Giáo trình Sức bền vật liệu 2 - Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
Chöông 10
THANH CHÒU LÖÏC PHÖÙC TAÏP
I. KHAÙI NIEÄM
Ñònh nghóa: Thanh chòu löïc phöùc taïp khi treân caùc maët
caét ngang coù nhieàu thaønh phaàn noäi löïc taùc duïng nhö löïc doïc
Nz, moâmen uoán Mx, My, moâmen xoaén Mz (H.10.1).
Khi moät thanh chòu löïc phöùc taïp, aûnh höôûng cuûa löïc caét
ñeán söï chòu löïc cuûa thanh raát nhoû so vôùi caùc thaønh phaàn noäi
löïc khaùc neân trong tính toaùn khoâng xeùt ñeán löïc caét.
Caùch tính toaùn thanh chòu löïc phöùc taïp
Mz
x
Mx
0
N
z
My
y
z
H.10.
Aùp duïng Nguyeân lyù coäng taùc duïng:
“Moät ñaïi löôïng do nhieàu nguyeân nhaân ñoàng thôøi gaây ra seõ baèng toång caùc ñaïi
löôïng cuûa töøng nguyeân nhaân rieâng leõ gaây ra. “( Chöông 1)
A
q
q
x
z
B
l
A
P=ql
P=qL
y
L
B
C
l
P=ql
P
q
x
z
C
B
A
D
L
L
B
2P
2l
L
y
l
l
P=qL
C
II. THANH CHÒU UOÁN XIEÂN
1) Ñònh nghóa – Noäi löïc
Thanh chòu uoán xieân khi treân moïi maët caét ngang coù hai
thaønh phaàn noäi löïc laø moâmen uoán Mx vaø moâmen uoán My taùc
duïng trong caùc maët phaúng yoz vaø xoz (Hình 10.2)
Daáu cuûa Mx , My (heä truïc maëc ñònh nhö hình veõ)
Mx 0 khi caêng(keùo)phía döông cuûa truïcY .
Mx
x
0
My
z
y
My 0 khi caêng(keùo) phía döông cuûa truïc X.
Mx taùc ñoäng trong mp(yoz)
My taùc ñoäng trong mp(xoz)
x
Mx
My
z
z
My
Mx
z
x
z
y
x
x
y
y
y
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp
1
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
Theo Cô hoïc lyù thuyeát, ta coù theå bieåu dieãn moâmen Mx vaø
My baèng caùc veùctô moâmen Mx vaø My (naèm treân hai truïc
theo qui taéc vaën nuùt chai cuûa baøn tay phaûi )(H.10.2); Hôïp
hai moâmen naøy laø moâmen toång Mu .Mu naèm trong maët
phaúng v, maët phaúng naøy thaúng goùc vôùi maët caét ngang (chöùa
veùctô moâmen Mu vaø truïc z cuûa thanh (H.10.3).
Maët phaúng taûi troïng laø maët phaúng chöùa Mu.
Giao tuyeán cuûa maët phaúng taûi troïng vôùi maët caét ngang laø
Ñöôøng taûi troïng
Mx
x
0
z
y
MU
My
Kyù hieäu : Goùc hôïp bôûi truïc x vaø ñöôøng taûi troïng;
H.10.2
Mx
M
Mx2 My2
tan
Tacoù
vaø
(10.1)
u
M y
Ñònh nghóa khaùc cuûa uoán xieân: Thanh chòu uoán xieân khi treân caùc maët caét ngang chæ
coù moät moâmen uoán Mu taùc duïng trong maët phaúng chöùa truïc maø khoâng truøng vôùi maët
phaúng quaùn tính chính trung taâm yOz hay xOz.
Ñaëc bieät, ñoái vôùi thanh tieát dieän troøn, moïi
Ñöôøng taûi
ñöôøng kính ñeàu laø truïc chính trung taâm (truïc ñoái
xöùng),neân baát kyø maët phaúng chöùa truïc thanh naøo
cuõng laø maët phaúng quaùn tính chính trung taâm. Do ñoù,
maët caét ngang thanh troøn luoân luoân chæ chòu uoán
phaúng.
x
0
MU
v
z
y
H.10.3
2- ÖÙng suaát phaùp treân maët caét ngang
Theo nguyeân lyù coäng taùc duïng, taïi moät ñieåm C(x,y) baát kyø
treân tieát dieän, öùng suaát do hai moâmen Mx , My gaây ra tính theo
coâng thöùc sau (H10.4)
Mx
x
0
My
Mx
Ix
z
y
x
Iy
.C
My
y
z
Trong (10.3), soá haïng thöù nhaát laø öùng suaát phaùp do Mx gaây
ra, soá haïng thöù hai laø öùng suaát phaùp do My gaây ra.
H.10.4
Coâng thöùc (10.3) laø coâng thöùc ñaïi soá, vì caùc moâmen uoán Mx,
My vaø toïa ñoä ñieåm C(x,y) coù daáu ñaïi soá.
_
_
_
Trong tính toaùn thöïc haønh, duøng coâng thöùc kyõ thuaät nhö sau:
My
Mx
Ix
+
_
z
y
x
Iy
y
Laáy daáu (+) khi ñieåm tính öùng suaát naèm ôû mieàn chòu keùo .
H.10.5
Laáy daáu (–) khi ñieåm tính öùng suaát naèm ôû mieàn chòu neùn.
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp
2
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
H.10.5 bieåu dieån caùc mieàn keùo, neùn treân maët caét do caùc moâmen uoán (H.10.4) Mx(+)
,(- )vaø My
_
Thí duï 1. Tieát dieän chöõ nhaät bxh =2040 cm2 chòu uoán xieân (H.10.6), Tính ứng suất
tại B. Cho Mx =8kNm vaø My =5kNm.
Chieàu heä truïc choïn nhö veõ.
B
Mx
ÖÙng suaát phaùp taïi B (xB =+10 cm; yB = - 20 cm)
x
0
+ Tính theo (10.3) nhö sau:
800
500
40(20)3
12
B
(20)
(10) 0,0375kN /cm2
20(40)3
My
y
z
H.10.6
12
+ Tính theo (10.4) coâng thöùc kyõ thuaät nhö sau:
Mx gaây keùo nhöõng ñieåm naèm döôùi 0y vaø gaây neùn nhöõng ñieåm treân oy;
My gaây keùo nhöõng ñieåm beân phaûi 0x vaø gaây neùn nhöõng ñieåm beân traùi 0x.
Bieåu dieãn vuøng keùo baèng daáu (+) vaø vuøng neùn baèng daáu (–) treân tieát dieän
(H.10.4a) ta coù theå thaáy, taïi ñieåm B; Mx gaây neùn; My gaây keùo.
800
20 (40 )3
12
500
40 (20 )3
12
2
B
20
10 kN/cm
3- Ñöôøng trung hoøa vaø bieåu ñoà öùng suaát
Coâng thöùc (10.3) laø moät haøm hai bieán, ñoà thò laø moät maët phaúng trong heä truïc Oxyz.
Neáu bieåu dieãn giaù trò öùng suaát phaùp z cho ôû (10.3) baèng caùc ñoaïn thaúng ñaïi soá theo
truïc z ñònh höôùng döông ra ngoaøi maët caét vaø ngöôïc laïi .(H.10.7) Ta ñöôïc moät maët
phaúng chöùa ñaàu muùt caùc veùctô öùng suaát phaùp taïi moïi ñieåm treân tieát dieän, goïi laø maët
öùng suaát
C
Ñöôøng trung
hoaø
min
x
_
0
x
B
y
+
y
max
Bieåu ñoà öùng suaát phaúng
Maët phaúng öùng suaát
H.10.7
Goïi giao tuyeán cuûa maët öùng suaát vaø maët caét ngang laø ñöôøng trung hoøa, ta thaáy,
Cho bieåu thöùc z = 0, ta ñöôïc phöông trình ñöôøng trung hoøa: ñöôøng trung hoøa laø
moät ñöôøng thaúng vaø laø quyõ tích cuûa nhöõng ñieåm treân maët caét ngang coù trò soá öùng
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp
3
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
suaát phaùp baèng khoâng.
My
Iy
My
I
Mx
z
Ix
y
x 0 y (
x )x
Mx Iy
Phöông trình (10.5) coù daïng y = ax, ñöôøng trung hoøa laø moät ñöôøng thaúng qua
goác toïa ñoä, vaø coù heä soá goùc tính theo coâng thöùc:
My
Ix
Mx Iy
tg
Nhaän xeùt:
- Ñöôøng trung hoøa chia tieát dieän laøm hai mieàn: mieàn chòu keùo vaø mieàn chòu neùn.
-Nhöõng ñieåm naèm treân nhöõng ñöôøng thaúng song song vôùi ñöôøng trung hoøa coù cuøng
giaù trò öùng suaát.
- Caøng xa ñöôøng trung hoøa, trò soá öùng suaát cuûa caùc ñieåm treân moät ñöôøng thaúng vuoâng
goùc ñöôøng trung hoøa taêng theo luaät baäc nhaát.
Döïa treân caùc tính chaát naøy, coù theå bieåu dieãn söï phaân boá baèng bieåu ñoà öùng suaát
phaúng nhö sau.
Keùo daøi ñöôøng trung hoøa, veõ ñöôøng chuaån vuoâng goùc vôùi ñöôøng trung hoaø taïi K,
öùng suaát taïi moïi ñieåm treân ñöôøng trung hoøa(z = 0) bieåu dieãn baèng ñieåm K treân
ñöôøng chuaån. Söû duïng pheùp chieáu thaúng goùc, ñieåm naøo coù chaân hình chieáu xa K nhaát
laø nhöõng ñieåm chòu öùng suaát phaùp lôùn nhaát.
- Ñieåm xa nhaát thuoäc mieàn keùo chòu öùng suaát keùo lôùn nhaát, goïi laø max.
- Ñieåm xa nhaát thuoäc mieàn neùn chòu öùng suaát neùn lôùn nhaát, goïi laø min
Tính max, min roài bieåu dieãn baèng hai ñoaïn thaúng veà hai phía cuûa ñöôøng chuaån roài
noái laïi baèng ñöôøng thaúng, ñoù laø bieåu ñoà öùng suaát phaúng, trò soá öùng suaát taïi moïi ñieåm
cuûa tieát dieän treân ñöôøng thaúng song song vôùi ñöôøng trung hoaø chính laø moät tung ñoä
treân bieåu ñoà öùng suaát xaùc ñònh nhö ôû (H.10.7).
4- ÖÙng suaát phaùp cöïc trò vaø ñieàu kieän beàn
° ÖÙng suaát phaùp cöïc trò:
Goïi B(xkmax, ykmax) vaø C(xnmax, ynmax) laø hai ñieåm xa ñöôøng trung hoaø nhaát veà phía
chòu keùo vaø chòu neùn, coâng thöùc (10.4) cho:
M y
M x
Ix
B max
C min
ymk ax
xmk ax
Iy
M y
M x
Ix
ymn ax
xmn ax
Iy
†Ñoái vôùi thanh coù tieát dieän chöõ nhaät (hay noäi tieáp trong hình chöõ nhaät) ñieåm xa
ñöôøng trung hoaø nhaát luoân luoân laø caùc ñieåm goùc cuûa tieát dieän, khi ñoù:
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp
4
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
b
h
2
/
xB= xB = ; yC = yB =
2
C/
C
My
Wy
My
Wy
Mx
Wx
Mx
Wx
max
min
;
B/
B
bh2
6
I
hb2
Ix
h/ 2
Wx
; Wy
vôùi:
b/ 2
6
† Ñoái vôùi thanh coù tieát dieän troøn, khi tieát dieän chòu taùc duïng cuûa hai moâmen uoán
Mx, My trong hai maët phaúng vuoâng goùc yOz, xOz, moâmen toång laø Mu taùc duïng trong
maët phaúng vOz cuõng laø maët phaúng quaùn tính chính trung taâm , nghóa laø chæ chòu uoán
.D3
32
Mu
Wu
max,min
; Mu Mx2 My2 ; Wu
0,1D3
phaúng, do ñoù:
° Ñieàu kieän beàn: treân maët caét ngang cuûa thanh chòu uoán xieân chæ coù öùng suaát phaùp,
khoâng coù öùng suaát tieáp, ñoù laø traïng thaùi öùng suaát ñôn, hai ñieåm nguy hieåm laø hai
ñieåm chòu max, min, tieát dieän beàn khi hai ñieåm nguy hieåm thoûa ñieàu kieän beàn:
Ñoái vôùi vaät lieäu doøn: [ ]k # [ ]n
max []k; min []n
Ñoái vôùi vaät lieäu deûo: [ ]k = [ ]n = [ ], ñieàu kieän beàn ñöôïc thoûa khi:
max max,min []
Thí duïï 2. Moät daàm tieát dieän chöõ nhaät (12x20)cm chòu löïc nhö treân H.10.8.a.
a)Veõ bieåu ñoà noäi löïc,
b) veõ hình chæ roõ noäi löïc taïi maët caét ngaøm.
c) xaùc ñònh ñöôøng trung hoøa vaøø tính öùng suaát max, min taïi tieát dieän ngaøm .
Cho: P = 5,0kN, L=2m , = 300 .
Giaûi.
Phaân tích löïc P thaønh 2 thaønh phaàn treân hai truïc x vaø y, vaø tính moâmen ñoái vôùi
ngaøm ta ñöôïc:
Py = P.cos300 Mx = Py.L = 8,66kNm
Px = P.sin300 My = Px.L = 5kNm
Xeùt thanh chòu löïc trong töøng maët phaúng rieâng leû.
Trong maët phaúng (yOz), thanh chòu löïc Py, bieåu ñoà moâmen Mx ; Töông töï, trong
maët phaúng (xOz), thanh chòu löïc Px , bieåu ñoà moâmen My ; Bieåu ñoà moâmen uoán veõ
chung treân H.10.8.b.
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp
5
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
L=2m
8,66kNm
5, 0kNm
Mx
12cm
20cm
M x
x
My
MY
z
x
y
x
Px
P
H.10.8b
z
H.10.8a
Py
y
y
My
Ix
Phöông trình ñöôøng trung hoøa:
y
.x
(a)
Mx Iy
Taïi tieát dieän ngaøm: Mx = 8,66kNm ; My = 5,0 kNm
Chieàu Mx vaø My bieåu dieãn ôû H.10.8.b, neáu choïn chieàu döông cuûa truïc x vaø y nhö treân
H.10.9.a thì trong (a), moâmen uoán Mx coù daáu - vaø My coù daáu +.
500 12x203 /12
866
= 580
Ta coù:
Suy ra
Ñöôøng trung hoøa veõ treân H10.9.c.
y
.
x 1,61.x
(b)
20x123 /12
A
+
-
+
+
+
-
+
Mx
+
x
x
x
-
-
+
-
-
+
-
-
My
B
y
y
z
b) +, - do Mx
y
c)Ñöôøng trung hoaø
a)
+
-
do My
H.10.9
Ñieåm chòu keùo lôùn nhaát laø ñieåm A(xA=6cm,yA=10cm), ñieåm chòu neùn nhieàu
nhaát laø ñieåm B ñoái xöùng vôùi A qua troïng taâm maët caét.
AÙp duïng coâng thöùc (10.6), ta coù:
866
500
kN
A max
0,342
12x202 20x122
cm2
6
6
kN
B min 0,342
cm2
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp
6
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
Neáu thay tieát dieän chöõ nhaät baèng hình troøn d= 10cm. Tính laïi max , min
Thí duïï 3. Cho daàm ñôn giaûn baèng goã, tieát dieän troøn ñöôøng kính D =16cm, chòu löc
nhö hình veõ. Xaùc ñònh trò soá [ P ] theo ñieàu kieän beàn .
Cho L = 50cm, [ ]=1,2kN/cm2.
P
P
x
C
D
A
z
B
D
x
2P
2P
y
L
3L
2L
y
2PL
3
5PL
3
PL
3
4PL
3
Hinh 10.10
4PL
3
2PL
3
Taïi maët caét B : Mx =
Taïi maët caét C: Mx =
vaø My =
Mu Mx2 My2 1,49PL
PL
3
5PL
3
vaø My =
Mu Mx2 My2 1,7PL
Vaäy maët caét nguy hieåm taïi C
Mu
W
1,7PL
D3
32
max min
1,2
P 5,67KN
Thí duïï 4. Moät daàm tieát dieän chöõ T chòu löïc nhö hình veõ.
a) Veõ bieåu ñoà noäi löïc,
b) Xaùc ñònh ñöôøng trung hoaø vaø veõ bieåu ñoà öùng suaát taïi tieát dieän ngaøm,
c) Tính öùng suaát max, min.
Cho q =1kN/m; P =qL=2kN; L =2m. Ix=798cm4 Iy=129,5cm4
xoy laø heä truïc quaùn tính chính trung taâm.
Giaûi.
Phaân tích löïc P thaønh 2 thaønh phaàn treân hai truïc x vaø y, ta ñöôïc:
Py = P.cos300 , Px = P.sin300
Xeùt thanh chòu löïc trong töøng maët phaúng rieâng leû.
Trong maët phaúng (yOz), heä chòu löïc phaân boá q vaø löïc taäp trung Py, bieåu ñoà naøy
laø Mx. Töông töï, trong maët phaúng (xOz), löïc taäp trung Px, bieåu ñoà laø My.
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp
7
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
9 cm
300
q
P
P= qL
2 cm
q
5 cm
9 cm
x
B
A
A
0
x
z
y
L=2m
P y
B
q
P x
y
qL2
2 cm
1 3
)qL2
M y =
M x =
(
2
2
My
Ix
Phöông trình ñöôøng trung hoøa: y
.x
(a)
Mx Iy
qL2
2
3
Taïi tieát dieän ngaøm: Mx
qL2 5,644kNm
2
qL2
2
My
2kNm
Chieàu Mx vaø My bieåu dieãn ôû hình veõ, moâmen Mx < 0 vaø My > 0 .
qL2 / 2
(1 3)
2
798
y
.
x 2,256.x
Ta coù:
vaø = 660 (b)
129,5
qL2
Ñöôøng trung hoøa vaø bieåu ñoà öùng suaát phaúng
+
+
+
-
A
Mx
0
x
0
0
0
x
x
max
Mx
z
+
B
y
-
-
+
-
y
y
-
min
Hinh 10.12
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp
8
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
Döïa treân bieåu ñoà öùng suaát ta coù theå tìm thaáy ñieåm chòu keùo lôùn nhaát laø ñieåm
A(xA= 4,5cm,yA=5 cm ), ñieåm chòu neùn lôùn nhaát laø ñieåm B(xB=1cm,
yB= 9cm).
AÙp duïng coâng thöùc (10.4), ta coù:
564,4
200
kN
A max
(5)
(4,5) 10,53
cm2
798
129,5
564,4
798
200
kN
C min
(9)
(1) 8,03
cm2
129,5
Thí duïï 5. Tính öùng suaát max, min
30o
P=10kN
K
M0= 10kNm
C
2M0
Ix=5010cm4,Iy=260cm4
Wx=371cm3,Wy=41,5cm3
x
B
1m
2m
y
I.27
Thí duï 6 : Kieåm tra beàn . Cho [ ]=16kN/cm2
q
y
q=5kN/m
D
x
14cm
B
P
C
10kN
2m
5kN
2m
1m
6cm
7,5kNm
10kNm
5kNm
Thí duï 7: Veõ Mx,My ,Tìm b. Cho q=2kN/m, L=1m, [ ]=10kN/cm2
q
x
q
q
1,5b
y
30o
2L
2L
b
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp
9
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
III. THANH CHÒU UOÁN COÄNG KEÙO ( HAY NEÙN )
1- Ñònh nghóa
Thanh chòu uoán coäng keùo (hay neùn) ñoàng thôøi khi treân
caùc maët caét ngang coù caùc thaønh phaàn noäi löïc laø moâmen
uoán Mu vaø löïc doïc Nz.
Mu laø moâmen uoán taùc duïng trong maët phaúng chöùa truïc
z, luoân luoân coù theå phaân thaønh hai moâmen uoán Mx vaø My
trong maët phaúng ñoái xöùng yOz vaø xOz (H.10.13).
Daáu Mx vaø My qui öôùc gioáng uoán xieân.
Mx
x
My
C(x,y)
Nz
z
z
y
Nz > 0 gaây keùo (höôùng ra ngoaøi maët caét).
Nz < 0 gaây neùn. (höôùng vaøo maët caét).
H.10.13
2- Coâng thöùc öùùng suaát phaùp
AÙp duïng nguyeân lyù coäng taùc duïng, ta thaáy baøi toaùn ñang xeùt laø toå hôïp cuûa thanh
chòu uoán xieân vaø keùo (hay neùn) ñuùng taâm. Do ñoù, taïi moät ñieåm baát kyø treân maët caét
ngang coù toïa ñoä (x,y) chòu taùc duïng cuûa öùng suaát phaùp
My
Nz
A
Mx
Ix
y
x
tính theo coâng thöùc sau:
z
Iy
Caùc soá haïng trong coâng thöùc (10.11) laø soá ñaïi soá, öùng suaát
do Nz laáy (+) khi löïc doïc laø keùo vaø ngöôïc laïi löïc neùn laáy
daáu (-). ÖÙùng suaát do Mx, My laáy daáu nhö trong coâng thöùc
(10.1) cuûa uoán xieân,
-
+ +
x
+
+
+
+
-
Khi tính toaùn thöïc haønh, ta cuõng coù coâng thöùc kyõ thuaät:
y
z
Nz
My
Mx
H.10.4
Z
y
x
A
Ix
Iy
Do My
Do Mx
z
-
+, -
Trong coâng thöùc (10.12), öùng vôùi moãi soá haïng Mx, My
ta laáy daáu (+) neáu ñaïi löôïng ñoù gaây keùo vaø ngöôïc laïi. Coøn
Nz > 0 (+) khi keùo, Nz< 0 (-) khi neùn
Thí duï 7: Cho coät chòu löïc nhö hình veõ(Löïc P thuoäc mp yoz)
a) Veõ hình chæ roõ noäi löïc taïi chaân coät.
b) Tính öùng suaát taïi K,B,C.
+ Do N
(Boû qua troïng löôïng baûn thaân coät)
Giaûi
Phaân tích löïc P ra hai thanh phaàn
Py = Psin =100.0,5 =50 kN ( gaây uoán)
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp
10
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
3
Nz = Pcos = 100 = 86,6 kN (gaây neùn)
2
Mx = Py.H = 50.4 =200 kNm
0
H 2
2
My = q
= 2.8 =16 kNm
z
N z
C
My
Mx
_
+
o
x
x
_
_
+
_
A
B
y
y
_
Mx (+,-) My
Nz (-)
+
Ñeå aùp duïng coâng thöùc (10.12), coù theå bieåu dieãn taùc duïng gaây keùo, neùn cuûa caùc thaønh
phaàn noäi löïc nhö ôû hình veõ vôùi ñieåm A,B,C coù:
xK =7,5cm, yK =10cm.
Nz
My
Iy
Mx
Z
y
x
A
Ix
86,6
20.15
20000
15 203
12
1600
86,6
20000
15 203
12
1600
20153
12
c
(10)
(7,5) K
(10)
(7,5)
20153
20.15
12
c 0,289 20,,0 2,133 21,844 kN/cm2
K 0,289 20,,0 2,133 22,442 kN/cm2
86,6
20000
15 203
12
1600
B
(10)
(7,5)
20153
20.40
12
B 0,289 20,0 2,133 18,156 kN/cm2
3- Ñöôøng trung hoøa vaø bieåu ñoà öùng suaát phaùp
Töông töï nhö trong uoán xieân, coù theå thaáy raèng phöông trình (10.11 ) laø moät haøm
hai bieán z = f(x,y), neáu bieåu dieãn trong heä truïc Oxyz, vôùi O laø taâm maët caét ngang vaø
z ñònh höôùng döông ra ngoaøi maët caét, thì haøm (10.11 ) bieåu dieãn moät maët phaúng, goïi
laø maët öùng suaát, giao tuyeán cuûa noù vôùi maët caét ngang laø ñöôøng trung hoøa. Deã thaáy
raèng, ñöôøng trung hoaø laø moät ñöôøng thaúng chöùa taát caû nhöõng ñieåm treân maët caét
ngang coù öùng suaát phaùp baèng khoâng. Töø ñoù, cho z = 0, ta coù phöông trình ñöôøng
trung hoøa:
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp
11
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
My
Nz
A Mx
Ix
Mx Iy
Ix
y
x
Phöông trình (10.13) coù daïng y = ax + b, ñoù laø moät ñöôøng thaúng khoâng qua goác
Nz .Ix
A.Mx
b
toïa ñoä, caét truïc y taïi tung ñoä
.
Maët khaùc, do tính chaát maët phaúng öùng suaát, nhöõng ñieåm naèm treân nhöõng ñöôøng
song song ñöôøng trung hoøa coù cuøng giaù trò öùng suaát, nhöõng ñieåm xa ñöôøng trung hoøa
nhaát coù giaù trò öùng suaát lôùn nhaát, öùng suaát treân moät ñöôøng vuoâng goùc vôùi ñöôøng trung
hoøa thay ñoåi theo quy luaät baäc nhaát.
- Ñöôøng trung hoøa chia tieát dieän thaønh hai mieàn, mieàn chòu öùng suaát keùo vaø mieàn
chòu öùng suaát neùn. Nhôø caùc tính chaát naøy, coù theå bieåu dieãn söï phaân boá cuûa öùng suaát
phaùp treân maët caét ngang baèng bieåu ñoà öùng suaát phaúng nhö sau.
-Keùo daøi ñöôøng trung hoøa ra ngoaøi tieát dieän, veõ ñöôøng chuaån vuoâng goùc vôùi ñöôøng
keùo daøi taïi ñieåm O, ñoù cuõng laø ñieåm bieåu dieãn giaù trò öùng suaát phaùp taïi moïi ñieåm
treân ñöôøng trung hoøa. Söû duïng pheùp chieáu thaúng goùc, chieáu moïi ñieåm treân nhöõng
ñöôøng song song ñöôøng trung hoøa leân ñöôøng chuaån, ñieåm coù chaân hình chieáu xa O
nhaát chòu öùng suaát phaùp lôùn nhaát.
-Ñieåm xa nhaát veà mieàn keùo chòu öùng suaát keùo lôùn nhaát, goïi laø max,
-Ñieåm xa nhaát veà mieàn neùn chòu öùng suaát neùn lôùn nhaát, goïi laø min.
Bieåu dieãn giaù trò max, min baèng caùc tung ñoä veà hai phía ñöôøng chuaån roài noái chuùng
laïi baèng ñöôøng thaúng, ta ñöôïc bieåu ñoà öùng suaát phaúng (H.10.14)
Ñöôøng trung hoaø
B
x
Ñöôøng trung hoaø
0
x
0
min
C
y
_
z
+
H.10.14
y
max
N
A
Maët phaúng öùng suaát
Bieåu ñoà öùng suaát phaúng
4. ÖÙng suaát phaùp cöïc trò vaø ñieàu kieän beàn
Goïi xmKax ,vaø ymKax laø ñieåm chòu keùo xa ñöôøng trung hoaø nhaát.
Vaø xmNax vaø ymNax laø ñieåm chòu neùn xa ñöôøng trung hoaø nhaát.
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp
12
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
M y
Iy
Nz M x
c max
B min
ymKax
xmKax
A
Ix
M y
Iy
Nz M x
ymNax
xmNax
A
Ix
Theo (10.14), ta nhaän xeùt, khi öùng suaát coù löïc doïc traùi daáu vôùi öùng suaát do Mx, My vaø
trò soá löïc doïc lôùn hôn toång trò soá tuyeät ñoái caùc öùng suaát do Mx, My, luùc ñoù ñöôøng
trung hoaø naèm ngoaøi maët caét, treân maët caét ngang chæ coù öùng suaát moät daáu (chæ chòu
keùo hoaëc chæ chòu neùn).
- Vôùi thanh coù tieát dieän chöõ nhaät, caùc ñieåm nguy hieåm C,B luoân luoân laø caùc
ñieåm goùc cuûa tieát dieän:
Luùc ñoù :
xC=xB= b/2; yC=yB= h/2
M y
Nz M x
c max
A
Wx
Wy
M y
Wy
Nz M x
B min
A
Wx
- Thanh coù tieát dieän troøn, moâmen toång cuûa Mx, My laø Mu gaây uoán thuaàn tuùy
phaúng, khi ñoù ta coù coâng thöùc tính öùng suaát phaùp cöïc trò:
N z
M
u
c max
A
Wu
M
N z
A
u
min
B
Wu
D3
32
Mu Mx2 My2
, Wu Wx
Thanh chòu uoán coäng keùo hay neùn ñoàng thôøi chæ gaây ra öùng suaát phaùp treân maët
caét ngang, taïi ñieåm nguy hieåm, phaân toá ôû traïng thaùi öùng suaát ñôn, do ñoù ñieàu kieän
max []k; min []n
beàn cuûa thanh laø:
5- Thanh chòu keùo hay neùn leäch taâm
Thanh chòu keùo hay neùn leäch taâm khi treân maët caét ngang chæ coù moät löïc P song
song truïc thanh vaø khoâng truøng vôùi truïc thanh. (H.10.14.a).
Mx
y K
H.10.14a
x
x
H.10.14b
My
Nz
x K
k
z
z
P
y
y
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp
13
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
Trong thöïc teá, baøi toaùn neùn leäch taâm raát thöôøng gaëp trong tính toaùn coät, moùng nhaø
coâng nghieäp hay daân duïng, trong tính toaùn truï, moùng caåu thaùp...
AÙp duïng nguyeân lyù dôøi löïc, ñöa löïc keùo hay neùn leäch taâm veà taâm tieát dieän, ta coù
theå chöùng minh tröôøng hôïp naøy thöïc chaát laø baøi toaùn uoán coäng keùo hay neùn ñoàng
thôøi. Treân H.10.14.a, goïi K(xK, yK) laø ñieåm ñaët löïc leäch taâm P, dôøi veà taâm O, ta coù:
N P
, laáy (+) khi P laø löïc keùo, ngöôïc laïi, laáy (–).
z
Mx = P.yK
My = P.xK
Chieàu cuûa moâmen laáy theo nguyeân lyù dôøi löïc.
Do ñoù, taát caû coâng thöùc ñaõ ñöôïc thieát laäp cho baøi toaùn uoán coäng keùo hay neùn ñoàng
thôøi ñeàu aùp duïng ñöôïc cho baøi toaùn keùo hay neùn leäch taâm.
Ñoái vôùi thanh chòu keùo hay neùn leâïch taâm, phöông trình ñöôøng trung hoaø coù theå
vieát ôû daïng khaùc. Cho bieåu thöùc z trong (10.9) baèng khoâng, ta ñöôïc phöông trình
ñöôøng trung hoaø
My
Nz
A
Mx
Ix
z
y
x 0
Iy
Thay : Mx Nz .yK ; My Nz .xK
Nz
A
Nz .yK
Nz xK
Iy
y
x 0
Ix
N z
A
yK .A
I x
xK .A
I y
[1
y
x] 0
iy2
xK
ix2
yK
I y
A
I x
A
Ñaët : ix
; iy
a
;
b
yK .y xK .x
1
0
ix2
iy2
Ta thu ñöôïc daïng khaùc cuûa phöông trình ñöôøng trung hoøa :
x y
a b
1
Töø (10.20) ta thaáy ñöôøng trung hoaø coù caùc tính chaát sau:
- Ñöôøng trung hoaø caét truïc x taïi a vaø truïc tung taïi b.
- Ñöôøng trung hoaø khoâng bao giôø qua phaàn tö chöùa ñieåm ñaët löïc K vì a vaø b luoân traùi
daáu vôùi xK, yK.
- Ñieåm ñaët löïc tieán gaàn taâm O cuûa tieát dieän thì ñöôøng trung hoøa rôøi xa taâm vì xK, yK
giaûm thì a, b taêng.
-Ñieåm ñaët löïc K naèm treân moät truïc ñöôøng trung hoaø song song vôùi truïc kia.
- Khi ñöôøng trung hoøa naèm ngoaøi tieát dieän, treân tieát dieän chæ chòu öùng suaát moät daáu:
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp
14
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
y
keùo hoaëc neùn.
2
y2
y
k2
k1
y1
k3
k1
x1
a3
a2
x
x
a2
0
0
a1
k2
x2
b1
b3
1
b2
b1
3
Goïi loõi tieát dieän laø moät mieàn kín bao quanh taâm cuûa tieát dieâïn vaø thoaû maõn tính chaát:
-Neáu löïc leäch taâm ñaët trong mieàn kín ñoù thì ñöôøng trung hoaø hoaøn toaøn naèm ngoaøi
tieát dieän.
-Neáu löïc leäch taâm ñaët treân chu vi cuûa mieàn kín thì ñöôøng trung hoaø tieáp tuyeán vôùi
chu vi cuûa tieát dieän. Trong thöïc teá coù nhieàu loaïi vaät lieäu chæ chòu neùn toát nhö gaïch,
ñaù, gang, beâtoâng khoâng theùp..., neáu chuùng chòu neùn leäch taâm maø löïc neùn ñaët ngoaøi
loõi tieát dieän, öùng suaát keùo phaùt sinh coù theå lôùn hôn khaû naêng chòu keùo cuûa chuùng, khi
ñoù vaät lieäu seõ bò phaù hoaïi, ñeå taän duïng toát khaû naêng chòu löïc cuûa vaät lieäu caàn thieát
keá ñaët löïc neùn trong loõi tieát dieän.
Coù theå xaùc ñònh loõi tieát dieän theo caùch sau:
- Xaùc ñònh heä truïc quaùn tính chính trung taâm cuûa tieát dieän.
- Cho ñöôøng trung hoøa tieáp xuùc moät caïnh tieát dieän, töø ta vieát ñöôïc phöông
trình ñöôøng trung hoøa,( bieát ai,bi )roài suy ra toïa ñoä ñieåm ñaët löïc Ki töông
öùng vôùi vò trí ñöôøng trung hoøa. AÙp duïng caùch töông töï ñoái vôùi taát caû caùc
caïnh coøn laïi, noái vò trí caùc ñieåm ñaët löïc, ta ñöôïc loõi tieát dieän. Ñeå yù raèng, duø
tieát dieän laø ña giaùc loõm thì loõi tieát dieän luoân laø moät ña giaùc loài.
Ví duïï: tieát dieän chöõ nhaät (H.10.15).
Ñöôøng trung hoøa
y
Khi ñöôøng trung hoøa truøng caïnh AB:
A
B
x
y
1
x
O
h
h/ 2
iy2
xK
ix2
yK
xK 0
C
D
h
h2
h
6
b
Ñöôøng trung hoøa
yK
h
2
12.
2
loõieát dieän chöõ nhaät
Hình 10.15
Khi ñöôøng trung hoøa truøng caïnh BC:
x
y
1
b/ 2
iy2
b
2
b2
12.b/ 2
b
6
xK
xK
ix2
yK
yK 0
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp
15
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
Do tính ñoái xöùng cuûa tieát dieän, khi ñöôøng trung hoaø truøng caïnh CD, AD, ta xaùc
ñònh hai ñieåm K töông öùng coù toïa ñoä laàn löôït laø:
h
xK = 0; yK = vaø xK = b ; yK = 0
6
6
Noái caùc ñieåm K, ta ñöôïc loõi tieát dieän cuûa tieát dieän chöõ nhaät laøø moät hình thoi coù
ñænh treân truïc x,y (H.10.15).
- Tieát dieän troøn (H.10.16)
Khi ñöôøng trung hoøa laø moät tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn taïi A:
x
y
1
y
D / 2
Ñöôøng trung hoøa
iy2
xK
ix2
yK
xK 0;
.D4
D / 2
x
O
D
8
yK
.D2
D
64.
D/8
4
2
D
Do tính ñoái xöùng cuûa tieát dieän, ta thaáy loõi tieát dieän laø
moät ñöôøng troøn ñoàng taâm ñöôøng kính D/8.
Hình 10.16 Loõi tieát dieän troøn
Thí duïï 8 Moät thanh tieát dieän chöõ nhaät (bxh), chòu taùc
duïng cuûa ngoaïi löïc nhö H.10.17.a
a) Veõ bieåu ñoà noâïi löïc, bieåu dieãn noäi löïc taïi maët caét ngaøm.
b) Tính max, min.vaø chæ roõ caùc ñieåm treân maët caét.
c) Xaùc ñònh ñöôøng trung hoøa taïi ngaøm.
Cho: q =10kN/m, P =100kN, H =4 m, h =20cm ,b =15 cm.
z
P
D
C
_
Mx(+,- )
x
_
P
_
0
x
b=15cm
Mx
y
B
K
Nz
y
Mx
D
q=10kN/m
My
K
C
0
x
H
B
y
C
h=20cm
B
qH 2
b
2
x
M x = P
K
y
M y =
-
y
2
Ñöôøng trung hoaø
Hình 17a,b,c
Dôøi löïc P veà taâm 0 seõ gaây ra Mx, My taïi ñaàu töï do
Bieåu ñoà noäi löïc do töøng nguyeân nhaân gaây ra ñöôïc veõ treân H.10.17.b.
Taïi ngaøm, noäi löïc coù giaù trò lôùn nhaát (do P vaø q gaây ra)
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp
16
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
Nz = – P = -100kN(neùn); Mx = P.b/2 = 100.7,5 =750kNcm
My = qH2/2 – P.h/2=10.4.400/2-100.10 = 7000kNcm
AÙp duïng coâng thöùc (10.12):
100
750
7000
K
0,125 1,0 7,0 6,125kN / cm2
20.152 15.202
15.20
6
6
100
750
7000
max,min
20.152 15.202
15.20
6
6
7,875kN/cm2 (taïiB)
8,125 kN/cm2 (taïiD)
0.125 1,0 7,0
Phöông trình ñöôøng trung hoøa:
My
Nz
A Mx
Ix
Ix
y
.x
.
(a)
Mx Iy
Choïn heä truïc x,y nhö hình veõ .
20153
20153
e=20cm
P
7000
750
100.
15.20
12
12
750
y (
)x
.
5,25x 2,5 = 790
15 203
12
Thí du 9: Kieåm tra beàn taïi maët caét chaân moùng coù maët caét ngang
hình chöõ nhaät bxh, []k =60N/cm2,[]n =700N/cm2 P=6kN ñaët leäch
taâm 20 cm so vôùi troïng taâm maët caét chaân moùng.
- Cho b =18cm,h = 20cm, Q=12kN.
Q
Ñöôøng trung hoøa
z
My= 6x20kNcm
K
N=P+Q
x
b
M y
I y
Nz
A
x
. 0 x 5cm
x
y
h
0
Hình 1
50
1800 120000
y
max,min
N / cm2
18.1202
18.20
150
B
6
P = 10kN
dieän
Thí duï10: Xaùc ñònh tieát
coät AB,
cho []=16kN/cm2
z
My= 10x200kNcm
N=P
M y
Nz
x
K
max
0
A
Wy
b
2b
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp
17
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
10
2000.6
b(2b)2
max
16
ÔÛ ñaây ta boû qua löïc doïc ñeå tìm b. Sau ñoù kieåm tra laïi ñieàu
b.2b
kieän beàn . Neáu chöa thoûa ta taêng b leân vaø kieåm tra laïi.
Thí duï11 :
a) Veõ bieåu ñoà noäi löïc cuûa thanh gaõy khuùc KBC
b) Tìm [q] .Cho []=16kN/cm2, L=50cm
Mx =2 qL2
K
q
My =2,5 qL2
d=10cm
-
P = 2qL
B
L
Nz=2qL
b
C
L
P = 2qL
Ñieàu kieän beàn:
N z
M u
Wu
min
max
A
(2qL2 )2 (2,5qL2 )
2qL
d 2
16 q 25 ,6kN / m
d 3
4
32
IV. UOÁN COÄNG XOAÉN
1- Ñònh nghóa
Thanh chòu uoán coäng xoaén khi treân caùc maët caét ngang coù taùc duïng ñoàng thôøi
cuûa moâmen uoán Mu trong maët phaúng chöùa truïc thanh vaø moâmen xoaén Mz.
2- Tieát dieän troøn
Thanh tieát dieän troøn chòu uoán xoaén ñoàng thôøi raát thöôøng gaëp khi tính truïc truyeàn
ñoäng vì quaù trình truyeàn taùc duïng xoaén qua caùc puli luoân keøm theo taùc duïng uoán do
löïc caêng daây ñai, do troïng löôïng baûn thaân truïc, puli...
Xeùt moät thanh tieát dieän troøn chòu taùc duïng cuûa moâmen uoán Mu (chæ laø uoán ñôn)
vaø moâmen xoaén Mz (H.10.21.a). (Neáu coù nhieàu ngoaïi löïc gaây uoán taùc duïng trong
nhöõng maët phaúng khaùc nhau, ta luoân luoân coù theå phaân tích chuùng thaønh caùc thaønh
phaàn taùc duïng trong hai maët phaúng vuoâng goùc,vaø moâmen toång Mu = Mx2 My2
)
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp
max
18
Mz
min
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
H.21. a.b
Bieåu ñoà öùng suaát (hình 21-b)
Döôùi taùc duïng cuûa moâmen uoán Mu, hai ñieåm K,B chòu öùng suaát phaùp lôùn nhaát max,
min, ngoaøi ra, do taùc duïng cuûa moâmen xoaén Mz taïi hai ñieåm K, B coøn chòu öùng suaát
tieáp max, ñoù laø hai ñieåm nguy hieåm nhaát treân tieát dieän.
Mu
Wu
max,min
; Mu Mx2 My2
Ta coù:
Mz
Wp 2Wx
Mz
max
Phaân toá ñang xeùt taïi K vaø B vöøa chòu öùng suaát phaùp vöøa chòu öùng suaát tieáp, ñoù laø
phaân toá ôû traïng thaùi öùng suaát phaúng.
Ñieàu kieän beàn:
2 42 []
Theo thuyeát beàn thöù 3:
2 3 2 [ ]
Theo thuyeát beàn thöù 4:
2- Thanh tieát dieän chöõ nhaät
Uoán xoaén thanh tieát dieän chöõ nhaät thöôøng gaëp trong coâng
trình daân duïng nhö lanh toâ ñôõ oâ vaêng, daàm chòu löïc ngoaøi maët
phaúng ñoái xöùng, thanh chòu uoán trong heä khoâng gian...
Xeùt moät tieát dieän chöõ nhaät bxh chòu uoán xoaén (H.22) trong
ñoù moâmen uoán Mu ñaõ ñöôïc phaân tích thaønh hai moâmen uoán Mx, My
H2
C
B
Mz
My
Mx
x
trong caùc maët phaúng quaùn tính chính trung taâm yOz, xOz.
1
K2
K1
AÙp duïng nguyeân lyù coäng taùc duïng vaø lyù thuyeát veà uoán, veà xoaén, ta
ñöôïc caùc keát quaû nhö sau (H.22):
Taïi caùc goùc tieát dieän (K,B,C,D), chæ coù öùng suaát phaùp lôùn
nhaát do Mx,My, phaân toá ôû traïng thaùi öùng suaát ñôn:
D
z
K
H1
y
H.22
My
Wy
Mx
Wx
max,min
max
k
;
min
n
Ñieàu kieän beàn:
Taïi ñieåm giöõa caïnh ngaén (H1,H2), chòu öùng suaát phaùp lôùn nhaát do Mx gaây ra vaø öùng suaát
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 19
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
tieáp 1=max do Mz gaây ra. Phaân toá ôû traïng thaùi öùng suaát phaúng:
Mx
max,min
; 1 max
Wx
Ñieàu kieän beàn:
2 42 []
2 32 []
Theo thuyeát beàn thöù 3:
Theo thuyeát beàn thöù 4:
Taïi ñieåm giöõa caïnh daøi (K1,K2), chòu öùng suaát phaùp lôùn nhaát do My vaø öùng suaát tieáp max do
Mz gaây ra phaân toá ôû traïng thaùi öùng suaát phaúng:
My
Wy
Mz
max,min
;
max
.h.b2
Ñieàu kieän beàn:
2 42 []
2 32 []
Theo thuyeát beàn thöù 3:
Theo thuyeát beàn thöù 4:
Thí duïï 12 : Moät thanh troøn KB ñöôøng kính D = 10cm chòu taùc duïng cuûa taûi troïng nhö
hình veõ
a) Veõ bieåu ñoà noäi löïc.
b) Choïn [q] theo TB3 cuûa ñieàu kieän beàn. Cho: P = qL; [] =16kN/cm2.
c) Tính AB . Cho G =8000kN/cm2.
D
2
Mz=p
q
P
q
B
x
K
L=2m
3P
2P
B
D
A
z
qL2
2
Mx=
y
L=2m
MY =3pL
D
2
Mz=p
Hình 10.22a,b
Giaûi
Bieåu ñoà noäi löïc ñöôïc veõ treân H.10.22.b, taïi tieát dieän ngaøm chòu noäi löïc lôùn nhaát
Mx = qL2/2 = 20000qkNcm
My = 3pL =3qL2 =120000qkNcm
Mz = pD/2 =5qL =1000qKNcm
Ñieàu kieän beàn (TB3):
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp
20
Tải về để xem bản đầy đủ
25 trang
12820
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Sức bền vật liệu 2 - Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_suc_ben_vat_lieu_2_chuong_10_thanh_chiu_luc_phuc.doc
