Bài giảng Phương pháp tính - Chương 2: Giải gần đúng phương trình phi tuyến - Trịnh Quốc Lương
CHƯƠNG 2
GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
I. ĐẶT BÀI TOÁN :
Bài toán : tìm nghiệm gần đúng của
phương trình
f(x) = 0
với f(x) là hàm liên tục trên khoảng
đóng [a, b] hay khoảng mở (a,b).
1. Khoảng cách ly nghiệm
Khoảng đóng hay mở trên đó tồn tại duy nhất
nghiệm của phương trình gọi là khoảng cách ly
nghiệm
Định lý :
Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a,b] thoả điều kiện
f(a) f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm trên
[a,b].
Nếu hàm f đơn điệu ngặt thì nghiệm là duy nhất.
[a, b] là KCLN của pt khi
➢ f(a) f(b) < 0
➢ Đạo hàm f’
không đổi dấu
a
b
trên đoạn [a,b]
Ví dụ :
Tìm các khoảng cách ly nghiệm của pt
f(x) = 3x2 + lnx= 0
Giải :
f’(x) = 6x +1/x >0 x>0
f hàm tăng ngặt nên pt có tối đa 1 nghiệm
f(0.3)= -0.93, f(0.4)=-0.44, f(0.5)=0.057
Vây khoảng cách ly nghiệm là (0.4,0.5)
Ví dụ :
Tìm các khoảng cách ly nghiệm của pt
f(x) = x3 - 3x + 1 = 0
giải :
Ta lập bảng giá trị tại các điểm đặc biệt
x
-3 3
f(x) - - + +
Nhìn vào bảng ta thấy pt có nghiệm trong các khoảng
(-2, -1) (0, 1) (1,2)
Vì pt bậc 3 có tối đa 3 nghiệm, nên các khoảng cách ly
nghiệm là : (-2,-1) (0,1) (1,2)
Bài tập :
1. Tìm các khoảng cách ly nghiệm của pt
f(x) =ex –x2 + 3x -2
Giải
f’(x) = ex - 2x + 3
Ta lập bảng giá trị tại các điểm đặc biệt
x
-3 3
f(x) - - + +
Nhận xét : f’(x) > 0, x [0,1].
Vây khoảng cách ly nghiêm (0,1)
2. Tìm các khoảng cách ly nghiệm của pt
f(x) =xcosx – 2x2 + 3x+1
f’(x) = cosx –xsinx -4x +3
Ta lập bảng giá trị tại các điểm đặc biệt
x
-3 3
f(x) - -
-
-
Nhận xét :
f’(x) < 0 x [1,2],
f’(x) > 0 x [-1,0]
Vây các khoảng cách ly nghiệm : (-1. 0), (1,2)
2. Cách giải gần đúng pt f(x) = 0
➢ B1: tìm tất cả các khoảng cách ly
nghiệm
➢ B2: trong từng khoảng cách ly
nghiệm, tìm nghiệm gần đúng của
phương trình
Các phương pháp giải gần đúng
➢ Phương pháp chia đôi
➢ Phương pháp lặp đơn
➢ Phương pháp lặp Newton
3. Công thức sai số tổng quát :
Định lý :
Giả sử f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b)
Nếu x* , x là nghiệm gần đúng và nghiệm chính
xác của phương trình và
|f’(x)| ≥ m > 0, x (a,b)
thì sai số được đánh giá theo công thức :
|x* - x| ≤ |f(x*)| / m
Ví dụ : Xét phương trình
f(x) = 2x3 - 3x2 - 5x + 1 =0
trên khoảng [2.2, 2.6]
Tính sai số nếu chọn nghiệm x* = 2.45
Giải
f’(x) = 6x2 - 6x - 5
g(x)=|f’(x)| = 6x2 -6x-5, x [2.2,2.6]
g’(x)=12x-6>0, x [2.2,2.6],
g(2.2)=10.84
|f’(x)| ≥ 10.84 = m, x [2.2,2.6]
Sai số
|x*-x| ≤|f(x*)|/m 0.0143
Ghi nhớ : sai số luôn làm tròn lên
Ví dụ : Xét phương trình
f(x) = 5x+ -24 = 0
trên khoảng [4,5]
Tính sai số nếu chọn nghiệm x* = 4.9
Giải
f’(x) = 5 +
=> |f’(x)| ≥ 5 +
= m, x [4,5]
Sai số
|x*-x| ≤|f(x*)|/m 0.3485
II. Phương Pháp Chia Đôi
Xét phương trình f(x) = 0 có nghiệm chính xác x
trong khoảng cách ly nghiệm [a,b] và f(a)f(b) < 0.
Ý nghĩa hình học
xo
bo
b
x2
ao
a
x1
b1
b2
a1
a2
1.Đặt [ao,bo]=[a, b], d0=b0-a0=b-a
Chọn xo là điểm giữa của [a0,b0]
Ta có xo = (a0+b0) / 2
Nếu f(xo) = 0 thì xo là nghiệm xong
2. Nếu
▪ f(ao)f(xo) < 0 : đặt a1 = ao, b1 = xo
▪ f(xo)f(bo) < 0 : đặt a1 = xo, b1 = bo
Ta thu được [a1, b1] [ao,bo] chứa nghiệm x
d1 = b1-a1= (b-a)/2,
điểm giữa x1 = (a1+b1) / 2
3. Tiếp tục quá trình chia đôi như vậy đến n lần ta được
[an, bn] [an-1,bn-1] chứa nghiệm x
dn = bn-an= (b-a)/2n, f(an)f(bn) < 0
điểm giữa xn = (an+bn) / 2, an ≤ xn ≤ bn
Ta có
lim xn = x
Vậy xn là nghiệm gần đúng của pt
Công thức sai số
|xn – x| ≤ (b-a) / 2n+1
Ví dụ : Tìm nghiệm gần đúng của pt
f(x) = 5x3 - cos 3x = 0
trên khoảng cách ly nghiệm [0,1] với n=3
Giải
Ta lập bảng
n an f(an) bn f(bn) xn
f(xn)
- 1 + 0.5
0.25
n
0 0
1
2 0.125
3
0.0625
Nghiệm gần đúng là x3 = 0.4375
Ví dụ : Tìm nghiệm gần đúng của pt
f(x) = 2+cos(ex-2)-ex = 0
trên khoảng [0.5,1.5] với sai số 0.04
Giải
Ta lập bảng
n an f(an) bn f(bn) xn
0 0.5 + 1.5 -
0.25
f(xn)
n
0.5
1
2
3
4
0.125
0.0625
0.03125
Nghiệm gần đúng là x = 1.03125
III. Phương Pháp Lặp Đơn
Xét phương trình f(x) = 0 có nghiệm chính xác x
trong khoảng cách ly nghiệm [a,b] và f(a)f(b) < 0.
Ta chuyển pt f(x) = 0 về dạng
x = g(x)
Bây giờ ta tìm điều kiện để dãy {xn} hội tu
Ta có định nghĩa sau
Định Nghĩa : Hàm g(x) gọi là hàm co trên đoạn
[a,b] nếu q : 0<q<1 sao cho
| g(x) – g(y) | ≤ q | x – y |, x, y [a,b]
q gọi là hệ số co
Để kiểm tra hàm co, ta dùng định lý sau
Định lý : Nếu hàm g(x) liên tục trên [a,b], khả vi
trên (a,b) và q : 0<q<1 sao cho
| g’(x) | ≤ q, x (a,b)
Thì g(x) là hàm co với hệ số co q
Tải về để xem bản đầy đủ
47 trang
15000
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Phương pháp tính - Chương 2: Giải gần đúng phương trình phi tuyến - Trịnh Quốc Lương", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_phuong_phap_tinh_chuong_2_giai_gan_dung_phuong_tri.ppt
