát y e (C1x C2)
(3) có 2 nghiệm phức
(2) có nghiệm tổng quát
k1,2 i
y e x (C1cos x C2 sin x)
Ví dụ 1.
a)
d)
b)
e)
c)
f)
y 3y 2y 0
y 4y 4y 0
y y y 0
y 4y 5y 0
4y 4y y 0
y 4y 3y 0
2
Giải a)
k1 1, k2 2
k 3k 2 0
y C1ex C2e2x
Nghiệm tổng quát
2
y e2x(C1x C2)
2
b) +)
+)
(k 2) 0
k1 k2 2
k 4k 4 0
x
1 i 3
3
2
3
k2 k 1 0
2
c) +)
k1,2
+) y e (C1cos
x C2 sin
x)
2
2
b) Phương trình không thuần nhất
(1)
y py qy f(x)
1/ Khi f(x) exPn(x),
Nếu
Qn(x)
không là nghiệm của (3) nghiệm riêng của (1) có dạng Y exQn(x),
là đa thức bậc của .
n
x
x
Nếu
Nếu
là nghiệm đơn của (3) nghiệm riêng của (1) có dạng
là nghiệm kép của (3) nghiệm riêng của (1) có dạng
.
Y xe Qn(x)
2 x
.
Y x e Qn(x)
Ví dụ 2.
a)
y 3y 4y x
k1 1, k2 4
y c1ex c2e4x
2
Giải
k 3k 4 0
1
3
, thay vào ta có
A ; B
4Ax 3A 4B x, x
Y Ax B
0
4
16
66
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
x
3
Y
4 16
x
3
Nghiệm tổng quát y c1ex c2e4x
4 16
x3
(y C1ex C2xex
ex )
x
b)
c)
y 2y y 2xe
3
y
2
x
y y 3e , y(0) 0, y (0) 6
y y e
d)
y C1ex C2ex
2
Giải
k 1
k 1 0
x
1
Y xe A
A(xex 2ex ) Axex ex
là nghiệm đơn
, do đó
1
1
A Y xex
2
2
x
Nghiệm tổng quát y C1ex C2ex ex
2
x
x
1
x
y 3y 4y xe e4x
y C1e C2e
e4x
ex
)
x
4x
x
d)
(
5
6 36
x
2
x
x
2
y y 2e x
e)
f)
(
)
y C1e C2e xe x 2
1
1
(y C1e3x C2ex (2 3x) (2x2 x)e3x )
3x
y 2y 3y x(1 e )
9
16
2/ Khi
Nếu
f(x) Pm(x)cos x Qn(x)sin x
không là nghiệm của (3) thì nghiệm riêng của (1) có dạng
i
Y Ql (x)cos x Rl (x)sin x, l max(m, n)
Nếu
là nghiệm của (3) nghiệm riêng của (1) có dạng
Y x Q (x)cos x R (x)sinx
i
l
l
y y x sinx
Ví dụ 3.
a)
2
Giải
k i
y c1cosx c2 sinx
k 1 0
là nghiệm của phương trình đặc trưng nghiệm riêng có dạng
Y x (Ax B)cosx (Cx D)sinx
i
Tính
thay vào có
Y ,Y
4Cx 2(A D) cos x 4Ax 2(C B) sin x x sin x, x
1
4
A
B 0
4C 0
A D 0
4A 1
x
Y
sinx x cosx
C 0
4
1
4
C B 0
D
67
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
x
Nghiệm tổng quát y c1cosx c2 sinx sinx cosx
4
1
y y cos x
b)
c)
(y C1cosx C2 sinx x sinx )
2
y 3y 2y x cosx
x
2x
(
)
y C1e C2e (0,1x 0,12)cos x (0,3x 0,34)sinx
y 9y cos2x
d)
k2 9 0
Y Acos2x Bsin2x
5Acos2x 5Bsin2x cos2x
y C1cos3x C2 sin3x
Giải
k 3i
Y 4Acos2x 4Bsin2x
1
1
A và
y cos2x
B 0
5
5
1
Nghiệm tổng quát y C1cos3x C2 sin3x cos2x
5
e)
y 2y y sin x sh x
1
x2
x
1
x
(
y (C1 xC2)e cosx
e3x x
e2x
)
2
4
10 25
2x
f)
y 4y 8y e sin 2x
(y e2x(C1cos2x C2 sin2x) 0,25e2x 0,1cos2x 0,5sin2x )
g)
y 4y 2sin2x 3cos2x 1
x
1
(y C1cos2x C2 sin2x (3sin2x 2cos2x) )
4
4
h) y y 2xcosxcos2x
x
x2
x
3
(y C1cosx C2 sinx cosx
sinx cos3x
sin3x )
4
4
8
32
i)
x , bằng cách đặt z xy
xy 2(1 x)y (x 2)y e
C
1
(y C1ex 2 ex
ex )
x
4x
1
k) y y
(y C1cosx C2 sinx xcosx sinxln sinx )
sinx
ex
x
x
x
l) y 2y y
(
)
y (C1 C2x)e xe ln x
x
2 4
y y tanx y C cosx C sinx cosxln cot
m)
(
)
1
2
y C1e C2e (ex ex )arctanex
x
x
2
n)
o)
(
2
)
y y tanhx
, bằng cách đặt
x y 2xy 2y 3x , x 0
x et
3
(y x2(C1 C2 lnx) x2 ln2 x )
2
68
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Chú ý. 1/ Khi f(x) ex P (x)cos x P (x)sin x , đặt
để đưa về 2/
y exz
m
n
hoặc biện luận theo
như sau :
i
Nếu
Nếu
không là nghiệm của (3) thì nghiệm riêng của (1) có dạng
Y ex [Ql (x)cos x Rl (x)sin x], l max(m, n)
là nghiệm của (3) nghiệm riêng của (1) có dạng
Y xex Q (x)cos x R (x)sin x
i
i
l
l
2/ Vế phải là tổng các dạng 1/ và 2/
3/ bất kì dùng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange
f(x)
4/ Vế phải là tổng của 1/ (hoặc 2/) và bất kỳ.
Ví dụ 4.
x
ex
x
a)
1)
2)
(y C cosx C sinx sinx
(x 1))
y y xe cosx
1
2
2
2
1
x
(y C cosx C sinx cos x ex (x 1))
x
y y sinx e x
1
2
2
2
1
3) y y
(y (x K1)cosx (ln sinx K2)sinx )
sinx
1
4) y y
(y (K1 ln cosx )cosx (K2 x)sinx )
cosx
1
x
b)
c)
(
)
y 3y 2y
y (e e2x )ln(ex 1) C1ex C2e2x
ex 1
x 2
(y (C1 C2x 4x2)e3x )
3x
1)
y 6y 9y 3x 8e
3 9
ex
x
x
2
x
(y ex C C x x xln x
)
2)
3)
4)
y 2y y e
1
2
2
x
(y C1cosx C2 sinx sinxln tan )
y y cot x
2
x
(
)
y y tanx
y C cosx C sinx cosxln cot
1
2
2 4
x
2x
1) y 3y 2y 3e 2ex cos
d)
2
8
x
x
(y C1ex C2e2x 3xe2x ex(sin 2cos ))
3
2
2
x
2)
y 3y 2y e (3 4x) 5sin2x
1
(y C1ex C2e2x (2x 1)xex (3cos2x sin2x))
4
ex
x
3) y 2y y 4xe
x
69
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
x
x
y C1e C2xex (x 1)ex xex xe ln x
(
)
x
2
4) y y 3xe cot x
3
x
(y C1cosx C2 sinx ex(x 1) 2cosx ln tan )
4
2
3
3
5
3
5
x
x
x
4
4
5
5
e)
f)
1)
(
(
)
5y 6y 5y e cosx
y e
y e
C cos x C sin x e cosx
1
2
5
4
5
4
9
5
3
x
5
3
5
3
5
x
x
2)
1)
2)
3)
4)
1)
2)
1)
)
5y 6y 5y e sinx
C cos x C sin x e sinx
1
2
5
5
9
1
x
(y C1cosx C2 sinx cos3x sinx )
y y 2cosx cos2x
8
2
x
1
(y C1cos3x C2 sin3x cos3x sinx )
y 9y 2sin2x cosx
6
8
x
cosx 1 sinx
(y K1cos x K2 sinx sinx
ln
)
y y cosx tanx
2
2
1 sinx
x
sinx 1 cos x
2
(y K1cos x K2 sinx cos x
ln
)
y y sinx cot x
2
1 cosx
2 x
1
x
2x
C1e C2e2x
ex cos x
g)
h)
(
)
y 4y xe cosx
9 3
5
x
2
1
x
x
(
)
y 4y xe sinx
C cos2x C sin2x
e sinx
1
2
5 25
3
x
ex
x
5
1
3
x
2x
ex
cosx
(
)
sinx.
y 3y 2y
cos x C1e C2e
6 36
10
10
x 1
1
3
x
ex
(C ex C e2x
ex
cosx
sinx)
2)
y y 2y
sinx
1
2
2 4
10
10
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
70
5 trang
14960
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 3 - Bài 10: Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng số - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_3_bai_10_phuong_trinh_vi_phan_cap_hai_v.pdf
