Giáo trình Sức bền vật liệu - Nguyễn Danh Trường
Mục lục
MỤC LỤC
MỤC LỤC...............................................................................................................- 1 -
§1. Khái niệm về ứng suất, trạng thái ứng suất ...................................................- 6 -
1.1 Ứng suất.....................................................................................................- 6 -
1.2 Khái niệm về trạng thái ứng suất...............................................................- 7 -
1.3 Định luật đối ứng của ứng suất tiếp ..........................................................- 8 -
1.4 Công thức xoay trục...................................................................................- 9 -
2.1 Ứng suất chính – Phương chính ..............................................................- 11 -
2.2 Tenxơ ứng suất.........................................................................................- 15 -
§3. Trạng thái ứng suất phẳng............................................................................- 16 -
§4. Trạng thái ứng suất cầu, trạng thái ứng suất lệch ........................................- 20 -
§5. Mặt ứng suất pháp........................................................................................- 21 -
§6. Phương trình vi phân cân bằng ....................................................................- 22 -
§1. Các khái niệm ban đầu.................................................................................- 23 -
1.1 Chuyển vị..................................................................................................- 23 -
1.2 Biến dạng dài ...........................................................................................- 23 -
1.3 Biến dạng góc...........................................................................................- 25 -
2.1 Tenxơ biến dạng.......................................................................................- 27 -
§3. Vòng tròn Mo biến dạng..............................................................................- 31 -
§4. Tenxơ biến dạng cầu, tenxơ biến dạng lệnh ................................................- 32 -
§5. Phương trình tương thích biến dạng ............................................................- 32 -
§1. Các hằng số đàn hồi .....................................................................................- 35 -
- 1 -
NguyÔn Danh Tr êng
Mục lục
§2. Thế năng biến dạng đàn hồi.........................................................................- 40 -
§1. Các định nghĩa .............................................................................................- 47 -
1.1 Mômen tĩnh..........................................................................................- 47 -
1.2 Mômen quán tính ................................................................................- 47 -
§2. Công thức chuyển trục song song................................................................- 48 -
§3. Công thức xoay trục.....................................................................................- 49 -
4.1 Hình tam giác vuông................................................................................- 51 -
4.2 Hình nửa hình tròn...................................................................................- 52 -
4.3 Hình quạt..................................................................................................- 53 -
4.4 Hình chữ nhật...........................................................................................- 53 -
4.5 Hình tròn..................................................................................................- 53 -
ghép từ các hình phẳng đã có trọng tâm .......................................................- 54 -
§1.Một số định nghĩa về thanh, liên kết thanh...................................................- 55 -
§2. Nội lực trong thanh ......................................................................................- 56 -
§3. Tương quan giữa nội lực và ứng suất ..........................................................- 57 -
57 -
§5. Biểu đồ nội lực.............................................................................................- 58 -
5.1 Trường hợp thanh thẳng..........................................................................- 58 -
5.2 Trường hợp khung phẳng.........................................................................- 60 -
5.3 Trường hợp thanh cong ...........................................................................- 61 -
5.4 Trường hợp khung không gian.................................................................- 63 -
§2. Các trường hợp riêng ...................................................................................- 66 -
2.2 Uốn thuần túy......................................................................................- 66 -
2.3 Uốn xiên ...................................................................................................- 67 -
2.4 Kéo (nén) lệch tâm...................................................................................- 68 -
§3. Thí nghiệm kéo và nén vật liệu....................................................................- 69 -
- 2 -
NguyÔn Danh Tr êng
Mục lục
3.1 Thí nghiệm kéo....................................................................................- 69 -
3.2 Thí nghiệm nén....................................................................................- 71 -
§4. Các điều kiện dẻo và điều kiện bền .............................................................- 73 -
1.1 Định nghĩa................................................................................................- 78 -
1.2 Công thức của ứng suất tiếp ....................................................................- 78 -
§2. Áp dụng với một số mặt cắt thường gặp......................................................- 80 -
Chương 8: ĐƯỜNG ĐÀN HỒI...........................................................................- 87 -
§1. Định nghĩa và nhận xét ................................................................................- 87 -
§2. Phương trình vi phân của đường đàn hồi.....................................................- 87 -
3.2 Phương pháp thông số ban đầu...............................................................- 89 -
3.3 Phương pháp dầm giả tạo........................................................................- 91 -
Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY........................................................................- 93 -
§1. Khái niệm chung..........................................................................................- 93 -
§2. Xoắn thuần túy thanh tiết diện tròn .............................................................- 93 -
2.1 Thí nghiệm................................................................................................- 93 -
2.2 Giả thuyết về biến dạng ...........................................................................- 94 -
2.3 Ứng suất thanh chịu xoắn ...................................................................- 94 -
2.4 Biến dạng thanh chịu xoắn..................................................................- 97 -
2.6 Các dạng bài toán cơ bản...................................................................- 98 -
2.7 Các ví dụ .............................................................................................- 98 -
§3. Xoắn thanh mặt cắt bất kỳ .........................................................................- 101 -
3.1 Công thức ứng suất và biến dạng ..........................................................- 101 -
3.2 Một số trường hợp cụ thể..................................................................- 103 -
- 3 -
NguyÔn Danh Tr êng
Mục lục
§1. Uốn và xoắn đồng thời...............................................................................- 105 -
§2. Uốn cộng kéo(nén) và xoắn đồng thời.......................................................- 107 -
§3. Tính lò xo xoắn ốc hình trụ bước ngắn......................................................- 108 -
- 4 -
NguyÔn Danh Tr êng
Bài Mở đầu
Bài Mở đầu: MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA MÔN HỌC
Một kỹ sư chế tạo máy có thể thiết kế ra một chi tiết máy, một kỹ sư xây dựng
thiết kế một kết cấu dầm chịu lực…Những chi tiết máy hay dầm chịu lực đó có thể
làm việc đạt yêu cầu đặt ra, nhưng vẫn đề tiếp theo cần quan tâm là chúng làm việc
đạt yêu cầu như vậy được trong bao lâu? Đó chính là vẫn đề tuối thọ. Giải quyết vấn
đề này chính là nhiệm vụ của môn học Sức bền vật liệu.
Mục địch chính của môn học là cung cấp cho người học những kiến thức cơ bản
về phương pháp tính toán độ bền, độ cứng và ổn định của kết cấu chịu lực. Cụ thể là
tính toán cho hệ thanh, dầm, tấm, vỏ, thanh thành mỏng…. Từ đó người học có thể
phân tích và thiết kế các kết cấu chịu lực đảm bảo:
- Độ bền: tức là đảm bảo cho kết cấu có một kích thước hợp lý nhất làm việc
trong một thời gian dài mà không bị hỏng.
- Độ cứng: tức là đảm bảo cho kết cấu chịu lực có biến dạng nhưng vẫn nằm
trong một giới hạn cho phép.
- Ổn định: tức là đảm bảo cho kết cấu khi làm việc luôn trong trạng thái cân
bằng ban đầu.
Đối tượng của môn học Cơ lý thuyết là vật rắn tuyệt đối còn đối tượng nghiên
cứu của môn học Sức bền vật liệu là vật rắn thực, có biến dạng được làm từ các cật
liệu thực như: sắt, thép, gỗ, bê tong…với giả thuyết là vật liệu có tính liên tục và
đồng nhất.
- Tính liên tục có nghĩa là tại mọi nơi trong vật thể đều có vật liệu
- Tính đồng nhât nghĩa là tất mọi nơi trong vật thể, vật liệu đều có tính chất
cơ, lý, hóa như nhau.
- Ngoài hai giả thuyết trên ta còn thừa nhận khi không có tác dụng của ngoại
lực thì trong lòng vật thể không tồn tại ứng suất, nói các khác vật thể không
có ứng suất ban đầu trước khi chịu tác dụng của ngoại lực.
- 5 -
NguyÔn Danh Tr êng
Chương1: Trạng thái ứng suất
Chương 1: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT
§1. Khái niệm về ứng suất, trạng thái ứng suất
1.1 Ứng suất
Xét một vật thể đàn hồi chịu tác dụng của ngoại lực.
Ứng xử bên trong lòng vật thể xảy ra như thế nào?
?
Để tìm hiểu, ta lấy một điểm M thuộc vật thể và tưởng tượng cắt qua M một
mặt cắt π. Mặt cắt π chia vật thể làm hai phần: A và B
P1
P1
P4
A
B
A
P2
P2
P5
P3
P3
Hình 1.1
Tưởng tưởng vứt bỏ phần B đi và xét cân bằng cho phần A: Phần A ở trạng thái
cân bằng là do phần B tác dụng lên phần A một hệ lực phân bố trên toàn mặt cắt, hệ
lực đó cân bằng với các ngoại lực tác dụng lên phần A.
Hệ lực đó gọi là nội lực hay ứng lực trong lòng vật thể.
Xét một phân tố diện tích ∆F bao quanh điểm M, trên phần diện tích đó có lực
(thuộc hệ nội lực trên).
Khi đó:
(1.1)
p
được gọi là ứng suất toàn phần tại điểm M trên mặt cắt
Ta dựng một hệ trục tọa độ Oxyz với Oz vuông góc với mp
Gọi
là các véc tơ đơn vị tương ứng trên các trục Ox, Oy , Oz
Khi đó ứng suất tại M có thể được biểu diện như sau:
(1.2)
Trong biểu thức (1.2) ta gọi là ứng suất pháp,
là các ứng suất tiếp.
Ứng suất tiếp
có chỉ số đầu chỉ phương pháp tuyến của mặt cắt, chỉ số thứ
hai chỉ phương song song của ứng suất tiếp đó.
- 6 -
NguyÔn Danh Tr êng
Chương1: Trạng thái ứng suất
1.2 Khái niệm về trạng thái ứng suất
Qua điểm M có vô số mặt cắt, ứng với mỗi mặt cắt khác nhau, ta có các véc tơ
ứng suất
p
khác nhau. Vậy có vô số véc tơ ứng suất qua một điểm trong lòng vật thể.
Tập hợp tất cả các véc tơ ứng suất
p
trên các mặt cắt qua một điểm được gọi là trạng
thái ứng suất tại điểm đó.
Tập các véctơ ứng suất tại một điểm là tập độc lập hay phụ thuộc lẫn nhau?
?
Xét tại một điểm, ta thấy rằng chỉ cần biết được véctơ ứng suất trên 3 mặt cắt
bất kỳ, thì ứng suất trên mặt cắt thứ 4 phải cân bằng với ứng 3 ứng suất kia.
Vì sao?
z
Vì 4 mặt cắt đó tạo nên một phân tố
bao quanh điểm đang xét. Mà vật thể
nằm cân bằng nên phân tố đó cũng phải
C
p4
p1
nằm cân bằng suy ra tổng véctơ ứng suất
trên 4 mặt đó phải bằng không, tức chúng
phụ thuộc lẫn nhau.
p2
Vậy tại một điểm chỉ có 3 véctơ
ứng suất độc lập với nhau.
Để thuận tiện ta xét 3 mặt cắt đi qua
M vuông góc với nhau từng cặp một. Giao
của các mặt cắt đó tạo nên hệ trục Oxyz.
O
B
A
y
x
p3
Hình 1.2: Phân tố tứ diện
Xét thêm mặt cắt thứ 4 có cosin chỉ
phương trong hệ trục Oxyz là (l,m,n).
Mặt cắt thứ 4 này cắt các trục Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C.
Vậy 4 mặt cắt tạo nên một tứ diện vuông OABC, vuông tại O
Trên 3 mặt cắt ban đầu có véctơ ứng suất chiếu lên các trục tọa độ là:
OBC : p
xi
xy j
xzk
1
OCA : p2
yxi
y j
yzk
(1.3)
OAB : p3
zxi
zy j
zk
i, j,k là các véctơ đơn vị trên hệ trục Oxyz.
Gọi ứng suất trên mặt thứ 4 là:
p4 Xi Yj Zk
(1.4)
(1.5)
Trong đó X, Y, Z là tọa độ của véctơ ứng suất p4 chiếu lên các trục.
Tứ diện vuông OABC nằm cân bằng nên ta có:
p1.F
p2.F
p3.F
p4.FABC
0
OBC
OAC
OAB
- 7 -
NguyÔn Danh Tr êng
Chương1: Trạng thái ứng suất
Chiếu (1.5) lên các trục tọa tọa độ ta có:
X.FABC
Y.FABC
Z.FABC
x .F
yx .F
zx .F
xy .FOBC
.FOAC
.FOAB
(1.6)
xz .FOBC
yyz .FOAC
zy.FOAB
OBC
OAC
z
OAB
Trong đó Fi là diện tích của mặt i tương ứng.
Chia 2 vế của (1.6) cho FABC với chú ý:
F
F
F
OBC
OAC
OAB
l
m
n
FABC
FABC
FABC
là các cosin chỉ phương của mặt nghiêng với các mặt Oxy, Oyz, Ozx.
Viết lại (1.6):
X
Y
Z
x .l
xy .l
xz .l
yx .m
y
yz .m
zx .n
.n
.m
(1.7)
(1.8)
zy
.n
z
Viết (1.7) dưới dạng ma trận ta có:
l
m
n
Trong đó ta ký hiệu:
T
(1.9)
chứa các thành phần của các véctơ ứng suất trên 3 mặt cắt vuông góc với nhau.
Tς đặc trưng cho trạng thái ứng suất tại điểm đang xét.
Kết luận:
Khi biết được 3 véctơ ứng suất trên 3 mặt đi qua một điểm thì của véctơ ứng
suất pu trên mặt cắt thứ 4 bất kỳ có véctơ chỉ phương là u l,m,n được xác định
thông qua biểu thức (1.8).
z
Các thành phần của Tς có gì đặc biệt
?
không?
1.3 Định luật đối ứng của ứng suất tiếp
Xét phương trình cân bằng mômen qua
các trục đi qua trọng tâm của tứ diện và
vuông góc với các cạnh của phân tố.
yz
G
Ví dụ: phương trình cân bằng mômen qua
trục Gx’ chỉ có
gây mômen:
x’
yz
zy
y
x
zy
Hình 1.3
- 8 -
NguyÔn Danh Tr êng
Chương1: Trạng thái ứng suất
h
h'
yz .F
.
zy .F
.
OAC
OAB
h
h'
Trong đó:
F
.
F
.
V
là thể tích tứ diện. Suy ra:
OAC
OAB
Tương tự với các ứng suất tiếp còn lại, ta có:
;
;
(1.10)
xy
yx
yz
zy
zx
xz
Kết luận:
Xét trên hai mặt cắt vuông góc với nhau. Nếu mặt này xuất hiện ứng suất tiếp thì
bề mặt kia cũng xuật hiện ứng suất tiếp với trị số bằng nhau, có chiều cùng hướng
vào hoặc hướng ra khỏi cạnh chung Định luật đối ứng của ứng suất tiếp.
Tiếp tục ta xét tiếp các thành phần của Tς khi ta chọn các mặt cắt vuông góc
khác nhau hay nói cách khác, các thành phần đó thay đổi như thế nào trong một
hệ trục tọa độ mới?
?
1.4 Công thức xoay trục
Xét một hệ trục mới với gốc như cũ: Ouvw
Các cosin chỉ phương của các trục trong hệ trục tọa độ mới được xác định trong hệ
trục cũ như sau:
nn11,n12 ,n13
nn21,n22 ,n23
(1.11)
nn31,n32 ,n33
Theo công thức (1.8) véctơ ứng suất toàn phần trên mặt Ovw là:
n
n
n
p1'
(1.12)
p'
ứng suất pháp trên mặt Ovw là hình chiếu của lên trục Ou
:
1
T
n
n
n
n
n
n
(1.13)
(1.14)
u
p1'
ứng suất pháp trên mặt Ovw là hình chiếu của lên các trục Ov,Ow:
T
T
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
;
uv
uw
Tương tự các thành phần còn lại ta có:
- 9 -
NguyÔn Danh Tr êng
Chương1: Trạng thái ứng suất
T
T
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
;
;
v
vw
n
T
n
n
n
n
n
n
(1.15)
w
Vậy Tσ đã hoàn toàn xác định trong hệ trục tọa độ mới qua cá biểu thức (1.13-1.15).
Một cách tổng quát ta có công thức xoay trục:
T
i, j
T
T
n
n
với
(1.16)
j
j
(1.16) là công thức tổng quát cho phép ta xác định tất cả các thành phần của Tς trong
hệ trục tọa độ mới.
z
Ví dụ1.1:
w
v
Cho trạng thái ứng suất tại một điểm trong hệ
trục tọa độ Oxyz đặc trưng bởi:
450
T
O
y
Xác định Tς tại điểm đó trong hệ trục mới
Ouvw bằng cách xoay hệ trục Oxyz quanh Ox
góc 450(quay ngược chiều kim đồng hồ)
Giải:
x
u
Với cách xoay hệ trục như trên ta có các véctơ chỉ phương của hệ Ouvw trong
hệ trục Oxyz là:
0)
2
2
2
,
)
2
2
2
,
)
Dùng công thức xoay trục (1.16) ta có:
T
T
u
uv
- 10 -
NguyÔn Danh Tr êng
Chương1: Trạng thái ứng suất
T
T
uw
v
T
T
vw
w
Vậy ta có được Tς tại điểm đó trong hệ trục mới Ouvw là:
T
Từ việc xoay trục như trên ta thấy sẽ tồn tại một hệ trục mà ở đó Tς có dạng
đường chéo(các ứng suất tiếp bằng không).
§2. Ứng suất chính, phương chính – Tenxơ ứng suất
2.1 Ứng suất chính – Phương chính
Khái niệm: Trên mặt cắt đi quan một điểm mà ở đó chỉ có ứng suất pháp(ứng
suất tiếp bằng không) thì ta gọi mặt cắt đó là mặt chính, ứng suất trên mặt đó được
gọi là ứng suất chính, phương của véctơ pháp tuyến của mặt cắt đó được gọi là
phương chính.
*) Xác định ứng suất chính và phương chính
Gọi phương chính cần tìm là
khi đó ứng suất trên mặt chính đó
được tính theo công thức (1.8) là:
n
n
n
x
y
zx
zy
z
pn
(1.17)
xy
xz
yz
Do pn là ứng suất chính nên ta cũng có:
pn
(1.18)
Trong đó ς là trị số ứng suất chính.
3
Từ (1.17) và (1.18) ta có:
z2
z3
- 11 -
NguyÔn Danh Tr êng
Chương1: Trạng thái ứng suất
Chuyển vế ta có:
(1.19)
y
Don12
nên n1, n2, n3 không đồng thời bằng không hay nói cách khác (1.19)
không có nghiệm tầm thường nên ta có:
x
yx
zx
zy
(1.20)
xy
x
y
z
Khai triển ta có:
Trong đó:
(1.21)
(1.22)
x
yx
zx
Giải (1.21) ta tìm được nghiệm ς thế lên (1.19) ta tìm được phương chính
Phương trình bậc 3 (1.21) có gì đặc biệt?
?
Do là phương trình bậc 3 với các hệ số là các số thực nên phương trình (1.21)
luôn có 3 nghiệm thực (có thể nghiệm bằng không).
Gọi 3 nghiệm thực đó là
3 , tương ứng ta tìm được 3 phương chính là
1
2
u1 l1,m1,n1 ;u2 l2,m2,n2 ;u3 l3,m3,n3
ta sẽ chứng minh u1;u2;u3 vuông góc với
nhau từng cặp một.
Điều này dễ nhận thấy theo định luật đối ứng của ứng suất tiếp thì nếu tồn tại một
mặt cắt là mặt chính(ứng suất tiếp trên đó bằng 0) thì sẽ tồn tại mặt cắt khác vuông
góc với mặt cắt ban đầu và trên đó ứng suất tiếp cũng bằng không vậy đây cũng là
mặt chính.
Một cách khác để chứng minh là từ phương trình (1.19) ta có:
l
m
nl
nm
nn
x
l
m
(1.23)
(1.24)
y
l
m
z
Và:
l
m
nl
x
l
m
nm
y
l
m
nn
z
- 12 -
NguyÔn Danh Tr êng
Chương1: Trạng thái ứng suất
Cộng 3 phương trình trong (1.23) trừ đi tổng 3 phương trình trong (1.24) ta có:
l1l2 m1m2 n1n2
0
(1.25)
1
2
Do (1.25) đúng với mọi
,
nên:
2
1
l1l2 m1m2 n1n2
0
(1.26)
.
Vậy u1
u
2 , tương tự ta chứng minh được u2
u
3 và u3 u1
Các nghiệm của phương trình (1.21) không thay đổi khi ta thay đổi hệ trục tọa độ.
Để chứng minh điều này, ta đi chứng minh các hệ số I1, I2, I3 không đổi khi ta
xoay trục.
Ví dụ với I1
x
y
z
Từ biểu thức (1.13),(1.15) ta tìm được:
11
21
31
yn12
yn22
yn32
zn13 2 n11n12 2 n12n13 2 n13n11
xy
yz
zx
zn23 2 n21n22 2 n22n23 2 n23n21
(1.27)
(1.28)
(1.29)
zn33 2 xy n31n32 2 yz n32n33 2 zx n33n31
xy
yz
zx
Ta sẽ đi chứng minh:
I1
u
v
w
x
y
z
Việc chứng minh (1.28) đi tới chứng minh:
n321
n32
n33
1
1
1
21n22 n31n32
và 22n23 n32n33
23n21 n33n31
0
0
0
Thực vậy:
n2 n12 n13
1
n n2 n11n12 n11n13 n11
Xét từ:
suy ra
11
11 11
n11n21 n12n22 n13n23
n11n31 n12n32 n13n33
0
suy ra n11n221 n12n21n22 n13n21n23
suy ra n11n321 n12n31n32 n13n31n33
0
0
(1.30)
0
Cộng 3 phương trình ở (1.30) lại ta có:
n11 n121 n21 n31 n12 n11n12 n21n22 n31n32 n13 n11n13 n21n23 n31n33
n11
(1.31a)
Tương tự ta có:
n21 n121 n21 n31 n22 n11n12 n21n22 n31n32 n32 n11n13 n21n23 n31n33
n31 n121 n21 n31 n32 n11n12 n21n22 n31n32 n33 n11n13 n21n23 n31n33
n21
n31
(1.31b)
(1.31c)
Nhân phương trình (1.31a) với n11, phương trình (1.31b) với n21, phương trình
(1.31c) với n31 sau đó cộng lại ta có:
2
2
n121 n21 n31 1 n11 n21 n31
n11n12 n21n22 n31n32
n11n13 n21n23 n31n33
0
(1.32)
n121 n21 n31 1 n11 n21 n31
0
Xét (1.32) ta suy ra:
- 13 -
NguyÔn Danh Tr êng
Chương1: Trạng thái ứng suất
n11 n21 n31
1
n122 n22 n32
n123 n23 n33
1
1
Tương tự ta có:
(1.33)
n2 n122 n13 n21 n22 n23 n31 n32 n33
3
Xét (1.33) có tổng vế trái:
11
Suy ra:
n31
1
1
1
n32
(1.34)
(1.35)
n33
Thay (1.34) vào (1.32) suy ra:
n21n22 n31n32
22n23 n32n33
23n21 n33n31
0
0
0
Vậy (1.29) đã được chứng minh hay nói cách khác ta đã chứng minh được I1
không thay đổi khi ta thay đổi hệ trục tọa độ.
Tương tự ta cũng chứng minh được I2, I3 không đổi khi ta thay đổi hệ trục tọa độ.
Các đại lượng I1, I2, I3 được gọi là các bất biết.
Kết luận:
Với một hệ ngoại lực xác định tác dụng lên vật thể đàn hồi, thì trạng thái ứng
suất tại một điểm M bên trong vật thể có các ứng suất chính
phương chính không đổi với mọi hệ trục tọa độ.
và 3
3
1
2
Ví dụ 1.2: Cho trạng thái ứng suất tại một điểm đặc trưng bởi:
T
Xác định ứng suất chính và phương chính?
Giải:
Các ứng suất chính là nghiệm của phương trình:
3
2
1
1
1
1
23
I1
x
y
z
1 0 2 0 1
0 2 0 1 3
x
y
z
Trong đó:
I2
y
z
zx
x
1 1
2 0
x
xy
xz
y
zx
I3
zy
z
yz
- 14 -
NguyÔn Danh Tr êng
Chương1: Trạng thái ứng suất
Suy ra phương trình:
Suy ra nghiệm cũng là các ứng suất chính cần tìm:
4;
1;
2
1
2
3
Xác định các phương chính tương ứng:
*) Với
4
1
Ta có:
2
6
1
6
1
6
n11
;n12
;n13
13
Tương tự với các ứng suất chính còn lại.
Ta có:
1
3
1
3
;n33
1
3
n21
;n22
;n23
1
2
1
2
n31 0;n32
2.2 Tenxơ ứng suất
Xét một vật thể đàn hồi chịu tác dụng dưới một ngoại lực xác định. Trạng thái
ứng suất tại điểm bên trong lòng vật thể hoàn toàn xác định với các đại lượng vật lý
không đổi là: ứng suất chính, phương chính, mặt chính.
Trạng thái ứng suất tại M được gọi là Tenxơ ứng suất.
Các thành phần của tenxơ ứng suất:
T
chuyển sang trục tọa độ chính
(1.36)
Có ba trường hợp xảy ra:
Nếu
Nếu
Nếu
đều khác không thì ta có trạng thái ứng suất khối.
có một trong 3 bằng không thì ta có trạng thái ứng suất phẳng.
có hai trong 3 bằng không thì ta có trạng thái ứng suất đơn.
Hình 1.4a
Hình 1.4b
- 15 -
Hình 1.4c
NguyÔn Danh Tr êng
Chương1: Trạng thái ứng suất
Hình 1.4a.Trạng thái ứng suất đơn, 1.4b.Trạng thái ứng suất phẳng,
1.4c.Trạng thái ứng suất khối
Trạng thái ứng suất tại một điểm còn được biểu thông qua phân tố hình hộp:
z
z
zy
zx
yz
xz
xy
y
x
Hình 1.5: Biểu diễn trạng thái ứng suất qua phân tố hình hộp
Để tiện cho tính toán sau này ta gọi các phương của hệ trục Oxyz là 1, 2, 3 khi đó
các ứng suất pháp được ký hiệu là: ς11, ς22, ς33 còn các ứng suất tiếp là ς12, ς23, ς31,
chỉ số đầu chỉ phương pháp tuyến của mặt cắt, chỉ số thứ hai chỉ phương song song
của ứng suất tiếp đó.
Khi đó Tenxơ ứng suất được viết lại như sau:
(1.37)
Dạng thu gọn:
với i,j=1,2,3
Trong đó chỉ số đầu chỉ cột, chỉ số sau chỉ hàng.
Định luật đối ứng của ứng suất tiếp lúc này trở thành:
với i≠j, i,j=1,2,3
Trạng thái ứng suất trong trường hợp ví dụ 1.2 là trạng thái ứng suất khối
§3. Trạng thái ứng suất phẳng
Trong phần này ta sẽ đi tìm ứng suất trên một mặt nghiêng bất kỳ, đi tìm ứng
suất chính, phương chính của một trạng thái ứng suất phẳng bằng phương pháp giải
tích và hình học.
Xét phân tố hình hộp tạo bởi 3 mặt chính trong đó: Oz là một phương chính
với :
như hình 1.6a:
- 16 -
NguyÔn Danh Tr êng
Chương1: Trạng thái ứng suất
u
y
B
xy
x
x
yx
C
x
A
y
Hình 1.6a
z
Hình 1.6b
Phân tố trên là phân tố chịu trạng thái ứng suất phẳng.
Do các mặt cắt còn lại là bất kỳ nên :
(Nếu trùng
với mặt chính thì,
)
Một phân tố chịu trạng thái ứng suất phẳng như trên khi biết được
thì
trạng thái đó xác định. Từ đây ta có thể tính được bất kỳ ứng suất tại các mặt cắt
khác nhau song song với Oz.
*)Phương pháp giải tích
Bây giờ ta cắt phân tố trên bằng một mặt cắt bất kỳ song song với Oz.
Ta gọi pháp tuyến của mặt cắt bất kỳ đó là
u
có phương hợp với Ox một góc
, xoay
u
900 theo chiều kim đồng hồ ta có véctơ , bây giờ ta đi tìm ứng suất pháp
và ứng suất tiếp
v . Thực tế đây là một bài toán tìm các thành phần của tenxơ ứng
,
suất trong hệ trục tọa độ mới Ouv. (Hình 1.6b)
Các cosin chỉ phương của u,v trong hệ trục tọa độ Oxy là:
cvx
u
;
v
(1.38)
cvyc
Sử dụng công thức quay trục ta có:
T
T
uv
Khai triển ra ta có:
y
xy sin 2
xy cos2
xy
cos2
1
(
y )cos2
(
)
xy sin 2
u
x
y
u
x
y
y
2
(
)
x
y
(
)
y
x
sin 2
uv
sin 2
xy cos2
uv
2
2
- 17 -
NguyÔn Danh Tr êng
Chương1: Trạng thái ứng suất
(
)
(
)
y
x
y
x
cos2
xy sin 2
u
2
2
2
(1.39)
(
)
x
y
sin 2
xy cos2
uv
(1.39) là biểu thức xác định trạng thái ứng suất tại mặt cắt song song với trục Oz và
tạo với Ox một góc .
*)Phương pháp đồ thị - Vòng tròn Mohr ứng suất
Biến đổi (1.39) ta có:
xy cos2
xy sin2
2
2
(1.40)
2
Bình phương 2 vế của hai phương trình ở (1.40) sau đó cộng lại với nhau ta có:
2
(
)
(
)
2
2
2
là phương trình một đường tròn trong hệ
(
)
)
v
y
2
2
2
(
)
(
)
2
trục
O
với tâm là điểm :
và bán kính
,0
R
v
y
2
2
Vòng tròn trên được gọi là vòng tròn Mohr ứng suất.
Trước khi vẽ vòng tròn Mo ta quy ước dấu của ứng suất như sau:
M
P
M0
xy
M
β
M’
y
C
O
M
Hình 1.7: Quy ước dấu ứng suất
Hình 1.8: Vòng tròn Mohr ứng suất
Để thuận mắt ta vẽ
gọi là điểm cực của vòng tròn Mo ứng suất.
Từ điểm cực P ta vẽ tia tạo với trục
cắt vòng tròn Mo tại M khi đó hoành độ điểm M là ứng suất pháp, tung độ của M là
O
// Ox và
O
v // Oy và lấy điểm P có tọa độ
được
P σy ,τxy
O
góc α ngược chiều kim đồng hồ. tia đó
PM
ứng suất tiếp tại mặt cắt của phân tố có phương pháp tuyến trùng với
.
Chứng minh:
Từ tâm C của vòng tròn Mo, gọi M’ là hình chiếu của M trên trục hoành. Gọi β là
góc M0CM
- 18 -
NguyÔn Danh Tr êng
Chương1: Trạng thái ứng suất
OM'=OC+CO'=OC+CM.cos(
Ta có:
MM'=CM.sin(
sin(
2 ) sin cos2
sin2 cos
Áp dụng công thức lượng giác:
σ-σ
β=CM0.cosβ
và để ý thấy:
2
=CM0.sinβ=τxy
+σy
σx +σy σx -σy
+CM.cosβcos2α-CMsinβsin2α=
+
cos2α-
xy
2
2
2
Suy ra:
(1.41)
σx -σ
M.sinβcos2α+CM.cosβsin2α= xy
y sin2α
2
So sánh với công thức (1.41) với (1.39) dễ dàng thấy điều phải chứng minh.
Chú ý: điểm P lấy như trên để PM0 song song với trục Ox như vậy để thuận mắt khi
biểu diễn ứng suất tại điểm M trên mặt cắt(khi đó mặt cắt sẽ nhận PM làm
pháp tuyến luôn), còn thực ra có thể lấy tùy ý bất kỳ điểm nào trên đường
tròn làm điểm cực và ta vẫn có các tính chất biểu diễn như trên.
Tọa độ P(σy ,τxy ) cũng phụ thuộc vào quy ước dấu của ứng suất tiếp.
* Xác định ứng suất chính, phương chính trong trạng thái ứng suất phẳng
Từ (1.39) ta có, nếu
u
là phương chính thì ứng suất pháp tại đây là ứng suất
chính và đó chính là giá trị cực trị nên suy ra:
u
(1.42)
2
(vậy ứng suất tiếp bằng không khi ứng suất pháp đạt cự trị)
(
)
2
x
y
xy
0
sin 2
xy cos2
0
2
(1.43)
(1.44)
uv
2
1
Ta có: cos2
Thay (1.43),(1.44) vào:
1 g2 2
(
xy
u
2
2
(
2
2
2
(
)
x
y
2
xy
(
)
x
y
2
(
)
(
)
(
)
y
2
x
y
x
y
x
2
y
2
.(
)
2
(
)
2
2
2
x
y
(
)
2
xy
2
2
2
(
)
(
)
y
x
y
x
y
Suy ra:
(1.45)
(1.46)
max
min
2
2
y
tg
và
max
min
max
- 19 -
NguyÔn Danh Tr êng
Chương1: Trạng thái ứng suất
Công thức (1.45), (1.46) chính là công thức dùng để xác định ứng suất chính
và phương chính tại trạng thái ứng suất phẳng đang xét.
Trên vòng tròn Mo ứng suất,
gọi điểm mà vòng tròn giao với trục
hoành là M1,M2 thì OM1, OM2
xy
P
chính là hai giá trị ứng suất chính và
M1
M2
PM1
PM2
là hai phương chính cần
và
y
O
xác định.
min
ax
Hình 1.9: Ứng suất chính, phương chính
*)Trạng thái ứng suất trượt thuần túy
Là trạng thái phân tố chỉ chịu
ứng suất tiếp τ, ứng suất pháp bằng
không. Vòng tròn Mo cho trạng thái
ứng suất trượt thuần túy có tâm trùng
gốc tọa độ.
P
450
M1
M2
O
ax
Nhìn vòng tròn Mo dễ dàng thấy trong
trường hợp này:
min
ςmax= τ v{ ςmin= -τ
Hình 1.10: TTƯS trượt thuần túy
§4. Trạng thái ứng suất cầu, trạng thái ứng suất lệch
Một trạng thái ứng suất bất kỳ có thể được xem là cộng tác dụng của hai trạng
thái ứng suất
Cho Tenxơ ứng suất Tσ ta phân tích như sau:
T
1
Trong đó:
được gọi là ứng suất bát diện
bd
x
y
z
3
Tc
(1.47)
(1.48)
gọi là Tenxơ của trạng thái ứng suất cầu –Ten sơ cầu
D
- 20 -
NguyÔn Danh Tr êng
Tải về để xem bản đầy đủ
109 trang
20040
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Sức bền vật liệu - Nguyễn Danh Trường", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_suc_ben_vat_lieu_nguyen_danh_truong.pdf
