Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 9

404001 - Tín hiệu và hệ thống

Lecture-9

ꢀꢁꢂꢃ ꢄꢅꢁ ꢆoꢇꢈꢁeꢈ

ꢀ Biểu diễn TH không tuần hoàn bằng tích phân Fourier

ꢀ Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng

ꢀ Các tính chất của biến đổi Fourier

ꢀ Năng lượng tín hiệu

ꢀ Truyền tín hiệu qua hệ thống LTIC

ꢀ Các bộ lọc lý tưởng và thực tế

ꢀ Ứng dụng trong viễn thông: điều chế AM

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn bằng tích phân Fourier

ꢀ ꢀꢁꢂ ꢃꢄꢅꢆ ꢇꢃꢈꢂꢉ ꢊꢆꢋꢂ ꢃoꢌꢂ ꢍꢎꢏꢐ ꢑeꢒ ꢂꢃꢎ ꢊꢁꢂ ꢃꢄꢅꢆ ꢊꢆꢋꢂ ꢃoꢌꢂ ꢐꢓ

ꢐꢃꢆ ꢇꢔ ꢕꢌꢄ ꢖꢈ ꢃꢗꢂ

ꢁ ꢘꢙꢊ ꢚꢛꢊꢜꢝꢞꢄꢟꢆ ꢕꢄꢠꢂ ꢐꢃo ꢊꢁꢂ ꢃꢄꢅꢆ ꢇꢃꢈꢂꢉ ꢊꢆꢋꢂ ꢃoꢌꢂꢡ

f (t)

ꢁ ꢘꢙꢊ ꢚ_ꢀꢤꢛꢊꢜꢝꢞꢄꢟꢆ ꢕꢄꢠꢂ ꢐꢃo ꢊꢁꢂ ꢃꢄꢅꢆ ꢊꢆꢋꢂ ꢃoꢌꢂ ꢕoꢝꢥꢦ ꢧꢨꢩ ꢧꢗꢄ ꢚꢛꢊꢜꢝꢖꢪꢄ

ꢐꢃꢆ ꢇꢔ ꢀ_ꢤꢡ

f_T(t)

0

T₀



f (t) = lim f_T(t)



ꢁ ꢀaꢝꢐꢓ ꢢꢆaꢂ ꢃꢅ ꢉꢄꢣa ꢚꢛꢊꢜꢝꢖꢌ ꢚ_ꢀꢤꢛꢊꢜꢝꢂꢃꢎ ꢥaꢆꢡ

_{T →∞}

0



0

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

1

Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn bằng tích phân Fourier

ꢀ ꢫꢄꢟꢆ ꢕꢄꢠꢂ ꢚ_ꢀꢤꢛꢊꢜꢝꢕꢦa ꢖꢌo ꢐꢃꢆꢬꢄ ꢭoꢆꢮꢄeꢮ

f_T(t)

0

T₀

T₀/ 2

S

1

2 sin nω₀S 2 sinωS

=

f_T(t)e^{− jnω t}dt =

e^{− jnω t}dt =

−S

0

D_n=

∫

−T₀/ 2

T₀

T₀nω₀

T₀

ω

T₀D_n

2sinωS

2π

ω = nω₀= n

ω

T₀

n

ω

ω₀= 2π /T₀

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn bằng tích phân Fourier

ꢀ ꢯꢰꢩ ꢍꢈꢄ ꢐꢃꢆ ꢇꢔ ꢊꢁꢂ ꢃꢄꢅꢆ ꢂ ꢉꢰꢩ ꢍꢈꢄ ꢥꢱ ꢃꢌꢄꢲꢲꢲ

f_T(t)

0

T₀

T₀/ 2

S

1

2 sin nω₀S 2 sinωS

=

f_T(t)e^{− jnω t}dt =

e^{− jnω t}dt =

−S

0

D_n=

∫

−T₀/ 2

T₀

T₀nω₀

T₀

ω

T₀D_n

2sinωS

2π

ω = nω₀= n

ω

T₀

n

ω

ω₀= 2π /T₀

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

2

Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn bằng tích phân Fourier

ꢀ ꢳꢃꢄ ꢀ_ꢤꢂ∞ꢴꢝꢐꢵꢐ ꢃꢌꢄ ꢮꢶꢄ ꢮꢗꢐ ꢂ ꢒꢷꢊ ꢃꢌꢒ ꢧꢄꢸꢂ ꢊꢹꢐꢲꢲꢲ

f_T(t)

0

T₀

T₀/ 2

S

1

2 sin nω₀S 2 sinωS

=

f_T(t)e^{− jnω t}dt =

e^{− jnω t}dt =

−S

0

D_n=

∫

−T₀/ 2

T₀

T₀nω₀

2sinωS

T₀

ω

T₀D_n

2π

ω = nω₀= n

ω

T₀

n

ω

ω₀= 2π /T₀

T₀/ 2

∞

2sinωS

f_T(t)e^{− jnω t}dt =

f (t)e^{− jωt}dt =

= F(ω)





0

lim T .D = lim

[

]

0

n

∫

0

_{T →∞} −T₀/ 2





−∞

T₀→∞



0

ω

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn bằng tích phân Fourier

ꢀ ꢳꢃꢄ ꢀ_ꢤꢂ∞ꢴꢝꢺꢃꢆꢬꢄ ꢭoꢆꢮꢄeꢮꢝꢂ ꢀꢁꢐꢃ ꢩꢃꢻꢂ ꢭoꢆꢮꢄeꢮ

f_T(t)

0

T₀

T₀D_n

2sinωS

2π

ω = nω₀= n

ω

T₀

n

ω

ω₀= 2π /T₀

T₀/ 2

∞

2sinωS





0

lim T .D = lim

[

f_T(t)e^{− jnω t}dt =

f (t)e^{− jωt}dt =

= F(ω)

]

0

n

∫

0

_{T →∞} −T₀/ 2





−∞

T₀→∞



0

ω

∞







1

F(nω₀)

F(ω)e^jωtdω

e^{jnω t}

0



f (t) = lim f_T(t) = lim



→ f (t) =

∑



∫

−∞

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10



0



T₀→∞

2π

T₀

n=−∞





3

Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn bằng tích phân Fourier

ꢀ ꢼꢽy ꢊa ꢐꢓ ꢇꢾꢊ ꢢꢆꢿꢡ

∞

Phương trình phân tích –

Biến đổi Fourier thuận

F(ω) =

f (t)e^{− jωt}dt

f (t) ↔ F(ω)

∫

−∞

ꢃ ꢭꢛωꢜꢡꢝꣃꢽꢊ ꢍꢷ ꢩꢃ꣄ ꢊꢁꢂ ꢃꢄꢅꢆ ꣅ ꢊꢃꢎꢶꢂꢉ ꢑeꢒ ꢧꢌ ꢀꢁꢂ ꢃꢄꢅ ꢆꢇꢈ ꢁꢉꢊu ꢋꢌꢆꢍꢎꢎꢎ

T₀D_n

ω = nω₀= n

2sinωS

2π

ω

T₀

n

ω

ω₀= 2π /T₀

∞

1

Phương trình tổng hợp –

Biến đổi Fourier ngược

f (t) =

F(ω)e^jωtdω

∫

−∞

2π

ꢀ ꣀꢄꣁꢆ ꢇꢄꢅꢂ ꢊꣂꢂ ꢊꢗꢄ ꢊꢁꢐꢃ ꢩꢃꢻꢂ ꢭoꢆꢮꢄeꢮꢡ

∞

Điều kiện Dirichlet

f (t)dt < ∞

∫

−∞

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Biến đổi Fourier của một số tín hiệu thông dụng

ꢀ ꢋꢌꢆꢍꢏδꢌꢆꢍꢐ

+∞

δ (t)e^{− jωt}dt = δ (t)dt =1

F(ω) =

⇒

δ (t) ↔ 1

∫

−∞

δ (t)

1

↔

ω

t

0

ꢀ ꢋꢌꢆꢍꢏꢑꢐ

+∞

1

⇒ f (t) =

2πδ (ω)e^jωtdω =1

⇒

1 ↔ 2πδ (ω)

F(ω) = 2πδ (ω)

∫

−∞

2π

1

2πδ (ω)

↔

ω

t

0

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

4

Biến đổi Fourier của một số tín hiệu thông dụng

ꢀ ꢋꢌꢆꢍꢏe^ꢒꢅꢆuꢌꢆꢍꢓꢔꢅꢕꢖꢐ

+∞

e^−atu(t)e^{− jωt}dt = e^{−(a+ jω)t}dt = −

1

F(ω) =

e^{−(a+ jω)t}

=

∫

−∞

0

a + jω

0

1

e^−atu(t);a >0↔

⇒

a+ jω

1

F(ω) =

a²+ω²

a − jω

a²+ω²

⇒ F(ω) =

⇒

∠F(ω) = −tan⁻¹(ω / a)

∠F(ω)

F(ω)

1/ a

π / 2

ω

−π / 2

ω

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Biến đổi Fourier của một số tín hiệu thông dụng

ꢀ ꢋꢌꢆꢍꢏuꢌꢆꢍꢐ

+∞

1

F(ω) =

u(t)e^{− jωt}dt =

e

0

^{− jωt}dt = −

e^{− jωt}= ?

∫

−∞

u(t)

∫

jω

0

1

e^−atu(t)

u(t) = lime^−atu(t)

a→0

t

0

+∞

1

a − jω

2

a +ω







⇒ F(ω) = lim

e^−atu(t)e^{− jωt}dt =lim

= lim

_a→0

2

∫





−∞

^a→0a + jω

a→0

a

1

⇒ F(ω) = lim

+

^a→0a²+ω²jω

Diện tích bằng π

1

⇒ F(ω) = πδ (ω) +

jω

u(t) ↔πδ(ω)+1/ jω

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

5

Biến đổi Fourier của một số tín hiệu thông dụng

ꢀ ꢋꢌꢆꢍꢔꢗuꢈꢘ ꢃꢂꢈꢘ ꢙꢚꢈ ꢛꢜꢐ

0

1

t >τ / 2

t

r ect

=

(_τ)

t <τ / 2

+∞

1

e

^{jωτ / 2}− e^{− jωτ / 2}

+∞

τ / 2

e

^{− jωt}dt = −

−τ / 2

F(ω) =

rect(_τ^t)e^{− jωt}dt =

e^jωt

=

∫

−∞

j2sin

∫

jω

0

ωτ

2

ωτ

2

sin

(

)

(

ωτ

)

t

τ

ωτ

2

ωτ

2

⇒

⇔ F(ω) =

=τ

=τ sinc

rect( )↔τsinc

(

)

( )

jω

(

)

2

↔

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Các tính chất của biến đổi Fourier

ꢀ ꢝꢇꢈꢁ ꢃꢁꢞꢆ ꢆuꢟꢠꢈ ꢆꢇꢈꢁꢐ

f (t) ↔ F (ω); f (t) ↔ F (ω)

⇒ a f (t)+a₂f₂(t) ↔a F(ω)+a₂F (ω)

1

2

1 1

2

ꢀ ꢡꢜꢃꢁ ꢃꢁuꢟꢢꢈ ꢆꢣoꢈꢘ ꢤꢉꢥꢈ ꢆꢁꢦꢉ ꢘꢉꢅꢈꢐ

f (t) ↔ F(ω)

f₁(t) = f (t −t₀) ↔ ?

+∞

F (ω) =

f₁(t)e^{− jωt}dt =

f (t −t₀)e^{− jωt}dt

1

∫

−∞

+∞

f (x)e^{− jω(x+t )}dx =e^{− jωt}

f (x)e^{− jωx}dx = e^{− jωt}F(ω)

−∞

0

⇔ F (ω) =

1

∫

−∞

f(t−t₀)↔F(ω)e^−jωt

Linear phase shift

0

⇒

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

6

Các tính chất của biến đổi Fourier

ꢀ ꢡꢜꢃꢁ ꢃꢁuꢟꢢꢈ ꢆꢣoꢈꢘ ꢤꢉꢥꢈ ꢆꢁꢦꢉ ꢘꢉꢅꢈꢐ

f(t−t₀)↔F(ω)e^−jωt

Linear phase shift

0

Ví dụ:

−ωτ / 2

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Các tính chất của biến đổi Fourier

ꢀ ꢡꢜꢃꢁ ꢃꢁuꢟꢢꢈ ꢆꢣoꢈꢘ ꢤꢉꢥꢈ ꢆꢧꢈ ꢨꢩ ꢌꢙꢉꢥu ꢃꢁꢠꢍꢐ

⇒ f₁(t) = f (t)e^{jω t}↔ ?

0

f (t) ↔ F(ω)

+∞

0

F (ω) =

f₁(t)e^{− jωt}dt =

f (t)e^{− j(ω−ω )t}dt = F(ω −ω₀)

−∞

1

∫

f(t)e ↔F(ω−ω )

−∞

jω t

0

⇒

0

Ví dụ: Điều chế AM

f (t ) co s ω ₀t

1

2

f (t)cosω₀t = f (t)e^{jω t}

+

f (t)e^{− jω t}

0

1

2

⇒ f (t)cosω₀t ↔ F(ω −ω₀) + ¹₂F(ω +ω₀)

2

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

7

Các tính chất của biến đổi Fourier

ꢀ ꢪꢩꢉ ꢈꢘꢫu ꢆꢁꢦꢉ ꢘꢉꢅꢈꢒꢆꢧꢈ ꢨꢩꢐ

f (t) ↔ F(ω)

+∞

F(ω)e^jωtdω ⇒ f (−t) =

F(ω)e^{− jωt}dω

−∞

1

2π

1

2π

f (t) =

∫

−∞

+∞

F(t)e^{− jωt}dt

⇒

⇒ 2π f (−ω) =

F(t) ↔2π f (−ω)

∫

−∞

Ví dụ:

e^−atu(t);a > 0 ↔1/(a + jω) ⇒1/(a + jt) ↔ 2πe^aωu(−ω);a > 0

ωτ

( )

rect( ^t) ↔ τ sin c

ω

2ω₀

⇒ 2ω sin c ω t ↔ 2π rect(

)

τ

2

(

)

0

ω₀

ω

sin c ω t ↔ rect( )

2ω₀

⇒

(

)

0

2

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Các tính chất của biến đổi Fourier

ꢀ ꢝꢁꢅꢟ ꢙꢂꢉ ꢆꢁꢅꢈꢘ ꢙꢬ ꢌꢙꢭꢈꢘ ꢮꢯꢈꢘꢍꢐ

f (t) ↔ F(ω) ⇒ f (at);a real ↔ ?

ω

a

+∞

x

f (x)e^{− j}dx = _a¹F(^ω_a)

(

)

f (at)e^{− jωt}dt = ¹_a

a > 0:

∫

−∞

+∞

−∞

ω

x

f (x)e^{− j}dx = _−aF(^ω_a)

(

)

f (at)e^{− jωt}dt =¹_a

a

1

a < 0:

∫

−∞

+∞

f (at) = F(^ω_a)

1

⇒

a

Ví dụ:

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

8

Các tính chất của biến đổi Fourier

ω

f (at) = F(_a)

1

a

ꢀ ꢪꢰo ꢆꢁꢦꢉ ꢘꢉꢅꢈꢱꢆꢧꢈ ꢨꢩꢐ

f (t) ↔ F(ω) ⇒ f (−t) ↔ ?

a = −1

⇒

f (−t) ↔ F(−ω)

Ví dụ:

e^−atu(t) ↔1/(a + jω) ⇒ e^atu(−t) ↔1/(a − jω)

e^{−a t}u(t) ↔ ?

1

2a

e^{−a t}u(t) = e^−atu(t) + e^atu(−t) ↔

+

=

a + jω a − jω a²+ω²

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Các tính chất của biến đổi Fourier

ꢀ ꢝꢇꢃꢁ ꢃꢁꢲꢀ ꢆꢣoꢈꢘ ꢤꢉꢥꢈ ꢆꢁꢦꢉ ꢘꢉꢅꢈꢐ

f₁(t) ↔ F (ω); f₂(t) ↔ F₂(ω) ⇒ f₁(t)∗ f₂(t) ↔ ?

1

+∞

f₁(t)∗ f₂(t)e^{− jωt}dt =

f₁(τ) f₂(t −τ )dτ e^{− jωt}dt





∫

∫ ∫







−∞



+∞

f₂(t −τ )e^{− jωt}dt dτ





=

f₁(τ )F₂(ω)e^{− jωτ}dτ

=

f₁(τ )

∫









−∞

∫

−∞

+∞

= F₂(ω)

f₁(τ )e^{− jωτ}dτ = F (ω)F₂(ω)

1

∫

−∞

⇒

f₁(t)∗ f₂(t)↔F(ω)F (ω)

1

2

ωT

4

Ví dụ: rect(^2t) ↔ ^Tsinc

(

)

T

2

rect(^2t)∗rect(^2t) = ^TΛ

↔

²sinc²

4

t

T

ωT

4

(_T)

(

)

T

2

t

T

ωT

( )

⇒

Λ

↔ sin c

2

(_T)

4

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

9

Các tính chất của biến đổi Fourier

ꢀ ꢝꢇꢃꢁ ꢃꢁꢲꢀ ꢆꢣoꢈꢘ ꢤꢉꢥꢈ ꢆꢧꢈ ꢨꢩꢐ

f (t) ↔ F (ω); f (t) ↔ F (ω)

⇒ ? ↔ F (ω)∗ F₂(ω)

1

2

1

+∞

jωt

F (ω)∗ F (ω)e^jωtdω =

F (τ )F₂(ω −τ )dτ e dω





1

2π

1

2π

1

2

1

∫

∫ ∫

_−∞





−∞



+∞

jωt

F₂(ω −τ )e dω dτ =

jxt

F (τ )e^jτt









F₂(x)e dx dτ

−∞

1

2π

1

2π

=

F (τ )

1

∫















−∞



+∞

= f₂(t) F (τ )e^jτtdτ

= 2π f₂(t) f₁(t)

1

∫

−∞

1

f₁(t) f₂(t) ↔ _2πF(ω)∗F (ω)

⇒

1

2

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Các tính chất của biến đổi Fourier

ꢀ ꢪꢯo ꢁꢳꢤ ꢆꢣoꢈꢘ ꢤꢉꢥꢈ ꢆꢁꢦꢉ ꢘꢉꢅꢈꢐ

df (t)

dⁿf (t)

dtⁿ

f (t) ↔ F(ω)

⇒

↔ ?

⇒

↔ ?

dt

+∞

df (t)

F(ω)e^jωtdω ⇒

= jω

(

F(ω)e^jωtdω

−∞

1

2π

f (t) =

)

2π

∫

−∞

dt

df (t)

⇒

↔ jω F(ω)?

(

)

dt

d ⁿf (t)

↔ ( jω)ⁿF(ω)

⇒

dtⁿ

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

10

Các tính chất của biến đổi Fourier

ꢀ ꢝꢇꢃꢁ ꢀꢁꢴꢈ ꢆꢣoꢈꢘ ꢆꢣoꢈꢘ ꢤꢉꢥꢈ ꢆꢁꢦꢉ ꢘꢉꢅꢈꢐ

t

⇒

f (τ )dτ ↔ ?

f (t) ↔ F(ω)

∫

−∞

+∞

t

f (t)∗u(t) =

f (t)u(t −τ)dτ =

f (t)dτ

−∞

∫

−∞

u (t ) ↔ π δ (ω ) + 1 / jω

f (t)∗u(t) = F(ω) πδ (ω) +1/ jω = π F(0)δ (ω) + F(ω)/ jω

[

]

t

⇒

f (τ)dτ ↔πF(0)δ(ω)+ F(ω)/ jω

∫

−∞

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

11

Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 9 - Trần Quang Việt