Giáo trình Giải tích 3 - Bài 1: Chuỗi số, chuỗi số dương

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Email: [email protected]

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI

BÀI 1. CHƯƠNG I. LÝ THUYẾT CHUỖI

§ 1. Đại cương về chuỗi số

 Định nghĩa

 Điều kiện cần để chuỗi hội tụ

 Các tính chất cơ bản

1 1 1

1

2ⁿ

Đặt vấn đề:

1   

  2

2 4 8

 Có phải là cứ cộng mãi các số hạng của vế trái thì thành vế phải?

 1 + (– 1)+1 + (– 1) + .... = ?

1. Chuỗi số:

Định nghĩa: Với mỗi số tự nhiên n, cho tương ứng với một số thực a_n, ta có dãy

số kí hiệu là a .

 

n

Định nghĩa:



Cho dãy số {a }, ta gọi tổng vô hạn

là chuỗi số, ký hiệu là

a_n,

a₁ a₂ a₃

n



n1

a_nlà số hạng tổng quát.

S_n= a₁+ a₂+ a₃+ ... + a_nlà tổng riêng thứ n. Nếu

thì ta bảo chuỗi

lim S_n S

n



hội tụ, có tổng S và viết:

a_n S .



n1



Khi dãy {S_n} phân kỳ thì ta bảo chuỗi

a_nphân kỳ.



n1



Ví dụ 1. Xét sự hội tụ và tính

qⁿ



n0

1 q^n1

S_n 1 q  q² qⁿ

, q  1

1 q

1

lim S_n

, q  1

n

1 q

Phân kỳ khi q  1



1

qⁿ

,

q  1.



1 q

n0



1

Ví dụ 2. Xét sự hội tụ và tính

_{n n 1}





n1

1

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Email: [email protected]

1

1 1



1 1



1



 

 







S_n













 1





 













1.2 2.3

n n  1

1 2

2 3

n n 1

n 1





1





lim S_n lim 1

 1





^n



n

n 1



1

 1

_{n n 1}





n1



1

1 1

(Chuỗi điều hoà) S_n 1  

1

Ví dụ 3. Xét sự hội tụ, phân kỳ



_n1n

2 3

n

Lấy n  2^m1có

1 1

1

2^m1

1

2

1 1

1

5

1

8

1

^m1





1

 

 

 

 









S_n 1  

 1





 



 









2^m1

2

2 3

3 4

1

  2.  4.  2^m.

 m 1





2^m1

2

4

8

2

Do đó S_ncó thể lớn bao nhiêu tuỳ ý, nên có

lim S_n 

n

Chuỗi đã cho phân kỳ



1

Ví dụ 4. Chuỗi nghịch đảo bình phương:

_n

2

n1

1

n²

1

S_n 1





 1





 1





2²3²

2.2 3.3

n.n

1.2 2.3

1

n 1 n





1 1



1 1



1





 

 

 

 







 1









 2   2



 













1 2

S_ntăng và dương

2 3

3 4

n 1 n

n

 lim S_n S

n



_n¹

 S

2

n1

Nhận xét:





hội tụ thì

(Điều kiện cần để chuỗi hội tụ)

lim a_n 0

a_n



n

n1

Chứng minh:

 Nếu

Có

a_n S_n S_n1

;

lim a  lim S  S

 0



_n1



n

n



hoặc không tồn tại thì chuỗi

a_nphân kỳ.

lim a_n 0



n

n1

 Thay đổi một số hữu hạn số hạng đầu không làm thay đổi tính hội tụ hay phân kỳ của

chuỗi.

2

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Email: [email protected]



n

Ví dụ 5.



_n1n 1

n

n 1

n

lim

 1 0

n



phân kỳ



_n1n  1



1 ⁿ 1 1 1 1 

Ví dụ 6.

 



n1

1

n =2k,k  



lim 1 ⁿ

Có

 



n

1 n =2k+1.

lim 1 ⁿ



Không tồn tại

 

n



1 ⁿphân kỳ.

 



n1

3

5

2n 1

²

²

Ví dụ 7. Tìm tổng (nếu có) của chuỗi số sau

(ĐS:







4 36

n n 1

1)

n



n 1





Ví dụ 8.

(PK)







_n1 n 1



2. Tính chất. Giả sử

a_n S₁,

b_n S₂,



n1



n1





( a_n  b_n)   a_n 

b_n S₁ S₂



 

n1

§2. Chuỗi số dương

 Định nghĩa

1. Định nghĩa:



 Các định lí so sánh

 Các tiêu chuẩn hội tụ



a_n, a_n 0



n1

Nhận xét.

a_nhội tụ khi và chỉ khi S_nbị chặn.



n1

Trong bài này ta giả thiết chỉ xét các chuỗi số dương

2. Các định lí so sánh.

3

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Email: [email protected]

Định lí 1. Cho hai chuỗi số dương, a_n b_n, n tuỳ ý hoặc từ một lúc nào đó trở đi



b_nhội tụ 

a_nhội tụ



n1





n1



a_nphân kỳ 

b_nphân kỳ



n1

Chứng minh.

a₁ a₂ a_n b₁ b₂ b_n

0  S_n T_n

Rút ra các khẳng định.



1

Ví dụ 2.

Ví dụ 1.



_n13ⁿ 1

Chuỗi dương

3ⁿ 1 3ⁿ

_n2lnn

Chuỗi dương

lnn  n

1

0 



n lnn

3ⁿ1 3ⁿ



_n¹

n2



phân kỳ

₃¹

1



hội tụ

n

1

3

n1

1

1

phân kỳ



 Chuỗi đã cho hội tụ

_n2lnn



a_n

b_n

Định lí 2. Cho hai chuỗi số dương,



a_nvà

b_ncùng hội tụ

lim

 k  0

 

n

n1

hoặc cùng phân kì.



Nhận xét. Đối với các chuỗi số dương

a_nvà

b_n:

 

n1



n1



a_n

1/ Nếu lim

 0 và

  và

b_nhội tụ 

a_nhội tụ



n1





n

b_n

n1



a_n

b_n

2/ Nếu lim

b_nphân kì 

a_nphân kì



n

n1



n  2

Ví dụ 4.



_n12n³ 3

Chuỗi dương

4

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Email: [email protected]

2

1

n  2

n

1

2n²

n

3

2n³

n

3

2n³



.



.

2n³ 3 2n³

1

n  2

1







lim

:

 1



2n³2n

^n

²



1

hội tụ

_2n₂

n1



n  2

_n12n³ 3

hội tụ

1





Ví dụ 5.

_p, p  0

_n

n1



1

p

1

n^p

1



p

Khi

có

, do

phân kỳ nên

phân kỳ.

1

0  p  1

0  n  n 

_n

n

n1

,

tuỳ ý, chọn

sao cho

^m, có

p  1 n

m

n  2



1

4^p

1



 











S_n S₂

 1





 

m





 

_p

2^p3^p

7

p

^p

1

2^m1

 

















2

4

2^m1

1

 1





 1





p

2

m1

2^p4^p

2^p1

2^m1

2^p1













1 a^m

1 a

1





, 0  a 

 1

2^p1

1 a



1

Dãy S_nbị chặn trên 

hội tụ.

_n

p

n1

KL: Chuỗi hội tụ với p > 1 và phân kì với 0 < p  1.



1

Ví dụ 6.



n³ 3

n1

Chuỗi dương

1

n^3/2

a_n



;

b_n

n³ 3

3

n³

n^3/21

a_n

lim

 1

n

b_n

5

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Email: [email protected]



b_nhội tụ



n1



1

hội tụ



n³ 3

n1

Ví dụ 7











a1)

ln 1 n  2  n 1

(PK)

a2)

sin n 1 n 1 (PK)









n2

1



1

_n

n1



nsin²





n

b1)

(PK);

(HT)

b2)

c2)

2

1

(HT)

(PK)



2 n

n  cosn

n⁵1

n1



n  sinn

c1)



n³1

n1

1







n





d1)

(PK)

(HT)

d2)

n e 1

(PK)

n  2  n 1



n2



n 1

d3)

sin



³n⁷ 2n³ 3

n1

e) Xét sự hội tụ



lnn

n⁵

1

1)

(HT)

2)

(PK)

₄



n1

arcsin  lnn

n









3)

nln 1 arctan²









2 n³



n1

f) Xét sự hội tụ







1

^{ln n 1}

1)

(PK)

(HT)

2)

(HT)

_{n 1 lnn}

⁴n⁵

n1



1







3)

 sin







n

_n1







 ^{ln n 1}

f) Xét sự hội tụ : 1)

(HT)

(n 1)³

n1

3) Các tiêu chuẩn hội tụ

a) Tiêu chuẩn D’Alembert

6

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Email: [email protected]

a_n1

a_n

lim

 l

n



Khi



hội tụ

a_n

l  1



n1



Khi l  1 

a_nphân kỳ.



n1

Chứng minh

a_n1

a_n

a_n1

a_n

 l < 1: Từ lim

 l , chọn  > 0 đủ bé để l +  < 1 

< l + ,  n  n₀.

n

a_{n 1}

a_na_n1

a_n1a_n2

^nn

⁰a_n

 0, n  

0



 Mặt khác có a_n

.



.a_n



l  

0

a_n

0

Do đó

lim a_n l

n

a_n1

a_n

a_n1

a_n

 l > 1: Từ

 phân kì

, chọn  đủ bé để l   > 1 

 a_{n + 1}> a_n

 l    1

lim

 l

n

Nhận xét. Khi l = 1 không có kết luận gì



1

Ví dụ 1.

_n!

n1

1

a_n

 0

n!

a_n1

a_n

1

n!

1

lim

 lim

:

 lim

 0  1

n

n 1 ! n!

n  1 !

n 1











1

hội tụ

_n!

n1



3ⁿ

Ví dụ 2.



_n1n!

3ⁿ

a_n

 0

n!

a_n1

a_n

3^n13ⁿ

:

n  1 ! n! n 1

3







a_n1

a_n

lim

 0  1

n

Chuỗi đã cho hội tụ

7

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Email: [email protected]

1.3.5 2n 1





1 1.3 1.3.5

Ví dụ 3. Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi





2 2.5 2.5.8

2.5.8 3n 1





1.3.5 2n 1





a_n

 0

2.5.8 3n 1





1.3.5 2n 1 2n 1 1.3.5 2n 1

a_n1

a_n











2n 1



:



2.5.8 3n 1 3n  2 2.5.8 3n 1 3n  2





a_n1

a_n

2

lim



 1

n

3

Chuỗi đã cho hội tụ

Ví dụ 4



n!3ⁿ

nⁿ

n!2ⁿ

nⁿ

a1)

(PK)

(HT)

(PK)

(HT)

(PK)

a2)

(HT)



n1



n1

ⁿ ²

7 n!

a3)



n²ⁿ

n1



3^2n1

b1)



2^2n1

b2)

b4)

(HT)



n









_n14 ln n 1

_n15 ln n 1











nⁿ

2n 1 !!

2n !!

b3)

c1)

d1)



n1





nⁿ

n1

3n² 2n  1

ⁿ

n!3ⁿ

 _{2 3n  2}



n1



n! ⁿ

nⁿ

d2)

(PK)



nⁿ

n1

b) Tiêu chuẩn Cauchy

n

Giả sử lim a_n l

n



Nếu l  1 

a_nhội tụ



n1



Nếu

phân kỳ

l  1

a_n



n1

Nhận xét. Nếu l = 1, không có kết luận gì

n



2n 1

3n  2







Ví dụ 5.







_n1

8

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Email: [email protected]

2n 1

3n  2







a_n

 0







2n 1

3n  2

ⁿa_n

2

n

lim a_n  1

n

3

Chuỗi đã cho hội tụ

Ví dụ 6. Xét sự hội tụ, phân kì

Ví dụ 7.

2

n



n 1





(PK)







_n1 n 





^2nlnn





^3nlnn



2

3n  n 1

2n  n 1

a1)

a3)

b1)

c)

(HT)

a2)

b2)

(HT)

(PK)











4n² cosn

3n² sinn

_n1

2



nⁿ5ⁿ



2

ⁿ

ⁿ

n1

2 n 1









n n4



n  2

n  3

2

n  3

















_



_n1 n  2 

n1



nⁿ5ⁿ



2

ⁿ

ⁿ

n1

3 n 1

c) Tiêu chuẩn tích phân

Có mối liên hệ hay không giữa:



b

f(x)dx  lim f(x)dx



_b

a



k

và

a_n lim

a_n



_k

n1

n

Hình 14.4

,

^{f(x)dx  a  a  a  a }^f(x)dx

1

2

n

1



1

Nếu f(x) là hàm liên tục, dương giảm với mọi x 1 và

, f(n) = a , khi đó

lim f(x)  0

n

x



và

cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

a_n

f(x)dx





1

n1



1

Ví dụ 8.



_n2nlnn

9

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Email: [email protected]

1

f(x) 

dương, giảm với x  2 và có lim f(x)  0

x

xlnx



^bd lnx





b

f(x)dx  lim

 lim ln lnx  lim ln lnb  ln ln2  



₂















_b

b

n

lnx

2



phân kỳ

f(x)dx



1



1

phân kỳ



_n2nlnn



1

Tổng quát có thể xét

hội tụ chỉ khi p > 1.



p

n lnn





n2

1 1 1

Ví dụ 9. Chứng minh rằng: 1     ln2

2 3 4

1 1 1

S_2n 1   

2 3 4

1

1 1

1





 

 







 1 



 

2 4



 



2n 1 2n

3

2n 1

2n

1 1

1

1 1

1

1 1

1

1 1

1







 

 



 1  

 2

 

2 4

 1  

 1   











 





2 3

2n

2 3

1

2n

2 3

n



 

1





 ln2n    o(1)  lnn    o(1) , voi   lim 1   lnn



 









^n

2

n

 ln2  o(1)  ln2 khi n  

Mặt khác ta có

1

S_2n1 S_2n

2n  1

lim S_2n1 limS_2n ln2

n

1 ^n1



^{ }

 ln2

n

n1

1 1 1 1 1

3

Ví dụ 10. Tương tự nhận được 1        ln2.

3 2 5 7 4

2

Ví dụ 11. Xét sự hội tụ phân kì của chuỗi số sau

1



ln





²

ln 1 n

lnn

n

a)

(HT);

b)

(HT)

c)

(HT)

_

_3n₂

²

n  3

n  2

n1

n2

HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

10

Giáo trình Giải tích 3 - Bài 1: Chuỗi số, chuỗi số dương - Nguyễn Xuân Thảo