Giáo trình Sức bền vật liệu

TRƯỜNG TRUNG CẤP CẦU ĐƯỜNG VÀ DẠY NGHỀ

KHOA CẦU ĐƯỜNG

----------

BÀI GIẢNG

MÔN HỌC : SỨC BỀN VẬT LIỆU

Giáo viên

Bộ môn

: Nguyễn Phú Bình

: Cơ sở

Hệ đào tạo : Trung cấp Cầu đường

Thời gian

Số tiết

: 24 tháng

: 40 tiết

Chương 1

NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ SỨC BỀN VẬT LIỆU

Sức bền vật liệu là một môn học nghiên cứu các phương pháp tính toán về độ bền,

độ cứng và độ ổn định của các bộ phận công trình hay chi tiết máy dưới tác dụng của

ngoại lực, sự thay đổi nhiệt độ...

Ở môn học Cơ học lý thuyết, ta mới xét sự cân bằng của vật thể (xem là rắn tuyệt

đối) dưới tác dụng của hệ lực phẳng. Nhưng thực tế,các vật thể mà ta khảo sát, nghiên cứu

đều là vật rắn thực, điều đó bắt buộc ta phải xét đến sự biến dạng của vật thể trong quá

trình chịu tác dụng của hệ lực (bên ngoài). Trong phạm vi môn học này, sẽ giới thiệu một

số khái niệm cơ bản về ngoại lực, nội lực... và các giả thiết nhằm đơn giản cho việc nghiên

cứu và tính toán.

1.1. Những khái niệm cơ bản về ngoại lực, nội lực, ứng suất, biến dạng

1.1.1. Các giả thiết đối với vật liệu

Môn học Sức bền vật liệu, đối tượng mà ta nghiên cứu

khảo sát vật rắn thực: đó là một thanh, một cấu kiện hay một bộ

phận công trình nào đó. Thường hình dạng của vật rắn thực

được nghiên cứu có dạng thanh thẳng, thanh cong hoặc thanh

bất kỳ (hình 1.1). Vật liệu cấu tạo nên thanh có thể là thép,

gang... Tuy vậy, khi nghiên cứu nếu xét đến mọi tính chất thực

của vật thể sẽ phức tạp, do đó để đơn giản chúng ta chỉ những

tính chất cơ bản và lược bỏ đi những tính chất thứ yếu không

có ảnh hưởng lớn đến kết quả nghiên cứu và tính toán. Muốn

H×nh 1.1

vậy, chúng ta phải đề ra các giả thiết cơ bản, nêu lên một số

tính chất chung cho vật liệu. Các giả thuyết về vật liệu là:

a) Giả thiết 1: Vật liệu có tính liên tục, đồng chất và đẳng hướng.

Một vật liệu được xem là liên tục và đồng chất khi trong thể tích của vật thể đều có

vật liệu (hoàn toàn không có khe hở) và tính chất của vật liệu ở mọi điểm trong vật thể đều

như nhau.

Tính đẳng hướng của vật liệu nghĩa là tính chất của vật liệu theo mọi phương đều

như nhau. Giả thiết này phù hợp với thép, đồng còn với gạch, đá, gỗ thì không hoàn toàn

phù hợp.

b) Giả thiết 2: Giả thuyết vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi và tính đàn hồi của vật

liệu xem là đàn hồi tuyệt đối.

Trong thực tế, dù lực bé đến đâu, vật liệu cũng không có tính đàn hồi tuyệt đối.

Song qua thực nghiệm cho thấy: khi lực chưa vượt quá một giới hạn nhất định thì biến

dạng dư trong vật thể là bé nên có thể bỏ qua được và biến dạng của vật thể được xem là

tỷ lệ thuận với lực gây ra biến dạng đó. Giả thuyết này chính là nội dung định luật Húc.

Thực tế giả thuyết này chỉ phù hợp với vật liệu là thép, đồng…

c) Giả thiết 3: Biến dạng của vật thể do ngoại lực gây ra được xem là bé.

Giả thiết này thừa nhận được vì trong thực tế biến dạng của vật thể so với kích

thước của chúng nói chung là rất nhỏ. Từ giả thiết 3 này, trong quá trình chịu lực, trong

nhiều trường hợp, ta có thể xem điểm đặt của ngoại lực là không thay đổi khi vật thể bị

biến dạng.

1.1.2. Các khái niệm về ngoại lực, nội lực, phương pháp mặt cắt

T¶i träng

q

a) Ngoại lực: Ngoại lực là lực tác động từ

những vật thể khác hoặc môi trường xung quanh

lên vật thể đang xét.

P

m

Ngoại lực bao gồm: Lực tác động (còn gọi

là tải trọng) và phản lực liên kết (xem hình 1.2).

Có thể phân loại ngoại lực theo nhiều cách, ở đây

ta phân loại ngoại lực theo hai cách:

- Theo cách tác dụng của các ngoại lực: có

thể chia ngoại lực thành hai loại: tập trung và lực

phân bố.

Ph¶n lùc

H×nh 1.2

P

Lùc tËp trung

M«men tËp trung m

+ Lực tập trung: là lực tác dụng lên vật thể

trên một diện tích truyền lực rất bé so với kích

thước của vật thể, nên ta coi như một điểm trên

vật.

H×nh 1.3

q=const

Ví dụ: Áp lực của bánh xe lửa trên đường

ray là một lực tập trung. Lực tập trung có thể là

lực đơn vị Niutơn (N), hoặc ngẫu lực (hay

mômen tập trung), đơn vị của mômen tập trung là

Niutơn mét (Nm).

a)

b)

q=f(z)

Cách biểu diễn lực tập trung và mômen tập trung

(xem hình 1.3).

H×nh 1.4

+ Lực phân bố: là lực tác dụng liên tục trên một đoạn dài hay trên một diện tích

truyền lực nhất định trên vật thể.

Ví dụ: Áp lực gió lên tường biên của nhà là phân bố theo diện tích. Lực phân bố

theo chiều dài có đơn vị N/m. Lực phân bố theo diện tích có đơn vị N/m². Lực phân bố có

trị số bằng nhau tại mọi điểm (được gọi là lực phân bố đều – hình 1.4a) hoặc không bằng

nhau (được gọi là lực phân bố không đều) (hình 1. 4b).

- Theo tính chất tác dụng (về thời gian) của tải trọng có thể chia ngoại lực thành hai

loại: tải trọng tĩnh và tải trọng động.

+ Tải trọng tĩnh là tải trọng khi tác dụng lên vật thể có trị số tăng dần từ không đến

một giá trị nhất định và sau đó không thay đổi (hoặc thay đổi rất ít).

Ví dụ: Trọng lượng của mái nhà, áp lực của nước lên thành bể.

+Tải trọng động là loại tải trọng, hoặc có giá trị thay đổi trong thời gian rất ngắn từ

giá trị không đến giá trị cuối cùng hoặc làm cho vật thể bị dao động.

Ví dụ: Lực của búa máy đóng vào đầu cọc, động đất…

b) Nội lực:

Trong một vật thể giữa các phân tử có các lực liên kết để giữ cho vật thể có hình

dạng nhất định. Khi ngoại lực tác dụng, các lực liên kết đó sẽ tăng lên để chống lại sự biến

dạng do ngoại lực gây ra. Độ tăng đó của lực liên kết được gọi là nội lực.

Như vậy, nội lực chỉ xuất hiện khi có ngoại lực đó. Nhưng do tính chất cơ học của

vật liệu, nội lực chỉ tăng đến một trị số nhất định nếu ngoại lực tăng quá lớn, nội lực không

tăng được nữa, lúc này vật liệu bị biến dạng quá mức và bị phá hỏng. Vì vậy, việc xác định

nội lực phát sinh trong vật thể khi chịu tác dụng của ngoại lực là một vấn đề cơ bản của

SBVL.

c) Phương pháp mặt cắt:

Giả sử có một vật thể cân bằng dưới tác dụng ngoại lực, tưởng tượng dùng một mặt

phẳng cắt vật thể đó ra hai phần A và B (hình 1.5a).

Giả sử bỏ đi phần B, giữ lại phần A để xét. Rõ ràng để phần A được cân bằng, thì

trên mặt cắt phải có hệ lực phân bố. Hệ lực này chính là những nội lực cần tìm (hình 1.5b).

Hệ nội lực đó chính là của phần B tác dụng lên phần A. Từ đây ta có thể suy rộng ý

nghĩa của nội lực là: “Nội lực là lực tác động của bộ phận này lên bộ phận kia của vật

thể”.

a)

b)

c)

P

1

P

1

P

6

P

6

P

2

P

2

P

5

P

5

A

B

A

B

P

3

P

3

P

4

P

4

H×nh 1.5

Dựa vào khái niệm đó và căn cứ vào nguyên lý tác dụng và phản tác dụng, trên mặt cắt

phần B cũng có nội lực: đó chính là lực tác dụng của phần A lên phần B. Nội lực trên mặt

cắt phần A và phần B có trị số bằng nhau, cùng phương nhưng ngược chiều, vì vậy khi tính

nội lực, tùy ý có thể xét một trong hai phần vật thể. Mặt khác, vì phần A (hoặc phần B) cân

bằng nên nội lực và ngoại lực tác dụng lên phần đó tạo thành một hệ lực cân bằng. Căn cứ

vào điều kiện cân bằng tĩnh học của phần đang xét ta có thể tính được nội lực đó.

Trong trường hợp vật thể đàn hồi là một thanh, mặt cắt được xét là mặt cắt ngang

thì khi ta thu gọn hợp lực của hệ nội lực về trọng tâm O của mặt cắt, sẽ cho ta một lực R và

một mômen M_o. Nói chung R và M_ocó phương, chiều bất kỳ trong không gian. Ta phân

tích R thành ba thành phần (hình 1.6), thành phần trên trục z gọi là lực dọc và ký hiệu là

N_z, các thành phần trên trục x và y gọi là lực cắt và ký hiệu là Q_x, Q_y; mômen M_Ocũng

được phân tích thành ba thành phần quay chung quanh ba trục là M_x, M_y, M_z. Các mômen:

M_x, M_yđược gọi là mômen uốn và M_zđược gọi là mômen xoắn. Sáu thành phần đó được

gọi là sáu thành phần của nội lực.

Dùng các phương trình cân bằng tĩnh học ta có thể xác định được các thành phần

nội lực đó theo các ngoại lực. Với các phương

trình hình chiếu lên các trục toạ độ:

P

1

P

6

z = 0; y =0; x = 0

 ta tìm được N_z, Q_y, Q_x.

Với các phương trình mômen đối với các trục

toạ độ:

M_z= 0; M_x= 0; M_y= 0

 ta tìm được M_z, M_x, M_y.

Ta thường gặp tải trọng nằm trong mặt

phẳng đối xứng yOz. Khi đó các thành phần

nội lực: Q_x= 0, M_z= 0, M_y= 0. Như vậy trên

các mặt cắt lúc này chỉ còn 3 thành phần nội

lực N_z,Q_yvà M_x. Như vậy phương pháp mặt

P

2

3

P

5

4

a)

B

A

y

Q

y

P

1

M

x

M

z

P

2

3

b)

N

z

M

y

Q

x

cắt

các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang bất

kỳ của thanh khi thanh chịu tác dụng của ngoại lực.

cho phép ta xác định được

H×nh 1.6

Cần chú ý rằng nếu ta xét sự cân bằng của một phần nào đó thì nội lực trên mặt cắt

có thể coi như ngoại lực tác dụng lên phần đó.

1.1.3 Ứng suất

Căn cứ vào giả thuyết cơ bản 1 về sự liên tục của vật liệu, ta có thể giả định nội lực

phân bố liên tục trên toàn mặt cắt, để biết sự phân bố nội lực ta hãy đi tìm trị số của nội lực

tại một điểm nào đó trong vật thể.

Giả sử tại điểm K chẳng hạn, xung quanh điểm K lấy một diện tích khá nhỏ F. Hợp lực

ΔP

 P

của nội lực trên diện tích F là P. Ta có tỷ số:

P_tbđược gọi là ứng suất trung bình tại K.

tb

ΔF

P  P

P

được gọi là ứng suất tại K, còn gọi là ứng suất

Khi cho F  0 thì

và

tb

toàn phần. Như vậy: ứng suất toàn phần tại P tại điểm bất kỳ trên mặt cắt là tỷ số giữa trị

số nội lực tác dụng trên phân tố diện tích bao quanh điểm K đó với chính diện tích đó.

Đơn vị của ứng suất P là: N/m²; kN/m²; MN/m².

Từ định nghĩa trên ta có thể xem ứng suất toàn phần P là trị số nội lực trên một đơn

vị diện tích. Biểu diễn ứng suất toàn phần P bằng một véc tơ đi qua điểm đang xét trên mặt

cắt:



P

- Phân ứng suất toàn phần

ra thành hai thành phần: ứng suất

P



thành phần có phương tiếp tuyến với mặt cắt được gọi là ứng suất

tiếp, ứng suất thành phần có phương vuông góc với mặt cắt được gọi

là ứng suất pháp (hình 1.7). Ứng suất tiếp ký hiệu là  (đọc là tô).

Ứng suất pháp ký hiệu là  (đọc là xích ma). Nếu  là góc hợp bởi

ứng suất toàn phần P và phương pháp tuyến thì:



H×nh 1.7

 = P.cos ;

 = P sin;

1.1.4. Các loại biến dạng:

P

a)

b)

Vật thể khảo sát (dưới dạng thanh) là vật rắn

thực. Dưới tác dụng của ngoại lực, vật rắn có biến

dạng ít hay nhiều. Trong mục này ta xét các biến

dạng của vật rắn thực (thanh) khi chịu tác dụng

của lực.

Khi thanh chịu tác dụng của những lực đặt dọc

theo trục thanh thì thanh bị giãn ra hay co lại. Ta

gọi thanh chịu kéo hay nén (hình 1.8). Trong quá

trình biến dạng trục thanh vẫn thẳng (đường đứt

nét biểu diễn hình dạng của thanh sau khi biến

dạng).

Khi thanh chịu tác dụng của các lực vuông

góc với trục thanh, trục thanh bị uốn cong, ta gọi

thanh chịu uốn (hình 1.9).

Có trường hợp, dưới tác dụng của ngoại lực,

một phần này của thanh có xu hướng trượt trên

phần khác. Biến dạng trong trường hợp này gọi là

biến dạng trượt. Ví dụ: Trường hợp chịu lực của

đinh tán (hình 1.10).

P

H×nh 1.8

P

H×nh 1.9

a)

b)

P

Khi ngoại lực nằm trong mặt phẳng vuông

góc với trục thanh và tạo thành các ngẫu lực

trong mặt phẳng đó thì làm cho thanh bị xoắn

(hình 1.11). Sau biến dạng các đường sinh ở bề

mặt ngoài trở thành các đường xoắn ốc.

Ngoài các trường đơn giản đó, trong thực tế

còn gặp nhiều trường hợp chịu lực phức tạp. Biến

dạng của thanh có thể vừa kéo đồng thời vừa uốn,

vừa xoắn.

H×nh 1.10

m

H×nh 1.11

dx



Xét biến dạng một phân tố trên một thanh

biến dạng, tách ra khỏi thanh một phân tố hình

a)

b)

dx+dx

H×nh 1.12

hộp rất bé. Biến dạng của phân tố có thể ở một trong các dạng sau:

- Nếu trong quá trình biến dạng mà góc vuông của phân tố không thay đổi, chỉ có các

cạnh của phân tố bị co giãn, ta nói phân tố có biến dạng kéo hoặc nén (hình 1.12a).

- Nếu trong quá trình biến dạng, các cạnh của phân tố không thay đổi nhưng các góc

vuông của phân tố bị thay đổi không vuông góc nữa, ta nói phân tố có biến dạng trượt

(hình 1.12b).

Gọi  là độ thay đổi của góc vuông thì  được gọi là góc trượt.

Với một vật thể bị biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, nói chung các điểm trong

lòng vật thể không còn ở vị trí cũ nữa, mà chúng dời đến một vị trí mới nào đó. Độ chuyển

dời đó gọi là chuyển vị.

1.2. Nguyên lý độc lập tác dụng

“

Nội dung của nguyên lý độc lập tác dụng: Kết quả tác dụng gây ra do một hệ lực

thì bằng tổng kết quả gây ra do từng lực trong hệ đó tác dụng một cách riêng biệt”.

Thí dụ: Xét dầm AB trên hình 1.13. Dưới tác

dụng của lực P₁, P₂điểm C có độ chuyển dời CC^’. Sơ đồ

chịu lực của dầm AB có thể phân thành hai sơ đồ chịu

lực:

P

1

P

2

a)

C

A

B

- Với sơ đồ dầm chỉ chịu tác dụng của P₁thì độ

dịch chuyển của điểm C là CC₁.

C

b

a

c

- Với sơ đồ dầm chỉ chịu tác dụng của P₂thì độ

dịch chuyển của điểm C là CC₂.

P

1

b)

C

Theo nguyên lý độc lập tác dụng thì:

A

B

CC^’= CC₁+ CC₂.

C

1

P

2

* Chú ý: Nguyên lý độc lập tác dụng của các lực

chỉ sử dụng được trong điều kiện vật liệu tuân theo giả

thiết 2 và 3.

c)

C

A

2

H×nh 1.13

CÂU HỎI CHƯƠNG 1

1. Nêu những giả thiết cơ bản về vật liệu của môn học SBVL? Nguyên lý độc lập tác dụng

của lực?

2. Ngoại lực, nội lực là gì? Phân loại chúng như thế nào?

3. Ứng suất là gì? Có mấy loại ứng suất? Đơn vị của ứng suất?

4. Trình bày phương pháp mặt cắt để xác định nội lực?

Chương 2

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA TIẾT DIỆN

2.1. Khái niệm ban đầu

Xét hai trường hợp chịu uốn của một thanh như

trên hình vẽ (hình 2.1). Bằng trực giác ta dễ dàng

nhận thấy rằng: nếu tác dụng lực như hình vẽ 2.1a

thanh sẽ có khả năng chịu lực lớn hơn cách tác dụng

lực như trường hợp trên hình vẽ 2.1b. Như vậy ở

đây khả năng chịu lực của thanh còn tuỳ thuộc vào

phương tác dụng của lực đối với mặt cắt.. Do vậy,

ngoài đặc trưng hình học là diện tích mặt cắt F của

thanh, còn có những đặc trưng hình học khác của

mặt cắt ngang. Trong chương này chúng ta sẽ

nghiên cứu các đặc trưng hình học nói trên.

a)

b)

P

x

z

x

y

P

2.2 Mômen tĩnh của hình phẳng

Giả sử có một hình phẳng có diện tích F nằm

trong mặt phẳng của hệ trục toạ độ xOy (hình 2.2).

y

H×nh 2.1

z

Xét một vi phân diện tích dF có toạ độ là x, y. Nếu lấy tích phân biểu thức ydF và xdF trên

toàn bộ diện tích F ta được:



^{S }^ydF

x

y



F

(2.1)





F

^{S }^xdF

y



F



x

dF

S_x, S_ygọi là mômen tĩnh của hình phẳng

diện tích F đối với trục Ox, Oy.

Nếu dùng đơn vị diện tích là m², chiều dài là m thì đơn vị

của mômen tĩnh là m³.

Nếu biết được diện tích của hình và toạ độ trọng tâm của nó đối

với hệ trục xOy ta có:

có

y

x

O

H×nh 2.2



ydF  y_cF





F





(2.2)

xdF  x F

c





F



Trong đó: y_c, x_clà toạ độ trọng tâm C của hình phẳng hay khoảng cách (có mang

dấu) từ trọng tâm C của hình đến các trục toạ độ Ox, Oy.

F - là diện tích của hình.

Do đó ta có thể viết:

S  y  F







x

C

(2.3)

S_y x_C F

Từ (2.3) có thể rút ra công thức xác định toạ độ trọng tâm C của hình phẳng:

S

_y



x_c

y_c





F

S_x

(2.4)



F 

Khi x_C= y_C= 0 tức là trục x và trục y đi qua trọng tâm của hình thì S_x= S_y= 0. Cho

nên mômen tĩnh của diện tích hình phẳng đối với trục bất kỳ đi qua trọng tâm của nó luôn

bằng không. Người ta gọi trục đi qua trọng tâm của hình là trục trung tâm. Giao điểm của

hai trục trung tâm thì được gọi là trọng tâm của mặt cắt. Mômen tĩnh của hình phẳng có

thể có dấu (+) hoặc (-) tuỳ thuộc vào dấu của toạ độ trong các công thức (2.1), (2.4).

Chú ý: Khi tính mômen tĩnh của hình phẳng có dạng phức tạp, ta chia hình đó ra

thành nhiều hình đơn giản, sau đó lấy tổng đại số các mô men tĩnh của các hình đơn giản

hợp thành.

2.3. Mômen quán tính của hình phẳng

2.3.1. Các định nghĩa về mômen quán tính

Giả sử có một hình phẳng có diện tích F, một hệ trục Oxy đi qua trọng tâm của hình

(hình 2.2).

- Nếu lấy tích phân biểu thức y²dF, x²dF trên toàn bộ diện tích F của hình ta được:

2



^{J }^{y dF}

x



F





(2.5)

J  x²dF

y





F



J_x, J_ygọi là mômen quán tính của hình phẳng có diện tích F đối với trục Ox và Oy.

- Nếu lấy tích phân biểu thức x.y.dF trên toàn bộ diện tích của hình, ta có:

^{J }^{x ydF}

(2. 6)

xy

F

J_xygọi là mômen quán tính ly tâm của hình phẳng có diện tích F đối với hệ trục Oxy.

Gọi  là khoảng cách từ vi phân diện tích dF đến điểm O (gốc toạ độ) nằm trong

mặt phẳng của hình (hình 2.2). Lấy tích phân biểu thức ρ²dF trên toàn bộ diện tích, ta

được:

J₀ ρ²dF

(2 7)



F

J₀gọi là mômen quán tính độc cực của hình phẳng đối với điểm O.

ρ² x² y²

Theo hình 2.2 ta có:

(2.8)

J₀ ρ²dF  (x² y²)dF  y²dF x²dF

Thay 2.8 vào 2.7 ta có:



F

J₀ J_x J_y

Hay là:

(2.9)

Vậy: Mômen quán tính độc cực của hình phẳng bằng tổng các mômen quán tính

của hình phẳng đối với hai trục vuông góc giao nhau tại điểm đó.

Đơn vị của các loại mômen quán tính kể trên là m⁴.

Các loại mômen quán tính đối với một trục (J_x, J_y) hay đối với một điểm (J₀) luôn

luôn có dấu dương vì trong các biểu thức định nghĩa của chúng ta có các bình phương

khoảng cách x, y và . Còn mômen quán tính ly tâm (J_xy) có thể có dấu dương hoặc âm tuỳ

thuộc vào dấu các toạ độ x, y và do đó có thể bằng 0.

Chú ý: Khi xác định mômen quán tính của các hình có dạng phức tạp, ta cũng chia

hình thành các hình đơn giản để tính, sau đó cộng các mômen quán tính của hình đơn giản

hợp thành.

2.3.2. Trục quán tính chính trung tâm

Nếu mômen quán tính ly tâm của một hình đối với một hệ trục Oxy bằng không thì

ta gọi hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính, gọi tắt là hệ trục chính:

J_xy= 0

Người ta cũng chứng minh được rằng với hệ trục quán tính chính Oxy, mômen

quán tính của hình phẳng đối với một trong hai trục đó là cực đại (J_max) còn đối với trục kia

là cực tiểu (J_min) so với bất kỳ trục nào khác, đi qua gốc O của hệ trục. Nếu hệ trục chính

có gốc trùng với trọng tâm hình phẳng thì được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm.

Hệ trục quán tính chính trung tâm là hệ trục mômen tĩnh và mômen quán tính ly tâm luôn

bằng không:

S  S  0



x

y





J  0





xy

Mômen quán tính của hình phẳng đối với hệ trục chính trung tâm gọi là mômen quán tính

chính trung tâm.

Các hình phẳng có ít nhất một trục đối xứng thì rất dễ dàng xác định được hệ trục

quán tính chính trung tâm. Hệ trục chính trung tâm đó gồm trục

trung tâm vuông góc với trục đối xứng. Ta chứng minh điều

này:

đối xứng và trục

y

x

Giả sử có hình chữ T (hình 2.3) có trục đối xứng y, trục

trung tâm x vuông góc với y đi qua trọng tâm O của hình. Nếu

xem hình đã cho ghép bởi hai hình A và B thì mômen quán

tính ly tâm của toàn hình là:

dF

A B

J_xy J^A_xy J^B_xy

x

O

Trong đó: J^A_xy, J^B_xylà mômen quán tính ly tâm của hình A và B

A

F

B

F

đối với hệ trục Oxy.

Ta xét phân tố đối xứng dF. Trên mỗi phần A và B, tung độ y

của phân tố có cùng trị số và dấu. Hoành độ x của phân tố có

cùng trị số dấu nhưng ngược dấu. Do đó sau khi thực hiện tích

phân x.y.dF theo công thức (2.6) trong mỗi phần A và B được:

H×nh 2.3

J^A_xy J^B

J_xy J^B_xy J^A_xy 0

_xy. Vậy:

Mặt khác trọng tâm O của mặt cắt nằm trên trục đối xứng y nên từ O nếu vẽ trục x vuông

góc với trục y, ta sẽ có hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm của hình chữ T. Đó

là điều phải chứng minh.

Nếu một hình phẳng có hai hoặc nhiều trục đối xứng thì từ kết quả ta có thể suy ra

rằng hai trục đối xứng vuông góc với nhau tạo thành một hệ trục quán tính chính trung

tâm.

Để giải quyết các bài toán sau này về chịu lực của thanh ta cần phải biết các trục

quán tính chính trung tâm của mặt cắt thanh.

Trong thực tế thường gặp những mặt cắt có trục đối xứng, còn mặt cắt không trục

đối xứng thì ít gặp, nên việc xác định hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt thường

dễ dàng hơn.

2.3. 3. Mômen quán tính của một số hình đơn giản

a. Hình chữ nhật:

Một hình chữ nhật có chiều dài là h, chiều rộng là b. Hệ trục quán tính chính trung

tâm là Oxy, trong đó trục x song song với cạnh b, trục y song

song với cạnh h (hình 2.4). Ta tính mômen quán tính trung tâm

J_x. Theo công thức định nghĩa, ta có:

y

J_x y²dF



dF

F

x

Xét một vi phân diện tích dF giới hạn bởi hai đường song

song với trục y và cách nhau bởi một đoạn dy. Diện tích của nó

là:

O

dF  b.dy

Áp dụng công thức 2.5, ta được:

b

h



y³

2

H×nh 2.4

h/2

h/2

y²bdy  b

J  y²dF

=

. Vậy:

x



3

h

F



2

bh³

12

J_x

(2.11)

Đó là công thức tính mômen quán tính chính trung tâm của hình chữ nhật đối với

trục trung tâm x.

Bằng phương pháp tương tự, ta tính được mômen quán tính của hình chữ nhật đối

với trục trung tâm y:

hb³

J_y=

(2.12)

12

b. Hình tam giác:

Có một hình tam giác, cạnh đáy là b, chiều cao h,

hệ trục Oxy, trong đó trục x song song với cạnh đáy b

và đi qua trọng tâm C của tam giác (hình 2.5). Để tính

J_xta lấy vi phân diện tích dF là dải phân tố song song

với trục x, có chiều dày dy, với:

y

b

dF

x

C

dF = b_y.dy

b

2

H×nh 2.5

 h  y

b_y

b

h

2h

3









3

Trongđó :





b_y



 y .



h



b 2h







Thay vào, ta có:

dF = b_ydy =

 y dy





h 3



Áp dụng công thức 2.5 ta được :

2h

3

2h

3

b 2h



h 9



y⁴

4











J_x y²dF 

 y y²dy 

y³









h



 _{h 3}





h



3

F

3

bh³

36

J 



(2.13)

x

y

Đó là công thức tính mômen quán tính của hình tam giác đối

với trục trung tâm x song song với cạnh đáy b.

dF

x

c. Hình tròn:

O

D

H×nh 2.6

Để đơn giản, ta tính mômen quán tính của hình tròn đối với điểm C (chính là trọng tâm

J₀ ρ²dF

mặt cắt), theo định nghĩa :



F

Trong đó chọn dF là hình được giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính: , ( + d) và hai

đường bán kính lập với trục x góc  , (  d ) như hình 2.6.

Ta có:

dF  ρ.d.dρ  ρ.dρ.d

R 2π

ρ².ρdρ.d

^{ J } 

0

Khai triển biểu thức tích phân, ta có:

πD⁴

J₀

 0,1D⁴

(2.14)

(2.15)

(2.16)

32

Vì tính đối xứng của hình tròn, ta có J_x= J_y.

Ta có:

J₀= J_x+ J_y

D⁴R⁴

Suy ra:

J_x= J_y=



 0,05D⁴

64

4

Do đó, khi trục trung tâm y thẳng góc với trục x, ta có: J_x= J_y.

Vậy theo công thức (4.9):

J₀= J_x+ J_y= 2J_x

R⁴D⁴

2

J₀=



 0,1D⁴

32

(2.16) là công thức tính mômen quán tính độc cực của hình tròn.

d. Hình vành khăn

Mômen quán tính của hình vành khăn đối với trục trung tâm bất kỳ x của hình bằng

hiệu của mômen quán tính của hình tròn có đường kính lớn với mômen quán tính của hình

tròn có đường kính nhỏ, tức là:

  R⁴  r⁴

y

J_x=



4

π  R⁴

4

π D⁴

64

J_x

(1 η⁴) 

(1 η⁴)

x

 0,05 D⁴ (1 η⁴)

(2.17)

Trong đó:  là tỷ số giữa hai bán kính hoặc tỷ số giữa hai đường

O

r

d

kính nhỏ và lớn:

 



R

D

d=2r

D=2R

Bằng phương pháp tương tự như trên, ta chứng minh được công

thức tính mômen độc cực của hình vành khăn đối với trọng tâm của

hình:

H×nh 2.7

  R⁴

  D⁴

J₀=

 (1 ⁴) 

 (1 ⁴)  0,1 (1 ⁴)

2

32

(2.18)

2.3.4. Mômen quán tính với các trục song song

Ở đây ta sẽ nghiên cứu cách tính mômen quán tính của hình phẳng đối với trục song

song với trục trung tâm của hình, mà đối với trục đó, ta đã biết trước mômen quán tính của

hình. Xét một hình phẳng có diện tích F. Hệ trục Ox, Oy vuông góc đi qua trọng tâm O của

hình.

Hệ trục O₁x₁y₁song song với hệ trục Oxy. Khoảng cách giữa các trục song song x và x₁là

a, giữa y và y₁là b. Xét vi phân diện tích dF có toạ độ x, y và x₁, y₁(hình 2.8). Các toạ độ

có liên hệ sau:

x  x  b

y₁

y







1

(2.19)

y₁ y  a

Theo công thức định nghĩa của mômen quán

tính (2.5) đối với hệ trục O₁x₁y₁ta có:

b

x

dF

J_x y₁²dF

y

(2.20)

x



1

y₁

F

O

a

Thay y₁bằng biểu thức của nó trong (2.20) và lấy tích phân

1

:

O1

1

x

J_x (y  a)²dF  (y² a² 2ay)dF

(2.21)



1

F

H×nh 2.8

J_x y²dF a²dF  2a ydF



1

F

(2.22) Căn cứ vào công thức (2.21) và (2.22), ta có thể viết:

J_y J_x a²F 2aS_x

(2.23)

1

Vì trục x là trục trung tâm, do đó S_x= 0, do đó :

J_x J_x a²F

(2.24)

(2.25)

1

Với phương pháp tương tự như trên, ta sẽ được:

J_y J_y b²F

1

* Chú ý Các công thức (2.24) và (2.25) chỉ dùng được khi trục x và y đi qua trọng tâm của

hình.

Từ (2.24) và (2.25) ta có thể phát biểu như sau:“Mô men quán tính của một hình phẳng đối

với một trục bất kỳ bằng mô men quán tính của hình đối với trục trung tâm song song với

nó cộng với tích của diện tích F của hình với bình phương khoảng cách hai trục”.

Các công thức (2.24) và (2.25) gọi là công thức chuyển trục song song Chúng rất tiện

dùng để tính mômen quán tính của các hình phức tạp do bởi nhiều hình đơn giản (chữ nhật,

tròn…) ghép lại.

* Chú ý: Ta thấy J luôn luôn lớn hơn J_xvì số hạng thứ hai trong công thức bao giờ cũng

x₁

mang dấu dương, cho nên đối với một hệ trục song song mômen quán tính của hình phẳng

đối với trục trung tâm là mômen quán tính nhỏ nhất.

2.4. Bán kính quán tính

Bán kính quán tính của hình phẳng F đối với trục x, trục y được định nghĩa bằng

biểu thức:



J_x

F

i 





x

(2.26)

J_y

F



i_y





Trong đó: i_x, i_ylà bán kính quán tính của hình phẳng F đối với trục Ox, Oy.

J_x, J_ylà mômen quán tính của hình phẳng F đối với trục Ox, Oy

F - là diện tích của hình phẳng.

Nếu xOy là hệ trục chính trung tâm của hình phẳng thì i_x, i_ygọi là bán kính chính trung

tâm của hình đó. Đơn vị của i_x, i_ylà cm, dm, m.

Trên đây ta đã có công thức tính mômen quán tính của các hình đơn giản nếu chia các

mômen quán tính đó cho các diện tích tương ứng của mỗi hình, ta được bán kính quán tính

của:

- Hình chữ nhật đối với các trục chính trung tâm x, y:

J_x

F

bh³

12

i_x



 h

 0,289h

(2,27)

12bh

b³h

12

J_y

i_y



 b

 0,289b

F

12bh

- Hình tròn với các trục chính trung tâm x:

πR⁴

4ππ ²

R

2

D

4

i_x



(2.28)

2.5. Môđuyn chống uốn của mặt cắt

Môđuyn chống uốn của mặt cắt đối với trục x và y được định nghĩa bằng biểu thức :

J_x



W_x





y_max

J_y

(2.29)



W 

y



x_max



Trong đó :

W_x, W_ylà mô đuyn chống uốn đối với các trục x và y.

J_x, J_ylà mô men quán tính của mặt cắt F đối với hai trục x và y

_max, y_maxlà khoảng cách từ những điểm xa nhất ở về hai phía của mặt cắt đối với trục

x

x và y.

Đơn vị của môđuyn chống uốn là m³.

Dưới đây là trị số môđuyn chống uốn của một số mặt cắt thường gặp:

2.5.1. Mặt cắt hình chữ nhật

y

- Mô đuyn chống uốn đối với trục x:

Ta thấy những điểm thuộc cạnh AD và BC có khoảng cách

tới trục x lớn nhất:

B

C

h

2

bh³

12

J_x

bh³bh²

y_max



với J_x

nên: W_x



h

2

y_max

6

x

12

O

bh²

 W_x

(2.30)

6

D

- Mô đuyn chống uốn với trục y:

Ta cũng thấy các điểm thuộc cạnh AB và CD có khoảng

cách tới trục y lớn nhất, nghĩa là:

A

b/2 b/2

b

2

hb³

H×nh 2.9

x_max



và J_y

.

12

J_y

hb³hb²

hb²

6

Do đó ta cũng có : W_y



 W_y

(2.31)

b

2

x_max

6

12

2. 5.2. Mặt cắt hình tròn:

Đối với mặt cắt hình tròn ta có :

πD⁴

64

D

2

J_x

và y_max



x

J_x

π

πD³

D⁴

O

Nên: W_x



D

2

y_max

32

64

πD³

 W_x W_y

 0,1D³

(2.32)

D

32

Ở cuối giáo trình này có giới thiệu những đặc trưng hình

học của các loại thép hình (thép dát) sản xuất theo quy phạm.

H×nh 2.10

2.6. Thí dụ tính toán

- Ví dụ 1: Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và mômen quán tính chính trung tâm

của mặt cắt trên hình 2.11. Các kích thước trên hình vẽ tính bằng milimet

(mm).

- Bài giải: Trước hết ta phải xác định trọng tâm C của mặt cắt. Ta thấy mặt cắt có một

trục đối xứng y, do đó trọng tâm C của mặt cắt sẽ nằm trên y.

Ta chia mặt cắt ra làm 3 hình chữ nhật I, II, III và chọn trục x_onằm ngang đi qua trọng tâm

của hình I. Từ công thức 4.4:

y

S

S^IS^IIS^III

x₀

I

y_c



. Ta có:

F

x

0

Mômen tĩnh của hình I là S^I_xo= 0.

Mômen tĩnh của hình II và III là:

O

C

y_C

S^II_xo= S^III_xo= 14x3x(-9) = -378 (cm³).

- Diện tích mặt cắt: F = F^I+ F^II+ F^III

= 12x4 + 2x14x3 = 132 (cm²).

- Tung độ y_ccủa trọng tâm C bằng:

2(378)

x

III

II

y_C

 5,72 cm.

132

30

Tung độ y_ccó dấu (-) nghĩa là trọng tâm C của mặt cắt

nằm trên trục y, về phía dưới trục x_ocách trục x_omột

khoảng y_c= 5,72 cm.

Qua C kẻ trục x thẳng góc với trục y hệ trục xCy là hệ

trục quán tính trung tâm cần tìm.

120

H×nh 2.11

Mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt là J_xvà J_y.

Ta có:

J_x= J^I_x+ J^II+ J^III

x x

Trong đó: J^I_x, J^II, J^III_xlà mômen quán tính của hình I, II, III đối với trục x.

x

Vì trục x không đi qua trọng tâm hình I, II, III nên áp dụng công thức chuyển trục song

song, ta được:

12 4³

J^I_x

 (-5,72)²12 4  1635cm⁴

12

314³

J^I_x^I J^I_x^II

 (95,72)²314 1138cm⁴

12

Do đó mômen quán tính của toàn bộ mặt cắt đối với trục trung tâm x là:

J_x= 1635 + 2x1138 = 3911 cm⁴

Tính toán tương tự như trên đối với trục trung tâm y, ta cũng có:

I

II

III

J_y= J_y+ J_y+ J_y

412³

Trong đó: J^I_y

 576 cm⁴

12

143³

J^I_y^I J^I_y^II

 (1,5 3)²143  882 cm⁴

y

B

A

C

D

12

Do đó:

J_y= 576 + 2x882 = 2340 cm⁴

F

E

G

H

* Ta cũng có thể tính J_ybằng phương pháp khác:

Coi mặt cắt gồm một hình chữ nhật ABCD và một hình chữ nhật rỗng

EFGH (hình 2.12). Ta tính được: J_y= J^I_y- J_y

II

J^I_ylà mômen quán tính của hình chữ nhật ABCD.

1812³

J_y^I

 2592 cm⁴

12

J^IIlà mômen quán tính của hình chữ nhật EFGH

y

(18 4)(126)³

H×nh 2.12

J^I_y^I

 252 cm⁴

12

Do đó:

Vậy:

J_y 2592  252  2340 cm⁴

J

_max= J_x= 3911 cm⁴; J_min= J_y= 2340 cm⁴

- Thí dụ 2: Tính mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ghép bởi hai thép hình chữ

[ số hiệu 16 như hình 2.13. Biết khoảng cách giữa hai thép [ là 2d = 4 cm.

- Bài giải: Thép N⁰16 tra bảng phụ lục ta có:

y

y₀

- Toạ độ trọng tâm z_o= 1,79 cm.

- Diện tích mặt cắt là 18 cm².

- Mômen quán tính đối với trục trung tâm

là 741 cm⁴và đối với trục y_olà 62,6 cm⁴.

x₀

II

I

Mô men quán tính chính trung tâm đối với trục x là J_x.

Đây là hình ghép nên ta có:

J_x= J^I_x+ J^II

x

C

O

x

Vì hình I và hình II đều là thép chữ số hiệu như nhau

và trục x đi qua trọng tâm hình I và hình II, do đó ta có:

J^I_x= J^ĩI= J_xo= 741 cm⁴

2d

z

0

x

J_x= 2J_xo= 2741 = 1482 cm⁴

Tương tự như trên ta cũng có: J_y= J^I_y+ J^II

H×nh 2.13

y

4

J^I_y= J^II= J_yo+ b²F  62,6  ( 1,79)²18  321cm⁴.

y

2

Vậy mômen quán tính chính trung tâm của toàn mặt cắt đối với trục y là:

J_y= 2x321 = 642 cm⁴

y

- Thí dụ 3: Hãy tính bán kính quán tính và môđuyn chống uốn

đối với trục x của mặt cắt chữ I trên hình 2.14. Kích thước trên

hình lấy bằng cm.

II

- Bài giải: Trước hết ta tính mômen quán tính của mặt cắt đối

I

với trục x:

x

Chia mặt cắt ra làm ba hình: I, II, III, ta có:

C

J_x= J^I_x+ J^II+ J^III

x

1.2

1,2(36)³

+ Mômen quán tính của I: J_x

 4665,6 cm⁴

12

III

+ Mômen quán tính của hình II và III:

Từ hình vẽ ta thấy hình II và III đối xứng nên có diện

bằng nhau, vì vậy:

J^IIJ^III

36(2)³

18

tích

=

H×nh 2.14

x

=

 (181)²362  26016 cm⁴.

12

Do đó: J_x= 4665,6 + 2x26016 = 56697,6 cm⁴.

- Bán kính quán tính của mặt cắt đối với trục x. Áp dụng công thức:

J_x

i_x

, với: F = F₁+ F₂+ F₃= 36x1,2 + 2x36x2 = 187,2 cm².

F

J_x

F

56697,6

Do đó : i_x



17,4 cm hay i_x= 0,174 m.

187,2

- Môđuyn chống uốn đối với trục x:

J_x

40

2

Áp dụng công thức: W_x

, trong đó: y_max



 20 cm.

y_max

J_x

56697,6

20

Do đó:

W_x



 2834,88 cm³.

y_max

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 2

1. Nêu đặc trưng hình học của hình phẳng. Viết công thức định nghĩa của chúng và cho

biết các đơn vị thường dùng của các đại lượng J_x, J_y, J₀, S_x, S_y.

2. Thế nào là trục trung tâm, trục chính, hệ trục chính trung tâm? Cho ví dụ?

3. Mô men quán tính trung tâm là gì?

4. Chứng minh công thức chuyển trục song song để xác định mô men quán tính J_xcủa hình

phẳng.

y

5. Tính mômen quán tính chính trung

tâm của các mặt cắt cho như hình vẽ

2.15. Biết kích thước trên hình vẽ là

mm.

6. Một mặt cắt có hình dạng và kích

thước (mm) như hình 2.16. Hãy xác

định:

x

C

x

- Mô men quán tính và mô men tĩnh với

trục y.

- Mô men quán tính chính trung tâm J_x,

J_y?

20

100

200

20

40

7. Cho mặt cắt ngang hình chữ T, kích

thước (cm) như hình vẽ 2.17.

H×nh 2.15

H×nh 2.16

Xác định hệ trục quán tính trung tâm của hình phẳng Cxy. Xác định mô men quán tính J_x.

Xác định mô men tĩnh của hình phẳng S_x.

8. Thanh ghép gồm hai thép [30 (hình 2.18). Xác định khoảng cách a để mặt cắt có hai mô

men quán tính chính trung tâm bằng nhau (J_x= J_y).

y

a)

b)

x

a

8

4

8

H×nh 2.17

H×nh 2.18

Chương 3.

KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM

3.1. Khái niệm về kéo (nén) đúng tâm, lực dọc và biểu đồ lực dọc

3.1.1. Khái niệm về kéo ( nén) đúng tâm

P

Trong chương này ta sẽ nghiên cứu trường

hợp chịu lực đơn giản nhất của thanh thẳng là khi

thanh chịu kéo hoặc nén đúng tâm.

Khi ta tác dụng vào các đầu thanh hai lực

song song ngược chiều, có phương trùng với

phương của trục thanh và có trị số giống nhau, ta

sẽ có:

a)

P

b)

H×nh 3.1

- Hoặc thanh chịu kéo đúng tâm nếu lực hướng ra khỏi mặt cắt (hình 3.1a).

- Hoặc thanh chịu nén đúng tâm nếu lực hướng vào mặt cắt hình (3.1b).

Từ đó ta có định nghĩa: “Thanh chịu kéo (nén) đúng tâm khi trên mọi mặt cắt ngang

của thanh chỉ có một thành phần lực dọc N_z”.

Dưới đây ta sẽ nghiên cứu nội lực phát sinh trong thanh chịu kéo (nén) đúng tâm.

3.1.2. Lực dọc - biểu đồ lực dọc

a). Lực dọc:

Giả sử xét một thanh chịu kéo đúng tâm bởi lực P. Để tính nội lực tại mặt cắt bất kỳ

của thanh ta thường dùng phương pháp mặt cắt (hình 3.2).

Tưởng tượng cắt thanh tại mặt cắt 1-1, xét cân bằng phần A.

Muốn cho phần A cân bằng, thì hợp các nội lực trên mặt phải là nội lực N đặt tại

trọng tâm mặt cắt và trùng với trục thanh. Lực N

đó gọi là lực dọc.

1

P

Trị số lực dọc N được xác định từ điều kiện cân

A

B

a)

b)

bằng tĩnh học của phần A (hoặc phần B), là tổng

hình chiếu của các lực tác dụng lên phần đang xét

xuống phương trục thanh (trục z) phải bằng không:

1

P

N

z

F

H×nh 3.2

z = - P + N = 0 hay N = P.

Dấu của lực dọc được quy ước như sau:

- N mang dấu dương (+) khi nó là lực kéo (N có chiều hướng ra ngoài mặt cắt).

- N mang dấu âm (-) khi nó là lực nén (N có chiều đi vào mặt cắt).

Từ trường hợp xét trên ta có trình tự xác định lực dọc N_ztheo phương pháp mặt cắt

như sau:

+ Dùng mặt cắt tưởng tưởng cắt thanh thành hai phần, giữ lại phần đơn giản để

xét.

+ Từ điều kiện cân bằng tĩnh học chiếu các lực đang xét xuống theo phương trục

thanh (trục z) phải bằng 0. Từ đó ta xác định được N_z.

Nếu kết quả tính được là dương thì đó là lực kéo ngược lại là lực nén.

b). Biểu đồ lực dọc:

Để biểu diễn sự biến thiên lực dọc tại các mặt cắt dọc theo trục thanh, ta vẽ một đồ thị

gọi là biểu đồ lực dọc N.

Vậy: “Biểu đồ lực dọc là đường biểu diễn sự biến thiên lực dọc tại các mặt cắt dọc theo

trục thanh”.

Sau khi đã tính được lực dọc tại các mặt cắt khác nhau ta tiến hành vẽ biểu đồ lực dọc.

Để vẽ biểu đồ lực dọc thường chọn trục hoành song song với trục thanh (hay còn gọi là

đường chuẩn), còn nội lực biểu thị bằng đường vuông góc với trục hoành (trục z). Trình tự,

cách vẽ biểu đồ lực dọc như sau:

- Chia thanh thành các đoạn bằng cách lấy điểm đặt lực tập trung, điểm đầu và cuối

tải trọng phân bố làm ranh giới phân chia đoạn.

- Trên mỗi đoạn viết một biểu thức xác định nội lực theo hoành độ z: N_z=f(z), căn

cứ vào các biểu thức trên ta vẽ được biểu đồ cho từng đoạn.

Nếu: N_z= const biểu đồ là đoạn thẳng song song với trục z, N_zlà hàm bậc nhất (khi q=

const) thì biểu đồ là đường thẳng xiên.

3.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang

3.2.1 Ứng suất trên mặt cắt ngang

Để tính ứng suất trên mặt cắt, trước hết ta khảo

sát biến dạng của thanh khi chịu kéo hoặc nén đúng tâm.

Xét một thanh chịu kéo đúng tâm, trước khi thanh chịu

lực, ta kẻ trên bề mặt ngoài của thanh những đường

thẳng vuông góc với trục của thanh biểu thị cho các mặt

cắt của thanh và những đường thẳng song song với trục

của thanh biểu thị cho các thớ dọc của thanh (hình 3.3a).

Sau khi tác dụng lực kéo P, ta thấy những đoạn

thẳng vuông góc với trục thanh di chuyển xuống phía

dưới, nhưng vẫn thẳng và vuông góc trục, còn những

đường thẳng song song với trục thanh thì dịch lại gần

với nhau, nhưng vẫn thẳng và song song với trục của

thanh (hình 3.3b). Với giả thiết biến dạng xảy ra bên

trong thanh tương tự như biến dạng quan sát được bên

mặt ngoài thanh, ta có thể kết luận:

a)

b)

1

P

F

1. Các mặt cắt của thanh vẫn phẳng và vuông góc

với trục thanh.

2. Các thớ dọc của thanh vẫn thẳng và song song với

trục thanh.

H×nh 3.3

Dựa vào hai kết luận trên, ta có thể thấy nội lực phân bố trên mặt cắt phải có phương

song song với trục thanh, tức là có phương vuông góc với mặt cắt. Vậy trên mặt cắt của

thanh chịu kéo (hoặc nén) chỉ có ứng suất pháp .

Mặt khác dựa vào kết luận thứ nhất, ta thấy: khi bị biến dạng các thớ dọc bị chắn bởi

cùng một mặt cắt (ví dụ mặt cắt 1-1) đều có độ giãn dài bằng nhau, do đó theo định luật

Húc, nội lực phải phân bố đều trên mặt cắt, tức là ứng suất pháp tại mọi điểm trên mặt cắt

phải có trị số bằng nhau.

Vậy ta có thể viết được biểu thức liên hệ giữa những nội lực  phân bố trên mặt cắt với

lực N của chúng như sau:

N = F

N

Từ đó rút ra:

σ 

F

 N

F

Tổng quát ta có thể viết:

σ 

(3.1)

Công thức (3.1) cho phép tính ứng suất pháp  nếu biết được lực dọc N và diện tích F

của mặt cắt. Trong công thức (3.1) thì N là trị số tuyệt đối của lực dọc tại mặt cắt cần tìm

ứng suất, lấy dấu dương (+) khi lực dọc là lực kéo, lấy dấu (-) khi lực dọc là lực nén. Công

thức (3.1) có thể phát biểu như sau: ⁽⁽Trị số ứng suất pháp trên mặt cắt thanh chịu kéo hay

nén đúng tâm bằng tỷ số giữa lực dọc ở mặt cắt đó với diện tích mặt cắt đó ⁾⁾.

Người ta chứng minh được rằng ứng suất pháp  trên mặt cắt vuông góc với trục

thanh đạt trị số lớn nhất so với ứng suất pháp trên bất cứ mặt cắt nghiêng nào.

Ở đây ta thấy được ứng suất pháp phân bố đều trên mặt cắt của thanh, nhưng điều này

chỉ đúng với những mặt cắt không nằm gần nơi có mặt cắt thay đổi đột ngột hoặc gần nơi

có điểm đặt lực. Trong thực tế ở những mặt cắt rất gần điểm đặt lực cũng như gần nơi có

mặt cắt thay đổi đột ngột thì ứng suất phân bố không đều, mà ở đó xuất hiện ứng suất tập

trung .

Ví dụ: Tại mặt cắt 1-1 của

thanh chịu kéo như hình 3.4 thì

ứng suất phân bố đều trái lại ở mặt

cắt 2-2 ứng suất phân bố không

đều mà tại mép lỗ ứng suất có trị

số lớn hơn ứng suất ở mặt cắt 1-1.

Tỷ số giữa ứng suất lớn nhất với

ứng suất trung bình  (xem như

ứng suất phân bố đều trên

P

d)

2

1

2

1

2

1

2

1

c)

1

b)

a)

P

mặt cắt qua lỗ) gọi là hệ số tập

H×nh 3.4

trung ứng suất, ký hiệu _tt:

σ_tt

α_tt

:

σ

thường trị số _ttnằm trong khoảng (1,2 3).

3.2.1. Biến dạng dọc và biến dạng ngang

Khi chịu kéo chiều dài thanh sẽ dài thêm ra, nhưng chiều ngang co bớt lại (hình

3.5). Hoặc khi chịu nén thì chiều dài thanh ngắn lại nhưng chiều ngang thanh rộng ra (hình

3.6). Thanh bị biến dạng được vẽ bằng nét đứt.

Chiều dài thanh thay đổi một đoạn l = l₁- l, l gọi là biến dạng dọc tuyệt đối. Nếu chiều

dài thanh dài ra, l có trị số dương. Nếu chiều dài thanh ngắn đi, l có trị số âm, l gọi là

độ giãn dọc tuyệt đối (khi l > 0), hoặc độ co dọc tuyệt đối (khi l < 0 ).

Để so sánh biến dạng dọc của thanh có chiều dài khác nhau, người ta đưa ra khái niệm biến

dạng dọc tương đối  (epxilon) tức là biến dạng dọc tuyệt đối trên một đơn vị chiều dài

thanh và được tính bằng công thức:

Δl

ε 

(3.2)

l

Trong đó  là một hư số cùng

dấu với l. Như đã nói ở trên

dưới tác dụng của lực kéo P,

chiều dài thanh dài ra nhưng

chiều ngang hẹp lại một đoạn

b = b₁- b, b gọi là biến dạng

ngang tuyệt đối, b mang trị số

dương nếu chiều ngang tăng

thêm: b mang trị số âm nếu

chiều ngang hẹp lại. Để so sánh

biến dạng ngang của những

thanh có kích thước ngang khác

nhau, người ta dùng khái niệm

biến dạng ngang tương đối ₁,

tức là biến dạng ngang tuyệt

P

l

l =l+l

1

H×nh 3.5

P

l =l-l

1

l

H×nh 3.6

đối trên một đơn vị chiều ngang thanh, và được tính theo công thức:

Δb

ε_l

b

(3.3)

Trong đó ₁là một hư số có cùng dấu với b.

Nhiều thí nghiệm cho thấy giữa  và ₁có một liên hệ với nhau như sau:

ε_l

μ  

hay ε_l με

(3.4)

ε

Dấu (-) trước tỷ số ₁và  chứng tỏ chúng luôn ngược dấu nhau, nghĩa là nếu chiều dài

thanh dài thêm thì chiều ngang thanh hẹp bớt lại và ngược lại.

Trong biểu thức (3.4),  (muy) là hệ số Poátxông hay hệ số biến dạng ngang, nó

đặc trưng cho tính đàn hồi của vật liệu. Trị số  được xác định bằng thí nghiệm, hệ số này

là một hư số, tuỳ từng loại vật liệu khác nhau trị số  cũng khác nhau và nằm trong

khoảng từ 0 đến 0,5.

Biến dạng dọc tuyệt đối l được tính như sau:

Qua thí nghiệm kéo nén những mẫu vật liệu khác nhau, nhà vật lý Rôbe Húc đã tìm

thấy: Khi lực tác động P chưa vượt qua một giới hạn nào đó (giới hạn này tuỳ theo từng

loại vật liệu) thì biến dạng dọc tuyệt đối l của mẫu thí nghiệm luôn luôn tỷ lệ thuận với

lực P và biểu thức của nó có dạng:

Pl

Δl 

(*) , nếu chú ý rằng N = P thì ta có thể viết:

EF

Nl

(**)

EF

Trong đó: E gọi là mô đuyn đàn hồi khi kéo (nén) của vật liệu.

Nó là một hằng số vật lý đặc trưng cho khả năng chống lại sự biến dạng khi chịu lực kéo

hay nén của từng loại vật liệu trong phạm vi biến dạng đàn hồi.

Trị số E được xác định bằng thí nghiệm. Đơn vị tính: MN/m².

Trị số E của một số vật liệu thông thường cho trong bảng (3.2).

Tích số EF gọi là độ cứng khi kéo (nén) đúng tâm. Nếu thanh có độ cứng EF lớn thì biến

dạng dọc tuyệt đối l nhỏ và ngược lại. Trị số l có thể mang dấu (+) hoặc (-) tuỳ thuộc

vào dấu của lực dọc N.

Δl

N

Biểu thức (*) và (**) có thể viết thành :



(3.5)

l

EF

Giáo trình Sức bền vật liệu - Nguyễn Phú Bình