Đề kiểm tra 45 phút môn Toán Lớp 11 - Lần 4 - Năm học 2016-2017 - Trường THPT Lê Quý Đôn (Có đáp án)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH THUẬN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
BÀI KIỂM TRA MỘT TIẾT (Bài số 4)
MÔN TOÁN – KHỐI 11
CHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN
Thời gian làm bài: 45 phút
Đề
1
1
22
1
n2
1
Câu 1 (2,0 điểm). Chứng minh rằng:
Câu 2 (3,0 điểm).
+
+ ... +
< 2- , " n Î ¥,n ³ 2.
2
n
1
a) Xét tính đơn điệu (tăng, giảm) của dãy số (un ) với un = n + 1 -
n .
3n + 4
4n + 3
3
4
a) Chứng minh dãy số (un ) với un =
bị chặn dưới bởi
và bị chặn trên bởi 1.
Câu 3 (3,0 điểm). Một cấp số cộng (un ) có công sai d > 0. Biết 6 số hạng đầu tiên có tổng là 30 và có tổng
bình phương là 430. Tìm công sai và tính tổng của S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
d
ì
ï
u1 = 3
ï
í
Câu 4 (2,0 điểm). Cho dãy số (un ) xác định như sau:
ï un+ 1 = 2un - n + 1, (n ³ 1)
ï
î
a) Xét dãy (vn ) với vn = un - n . Chứng minh rằng dãy (vn ) là một cấp số nhân. Tính v20 .
b) Tính tổng S = u1 + u2 + ... + un .
----- HẾT -----
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH THUẬN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
BÀI KIỂM TRA MỘT TIẾT (Bài số 4)
MÔN TOÁN – KHỐI 11
CHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN
Thời gian làm bài: 45 phút
Đề
1
1
22
1
n2
1
Câu 1 (2,0 điểm). Chứng minh rằng:
Câu 2 (3,0 điểm).
+
+ ... +
< 2- , " n Î ¥,n ³ 2.
2
n
1
b) Xét tính đơn điệu (tăng, giảm) của dãy số (un ) với un = n + 1 -
n .
3n + 4
4n + 3
3
4
b) Chứng minh dãy số (un ) với un =
bị chặn dưới bởi
và bị chặn trên bởi 1.
Câu 3 (3,0 điểm). Một cấp số cộng (un ) có công sai d > 0. Biết 6 số hạng đầu tiên có tổng là 30 và có tổng
bình phương là 430. Tìm công sai và tính tổng của S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
d
ì
ï
u1 = 3
ï
í
Câu 4 (2,0 điểm). Cho dãy số (un ) xác định như sau:
ï un+ 1 = 2un - n + 1, (n ³ 1)
ï
î
c) Xét dãy (vn ) với vn = un - n . Chứng minh rằng dãy (vn ) là một cấp số nhân. Tính v20 .
d) Tính tổng S = u1 + u2 + ... + un .
----- HẾT -----
HƯỚNG DẪN CHẤM – ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM.
Nội dung
Câu
1.
Điểm
Chứng minh bằng quy nạp bất đẳng thức sau: 2n+ 1 > 2n + 3, " n Î ¥,n ³ 2 (1)
Với n = 2 ta có VT = 23 = 8;VP = 2.2 + 3 = 7. Vậy (1) đúng.
Giả sử (1) đúng với n = k ³ 2. Tức là 2k+ 1 > 2k + 3
0,5
0,5
2,0
Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1. Tức là phải chứng minh :
2k+ 2 > 2(k + 1) + 3
0,5
Ta có:
2k+ 2 = 2.2k+ 1 > 2 2k + 3 = 2(k + 1) + 4 + 2k > 2(k + 1) + 3
(
)
- n- 1
0,5
0,5
un+ 1 = 1+ n.2
n
2n+ 1
n - 1 n - 2n + 2 2- n
Þ un+ 1 - un =
-
=
=
£ 0, " n ³ 2
2.a
2.b
3.a
1,5
1,5
1,5
2n
2n+ 1
2n+ 1
0,5
0,5
Vậy dãy (un ) là dãy giảm kể từ số hạng u2 trở đi.
Ta có un = n + (- 1)n ³ 0, " n Î N* Þ un ³ 0, " n Î N*
3
4
7
4
4n + 3 +
(
)
3
4
7
1
3
4
7
1
0,5
0,5
Mặt khác
=
=
+
.
£
+
.
= 1
4n + 3
4 4n + 3
4 4 + 3
2
Vậy 0 £ un £ , " n Î N* . Nên dãy (un ) bị chặn.
3
15
0,5
0,5
Ta có S15 = u1 + u2 + ... + u15 =
(u1 + u15)
2
Mà = u1 + u15 = (u3 - 2d) + (u13 + 2d) = u3 + u13 = 80
15
0,5
Vậy S15 =
.80 = 600
2
Gọi 3 số hạng của cấp số nhân là: a, aq, aq2
0,25
2
2
ì
ì
ï
ï
a + aq + aq = 219
a(1+ q + q ) = 219 (1)
ï
ï
ï
ï
0,25
0,5
Theo giả thiết ta có:
Û
í
í
2
2
ï
ï
aq - a = 189
a(q - 1) = 189
(2)
ï
ï
ï
ï
î
î
é
q = 8
q2 + q + 1 73
3.b
4.a
ê
ê
1,5
1,0
Lấy (1) chia (2) ta được
=
Û
17
10
q2 - 1
ê
63
q =
ê
ë
Với q = 8 Þ a = 3. Vậy cấp số nhân là: 3, 24, 192
0,25
0,25
17
Với q =
Þ a = 100. (loại)
10
ì
ï
ì
ï
u1 = 1
u1 = 1
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
0,25
Ta có
Û
2
3
4
3
2
u
=
un -
un+ 1 + 4 = (un + 4)
n+ 1
ï
î
ï
î
3
0,25
0,25
Đặt vn = un + 4 . Ta được dãy (vn ) như sau:
ì
ï
v1 = 5
ï
ï
í
ï
ï
ï
2
3
. Vậy dãy (vn ) là CSN với v1 = 5, q =
2
3
v
=
vn
n+ 1
1,0
1,0
ï
î
n- 1
æ ö
2
0,25
0,5
Þ vn = v1.qn- 1 = 5.
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
3
è ø
Ta có:
S = u1 + u2 + ... + un = (v1 - 4) + (v2 - 4) + ... + (vn - 4)
= v1 + v2 + ... + vn - 4n
n
æ ö
2
÷
÷
÷
÷
ç
1-
4b
ç
1- qn
1- q
è ø
ç
ç
3
= v1
- 4n = 5.
- 4n
0,5
2
1-
3
3n - 2n
3n
= 15.
- 4n
3 trang
6900
Free
Bạn đang xem tài liệu "Đề kiểm tra 45 phút môn Toán Lớp 11 - Lần 4 - Năm học 2016-2017 - Trường THPT Lê Quý Đôn (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- de_kiem_tra_45_phut_mon_toan_lop_11_lan_4_nam_hoc_2016_2017.doc
