Giáo trình Toán kinh tế
To¸n kinh tÕ
Ch ¬ng 1: §¹i sè tuyÕn tÝnh vµ to¸n x¸c suÊt
A- §¹i sè tuyÕn tÝnh
I- Kh«ng gian vÐc t¬ vµ c¸c phÐp to¸n
1. §Þnh nghÜa:
XÐt tËp V kh¸c rçng mµ mçi phÇn tö ta quy íc gäi lµ 1 vÐt t¬ vµ tr êng sè thùc
R. Gi¶ sö trong V ta ®Þnh nghÜa ® îc 2 phÐp to¸n: phÐp céng 2 vÐc t¬ vµ phÐp nh©n 1
vÐc t¬ víi 1 sè thùc tho¶ m·n 10 yªu cÇu sau víi x, y, z V vµ k, l R th× tËp V
® îc gäi lµ 1 kh«ng gian vÐc t¬ trªn tr êng R.
Kh«ng gian vÐc t¬ trªn tr êng sè thùc R lµ 1 tËp V kh¸c rçng (mµ mçi phÇn tö
® îc quy íc gäi lµ 1 vÐc t¬) víi 2 phÐp to¸n céng vÐc t¬ vµ nh©n vÐc t¬ víi 1 sè thùc
R, tho¶ m·n 10 tÝnh chÊt sau (gäi lµ 10 tiªu ®Ò cña kh«ng gian vÐc t¬) víi x, y, z
V vµ k, l R:
(1) NÕu x vµ y V th× x + y V
(2) x + y = y + x víi x, y V
(3) x + (y + z) = (x + y) + z víi x, y, z V
(4) vÐc t¬ V sao cho: + x = x + = x víi x V
phÇn tö ® îc gäi lµ phÇn tö trung hoµ cña phÐp (céng) +
(5) Víi mçi x V tån t¹i vÐc t¬ -x V sao cho:
x + (-x) = (-x) + x =
phÇn tö –x ® îc gäi lµ phÇn tö ®èi xøng (hay phÇn tö ®èi) cña x
(6) NÕu k R vµ x V th× kx V
(7) k(x + y) = kx + ky
(8) (k + l) x = kx + lx
(9) k(lx) = (kl) x
(10) 1.x
= x
2. C¸c phÐp to¸n vÐc t¬
- PhÐp céng 2 vÐc t¬ lµ 1 luËt hîp thµnh trong (phÐp to¸n) trªn V cho phÐp t¹o ra
tõ 1 cÆp vÐc t¬ x, y V mét vÐc t¬ duy nhÊt gäi lµ tæng cña chóng, ký hiÖu lµ x + y.
- PhÐp nh©n 1 vÐc t¬ víi 1 sè (cßn gäi lµ phÐp nh©n víi v« h íng) lµ 1 luËt hîp
thµnh ngoµi trªn V cho phÐp t¹o ra tõ 1 vÐc t¬ x V vµ 1 sè thùc k R mét vÐc t¬
duy nhÊt gäi lµ tÝch cña chóng, ký hiÖu lµ kx.
NÕu x, y cho d¹ng thµnh phÇn (to¹ ®é):
ThÝ dô: xÐt Rn lµ tËp mµ mçi phÇn tö lµ 1 bé n sè thùc cã thø tù (x1, x2, …, xn),
cßn gäi lµ 1 vÐc t¬ n thµnh phÇn. XÐt x = (x1, x2, …, xn) vµ y = (y1, y2, …, yn).
- PhÐp céng vÐc t¬ vµ phÐp nh©n víi v« h íng ® îc ®Þnh nghÜa nh sau:
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, …, xn+ yn)
kx = (kx1, kx2, …, kxn), k R
- Ngoµi ra x = y khi vµ chØ khi xi = yi, i
3. (Hä vÐc t¬) ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ phô thuéc tuyÕn tÝnh
3-1. Kh¸i niÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ phô thuéc tuyÕn tÝnh
1> §Þnh nghÜa: V lµ 1 kh«zz5ng gian vÐc t¬, S = { x1, …, xn} V.
XÐt ®iÒu kiÖn:
c1x1 + … + cn xn =
(I-1)
- NÕu ®iÒu kiÖn (I-1) chØ x¶y ra khi: c1 = 0, …, cn = 0 th× ta nãi hä S ®éc lËp
tuyÕn tÝnh.
- NÕu c¸c sè thùc c1, …, cn kh«ng ®ång thêi b»ng 0 ®Ó (I-1) tho¶ m·n th× ta
nãi hä S phô thuéc tuyÕn tÝnh.
3.2. ThÝ dô:
1> XÐt xem hä {i, j}, i = (1,0), j = (0,1) trong R2 lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh hay phô
thuéc tuyÕn tÝnh.
Gi¶i: viÕt theo ®iÒu kiÖn (I-1): c1(1,0) + c2(0,1) = (0,0)
Nã t ¬ng ® ¬ng víi: (c1, c2) = (0,0)
§iÒu kiÖn (I-1) chØ x¶y ra khi: c1 = 0, c2 = 0. Do ®ã hä {i, j} lµ ®éc lËp tuyÕn
tÝnh trong R2.
2> Cho x = (1,2), y = (1,1) trong R2. Hái hä {x, y} cã ®éc lËp tuyÕn tÝnh
kh«ng?
Gi¶i:
§iÒu kiÖn (I-1) viÕt:
Nã t ¬ng ® ¬ng víi:
c1(1,2) + c2(1,1) = (0,0)
(c1 + c2, 2c1 + c2) = (0,0)
c c 0
1
2
§iÒu kiÖn (I-1) chØ x¶y ra khi:
2c1 c2 0
HÖ nµy cã ®Þnh thøc b»ng -1 ≠ 0 nªn chØ cã nghiÖm tÇm th êng:
c1 = c2 = 0. vËy c1x + c2y = chØ x¶y ra khi: c1 = c2 = 0.
Do ®ã hä {x, y} ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong R2.
3> Cho hä S = {(3,- 6), (-2, 4)}. Hái nã cã ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong R2 kh«ng?
Gi¶i:
ViÕt theo ®iÒu kiÖn (I-1)):
Ph ¬ng tr×nh nµy t ¬ng ® ¬ng víi:
c1(3,- 6) + c2(-2, 4) = (0,0)
(3c1 - 2c2, - 6c1 + 4c2) = (0,0)
3c1 - 2c2 0
Nã t ¬ng ® ¬ng víi:
- 6c1 4c2 0
HÖ nµy cã nã kh«ng tÇm th êng, ch¼ng h¹n: c1 = 2, c2 = 3
Do ®ã hä S ®· cho phô thuéc tuyÕn tÝnh.
4> Trong kh«ng gian R3 (c¸c vÐc t¬ h×nh häc trong kh«ng gian cã chung gèc
hay c¸c vÐc t¬ h×nh häc tù do trong kh«ng gian (trong ®ã ta ®ång nhÊt c¸c vÐc t¬ b»ng
nhau)) th×:
- Hai vÐc t¬ ®ång ph ¬ng lµ phô thuéc tuyÕn tÝnh.
- Hai vÐc t¬ kh«ng ®ång ph ¬ng lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh.
- Ba vÐc t¬ ®ång ph¼ng lµ phô thuéc tuyÕn tÝnh.
- Ba vÐc t¬ kh«ng ®ång ph¼ng lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh.
- Bèn vÐc t¬ bÊt kú lµ phô thuéc tuyÕn tÝnh.
* Chó ý: Mäi hä vÐc t¬ S chøa vÐc t¬ kh«ng lµ phô thuéc tuyÕn tÝnh.
II- Ma trËn
1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n
- §Þnh nghÜa: Mét b¶ng sè ch÷ nhËt cã m hµng, n cét
a
a12 ... a1n
11
a21 a22 ... a2n
A
... ...
... ...
am1 am2 ... amn
® îc gäi lµ 1 ma trËn cì m x n.
aij lµ phÇn tö cña ma trËn A n»m ë giao ®iÓm cña hµng i, cét j.
§Ó ký hiÖu ma trËn ta cã thÓ dïng 2 dÊu ngoÆc vu«ng hoÆc 2 dÊu ngoÆc trßn.
- §Ó nãi A lµ ma trËn cì m x n cã phÇn tö n»m ë hµng i, cét j lµ aij ; ta viÕt:
A
- Khi m = n th× b¶ng sè trë thµnh vu«ng, ta cã ma trËn vu«ng víi n hµng, n cét;
ta gäi nã lµ ma trËn cÊp n
aij
m x n
a
a12 ... a1n
11
a21 a22 ... a2n
an1 an2 ... ann
C¸c phÇn tö: a11
, a22 , …, ann gäi lµ c¸c phÇn tö chÐo. § êng th¼ng xuyªn
qua c¸c phÇn tö chÐo gäi lµ ® êng chÐo chÝnh.
- Ma trËn A cÊp n:
a
a12 ... a
a
a12 ... a
11
11
1n
1n
0
a22 ... a2n
a22 ... a2n
cßn viÕt
0
0
... ann
ann
trong ®ã aij = 0 nÕu i j gäi lµ ma trËn tam gi¸c trªn.
Ma trËn cÊp n:
a
0
... 0
a
11
11
a21 a22 ... 0
a21 a22
cßn viÕt
an1 an2
ann
a
an2 ... a
nn
n1
trong ®ã aij = 0 nÕu i j gäi lµ ma trËn tam gi¸c d íi.
Ma trËn cÊp n:
a
0
...
0
0
a
11
11
0
a22 ...
a22
cßn viÕt
0
0
... ann
ann
trong ®ã aij = 0 nÕu i ≠ j gäi lµ ma trËn chÐo.
ThÝ dô:
B¶ng sè:
a11 1 a12 2 a13 3
a21 4 a22 5 a23 6
1
2
3
A
lµ 1 ma trËn cì 2 x 3 víi c¸c phÇn tö:
4
5
6
B¶ng sè:
1
B 2 lµ ma trËn cì 3 x 1 víi c¸c phÇn tö:
b11 1 b12 2 b13 3
3
B¶ng sè:
C
4 5 6
lµ ma trËn cì 1 x 3 víi c¸c phÇn tö:
2. C¸c phÐp tÝnh ma trËn
c11 4 c12 5 c13 6
2-1. Céng ma trËn
1. §Þnh nghÜa: cho 2 ma trËn cïng cì m x n: A
aij
,
B
bij
m x n
m x n
Tæng A + B lµ ma trËn cì m x n ® îc x¸c ®Þnh bëi: A + B =
aij bij
m x n
tøc lµ (A B)ij aij bij
Nh vËy, muèn céng 2 ma trËn cïng cì ta céng c¸c phÇn tö ë cïng vÞ trÝ.
ThÝ dô: 44
2. TÝnh chÊt: (DÔ thÊy r»ng)
A + B = B + A
A + 0 = 0 + A = A
NÕu gäi: - A
- aij
th× cßn cã: A + ( -A) = (-A) + A = 0
m x n
NÕu cã thªm ma trËn C víi: C
cij
th×: (A + B) + C = A + (B + C)
m x n
* Chó ý: gäi m x n lµ tËp c¸c ma trËn cì m x n. Khi ®ã (m x n, +) lµ 1 nhãm giao ho¸n.
2-2. Nh©n ma trËn víi 1 sè
1. §Þnh nghÜa: Cho A
aij
, k R
m x n
th× tÝnh kA lµ ma trËn cì m x n ® îc x¸c ®Þnh bëi: kA
kaij
m x n
3- §Þnh thøc (cña ma trËn vu«ng)
1. X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña ®Þnh thøc:
- XÐt ma trËn cÊp n:
a
a12 ... a1j ... a1n
11
a21 a22 ... a2j ... a2n
... ... ... ... ... ...
A
a
ai2 ... aij ... ain
i1
... ... ... ... ... ...
an1 an2 ... anj ... ann
Ta chó ý ®Õn phÇn tö aij, bá ®i hµng i vµ cét j ta thu ® îc ma trËn chØ cßn n-1
hµng, n-1 cét; tøc lµ ma trËn cÊp n-1. Ta ký hiÖu nã lµ Mij vµ gäi nã lµ ma trËn con
øng víi phÇn tö aij.
a
a12 a13
11
Ch¼ng h¹n, víi: A a21 a22 a23
ta cã:
a31 a32 a33
a
a
a
a
a
a
22
21
21
23
23
22
M11
M21
M31
M12
M22
M32
M13
M23
M33
a32 a33
a31 a33
a31 a32
a
a
a
a
a
a
12
11
11
13
13
12
a32 a33
a31 a33
a31 a32
a
a
a
a
a
a
12
11
11
13
13
12
a22 a23
a21 a23
a21 a22
- §Þnh nghÜa III.1. §Þnh thøc cña ma trËn A, ký hiÖu lµ det(A) ® îc ®Þnh nghÜa
(dÇn dÇn) nh sau:
A lµ ma trËn cÊp 1: A = [a11] th× det(A) = a11
a
a
12
11
A lµ ma trËn cÊp 2: A
th×
a21 a22
det(A) = a11 det(M11) - a12 det(M12) = a11 a22 - a12 a21
(chó ý r»ng a11 vµ a12 lµ c¸c phÇn tö n»m cïng ë hµng 1 cña ma trËn A)
A lµ ma trËn cÊp n th×:
det(A) = a11 det(M11) - a12 det(M12) + … + (-1)1+n a1n det(M1n)
(chó ý r»ng a11, a12, …, a1n lµ c¸c phÇn tö cïng n»m ë hµng 1 cña ma trËn A)
- §Ó ký hiÖu ®Þnh thøc, ng êi ta dïng 2 g¹ch ®øng ®Æt ë 2 bªn:
a11 a12 a13
a11 a12
a21 a22 a23
a21 a22
a31 a32 a33
§Þnh thøc cña ma trËn cÊp n gäi lµ ®Þnh thøc cÊp n.
ThÝ dô:
1 2
= 1.4 – 2.3 = -2
3 4
1 2 3
5
6
9
- 4
7
6
9
4
5
- 4 5 6 1
2
3
- 8
7 - 8
7 - 8 9
= 1 (45 + 48) – 2 (-36 – 42) + 3 (32 – 35) = 240
2. TÝnh chÊt cña ®Þnh thøc
2-1. TÝnh chÊt 1:
det(At) = det(A)
H íng chøng minh: tr íc hÕt chøng minh c«ng thøc phô:
det(A) = a11 det(M11) – a21 det(M21) + … + (-1)n+1 an1 det(Mn1)
(III-1)
1 2
3 4
1 3
2 4
- 2
1.4 -3.2 - 2
ThÝ dô:
HÖ qu¶: Mét tÝnh chÊt ®· ®óng khi ph¸t biÓu vÒ hµng cña ®Þnh thøc th× nã vÉn
cßn ®óng (khi) trong ph¸t biÓu ta thay hµng b»ng cét.
2-2. TÝnh chÊt 2:
- §æi chç 2 hµng (hay 2 cét) cña 1 ®Þnh thøc ta ® îc 1 ®Þnh thøc míi b»ng ®Þnh
thøc cò ®æi dÊu.
Chøng minh:
1 2
ThÝ dô: ta cã
1.4 - 2.3 - 2
3 4
- §æi chç 2 hµng liªn tiÕp ta ® îc:
2-3. TÝnh chÊt 3:
3 4
1 2
3.2 - 4.1 - (-2)
Mét ®Þnh thøc cã 2 hµng (hay 2 cét) nh nhau th× b»ng kh«ng.
Chøng minh: gäi ®Þnh thøc cã 2 hµng nh nhau lµ . §æi chç 2 hµng ®ã ta ® îc:
= - . VËy cã 2 = 0, do ®ã = 0
2-4. TÝnh chÊt 4:
- Dùa vµo ®Þnh nghÜa (III.1) vµ ¸p dông tÝnh chÊt 2 ta suy ra:
det(A) = (-1)i+1 [ai1 det(Mi1) – ai2 det(Mi2) + … + ain det(Min)]
* Chó ý r»ng c¸c phÇn tö ai1, ai2, …, ain ®Òu n»m ë hµng i cña ®Þnh thøc nªn c«ng
thøc (III-2) cã thÓ gäi lµ khai triÓn cña ®Þnh thøc theo hµng i.
- Dùa vµo c«ng thøc phô trong chøng minh tÝnh chÊt 1 vµ dùa vµo tÝnh chÊt 2 ta
suy ra:
(III-2)
det(A) = (-1)1+j [a1j det(M1j) – a2j det(M2j) + … + anj det(Mnj)]
(III-3)
* Chó ý r»ng c¸c phÇn tö a1j, a2j, …, anj ®Òu n»m ë cét j cña ®Þnh thøc nªn c«ng thøc
(III-3) cã thÓ gäi lµ khai triÓn cña ®Þnh thøc theo cét j.
1 2 3
ThÝ dô:
xÐt - 4 5 6
7 -8 9
ë thÝ dô cña ®Þnh nghÜa III.1 ®· t×m ® îc = 240 (dùa vµo ®Þnh nghÜa)
B©y giê ¸p dông khai triÓn ®Þnh thøc theo hµng i = 3 theo (III-2) ta cã:
2 3
5 6
1 3
1 2
(1)31
7
- (-8)
9
7 (12-15) 8(6 12) 9 (5 8) 240
- 4 6
- 4 5
¸p dông khai triÓn ®Þnh thøc theo cét j = 2 theo (III-3) ta còng cã:
- 4 6
7 9
1 3
7 9
1 3
(1)12
2
- 5
(-8)
- 2 (-36- 42) 5(9- 21) 8(6 12) 240
- 4 6
2-5. TÝnh chÊt 5:
Mét ®Þnh thøc cã 1 hµng (hay 1 cét) toµn lµ sè kh«ng th× b»ng kh«ng.
§ã lµ hÖ qu¶ cña c¸c c«ng thøc (III-2) vµ (III-3).
2-6. TÝnh chÊt 6:
Khi nh©n c¸c phÇn tö cña 1 hµng (hay 1 cét) víi cïng 1 sè k th× ® îc 1 ®Þnh
thøc míi b»ng ®Þnh thøc cò nh©n víi k.
§ã lµ hÖ qu¶ cña c¸c c«ng thøc (III-2) vµ (III-3).
HÖ qu¶: tõ tÝnh chÊt 6 suy ra nhËn xÐt sau: khi c¸c phÇn tö cña 1 hµng (hay 1 cét) cã 1
thõa sè chung, ta cã thÓ ® a thõa sè chung ®ã ra ngoµi dÊu ®Þnh thøc.
2 3
2 3
2 3
ThÝ dô:
4
4(4-3) 4
4 8 4.1 4.2
1 2
2-7. TÝnh chÊt 7:
Mét ®Þnh thøc cã 2 hµng (hay 2 cét) tû lÖ th× b»ng kh«ng.
ThËt vËy, ® a hÖ sè tû lÖ ra ngoµi dÊu ®Þnh thøc th× ® îc 1 ®Þnh thøc cã 2 hµng
(hay 2 cét) nh nhau nªn nã b»ng kh«ng.
2-8. TÝnh chÊt 8:
Khi tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña 1 hµng (hay 1 cét) cã d¹ng tæng cña 2 sè h¹ng th×
®Þnh thøc cã thÓ ph©n tÝch thµnh tæng cña 2 ®Þnh thøc, ch¼ng h¹n nh :
a11 a1' 2 a''
a11 a1' 2
a21 a'22
a11
a
''
12
12
a21 a'22 a''
a21
a
''
22
22
a1' 1 a1' 2
a
a
''
''
a1' 1 a'' a1' 2 a''
11
12
11
12
a21
a22
a21 a22
a21 a22
§ã lµ hÖ qu¶ cña c¸c c«ng thøc (III-2) vµ (III-3).
2-9. TÝnh chÊt 9: NÕu 1 ®Þnh thøc cã 1 hµng (hay 1 cét) lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c
hµng kh¸c (hay cña c¸c cét kh¸c) th× ®Þnh thøc Êy b»ng kh«ng.
§ã lµ hÖ qu¶ cña tÝnh chÊt 8 vµ 7.
2-10. TÝnh chÊt 10: Khi ta céng béi k cña 1 hµng vµo 1 hµng kh¸c (hµng béi k cña 1
cét vµo 1 cét kh¸c) th× ® îc 1 ®Þnh thøc míi b»ng ®Þnh thøc cò.
2 1 3
4 5 7 4 (2)2 5 (-2)1 7 (-2)3 0 3 1
6 1 5 6 1 5
2
1
3
2 1 3
ThÝ dô:
6
1
5
* Chó ý: lµm nh trong thÝ dô trªn ta ® îc 1 ®Þnh thøc míi b»ng ®Þnh thøc cò nh ng
l¹i cã phÇn tö ë hµng 2 cét 1 b»ng kh«ng.
Ta còng cã thÓ lµm nh thÕ víi hµng thø ba ®Ó biÕn phÇn tö ë hµng 3 cét 1
thµnh sè kh«ng.
2 1 3
2
1
3
2 1 3
0 3 1
0 - 2 - 4
0 3 1
6 1 5
0
3
1
6 (3)2 1 (-3)1 5 (-3)3
Ta thÊy ®Þnh thøc sÏ ®¬n gi¶n ®i.
2-11: TÝnh chÊt 11:
(VÒ c¸c ®Þnh thøc cã d¹ng tam gi¸c). C¸c ®Þnh thøc cña ma trËn tam gi¸c b»ng
tÝnh c¸c phÇn tö chÐo.
a11 a12 ... a1n
0
a22 ... a2n
a11 a22 ...ann
... ... ... ...
... ann
0
0
a11
0
... 0
a21 a22 ... 0
... ... ... ...
an1 an2 ... ann
a11 a22 ...ann
C¸ch chøng minh dùa vµo khai triÓn (III-2) vµ (III-3)
Ch¼ng h¹n, xÐt ®Þnh thøc cÊp ba
a11 a12 a13
Δ 0 a22 a23
0
0
a33
a22 a23
a33
Khai triÓn theo cét 1 ta ® îc: Δ a11
0
Sau ®ã tÝnh ®Þnh thøc cÊp hai b»ng khai triÓn theo cét 1 cña nã ta ® îc:Δ a11 a22 a33
1 2 3
ThÝ dô:
0 7 -6 1.7.11 77
0 0 11
3. C¸ch tÝnh ®Þnh thøc b»ng biÕn ®æi s¬ cÊp
B íc 1: ¸p dông c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp vÒ hµng t×m c¸ch ® a dÊu ®Þnh thøc
®· cho vÒ d¹ng tam gi¸c, nhí ghi l¹i t¸c dông cña tõng phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp ® îc sö
dông.
B íc 2: TÝnh gi¸ trÞ cña ®Þnh thøc d¹ng tam gi¸c thu ® îc dùa vµo tÝnh chÊt 11
vµ kÓ ®Õn t¸c dông tæng hîp cña c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp ®· sö dông.
0 1 5
ThÝ dô:
TÝnh Δ 3 - 6 9
2 6 1
Gi¶i: ta cã
3 - 6 9
Δ - 0 1 5
2 6 1
®æi chç 2 hµng 1 vµ 2
1 -2 3
-3 0 1 5
2 6 1
® a thõa sè 3 ë hµng 1 ra ngoµi
céng -2 lÇn hµng 1 víi hµng 3
céng -10 lÇn hµng 2 víi hµng 3
1 - 2 3
- 3 0 1
5
0 10 - 5
1 - 2 3
- 3 0 1
5
0 0 - 55
- 3.1.1.(-55) 165
* Chó ý: còng cã thÓ xÐt c¸c biÕn ®æi s¬ cÊp vÒ cét vµ ¸p dông chóng ®Ó tÝnh ®Þnh
thøc.
iV. Ma trËn nghÞch ®¶o
Ma trËn ®¬n vÞ:
Gäi n lµ tËp c¸c ma trËn vu«ng cÊp n:
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
μn
A ,
A
... ... ... ...
an1 an2 ... ann
Ma trËn
1 0 ... 0
0 1 ... 0
... ... ... ...
I
0 0 ...
trong ®ã c¸c phÇn tö chÐo b»ng 1, c¸c phÇn tö kh¸c b»ng 0, gäi lµ ma trËn ®¬n
vÞ cÊp n.
§Æc ®iÓm cña ma trËn ®¬n vÞ I lµ:
A.I = I.A = A, A n
1
1 2 1 0
1 2
1 0 1 2
1 2
ThÝ dô:
;
3 4 0 1
3 4
0 1 3 4
3 4
1. §Þnh nghÜa:
XÐt (ma trËn) A (tËp c¸c ma trËn vu«ng cÊp n) n. NÕu ma trËn B n sao
cho:
A.B = B.A = I
th× ta nãi A kh¶ ®¶o vµ gäi B lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña A.
Khi A cã nghÞch ®¶o th× ta nãi A kh«ng suy biÕn
Ng êi ta ký hiÖu ma trËn nghÞch ®¶o cña A lµ A-1, nghÜalµ cã :
A.A-1 = A-1.A = I
- 2
1
1 2
A-1
A
ThÝ dô:
th×
3
1
3 4
2
2
V×
-2
3
1
1 2
1
0
1
3 4
0
1
2
2
- 2
1
1
2
1
0
3
1
3
4
0
1
2
2
2. C¸ch t×m ma trËn nghÞch ®¶o
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
an1 an2 ... ann
XÐt ma trËn
A
Ta ®· gäi ma trËn Mij ( suy tõ A b»ng c¸ch bá ®i hµng i, cét j) lµ ma trËn con
øng víi phÇn tö aij.
B©y giê ta gäi:
Dij = det(Mij)
(IV-2.1)
lµ ®Þnh thøc con øng víi phÇn tö aij., vµ
cij = (-1)i+j Dij
lµ phÇn phô ®¹i sè cña phÇn tö aij
KÕt hîp c«ng thøc (III-2) víi tÝnh chÊt 3 cña ®Þnh thøc ®· cho:
det(A)nÕu k i
a c a c ... a c
(IV- 2.2)
(IV- 2.3)
k1
i1
k2
i2
kn
in
0
nÕu k i
KÕt hîp c«ng thøc (III-3) víi tÝnh chÊt 3 ta cã:
det(A)nÕu k j
a c a c ... a c
1k
1j
2k
2j
nk
nj
0
nÕu k j
Ta cã:
§Þnh lý: nÕu det(A) ≠ 0 th× ma trËn A cã nghÞch ®¶o A-1 ® îc tÝnh bëi c«ng
thøc sau:
C11 C21 ... Cn1
C12 C22 ... Cn2
1
1
A-1
Ct
det(A)
det(A) ... ... ... ...
C1n C2n ... Cnn
Chøng minh: nh©n ACt vµ ¸p dông c«ng thøc (IV-2.2) ta ® îc:
det(A) 0
...
0
ACt
0
det(A) ...
0
0
0
... det(A)
Nh©n CtA vµ ¸p dông c«ng thøc (IV-2.3) ta còng ® îc nh thÕ
1
1
1
1
t
ACt
C A
VËy cã:
= 1
det(A)
det(A)
1
vµ ®Þnh lý ® îc chøng minh.
* Chó ý: khi det(A) ≠ 0 th× A cã nghÞch ®¶o, nªn A lµ ma trËn kh«ng suy biÕn.
ThÝ dô: (C¸ch tÝnh ma trËn nghÞch ®¶o b»ng phÇn phô ®¹i sè)
1
2
5
0
3
3
8
A 2
Cho:
1
Ta cã:
det(A) = 1.40 – 2.13 + 3(-5) = -1 ≠ 0
C11 = (-1)1+1 det(M11) = 1.40 = 40
C12 = (-1)1+2 det(M12) = -1.13 = -13
C13 = (-1)1+3 det(M13) = 1.(-5) = -5
C21 = (-1)2+1 det(M21) = -1.16 = -16
C22 = (-1)2+2 det(M22) = 1.5 = 5
C23 = (-1)2+3 det(M23) = -1.(-2) = 2
C31 = (-1)3+1 det(M31) = 1.(-9) = -9
C32 = (-1)3+2 det(M32) = -1.(-3) = 3
C33 = (-1)3+3 det(M33) = 1.1 = 1
Do ®ã:
VËy
40 -13 -5
40 -16 - 9
C -16
5
3
2 Ct -13
5
2
3
1
- 9
1
- 5
40 -16 - 9
- 40
16
9
-3
-1
1
A-1
-13
-5
5
2
3 13 -5
-1
1
5
- 2
a
b
A
ThÝ dô: xÐt ma trËn cÊp hai
c
d
v. HÖ ph ¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh
1. C¸c hÖ ph ¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh
1-1. D¹ng tæng qu¸t cña 1 hÖ ph ¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh
a x a x ... a x b
11
1
12
2
1n
n
1
a x a x ... a x b
21
1
22
2
2n
n
2
(V-1.1)
..........................................
am1x1 am2x2 ... amnxn bm
§ã lµ 1 hÖ m ph ¬ng tr×nh ®¹i sè bËc nhÊt ®èi víi n Èn sè. Trong ®ã:
x1, x2,…, xn lµ c¸c Èn sè
aij lµ hÖ sè ë ph ¬ng tr×nh thø i cña Èn xj
bi lµ vÕ ph¶i cña ph ¬ng tr×nh thø i
Khi m = n, ta cã 1 hÖ vu«ng víi n ph ¬ng tr×nh, n Èn sè
Khi c¸c bi = 0 i, ta cã 1 hÖ thuÇn nhÊt.
ThÝ dô:
2x 3x 4x 5
1
2
3
lµ 1 hÖ 2 ph ¬ng tr×nh 3 Èn;
3x1 2x2 7x3 6
2x 3x 5
1
2
lµ 1 hÖ 2 ph ¬ng tr×nh 2 Èn;
lµ 1 hÖ thuÇn nhÊt.
3x1 2x2 6
2x 5x 0
1
2
4x1 6x2 0
- D¹ng ma trËn cña hÖ ph ¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh
XÐt hÖ (V-1.1):
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
Ma trËn A
(V-1.2)
gäi lµ ma trËn hÖ sè cña hÖ;
... ... ... ...
am1 am2 ... amn
b
1
b2
t
Ma trËn b
Ma trËn x
b1 b2 bm
gäi lµ ma trËn vÕ ph¶i (hay cét vÕ ph¶i) cña hÖ
bm
x
1
x2
t
x1 x2 xn
gäi lµ ma trËn Èn cña hÖ
xn
Víi phÐp nh©n ma trËn víi ma trËn, hÖ (V-1.1) viÕt:
Ax = b
(V-1.3)
§ã lµ d¹ng ma trËn cña hÖ (V-1.1)
1.2. HÖ Cramer:
XÐt hÖ n ph ¬ng tr×nh, n Èn:
a x a x ... a x b
11
1
12
2
1n
n
1
a x a x ... a x b
21
1
22
2
2n
n
2
(V-1.4)
..........................................
an1x1 an2x2 ... ann xn bn
a
a12 ... a
11
1n
a21 a22 ... a2n
Cã ma trËn hÖ sè:
A
(V-1.5)
... ... ... ...
an1 an2 ... ann
lµ 1 ma trËn vu«ng cÊp n.
D¹ng ma trËn cña hÖ vÉn lµ (V-1.3), chØ kh¸c ë chç A cã d¹ng (V-1.5)
vµ b = [b1 b2 … bn]t
HÖ (V-1.3) ë ®©y viÕt l¹i lµ: Ax = b
(V-1.6)
§Þnh nghÜa: HÖ((V-1.4) tøc lµ (V-1.6)) n ph ¬ng tr×nh, n Èn ® îc gäi lµ hÖ Cramer
nÕu det(A) ≠ 0.
§Þnh lý Cramer: HÖ Cramer cã nghiÖm duy nhÊt ® îc tÝnh b»ng c«ng thøc: x = A-1b,
det(Aj )
tøc lµ:
xj
det(A)
trong ®ã:
Chøng minh:
ThÝ dô: gi¶i hÖ
A lµ ma trËn hÖ sè (V-1.5)
Aj lµ ma trËn suy ra tõ A b»ng c¸ch thay cét thø j bëi cét vÒ ph¶i b.
x1
2x3 6
- 3x 4x 6x 30
1
2
3
- x1 - 2x2 3x3 8
Gi¶i: ta cã
VËy
1 0 2
6
A - 3 4 6 , b 30
8
-1 - 2 3
6 0 2
1 6
2
1 0 6
A1 30 4 6 , A2 - 3 30 6 , A3 - 3 4 30
8 - 2 3
-1 8
3
-1 - 2 8
TÝnh:
det(A) = 1.24 - 0 + 2.10 = 44 ≠ 0
det(A1) = 6.24 - 0 + 2.(- 92) = - 40
det(A2) = 1.42 - 6.(- 3) + 2.6 = 72
det(A3) = 1.92 - 0 + 6.10 = 152
C¸c nghiÖm cña hÖ:
- 40
10
72 18
;
152 38
x3 .
x1
;
11
x2
44
44 11
44 11
2. Gi¶i hÖ ph ¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh b»ng biÕn ®æi s¬ cÊp:
XÐt hÖ ph ¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh ë d¹ng (V-1.4):
a x a x ... a x b
11
1
12
2
1n
n
1
a x a x ... a x b
21
1
22
2
2n
n
2
..........................................
an1x1 an2x2 ... ann xn bn
vµ ë d¹ng ma trËn (V-1.6):
Ax = b
trong ®ã A lµ ma trËn (V-1.5):
a
a12 ... a
11
1n
a21 a22 ... a2n
A
.........................
an1 an2 ... ann
a) HÖ tam gi¸c trªn: lµ hÖ
a x a x ... a x b
11
1
12
2
1n
n
1
a22x2 ... a2n xn b2
.............
ann xn bn
a
a12 ... a
11
1n
a22 ... a2n
cã ma trËn hÖ sè lµ 1 ma trËn tam gi¸c trªn: A
...
ann
Víi gi¶ thiÕt aii ≠ 0, viÖc gi¶i nã tõ d íi lªn rÊt ®¬n gi¶n:
ph ¬ng tr×nh cuèi cho ngay xn, ph ¬ng tr×nh liÒn trªn cho xn-1,… ph ¬ng tr×nh ®Çu
cho x1.
b) Ph ¬ng ph¸p gi¶i:
Ta viÕt ma trËn A vµ c¹ch nã lµ vÐc t¬ b, ta ® îc ma trËn ch÷ nhËt [A, b]. ¸p
dông c¸c biÕn ®æi s¬ cÊp vÒ hµng vµo ma trËn [A, b] ®Ó ® a dÇn ma trËn A vÒ d¹ng
tam gi¸c. Ta nhËn thÊy:
PhÐp biÕn ®æi s¬ cÊp nh©n 1 hµng víi 1 sè kh¸c 0 øng víi phÐp nh©n 1 ph ¬ng
tr×nh cña hÖ víi 1 sè kh¸c 0, nã kh«ng lµm thay ®æi nghiÖm cña hÖ.
PhÐp ®æi chç 2 hµng øng víi phÐp ®æi vÞ trÝ cña 2 ph ¬ng tr×nh kh«ng lµm thay
®æi nghiÖm cña hÖ.
Cuèi cïng phÐp céng béi k cña mét hµng vµo 1 hµng kh¸c øng víi phÐp céng
béi k cña 1 ph ¬ng tr×nh vµo 1 ph ¬ng tr×nh kh¸c còng kh«ng lµm thay ®æi nghiÖm
cña hÖ.
VËy hÖ tam gi¸c cuèi cïng thu ® îc t ¬ng ® ¬ng víi hÖ ®· cho. Gi¶i hÖ nµy -
®iÒu nµy kh«ng khã – tõ d íi lªn ta thu ® îc nghiÖm cña hÖ ®· cho.
2x 4x 3x 4
1
2
3
ThÝ dô: xÐt hÖ
3x x - 2x - 2
1
2
3
4x1 11x2 7x3 7
Ta cã:
2 4 3
4
b - 2
A 3 1 - 2 ,
7
4 11 7
¸p dông c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp vÒ hµng ®Ó ® a ma trËn A vÒ d¹ng tam gi¸c ta
cã:
2
3
4
2
4
1
11
4
-5
3
3
-2
7
3
-6,5
1
4
-2
7
4
-8
-1
4
2
4
3
-5
-6,5
-2,9
-8
-5,8
VËy hÖ ®· cho t ¬ng ® ¬ng víi hÖ tam gi¸c trªn:
2x 4x 3x 4
1
2
3
- 5x2 - 6,5x3 - 8
- 2,9x3 - 5,8
Gi¶i hÖ tam gi¸c trªn nµy tõ d íi lªn ta ® îc:
x3 = 2;
§ã còng lµ nghiÖm cña hÖ ®· cho.
Ph ¬ng ph¸p võa tr×nh bµy cßn cã tªn lµ ph ¬ng ph¸p Gauss.
x2 = -1,
x1 = 1
B. To¸n x¸c suÊt
I- Gi¶i tÝch tæ hîp
1. TÝnh giai thõa:
n! = n . (n-1) . (n-2) . ... . 2 . 1
0! = 1 theo quy íc
Chó ý r»ng:
2. Ho¸n vÞ:
XÐt 1 tËp h÷u h¹n cã n phÇn tö:
E = { x1, x2, …, xn}
§Þnh nghÜa: mét ho¸n vÞ cña E lµ tËp gåm tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña E ® îc xÕp theo 1
thø tù x¸c ®Þnh.
B¶n th©n E còng lµ 1 ho¸n vÞ cña E, ® îc gäi lµ ho¸n vÞ ®ång nhÊt.
Mçi ho¸n vÞ c¶u E øng víi 1 song ¸nh tõ E lªn E vµ ng îc l¹i.
ThÝ dô 1:
E ={x1, x2} th× c¸c ho¸n vÞ cña E lµ {x1, x2} vµ {x2, x1}
E ={x1, x2, x3} th× c¸c ho¸n vÞ cña E lµ
{x1, x2, x3},{x2, x3, x1},{ x3, x1, x2,},{x3, x2, x1},{x2, x1, x3},{x1, x3, x2}
Ta thÊy: sè c¸c ho¸n vÞ cña 1 tËp cã 2 phÇn tö lµ 2 = 2!, sè c¸c ho¸n vÞ cña 1 tËp
cã 3 phÇn tö lµ 6 = 3!
Ng êi ta ®· chøng minh ® îc r»ng sè c¸c ho¸n vÞ (kh¸c nhau) cña tËp E cã n
phÇn tö lµ:
Pn = n!
ThÝ dô 2:
P10 = 10! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10
* Chó ý: vËy sè song ¸nh cña tËp E cã n phÇn tö lªn chÝnh nã hay sè c¸c song
¸nh gi÷a 2 tËp cïng cã n phÇn tö lµ Pn.
3. ChØnh hîp (®¬n, kh«ng lÆp)
XÐt c¸c bé phËn gåm k phÇn tö kh¸c nhau ® îc rót ra tõ E, 0 k n
§Þnh nghÜa: mét bé phËn gåm k phÇn tö kh¸c nhau (0 k n) lÊy tõ n phÇn tö cña E
råi xÕp theo 1 thø tù x¸c ®Þnh lµ 1 chØnh hîp (kh«ng lÆp) chËp k cña n phÇn tö cña E.
Mçi chØnh hîp (kh«ng lÆp) chËp k cña n phÇn tö cña E øng víi 1 ®¬n ¸nh tõ
tËp B cã k phÇn tö tíi E vµ ng îc l¹i.
ThÝ dô:
Cho E ={x1, x2, x3}, k = 2, (n = 3) th× c¸c chØnh hîp chËp 2 cña 3 phÇn tö cña E
lµ:
{x1, x2}, { x2, x1}, {x1, x3}, { x3, x1}, {x2, x3}, { x3, x2}
Cã 6 tÊt c¶.
Ng êi ta ®· chøng minh ® îc r»ng sè c¸c chØnh hîp chËp k (0 k n) cña 1
tËp hîp cã n phÇn tö lµ:
n!
Akn
n(n 1)...(n k 1)
(n - k)!
A2 3.2 6
Víi n = 3, k = 2 ta cã
3
Ak
* Chó ý: vËy sè ®¬n ¸nh tõ 1 tËp cã k phÇn tö (0 k n) tíi 1 tËp cã n phÇn tö lµ
.
n
4. ChØnh hîp lÆp
XÐt E ={x1, x2, …, xn} vµ tËp B gåm k phÇn tö
B ={y1, y2, …, yk}
§Þnh nghÜa: mét chØnh hîp lÆp chËp k cña E lµ 1 bé phËn gåm k phÇn tö kh«ng b¾t
buéc ph¶i kh¸c nhau lÊy tõ n phÇn tö cña E råi xÕp theo 1 thø tù x¸c ®Þnh.
Mçi chØnh hîp lÆp chËp k cña E øng víi 1 ¸nh x¹ tõ B ®Õn E vµ ng îc l¹i.
ThÝ dô:
E ={x1, x2} th× c¸c chØnh hîp lÆp chËp 3 cña c¸c phÇn tö cña E lµ:
{x1, x1, x1},{x1, x1, x2},{x1, x2, x1},{x2, x1, x1}
{x2, x2, x2},{x2, x2, x1},{x2, x1, x2},{x1, x2, x2}.
TÊt c¶ cã 8 = 23.
Ng êi ta ®· chøng minh ® îc r»ng sè chØnh hîp lÆp chËp k cña 1 tËp cã n phÇn
tö lµ (nk):
¢kn nk
Víi n = 2, k = 3 ta cã 23 = 8
* Chó ý: vËy sè ¸nh x¹ tõ tËp B cã k phÇn tö ®Õn tËp E cã n phÇn tö lµ nk.
5. Tæ hîp
XÐt tËp E ={x1, x2, …, xn}, 0 k n.
§Þnh nghÜa: mét bé phËn gåm k phÇn tö kh¸c nhau (0 k n) lÊy tõ c¸c phÇn tö cña
E (kh«ng kÓ thø tù) gäi lµ 1 tæ hîp chËp k cña n phÇn tö cña E.
ThÝ dô:
Cho E ={x1, x2, x3}, k = 2, (n = 3) th× c¸c tæ hîp chËp 2 cña 3 phÇn tö Èn E lµ:
{x1, x2}, {x1, x3}, {x2, x3}
Cã 3 tÊt c¶
Ck
Gäi sè c¸c tæ hîp (kh¸c nhau) chËp k cña 1 tËp cã n phÇn tö (0 k n) lµ
.
n
Ank
Râ rµng theo ®Þnh nghÜa cña tæ hîp vµ ho¸n vÞ ta cã: Ckn
. Do ®ã:
Pk
n!
n (n 1)...(n - k 1)
Ckn
(n k)! k!
C2 3
k!
Víi n = 3, k = 2 ta cã
3
Ck
C0
vµ víi quy íc n = 1 ta suy ra:
* Chó ý: tõ biÓu thøc cñ a
n
Cnn-k Ckn
Ckn Ckn1 Ck1
n1
II- PhÐp thö, c¸c lo¹i biÕn cè vµ x¸c suÊt cña biÕn cè:
1. PhÐp thö vµ c¸c lo¹i biÕn cè
Trong tù nhiªn vµ x· héi, mçi hiÖn t îng ®Òu g¾n liÒn víi 1 nhãm c¸c ®iÒu kiÖn
c¬ b¶n vµ c¸c hiÖn t îng ®ã chØ cã thÓ x¶y ra khi nhãm c¸c ®iÒu kiÖn c¬ b¶n g¾n liÒn
víi nã ® îc thùc hiÖn. Do ®ã, khi muèn nghiªn cøu 1 hiÖn t îng, ta cÇn thùc hiÖn
nhãm c¸c ®iÒu kiÖn c¬ b¶n Êy. Ch¼ng h¹n, nÕu muèn quan s¸t viÖc xuÊt hiÖn mÆt sÊp
hay mÆt ngöa cña 1 ®ång xu, ta ph¶i tung ®ång xu xuèng ®Êt; cßn ®Ó xÐt xem viªn ®¹n
tróng bia hay tr ît, ta ph¶i b¾n c¸c viªn ®¹n; khi muèn nghiªn cøu chÊt l îng cña 1
l« s¶n phÈm, ta ph¶i lÊy ngÉu nhiªn 1 hoÆc 1 sè s¶n phÈm cña l« s¶n phÈm ®ã,…
ViÖc thùc hiÖn 1 nhãm c¸c ®iÒu kiÖn c¬ b¶n ®Ó quan s¸t 1 hiÖn t îng nµo ®ã cã
x¶y ra hay kh«ng ® îc gäi lµ thùc hiÖn 1 phÐp thö, cßn hiÖn t îng cã thÓ x¶y ra trong
kÕt qu¶ cña phÐp thö ®ã ® îc gäi lµ biÕn cè.
ThÝ dô 1:
Tung 1 con xóc x¾c xuèng ®Êt lµ 1 phÐp thö, cßn viÖc lËt lªn 1 mÆt nµo ®ã lµ
biÕn cè.
ThÝ dô 2:
B¾n 1 ph¸t sóng vµo bia. ViÖc b¾n sóng lµ phÐp thö, cßn viÖc tróng vµo 1 miÒn
nµo ®ã cña bia lµ biÕn cè.
ThÝ dô 3:
Tõ 1 l« s¶n phÈm gåm chÝnh phÈm vµ phÕ phÈm, lÊy ngÉu nhiªn 1 s¶n phÈm.
ViÖc lÊy s¶n phÈm lµ phÐp thö, cßn viÖc lÊy ® îc chÝnh phÈm hay phÕ phÈm lµ biÕn
cè.
Nh vËy, ta thÊy r»ng 1 biÕn cè chØ cã thÓ x¶y ra khi 1 phÐp thö g¾n liÒn víi nã
® îc thùc hiÖn. Trong thùc tÕ cã thÓ x¶y ra c¸c lo¹i biÕn cè sau ®©y:
+ BiÕn cè ch¾c ch¾n: lµ biÕn cè nhÊt ®Þnh sÏ x¶y ra khi thùc hiÖn 1 phÐp thö.
BiÕn cè ch¾c ch¾n ® îc ký hiÖu lµ U.
ThÝ dô 4:
Thùc hiÖn phÐp thö tung 1 con xóc x¾c. Gäi U lµ biÕn cè “XuÊt hiÖn mÆt cã sè
chÊm nhá h¬n hoÆc b»ng 6” th× U lµ biÕn cè ch¾c ch¾n.
+ BiÕn cè kh«ng thÓ cã: lµ biÕn cè nhÊt ®Þnh kh«ng x¶y ra khi thùc hiÖn phÐp
thö. BiÕn cè kh«ng thÓ cã ® îc ký hiÖu lµ V.
ThÝ dô 5:
Tung 1 con xóc x¾c. Gäi V lµ biÕn cè “XuÊt hiÖn mÆt cã 7 chÊm” th× V lµ biÕn
cè kh«ng thÓ cã.
+ BiÕn cè ngÉu nhiªn: Lµ biÕn cè cã thÓ x¶y ra hoÆc kh«ng x¶y ra khi thùc hiÖn
1 phÐp thö. C¸c biÕn cè ngÉu nhiªn ® îc ký hiÖu lµ A, B, C, … hoÆc A1, A2, …, An,
B1, B2, …, Bm.
ThÝ dô 6:
Tung 1 xóc x¾c. Gäi A lµ biÕn cè “XuÊt hiÖn mÆt 1 chÊm” th× A lµ biÕn cè ngÉu
nhiªn.
ThÝ dô 7:
B¾n 1 ph¸t ®¹n vµo bia. Gäi B lµ biÕn cè “Tróng vßng 10” th× B lµ biÕn cè ngÉu
nhiªn.
TÊt c¶ c¸c biÕn cè mµ chóng ta gÆp trong thùc tÕ ®Òu thuéc vÒ 1 trong 3 lo¹i
biÕn cè kÓ trªn. Tuy nhiªn, c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn lµ c¸c biÕn cè th êng gÆp h¬n c¶.
2. X¸c suÊt cña biÕn cè
Nh trªn ta thÊy, viÖc biÕn cè ngÉu nhiªn x¶y ra hay kh«ng x¶y ra trong kÕt
qu¶ cña phÐp thö lµ ®iÒu kh«ng thÓ ®o¸n tr íc ® îc. Tuy nhiªn, b»ng trùc quan ta cã
thÓ nhËn thÊy c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn kh¸c nhau cã nh÷ng kh¶ n¨ng x¶y ra kh¸c
nhau. Ch¼ng h¹n biÕn cè “ XuÊt hiÖn mÆt sÊp” khi tung 1 ®ång xu sÏ cã kh¶ n¨ng x¶y
ra lín h¬n nhiÒu so víi biÕn cè “ XuÊt hiÖn mÆt cã 1 chÊm” khi tung 1 con xóc x¾c.
H¬n n÷a, khi lÆp ®i lÆp l¹i nhiÒu lÇn cïng 1 phÐp thö trong nh÷ng ®iÒu kiÖn nh nhau,
ng êi ta thÊy tÝnh chÊt ngÉu nhiªn cña biÕn cè mÊt dÇn ®i vµ kh¶ n¨ng x¶y ra cña
biÕn cè sÏ ® îc thÓ hiÖn theo nh÷ng quy luËt nhÊt ®Þnh. Tõ ®ã ta thÊy cã kh¶ n¨ng
®Þnh l îng (®o l êng) kh¶ n¨ng kh¸ch quan xuÊt hiÖn 1 biÕn cè nµo ®ã.
X¸c suÊt cña 1 biÕn cè lµ 1 con sè ®Æc tr ng (cho) kh¶ n¨ng kh¸ch quan xuÊt
hiÖn biÕn cè ®ã khi thùc hiÖn p hÐp thö.
Chó ý r»ng ®©y lµ kh¶ n¨ng kh¸ch quan, do nh÷ng ®iÒu kiÖn x¶y ra cña phÐp
thö quy ®Þnh chø kh«ng tuú thuéc vµo ý muèn chñ quan cña con ng êi.
Nh vËy, b¶n chÊt x¸c suÊt cña 1 biÕn cè lµ 1 con sè x¸c ®Þnh. §Ó tÝnh x¸c suÊt
cña 1 biÕn cè, ng êi ta ®· x©y dùng c¸c ®Þnh nghÜa vµ ®Þnh lý (sau ®©y):
iii- §Þnh nghÜa cæ ®iÓn, ®Þnh nghÜa thèng kª vÒ x¸c suÊt
1. §Þnh nghÜa cæ ®iÓn vÒ x¸c suÊt
1.1. ThÝ dô
Thùc hiÖn 1 phÐp thö lµ tung 1 con xóc x¾c ®Òu ®Æn vµ ®ång chÊt. Gäi A lµ biÕn
cè “XuÊt hiÖn mÆt ch½n chÊm”. X¸c ®Þnh x¸c suÊt cña biÕn cè A.
Khi tung 1 con xóc x¾c ®Òu ®Æn vµ ®ång chÊt, ta thÊy cã 6 tr êng hîp cã thÓ
x¶y ra lµ: xuÊt hiÖn c¸c mÆt 1 chÊm, 2 chÊm, …, 6 chÊm. Nh÷ng tr êng hîp nµy (®Òu)
tho¶ m·n 2 ®iÒu kiÖn: Tr íc hÕt chóng (lµ) duy nhÊt, tøc lµ trong kÕt qu¶ cña phÐp thö
x¶y ra 1 vµ chØ 1 trong c¸c tr êng hîp ®ã. Sau n÷a ®©y lµ nh÷ng tr êng hîp cã kh¶
n¨ng x¶y ra nh nhau. C¸c tr êng hîp tho¶ m·n 2 ®iÒu kiÖn nãi trªn ® îc gäi lµ c¸c
tr êng hîp (kÕt côc) duy nhÊt ®ång kh¶ n¨ng.
Trong sè 6 kÕt côc duy nhÊt ®ång kh¶ n¨ng ®ã ta thÊy chØ cã 3 kÕt côc mµ nÕu
x¶y ra th× biÕn cè A sÏ x¶y ra, ®ã lµ nh÷ng kÕt côc ® îc mÆt 2 chÊm, 4 chÊm vµ 6
chÊm. Nh÷ng kÕt côc lµm cho biÕn cè x¶y ra ® îc gäi lµ c¸c kÕt côc thuËn lîi cho
biÕn cè.
Nh vËy, ®øng vÒ mÆt trùc quan ta thÊy kh¶ n¨ng x¶y ra cña biÕn cè A lµ 3
phÇn 6, tøc lµ 1 phÇn 2. §ã chÝnh lµ c¸ch x¸c ®Þnh x¸c suÊt cña biÕn cè theo quan
®iÓm cæ ®iÓn.
1.2. §Þnh nghÜa
X¸c suÊt xuÊt hiÖn biÕn cè A trong 1 phÐp thö lµ tû sè gi÷a sè kÕt côc thuËn lîi
cho A vµ tæng sè c¸c kÕt côc duy nhÊt ®ång kh¶ n¨ng cã thÓ x¶y ra khi thùc hiÖn phÐp
thö ®ã.
NÕu ký hiÖu P(A) lµ x¸c suÊt cña biÕn cè A, m lµ sè kÕt côc thuËn lîi cho biÕn
cè A, n lµ (tæng) sè kÕt côc duy nhÊt ®ång kh¶ n¨ng cña phÐp thö, ta cã c«ng thøc
sau:
m
P(A)
(1)
n
1.3. C¸c tÝnh chÊt cña x¸c suÊt
Tõ ®Þnh nghÜa cæ ®iÓn vÒ x¸c suÊt ta cã thÓ suy ra c¸c tÝnh chÊt sau:
a) X¸c suÊt cña biÕn cè ngÉu nhiªn lµ 1 sè d ¬ng n»m trong kho¶ng gi÷a 0 vµ 1
0 P(A) 1
ThËt vËy, v× sè kÕt côc thuËn lîi cho 1 biÕn cè ngÉu nhiªn lu«n lu«n tho¶ m·n
0 m n do ®ã:
m
0 1 tõ ®ã: 0 P(A) 1
n
b) X¸c suÊt cña biÕn cè ch¾c ch¾n b»ng 1
P(U) = 1
ThËt vËy, nÕu U lµ biÕn cè ch¾c ch¾n th× tÊt c¶ c¸c kÕt côc duy nhÊt ®ång kh¶
n¨ng cã thÓ x¶y ra trong phÐp thö ®Òu thuËn lîi cho biÕn cè x¶y ra. Do ®ã m = n vµ ta
cã:
m
P(U) 1
n
c) X¸c suÊt cña biÕn cè kh«ng thÓ cã b»ng 0
P(V) = 0
ThËt vËy, nÕu V lµ biÕn cè kh«ng thÓ cã th× trong sè c¸c kÕt côc duy nhÊt ®ång
kh¶ n¨ng cã thÓ x¶y ra trong phÐp thö kh«ng cã kÕt côc nµo thuËn lîi cho biÕn cè x¶y
ra. Nh vËy m = 0, do ®ã:
m
P(V) 0
n
Nh vËy, x¸c suÊt cña 1 biÕn cè bÊt kú lu«n tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:
0 P(A) 1
(2)
§èi víi c¸c tÝnh chÊt trªn ta chó ý r»ng mÖnh ®Ò ®¶o cña 2 tÝnh chÊt b vµ c ch a
ch¾c ®· ®óng. Tøc lµ, nÕu 1 biÕn cè cã x¸c suÊt b»ng 1 th× ch a ch¾c ®· lµ biÕn cè
ch¾c ch¾n vµ nÕu 1 biÕn cè cã x¸c suÊt b»ng 0 th× ch a ch¾c ®· lµ biÕn cè kh«ng thÓ
cã.
2. §Þnh nghÜa thèng kª vÒ x¸c suÊt
2.1. §Þnh nghÜa (vÒ tÇn suÊt)
TÇn suÊt xuÊt hiÖn biÕn cè trong n phÐp thö lµ tû sè gi÷a sè phÐp thö trong ®ã
biÕn cè xuÊt hiÖn vµ tæng sè phÐp thö ® îc thùc hiÖn.
Nh vËy, nÕu ký hiÖu sè phÐp thö lµ n, sè lÇn xuÊt hiÖn biÕn cè A lµ k, tÇn suÊt
xuÊt hiÖn biÕn cè A lµ f (A) th×:
k
f(A)
(3)
n
Cïng víi kh¸i niÖm x¸c suÊt, kh¸i niÖm tÇn suÊt lµ 1 trong nh÷ng kh¸i niÖm c¬
b¶n cña lý thuyÕt x¸c suÊt.
ThÝ dô 1:
Khi kiÓm tra ngÉu nhiªn 80 s¶n phÈm do 1 m¸y s¶n xuÊt, ng êi ta ph¸t hiÖn ra
3 phÕ phÈm. Gäi A lµ biÕn cè “XuÊt hiÖn phÕ phÈm”. VËy tÇn suÊt xuÊt hiÖn phÕ
phÈm b»ng:
3
f(A)
80
ThÝ dô 2:
B¾n 50 ph¸t ®¹n vµo bia thÊy cã 47 ph¸t tróng. Gäi A lµ biÕn cè “B¾n tróng
bia”. TÇn suÊt cña viÖc b¾n tróng bia b»ng:
47
50
f(A)
Ng êi ta nhËn thÊy nÕu tiÕn hµnh c¸c thÝ nghiÖm trong nh÷ng ®iÒu kiÖn nh
nhau vµ sè phÐp thö kh¸ lín th× tÇn suÊt thÓ hiÖn tÝnh æn ®Þnh cña nã kh¸ râ rµng.
TÝnh chÊt nµy thÓ hiÓn ë chç lµ nÕu tiÕn hµnh 1 sè kh¸ lín cïng 1 phÐp thö th× tÇn
suÊt dao ®éng rÊt Ýt xung quanh 1 gi¸ trÞ nµo ®ã. Ta sÏ thÊy râ ®iÒu ®ã qua thÝ dô
sau:
ThÝ dô 3:
§Ó nghiªn cøu kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn mÆt sÊp khi tung 1 ®ång xu, ng êi ta tiÕn
hµnh tung 1 ®ång xu nhiÒu lÇn vµ thu ® îc kÕt qu¶ sau ®©y:
Ng êi lµm thÝ
nghiÖm
Sè lÇn tung (n) Sè lÇn ® îc mÆt sÊp (k)
k
TÇn suÊt f(A)
n
Buffon
Pearson
Pearson
4.040
12.000
24.000
2.048
6.019
12.012
0,5069
0,5016
0,5005
Qua thÝ dô trªn ta thÊy khi sè phÐp thö t¨ng lªn th× tÇn suÊt xuÊt hiÖn mÆt sÊp sÏ
dao ®éng ngµy cµng Ýt h¬n xung quanh gi¸ trÞ kh«ng ®æi lµ 0,5. §iÒu ®ã cho phÐp hy
väng r»ng khi sè phÐp thö t¨ng lªn v« h¹n, tÇn suÊt sÏ héi tô vÒ gi¸ trÞ 0,5.
TÝnh æn ®Þnh cña tÇn suÊt lµ c¬ së ®Ó ® a ra ®Þnh nghÜa thèng kª vÒ x¸c suÊt.
2.2. §Þnh nghÜa (vÒ x¸c suÊt)
X¸c suÊt xuÊt hiÖn biÕn cè A trong 1 phÐp thö lµ 1 sè p kh«ng ®æi mµ tÇn suÊt f
xuÊt hiÖn biÕn cè ®ã trong n phÐp thö sÏ dao ®éng rÊt Ýt xung quanh nã khi sè phÐp
thö t¨ng lªn v« h¹n.
Nh vËy vÒ mÆt thùc tÕ víi sè phÐp thö ®ñ lín ta cã thÓ lÊy P(A) f(A)
iv- §Þnh lý céng x¸c suÊt
§Ó x¸c ®Þnh x¸c suÊt cña c¸c biÕn cè, ng êi ta th êng kh«ng ¸p dông c¸c
ph ¬ng ph¸p tÝnh trùc tiÕp mµ ¸p dông ph ¬ng ph¸p tÝnh gi¸n tiÕp, cho phÐp tÝnh x¸c
suÊt cña 1 biÕn cè dùa vµo x¸c suÊt ®· biÕt cña c¸c biÕn cè kh¸c cã liªn quan víi nã
th«ng qua c¸c ®Þnh lý x¸c suÊt, th êng ® îc gäi lµ ®Þnh lý céng vµ ®Þnh lý nh©n x¸c
suÊt.
* §Þnh nghÜa 1: BiÕn cè C ® îc gäi lµ tæng cña 2 biÕn cè A vµ B, ký hiÖu C = A + B
nÕu C chØ x¶y ra khi cã Ýt nhÊt mét trong hai biÕn cè A vµ B x¶y ra.
ThÝ dô 1:
Hai ng êi cïng b¾n vµo 1 bia. Gäi A lµ biÕn cè “Ng êi thø nhÊt b¾n tróng” B lµ
biÕn cè “Ng êi thø hai b¾n tróng”, C lµ biÕn cè “Bia bÞ tróng ®¹n”. Râ rµng lµ biÕn cè
C sÏ x¶y ra khi cã Ýt nhÊt mét trong hai biÕn cè A vµ B x¶y ra. VËy C = A + B
ThÝ dô 2:
Tung mét con xóc x¾c. Gäi A lµ biÕn cè “XuÊt hiÖn mÆt 6 chÊm”, B lµ biÕn cè
“XuÊt hiÖn mÆt 5 chÊm”, C lµ biÕn cè “§ îc Ýt nhÊt 5 chÊm”. BiÕn cè C x¶y ra khi
hoÆc A hoÆc B x¶y ra. VËy C = A + B
* §Þnh nghÜa 2: BiÕn cè A ® îc gäi lµ tæng cña n biÕn cè A1, A2, …, An nÕu A x¶y ra
khi cã Ýt nhÊt 1 trong n biÕn cè Êy x¶y ra.
n
A
A
Ký hiÖu
i
i1
G¾n liÒn víi kh¸i niÖm tæng c¸c biÕn cè lµ kh¸i niÖm vÒ sù xung kh¾c cña c¸c
biÕn cè.
Tải về để xem bản đầy đủ
85 trang
19160
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán kinh tế", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_toan_kinh_te.pdf
