Tóm tắt Sức bền vật liệu 2 - Chương 4: Trạng thái ứng suất

Tóm tắt Chương 4 (sử dụng kết hợp với bài giảng trên lớp)

GV: TS. Cao Văn Vui

Chương 4. TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT

§1 KHÁI NIỆM TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TẠI MỘT ĐIỂM

1.1 Trạng thái ứng suất

"Tập hợp tất cả ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên các mặt cắt đi qua một điểm cố định cho trước

được gọi là trạng thái ứng suất tại điểm đó".

1.2 Biểu diễn trạng thái ứng suất

Tách ra khỏi điểm K trong vật thể một phân tố hình lập phương các cạnh là dx = dy = dz

y

yx

yz

xy

zy

x

xz

zx

z

x

z

Trong trường hợp tổng quát trên mỗi mặt của phân tố sẽ cả ba thành phần ứng suất. Vì dx, dy, dz là

vô cùng bé nên ứng suất pháp trên các mặt song song với nhau ta coi là như nhau.

Ứng suất pháp có kèm theo chỉ số x, y, z ở bên cạnh để chỉ phương của ứng suất.

Ứng suất tiếp có kèm theo hai chỉ số: chỉ số thứ nhất chỉ pháp tuyến của mặt chứa ứng suất tiếp

đó, chỉ số thứ hai chỉ phương của ứng suất tiếp.

1.3 Định luật đối ứng của ứng suất tiếp

_xy_yx

 _yz_zy

_xz_zx

(4-1)

(4-2)

(4-3)

Định luật đối ứng của ứng suất tiếp: trên hai mặt vuông góc, các ứng suất tiếp có trị số bằng nhau

và có chiều cùng hướng và hoặc cùng tách ra khỏi cạnh chung.

1.4 Phân tố chính, mặt chính, phương chính và ứng suất chính. Phân loại trạng thái ứng suất

Phân tố chính là phân tố mà trên các mặt của phân tố chỉ có ứng suất pháp, không có ứng suất tiếp.

Mặt chính: là các mặt của phân tố chính.

Phương chính: là phương ứng suất pháp của phân tố chính.

Ứng suất chính: là các ứng suất pháp của phân tố chính.

Ta ký hiệu các ứng suất chính là ₁, ₂, ₃với quy ước ₁> ₂> ₃. Ở đây lưu ý rằng giá trị của ứng

suất chính có kể cả đến dấu của chúng.

1

Tóm tắt Chương 4 (sử dụng kết hợp với bài giảng trên lớp)

GV: TS. Cao Văn Vui

1

2

3

2

1

 Nếu cả ba ứng suất pháp khác 0: phân tố ở trạng thái ứng suất khối (không gian).

 Nếu hai ứng suất chính khác 0: phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng (ứng suất mặt).

 Nếu một ứng suất chính khác 0: phân tố ở trạng thái ứng suất đơn (ứng suất đường).

Hình 4-1

§2 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG

2.1 Cách biểu diễn

y

yx

xy

x

xy

x

xy

x

yx

z

y

Hình 4-2

2.2 Ứng suất trên mặt cắt nghiêng. Phương pháp giải tích

Xét phân tố mà trên mặt có pháp tuyến là trục z, ứng suất bằng 0.

Quy ước dấu:

 >0: khi hướng ra ngoài mặt cắt.

 >0:

Cách 1: Khi quay pháp tuyến ngoài một góc 90^otheo chiều kim đồng hồ thì trùng với  ấy.

Cách 2: Khi  có khuynh hướng làm quay mặt cắt theo chiều kim đồng hồ.

Ứng suất trên mặt cắt nghiêng song song với trục z và có phương pháp tuyến u tạo với trục x một

góc  .

Quy ước góc  >0 khi quay ngược chiều kim đồng hồ kể từ trục x.

2

Tóm tắt Chương 4 (sử dụng kết hợp với bài giảng trên lớp)

GV: TS. Cao Văn Vui

y

yx

xy

x

xy

x

yx

z

y

v

y

u

v

uv

u

ds

x

xy

dy

ds

dx

x

dy

uv

x

xy

yx

dz

dx

yx

z

y

Hình 4-3

_x _y_x _y

_u



cos2 _xysin 2

(4-4)

(4-5)

2

_x _y

_uv

sin 2 _xycos2

2

_x _y_x _y

_v



cos2 _xysin 2

_vu _uv

(4-6)

2

_u_v _x _y

(4-7)

2.3 Ứng suất chính và ứng suất tiếp cực trị

2.3.1 Ứng suất chính và phương chính

Gọi _olà góc của phương chính hợp với trục x thì điều kiện để tìm phương chính là:

2_xy

tan 2_o 

_x _y

(4-8)

(4-9)

Ứng suất chính:

 Cách 1: thế các trị số _ovào công thức _u

 Cách 2: tính theo công thức:



²

_x _y

 

x

y

_max





_x²_y









2

min

3

Tóm tắt Chương 4 (sử dụng kết hợp với bài giảng trên lớp)

GV: TS. Cao Văn Vui

2.3.2 Ứng suất tiếp cực trị

Để tìm mặt phân tố trên đó có ứng suất tiếp cực trị, ta lấy đạo hàm của _uvtheo  và cho đạo hàm

này bằng 0. Ta có:

d_uv

d

   cos2  2 sin2  0



_y

x

xy

_x _y

2_xy

==>

tan 2 

(4-10)

1

==>

tan2  

tan2_o

Như vậy, ta có: 2  2_o k90^o

Hay:

  _o k45^o

(4-11)

==> mặt có ứng suất tiếp cực trị tạo với những mặt chính một góc 45^o.

Ứng suất tiếp cực trị:

 Cách 1: thế các trị số  vào công thức _uv

 Cách 2: tính theo công thức:

²

 



x

y

_max



_x²_y

(4-12)









2

min

2.4 Các trường hợp đặc biệt

2.4.1 Trạng thái ứng suất phẳng đặt biệt

_x

 _y 0

_xy

Khi đó, ứng suất chính là:

2



2





2







_max





 ²

(4-13)





min

2.4.2 Trạng thái trượt thuần túy

_x 0

 _y 0

_xy

Khi đó, ứng suất chính là:

_max 

min

2.5 Biểu diễn hình học trạng thái ứng suất – Đường tròn Mohr

(sinh viên đọc sách)

4

Tóm tắt Chương 4 (sử dụng kết hợp với bài giảng trên lớp)

GV: TS. Cao Văn Vui

§3 LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

3.1 Định luật Hooke tổng quát

3.1.1 Liên hệ giữa ứng suất và biến dạng dài

1







_x

_y

_z

   

(4-14)

(4-15)

(4-16)



_z

x

y



E

1







   



y

x



E

1





   



_y

z

x





E

3.1.2 Liên hệ giữa ứng suất tiếp và biến dạng góc

_xy

 _xy



(4-17)

(4-18)

(4-19)

G

 _yz

 _yz

 _xz

G

_xz

G

Liên hệ giữa E,  và G:

E

G 

(4-20)

2 1





3.1.3 Định luật Hooke tổng quát

Gồm 6 công thức (3 công thức  và 3 công thức  ) trên hợp lại.

3.2 Định luật Hooke khối

Đối với vật liệu đàn hồi tuân theo định luật Hooke, thay các công thức tính  vào, ta có:

1 2

  ₁ ₂ ₃

  

(4-21)

(4-22)



₃

1

2

E

Đặt:     



₃



1

2

E

 



1 2

Đây là công thức định luật Hooke khối biểu thị quan hệ tuyến tính giữa tổng ứng suất pháp và biến

dạng thể tích tương đối.

Công thức trên cho thấy phụ thuộc vào tổng ứng suất pháp chứ không phục thuộc vào riêng từng



ứng suất pháp. Nếu các ứng suất pháp thay bằng ứng suất trung bình thì vẫn không đổi





3

₁₂₃

_tb



(4-23)

(4-24)

3

Vậy, với những ứng suất chính:

1 2

 

  







₃

1

2

E

5

Tóm tắt Chương 4 (sử dụng kết hợp với bài giảng trên lớp)

§4 THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI

u  u_tt u_hd

GV: TS. Cao Văn Vui

(4-25)

Trong đó:

u_ttlà thế năng biến đổi thể tích.

u_hdlà thế năng biến đổi hình dáng.

1 2

2E

1 2

6E

2

u_tt 3

1

_t²_b

   

(4-26)

(4-27)



₃

1

2

u_hd

 ²  ² ²     



₁

1

2

3

1

2

3

3E

Trong trường hợp đơn giản khi phân tố ở trạng thái ứng suất đơn: ₁  , ₂ 0 , ₃ 0 , ta thu

 ²

được: u 

2E

1 2

6E

u_tt

 ²

(4-28)

(4-29)

1

3E

u_hd

6

Tóm tắt Sức bền vật liệu 2 - Chương 4: Trạng thái ứng suất - Cao Văn Vui