Giáo trình Giải tích 1 - Bài 16: Tích phân kép

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn

GIẢI TÍCH 1

BÀI 16

TÍCH PHÂN KÉP

1. Tính thể tích bằng tích phân lặp

b

 

 Đã biết công thức tính thể tích vật thể trong Giải tích I: V  S x dx

(0.1)

(0.2)



a

 Diện tích tiết diện thẳng S(x) được tính như sau:

 

y

x

²

 

S x 

f x, y dy





 

x

y

1

 Thay (0.2) vào (0.1) ta có

 

y

x

y (x)

b

 ²



2





^{V }_ ^{f x, y dy dx }^dx

f (x,y)dy







 

^a ^y1 ^x



a

y (x)

1

¹



x





Ví dụ 1. Tính tích phân lặp

^{I } 

2ydy dx

₀





2

 x

Ví dụ 2. Sử dụng tích phân lặp tính thể tích tứ diện giới hạn bởi các mặt phẳng

toạ độ và mặt phẳng

x + y + z = 1.

2. Tích phân hai lớp trên hình chữ nhật đóng

2.1. Định nghĩa

a) Phân hoạch  chia hình chữ nhật R = [a ; b] [c ; d] thành hữu hạn các hình chữ

n

R 

R_i

,

nhật đóng, đôi một không có phần trong chung và có



i 1

R_ilà diện tích hình chữ nhật thứ i, |R| là diện tích hình chữ nhật R;

maxd

d_ilà đường chéo hình chữ nhật R_i, d() =

i

i1, n

b) Tổng tích phân

n

f  , R , p  ,

 = (f, , p₁, ..., p_n) =

,



_i

_i

_i

i



i 1

Hàm f(x,y) xác định và bị chặn trên R

c) Các tổng Đacbu

86

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn

n

 

s  

 Tổng Đacbu dưới:

m_iR_i



i 1

n

 

 Tổng Đacbu trên: S  

M_iR_i, ở đó



i1

,

m  inf f x, y , M  supf x, y









i

R

i

R

i

thì có

m|R|  s()  (f, , p₁, ..., p_n)  S()  M|R|

d) Tổng trên không tăng, tổng dưới không giảm

 Ta bảo phân hoạch  mịn hơn  nếu mỗi hình chữ nhật trong phân hoạch 

luôn nằm trong hình chữ nhật nào đấy của phân hoạch 

 Khi  mịn hơn , ta có s()  s()  S()  S().

e) Dãy chuẩn tắc các phép phân hoạch

Cho {_n} là dãy các phân hoạch hình chữ nhật R. Dãy {_n} được gọi là chuẩn tắc

nếu lim d   0

 

.

n

n

f) Định nghĩa tích phân kép

Cho f xác định trên hình chữ nhật đóng R, Nếu có lim  f,, p , , p 



_n

1

n

p

n

lim

f  , R  I (số thực hữu hạn) với mọi dãy chuẩn tắc



_i

i

_n

i1

R

{_n}: _n= {R₁, R₂, ...,

với mọi cách chọn điểm p_i= (_i; _i)  R_i, thì ta có hàm f khả tích trên R và viết

f x, y dxdy  I

_n},

p





.



R

2.2. Điều kiện khả tích

Định lí 1. Hàm f khả tích trên R đóng  f bị chặn

Định lí 2. Cho f bị chặn trên

phân hoạch  của R sao cho S()  s() < 

R

. Khi đó f khả tích trên R    > 0, bé tuỳ ý, 

Định lí 3. f liên tục trên thì f khả tích trên R.

R

2.3. Tích phân hai lớp trên tập hợp bị chặn

a) Định nghĩa. R là hình chữ nhật đóng, tập bị chặn D  R, hàm f xác định trên

D, và

87

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn





f x, y , x, y D

 





f x, y 

₀





0,





x, y R \ D





Nếu f₀khả tích trên R thì ta bảo f khả tích trên D và định nghĩa

f x, y dx dy  f x, y dx dy





₀





D

R

b) Tính chất

1/ Cộng tính. D = D₁ D₂bị chặn trong ², |D₁ D₂| = 0, f khả tích trên D₁, D₂

 f khả tích trên D và có

^{f x, y dxdy }^{f x, y dxdy }^{f x, y dxdy}













D

2

1

2/ Tuyến tính. D bị chặn trong ², f, g khả tích trên D  f + g khả tích trên D





f x, y  g x, y dx dy

và có















D

^{ }^{f x, y dx dy   g x, y dx dy, ,  }











D

3/ Bảo toàn thứ tự. Hai hàm f, g khả tích trên tập bị chặn D  ², và có f(x, y) 

g(x, y), (x, y)  D. Khi đó

g x, y dx dy

^{f x, y dx dy }

.









D

Hệ quả 4. Nếu m  f(x, y)  M, (x, y)  D, thì có

f x, y dx dy  M D

^{m D }





D

Hệ quả 5.

f x, y dxdy

^{f x, y dxdy }









D

4/ Các định lí giá trị trung bình

Định lí 4. D là tập hợp đo được, f khả tích trên D và có m  f(x, y)  M, (x, y) 

f x, y dx dy   D

D. Khi đó    [m, M] sao cho







D

Định lí 5. Cho D đóng, đo được, liên thông, f liên tục trên D   p(, )  D sao

cho

f x, y dx dy  f p D

 





.



D

88

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn

2.4. Đưa tích phân hai lớp về tích phân lặp

a) Định lí Fubini trên hình chữ nhật. f khả tích trên hình chữ nhật

R  a ; b  c ; d



 



d

 

1/ Nếu tồn tại f x, y dy với x cố định  [a ; b]   x  f x, y dy khả tích











c

^b^d



^a^c





trên [a ; b] và có

(4.1)

^{f x, y dxdy }_

f x, y dy dx











R



b

f x, y dx, với y cố định thuộc [c ; d]  y  f x, y dx khả tích trên [c ; d]

^{2/ }



 









a

^d^b



^c^a





và có

(4.2)

f x, y dx dy

^{f x, y dxdy }_











R



Nói riêng, nếu có f liên tục trên R thì ta có đồng thời (4.1), (4.2)

2

x  y dx dy





Ví dụ 1.

Ví dụ 2.

, R = [0 ; 1][0 ; 2]



R

x²dx dy

1 y²

, R = [0 ; 1][0 ; 1]



R

b) Định lí Fubini trên tập hợp bị chặn

1/ ₁, ₂khả tích trên [a ; b], ₁(x)  ₂(x), x  [a ; b],

D = {(x ; y): a  x  b, ₁(x)  y  ₂(x)}

 



x

²

f x, y dy





f khả tích trên D, 

, x cố định thuộc [a ; b].

 

 x

1

 



x

²

 

 x 

f x, y dy





Khi đó,

khả tích trên [a ; b] và có

 

 x

1

 

x



b

2

f x, y dx dy  dx

f x, y dy









(4.3)



 

 

 x

D

a

1

Nói riêng, nếu ₁, ₂liên tục trên [a ; b], f liên tục trên D thì vẫn đúng

2/ ₁, ₂khả tích trên [c ; d], ₁(y)  ₂(y), y  [c ; d],

D = {(x ; y): c  y  d, ₁(y)  x  ₂(y)}



y

 

²

f x, y dx





f khả tích trên D và 

,  y cố định thuộc [c ; d].



y

 

1

89

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn



y

 

²

 y 

Khi đó  

f x, y dx

khả tích trên [c ; d] và có







y

 

1



y

 

d

2

f x, y dx dy  dy

f x, y dx

(4.4)











 

D

c

 y

1

 

Nói riêng, nếu ₁, ₂liên tục trên [c ; d], f liên tục trên D thì vẫn đúng

Ví dụ 1.

x  y dx dy , D: y²= x, y = x².

2







D

Ví dụ 2.

Ví dụ 3.

4x² y²dxdy , D: x = 1, y = 0, y = x.



D

cos

x  y dxdy , D: [0 ; ]  [0 ; ]







D

Ví dụ 4.

y  x²dxdy , D: [1 ; 1]  [0 ; 2]



D

2

3y

1

Ví dụ 5. Đổi thứ tự tính tích phân

dy

f(x,y)dx

 

2

0

2y

1

Ví dụ 6. Tính

dy e^x²dx

 

0

y

2.5. Đổi biến trong tích phân 2 lớp.

a) Đổi biến

Định lí 1. Tập mở

², D là tập con đo được, compact của U, ánh xạ : U 

U 

(x(u, v), y(u, v)), ở đó

 x, y khả vi liên tục

², (u, v)





là đơn ánh

|

D



x_ux_v

D x, y





 Định thức Jacobi J u, v 



 0 trên D.







y_uy_v

D u, v



Khi đó

 (D) là tập compact đo được

 Nếu f : (D)  R liên tục trên (D) thì có

f x, y dxdy  f x u,v , y u,v J u,v dudv























 

 D

D

90

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn



2

Ví dụ 1. Tính x sin x  y dxdy

,

D : 0  x  , 0  y  x







D

2

2  x  y dxdy

, D: 0  x  1, x  y  x

Ví dụ 2. Tính



^

D

x  y  0, y  1









Ví dụ 3. Tính arcsin x  ydx dy

,

D :







x  y  1, y  0

D

Ví dụ 4. Tính dx dy , D: y = x, y = 4x, xy = 1, xy = 2.



D

b) Đổi biến trong toạ độ cực

2

 :



², , r

x, y

, x = r cos, y = r sin.

Cho ánh xạ









r sin cos

D x, y





Ta có

.

 r

J , r 







D , r

r cos sin



Dễ thấy  không là song ánh, tuy nhiên thu hẹp của  trên A = ( ;  + 2)  (0 ; +),

²\ 0 ; 0

 

là song ánh từ A 

.





Nếu D là tập compact đo được sao cho IntD  U_,  

IntD là đơn ánh và J(, r)  0 trên IntD. Khi đó với hàm số liên tục tuỳ ý f : (D) 

ta luôn có f x, y dxdy  f r cos, r sin r dr d

thì thu hẹp của  trên











 

 D

D

2

^{I }

Ví dụ 1.

Ví dụ 2.

e^{x y}²dxdy , D: x²+ y² 1.

D

2

sin x² y²dxdy

^{I }

, D:   x + y  4 .

D

x²y²

a²b²

x²y²

a²b²

I 

1



dxdy D :



 1

.

Ví dụ 3.

,



D

1 x² y²

1 x² y²

2

I 

dx dy

, D : {x + y  1, x  0, y  0}

Ví dụ 4.

Ví dụ 5.



D

x²

x² y²

D :

 y² 1

^{I }

dxdy

,

2



2

D



4  x  y

c) Tích phân hai lớp trên tập đối xứng

Cho D = D₁ D₂, D₂= S (D₁), các tập D₁, D₂đo được và |D₁ D₂| = 0, S là phép

đối xứng

f x, y dxdy  2 f x, y dxdy

1/ Nếu f(S (x, y)) = f(x, y),  (x, y)  D thì có











D

1

91

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn

2/ Nếu f(S (x, y)) = f(x, y) thì có f x, y dx dy  0







D

x²y²

2





Ví dụ 1. Tính

x  y dx dy

,

D :



 1

^{I }

a²b²

D

Ví dụ 2. Tính

x²y²

a²b²

5

^{I }^



a)

x  y dx dy

,

D :



D

5





b (K58) 1) Tính

(

)

2

I 

x  2y dxdy



2

x y 2y

2

1

2x

2) Đổi thứ tự tính tích phân

.

dx

f(x,y)dxdy

 

0

2y

1

2

(

)

f(x,y)dx

^dy^{f(x,y)dx }^dy

0

1

0

5

2





x  y dx dy

^{I }

c (K59) 1) Tính

, D:

( )

x  2y  2,x  0,y  0

6

D

88

2





x  2y dx dy

^{I }

2) Tính

, D là giao : y  x²,y  2x

(

)

15

D

1

1x

3) Đổi thứ tự tính tích phân dx

f(x,y)dxdy

.

 

2

0

1x

1

2

1

(

)

f(x,y)dx

dy

  ^{f(x,y)dx }^dy

0

1

y1

1y



2



2

sin x  y dx dy

0  x  ,0  y 

^{I }





2

4) Tính

, D l :

( )

D

e^{x y}²dxdy

a  x² y² b²,x  0,(0  a  b)

, D:

2

^{I }

d (K60) 1) Tính

D

2



2

(e^b e^a)

(

)

dxdy

_{1 x  y}

x² y² 4

 ln5

I 

2) Tính

, D:

2

(

)

(

2

D

3xdxdy

^{I }

12

)

3) Tính

, D:0  x  2,1 x  y  3

D

92

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn

3

4

x² y² 1

4) Tính

(x² 2y²)dxdy , D:

(

)

^{I }

D

HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

93

Giáo trình Giải tích 1 - Bài 16: Tích phân kép - Nguyễn Xuân Thảo