›
›

Giáo trình Giải tích 3 - Bài 3: Chuỗi hàm số - Nguyễn Xuân Thảo

Download
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
[email protected]du.vn  
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI  
BÀI 3  
§ 4. Chuỗi hàm số  
Đặt vấn đề.  
1. Chuỗi hàm số hội tụ  
   
Định nghĩa: Cho dãy hàm số u x xác định trên X , ta định nghĩa chuỗi hàm số  
n
   
   
   
un x  
(1)  
u1 x u2 x   
n1  
   
un x hội tụ tại  
chuỗi số  
u x hội tụ  
n 0   
x0  
n1  
n1  
   
un x phân kì tại  
chuỗi số  
u x phân kì  
n 0   
x0  
n1  
n1  
Tập các điểm hội tụ của (1) gọi là tập hội tụ của nó. Tổng của chuỗi hàm số là  
hàm số xác định trong tập hội tụ của nó.  
Ví dụ 1. Tìm tập hội tụ của các chuỗi hàm số sau  
cosnx  
1
xn  
a)  
e)  
g)  
xn1  
b)  
c)  
(x 1)  
d)  
(
)  
n1  
n x2  
n  
n1  
n!  
2
x
n1  
n1  
2
sin 2n 4 x  
2
2
 n1  
(
)  
f)  
1  
encosx (  k2x   k2)  
n1  
2  
3n 1  
n1  
 n1  
 2  
n!  
1  
1
 n  
1  
2n1  
x 1  
( x 3 )  
e)  
(
)
1x 3  
n   
n  
2n !  
5
n1 n5 x 3  
n0  
Hướng dẫn.  
xn1  
a)  
n1  
x0n1  
+) Xét chuỗi số  
(2)  
n1  
+) (2) hội tụ với x0 1  
+) Tại x0 1, (2) phân kì  
+) Tập hội tụ:  
x 1  
cosnx  
b)  
n1 n2 x2  
cosnx0  
n2 x02  
cosnx0  
n2 x02 n2  
1
+) Xét chuỗi số  
(2) +)  
(2) hội tụ với mọi  
x0  
n1  
+) Tập hội tụ
  
15  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
[email protected]du.vn  
Ví dụ 2. Tìm tập hội tụ của các chuỗi hàm số sau  
 n1  
1  
x2n3  
1
a) 1)  
(
)
d) 1)  
3 x 3  
3  
2n   
2n 3  
n  
n11tanx  
n1  
2
1
( kx   k, k )  
2)  
3)  
(
)
x 0 x  2  
n1  
4
n  
n 1 x 1  
1
2)  
1
n  
(
)
)
x  1x  3  
n11cot x  
3  
n  
n 1 x 2  
n1  
4
(kx   k, k )  
n
n3  
4x 3  
3
b) 1)  
(
;1  
2   
x
5
2
1
1
n1  
n 1  
3)  
4)  
(
)
\  
; e  
n  
 n  
n
e
n11lnx  
1  
1x  
1x   
2)  
c)  
( 0 ;   )  
2
1
n 1  
n2  
(
)
x 0  
n11enx  
n  
2
x x 1  
(
)
0 x 1  
  
n 1 n 2  
n0  
2. Chuỗi hàm số hội tụ đều  
   
   
S x  
Định nghĩa.  
un x hội tụ đều đến  
trên tập X   
bé tuỳ ý  
0  
n1  
   
   
   
   
:
, ta có S x S x ,  
.
n0 n n0   
x X  
   
n
   
   
Ý nghĩa hình học. Với n đủ lớn, S x thuộc dải S x ; S x .  
n
   
un x  
Tiêu chuẩn Cauchy.  
hội tụ đều trên tập  
bé tuỳ ý  
X
 
0  
n1  
   
   
   
   
:
, ta có  
.
n0 p q n0   
Sp x Sq x , x X  
   
Tiêu chuẩn Weierstrass. Nếu có un x an, n , x X và  
an hội tụ  
n1  
   
un x hội tụ tuyệt đối và đều trên X .  
n1  
Tiêu chuẩn Dirichlet.  
n
, Vn đơn điệu không tăng và 0,  
Hội tụ đều.  
wk c, n  
un vn.wn  
k1  
 n1  
1  
Ví dụ 3. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm  
n1 x2 n2  
16  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
[email protected]du.vn  
 n1  
x2 n2 n2  
1  
1
1
+)  
, x  
+)  
hội tụ  
2
n  
n1  
+) Chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối và đều trên
  
Ví dụ 4. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm  
sinnx  
xn  
a)  
c)  
e)  
(HTĐ)  
(HTĐ)  
b)  
d)  
f)  
(HTĐ)  
, x   
, x  2; 2  
n1 n2 x2  
n1 2nn3 n  
2n  
cosnx  
x
n1  
   
1  
, x  
, x  1; 1  
(HTĐ)  
n1  
3n  
n
n1  
nx  
xn  
, x (HTĐ)  
, x 0  
1n5x2  
n!  
n1  
n1  
Hướng dẫn.  
xn  
1
1
b) +)  
, x 2  
+)  
hội tụ  
4/3  
n  
2nn3 n n4/3  
n1  
+) Chuỗi đã cho hội tụ đều và hội tụ tuyệt đối trên 2 ; 2 .  
Ví dụ 5. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm  
1  
1  
n
n
xdx  
1x2  
xdx  
1x2  
a) 1)  
b) 1)  
sinnx, x(HTĐ)  
2)  
cosnx, x(HTĐ)  
n1  
n1  
0  
0  
n
n 1 2x 1  
(HTĐ)  
, x  1; 1  
3n  
x 2   
n1  
2
n
n
n 1  
2x 1  
   
2)  
, x  1; 1 (HTĐ)  
   
n1n 2  x 2   
c) Chứng minh rằng chuỗi hàm  
x2enx hội tụ đều với  
x 0  
n1  
 n  
1  
d) 1) Chứng minh rằng chuỗi  
hội tụ đều trên  
n0 x2 n 1  
 n  
1  
2) Chứng minh rằng chuỗi  
hội tụ đều trên  
n0 x2 n 2  
1
n
3 t  
1sin2 t  
(
dt)cosnx  
e)  
(HTKĐ)  
4  
n1  
0
17  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
[email protected]du.vn  
3. Tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều  
   
un x hội tụ đều về  
   
   
S x  
Định lí 1. Chuỗi  
trên X , un x liên tục trên X , với  
n1  
   
n
  
S x  
liên tục trên X , nghia la  
   
un x   
   
lim un x  
lim  
xx  
xx  
0
0
n1  
n1  
   
u x hội tụ đều đến  
   
trên a ; b , u x liên tục trên a ; b , n  
   
S x  
Định lí 2.  
n
n
n1  
b   
b
b
   
   
   
un x dx  
u x dx   
S x dx   
n
a n1  
n1  
a
a
   
   
   
Định lí 3.  
u x S x trên a ; b , các hàm u x khả vi liên tục trên  
n
n
n1  
   
   
S x  
a ; b ,  
u x hội tụ đều trên a ; b   
khả vi trên a ; b và có  
n
n1  
   
   
un x  
   
un x  
S x   
  
n1  
n1  
Ví dụ 6. Xét tính khả vi của các hàm sau  
 n  
1 x  
x
n2  
n2  
   
a) f x   
   
b) f x   
   
(f x   
;
arctan  
, x )  
n x2  
4
n x  
n1  
n1  
n1  
Hướng dẫn.  
a) +) x  n là chuỗi đan dấu hội tụ theo Leibnitz  
n
   
hội tụ đều theo Dirichlet  
un  
+)  
liên tục  
un x   
x  n,  
2  
n x  
n1  
n
   
 n  
1  
+) f x   
, x  n  
2  
n x  
n1  
Ví dụ 7. a) Tìm miền hội tụ và tính tổng  
3n2  
x 1  
 n  
1)  
1  
3n 1  
n0  
1
x
1
2x 3  
(
,S (x 1) ln  
arctan  
)
(0 ; 2]  
x2 3x 3  
3
3
3
6 3  
3n2  
x 1  
 n  
2)  
1  
3n 1  
n0  
18  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
[email protected]du.vn  
1
x 2  
x2 x 1  
1
2x 1  
6 3  
(
,
)
(2 ; 0] S (x 1) ln  
arctan  
3
3
3
b) Tìm miền hội tụ và tính tổng  
 n1  
x2 1  
x2  
1  
n  
x 1 ;  
 n1  
1  
  
n  
(0 ; 2) S   
1)  
2)  
n 1 x 1 (  
,
)
n
n1  
n1  
c) Xét tính khả vi và tính đạo hàm (nếu có)  
 n1  
1
x
1  
   
 n1  
1)  
(
)
f x   
1  
arctan  
arctan  
n1  
x n 1  
2
n 1  
n 1  
n1  
 n1  
1
x
1  
   
2) f x   
 n1  
1  
(
)
x n 2  
2
n 2  
n 2  
n1  
n1  
d) Tính tổng  
x2n1  
1 1x  
( ln  
2 1x  
1)  
, x 1)  
n0 2n 1  
1x2  
 n   
2n  
2)  
1 2n 1 x  
(
)
2 , x 1  
2
n0  
1x  
Hướng dẫn.  
b1) Hội tụ với  
và tại x 11 miền hội tụ  
(2 ; 0]  
x 1 1  
tn  
1
t
n1    
   
s t    
+) Đặt  
t  (x 1)  
s    
n1 n  
1t  
n1  
t
t
   
   
   
+)  
+)  
s u du ln u 10  
s t s 0 ln t 1  
0
   
s 0 0  
   
s x ln x 2  
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!  
19  
pdf 5 trang Thùy Anh 17580 Free
Download
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 3 - Bài 3: Chuỗi hàm số - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_giai_tich_3_bai_3_chuoi_ham_so_nguyen_xuan_thao.pdf