Giáo trình Đồ họa máy tính - Chương 5, Phần 1: Giới thiệu đồ họa ba chiều
CHÖÔNG 5
GIÔÙI THIEÄU ÑOÀ HOÏA BA CHIEÀU
Caùc ñoái töôïng trong theá giôùi thöïc phaàn lôùn laø caùc ñoái töôïng ba chieàu, neân
vieäc theå hieän caùc ñoái töôïng ba chieàu treân maùy tính laø moät coâng vieäc heát
söùc caàn thieát ñeå ñöa tin hoïc gaàn guõi vôùi thöïc teá hôn. Cuõng gioáng nhö caùc
caùch bieåu dieãn caùc ñoái töôïng ba chieàu treân maët phaúng khaùc (nhö cuûa maùy
aûnh, camera, ... ), bieåu dieãn baèng maùy tính cuõng phaûi tuaân theo caùc quy luaät
veà phoái caûnh, saùng, toái, ... nhaèm giuùp ngöôøi xem coù theå töôûng töôïng laïi
hình aûnh moät caùch gaàn ñuùng nhaát. Ngoaøi ra bieåu dieãn treân maùy tính coù öu
theá giuùp ta coù theå quan saùt ñoái töôïng ôû nhieàu goùc caïnh khaùc nhau, ôû caùc
khoaûng caùch khaùc nhau.
Chöông naøy seõ giôùi thieäu moät soá kó thuaät bieåu dieãn caùc ñoái töôïng ba chieàu
treân maùy tính, töø caùc ñoái töôïng ñôn giaûn nhö caùc hình khoái, caùc ña dieän, ...
ñeán caùc ñoái töôïng töông ñoái phöùc taïp nhö caùc maët ñaõ ñöôïc tìm hieåu ôû caùc
chöông tröôùc.
1. TOÅNG QUAN VEÀ ÑOÀ HOÏA BA CHIEÀU
Khi chuùng ta moâ hình hoùa vaø hieån thò moät caûnh ba chieàu, ta caàn phaûi xem
xeùt raát nhieàu khía caïnh vaø vaán ñeà khaùc nhau chöù khoâng ñôn giaûn laø theâm
vaøo toïa ñoä thöù ba cho caùc ñoái töôïng. Beà maët ñoái töôïng coù theå xaây döïng
bôûi nhieàu toå hôïp khaùc nhau cuûa caùc maët phaúng vaø caùc maët cong. Ngoaøi ra,
ñoâi khi chuùng ta cuõng caàn moâ taû moät soá thoâng tin veà beân trong caùc ñoái
töôïng. Caùc coâng cuï hoã trôï ñoà hoïa (graphics package) thöôøng cung caáp moät soá
haøm hieån thò caùc thaønh phaàn beân trong, nhöõng ñöôøng neùt tieâu bieåu hoaëc
hieån thò moät phaàn cuûa ñoái töôïng ba chieàu (solid object). Ngoaøi ra, caùc pheùp
bieán ñoåi hình hoïc thöôøng ñöôïc söû duïng nhieàu hôn vaø ña daïng hôn trong ñoà
hoïa ba chieàu so vôùi trong ñoà hoïa hai chieàu. Pheùp bieán ñoåi heä quan saùt trong
khoâng gian ba chieàu phöùc taïp hôn nhieàu so vôùi trong khoâng gian hai chieàu do
chuùng ta phaûi choïn löïa nhieàu tham soá hôn khi moâ taû moät caûnh ba chieàu seõ
xuaát hieän treân maøn hình nhö theá naøo.
Hình 5.1 – Moät caûnh ñoà hoïa ba chieàu
Caùc moâ taû veà moät caûnh ba chieàu phaûi ñi qua moät quy trình xöû lí goàm nhieàu coâng
ñoaïn nhö pheùp bieán ñoåi heä toïa ñoä quan saùt vaø pheùp chieáu chuyeån caûnh töø heä toïa ñoä quan
saùt ba chieàu xuoáng heä toïa ñoä thieát bò hai chieàu. Nhöõng phaàn nhìn thaáy ñöôïc cuûa caûnh, öùng
vôùi moät heä quan saùt ñöôïc choïn naøo ñoù, phaûi ñöôïc xaùc ñònh vaø cuoái cuøng, caùc thuaät toaùn veõ
maët seõ ñöôïc aùp duïng nhaèm taïo ra hình aûnh trung thöïc (gaàn vôùi thöïc teá) cuûa caûnh.
1.1. Sô löôïc veà quy trình hieån thò
Quy trình xöû lí thoâng tin trong ñoà hoïa ba chieàu laø moät chuoãi caùc böôùc noái
tieáp nhau, keát quaû cuûa moãi böôùc seõ laø ñaàu vaøo cuûa böôùc tieáp theo.
Hình 5.2 – Quy trình hieån thò ñoái töôïng ba chieàu
Quy trình baét ñaàu baèng vieäc xaây döïng caùc moâ hình ñoái töôïng. Caùc moâ hình
naøy thöôøng ñöôïc moâ taû trong khoâng gian ba chieàu (x,y,z). Caùc moâ hình thöôøng
theå hieän vaät theå (solid) hoaëc beà maët (boundaries) cuûa ñoái töôïng. Nhö vaäy ta
coù hai kieåu moâ hình hoùa. Trong solid modeling caùc ñoái töôïng ñoà hoïa cô sôû
thöôøng ñöôïc duøng ñeå moâ taû caùc ñoái töôïng coù theå tích (volume). Trong
boundary representations(B-reps), caùc ñoái töôïng ñöôïc ñònh nghóa bôûi beà maët
cuûa chuùng.
Caùc moâ hình thöôøng ñöôïc bieåu dieãn trong moät heä toïa ñoä cuïc boä, maø ta goïi
laø heä toïa ñoä ñoái töôïng. Trong heä toïa ñoä naøy chæ coù baûn thaân ñoái töôïng
ñöôïc ñònh nghóa, vì vaäy goác toïa ñoä vaø ñôn vò ño löôøng thöôøng ñöôïc choïn sao
cho vieäc bieåu dieãn ñoái töôïng tieän lôïi nhaát.
Böôùc ñaàu tieân trong quy trình hieån thò laø bieán ñoåi ñoái töôïng töø khoâng gian
ñoái töôïng (object-space) vaøo moät khoâng gian chung goïi laø khoâng gian thöïc
(world space). Trong khoâng gian naøy caùc ñoái töôïng, nguoàn saùng, vaø ngöôøi
quan saùt cuøng toàn taïi. Böôùc naøy ñöôïc goïi laø giai ñoaïn bieán ñoåi moâ hình
(modeling transformation).
Böôùc tieáp theo laø moät böôùc toái öu hoùa. Trong giai ñoaïn loaïi boû ñôn giaûn
(trivial rejection) ta caàn loaïi tröø taát caû caùc ñoái töôïng khoâng theå nhìn thaáy.
Ñieàu naøy giuùp chuùng ta traùnh ñöôïc vieäc xöû lí moät soá phaàn khoâng caàn thieát
cuûa caûnh (scene) maø ta ñang chuaån bò hieån thò ôû caùc böôùc sau.
Tieáp theo ta phaûi chieáu saùng (illumination) caùc ñoái töôïng coù theå nhìn thaáy
ñöôïc baèng caùch gaùn cho chuùng maøu saéc döïa treân caùc ñaëc tính cuûa caùc chaát
taïo neân vaät vaø caùc nguoàn saùng toàn taïi trong caûnh.
Sau khi chieáu saùng, ta phaûi thöïc hieän moät pheùp bieán ñoåi heä toïa ñoä ñeå ñaët
vò trí quan saùt (viewing position) veà goác toïa ñoä vaø maët phaúng quan saùt (viewing
plane) veà moät vò trí mong öôùc. Böôùc naøy goïi laø böôùc ñoåi heä quan saùt. Sau
böôùc naøy, caùc ñoái töôïng ñöôïc chuyeån töø khoâng gian thöïc sang khoâng gian
quan saùt (eye space).
Trong khoâng gian quan saùt, ta phaûi thöïc hieän vieäc xeùn caùc ñoái töôïng trong
caûnh ñeå caûnh naèm goïn trong moät phaàn khoâng gian choùp cuït maø ta goïi laø
viewing frustum. Böôùc naøy seõ loaïi boû hoaøn toaøn caùc ñoái töôïng (caùc maûnh
ñoái töôïng) khoâng nhìn thaáy ñöôïc trong aûnh.
Böôùc tieáp theo ta seõ chieáu caùc ñoái töôïng xuoáng maët phaúng hai chieàu. Böôùc
Projection thöïc hieän pheùp bieán ñoåi töø khoâng gian quan saùt sang khoâng gian
maøn hình (screen-space).
Trong böôùc rôøi raïc hoùa (rasterization) ta seõ chuyeån ñoái töôïng thaønh caùc pixel.
Cuoái cuøng, toaøn caûnh seõ ñöôïc hieån thò leân maøn hình.
1.2. Moâ hình khung noái keát (Wireframe Model)
1.2.1. Khaùi nieäm
Moät phöông phaùp thoâng duïng vaø ñôn giaûn ñeå moâ hình hoùa ñoái töôïng laø moâ
hình khung noái keát.
Moät moâ hình khung noái keát goàm coù moät taäp caùc ñænh vaø taäp caùc caïnh noái
giöõa caùc ñænh ñoù. Khi theå hieän baèng moâ hình naøy, caùc ñoái töôïng ba chieàu
coù veû roãng vaø khoâng gioáng thöïc teá laém. Ñeå hoaøn thieän hôn, ngöôøi ta duøng
caùc kó thuaät taïo boùng vaø loaïi boû caùc ñöôøng vaø maët khuaát. (Chuùng ta seõ
ñeà caäp vaán ñeà naøy ôû caùc chöông sau). Tuy nhieân veõ baèng moâ hình naøy
thöôøng nhanh neân ngöôøi ta thöôøng duøng noù trong vieäc xem phaùc thaûo
(preview) caùc ñoái töôïng, ñaëc bieät laø trong caùc heä CAD.
1.2.2. Bieåu dieãn caùc vaät theå ba chieàu baèng moâ hình khung noái keát
Vôùi moâ hình khung noái keát, hình daïng cuûa ñoái töôïng ba chieàu ñöôïc bieåu dieãn
baèng hai danh saùch (list) : danh saùch caùc ñænh (vertices) vaø danh saùch caùc caïnh
(edges) noái caùc ñænh ñoù. Danh saùch caùc ñænh cho bieát thoâng tin hình hoïc ñoù
laø vò trí caùc ñænh, coøn danh saùch caùc caïnh xaùc ñònh thoâng tin veà söï keát noái,
noù cho bieát caëp caùc ñænh taïo ra caïnh. Chuùng ta haõy quan saùt moät vaät theå ba
chieàu ñöôïc bieåu dieãn baèng moâ hình khung noái keát nhö sau :
Baûng danh saùch caùc caïnh vaø ñænh bieåu dieãn vaät theå
Vertex List
Edge List
Vertex
x
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
y
0
z
0
Edge
Vertex1
Vertex2
1
2
back side
front side
1
2
1
2
2
3
1
0
3
1
1
3
3
4
4
0.5
0
1.5
1
4
4
5
5
5
5
1
6
0
0
6
6
7
7
1
0
7
7
8
8
1
1
8
8
9
9
0.5
0
1.5
1
9
9
10
6
10
10
10
11
12
13
14
15
16
17
1
2
3
4
5
2
1
6
7
8
9
10
5
3
z
5
4
10
9
3
8
7
1
6
1
2
1
1
x
y
Hình 5.3 – Vaät theå ba chieàu ñöôïc bieåu dieãn baèng moâ hình khung noái keát
Coù nhieàu caùch ñeå ñaëc taû moâ hình khung noái keát treân maùy tính nhö duøng
xaâu, maûng, ... vaø moãi caùch ñeàu coù caùc öu ñieåm rieâng trong töøng öùng duïng
cuï theå. ÔÛ ñaây ta minh hoïa caùc bieåu dieãn moâ hình khung noái keát baèng caáu
truùc döõ lieäu maûng nhö sau :
#define MAXVERTS
#define MAXEDGES
50 //soá ñænh toái ña coù theå bieåu dieãn
100 //soá caïnh toái ña
typedef struct {
float
x, y, z;
} POINT3D;
typedef struct {
int
int
NumVerts; //Soá ñænh trong moâ hình
NumEdges; //Soá caïnh trong moâ hình
POINT3D Vert[MaxVerts];
int
Edge[MaxEdges][2];
}WIREFRAME;
Ngoaøi ra, ñoâi khi trong moâ hình wireframe ngöôøi ta coøn moâ taû caùc maët
(phaúng) cuûa ñoái töôïng. Moãi maët ñöôïc ñònh nghóa bôûi moät ña giaùc bao. Ví duï,
ñoái töôïng trong hình 5.3 coù 7 maët.
1.3. Veõ caùc ñoái töôïng theo moâ hình khung noái keát baèng caùch söû duïng caùc
pheùp chieáu
Ñeå veõ caùc ñoái töôïng bieåu dieãn baèng moâ hình khung noái keát, ñôn giaûn chuùng
ta chæ caàn veõ caùc caïnh trong danh saùch caùc caïnh maø thoâi. Tuy nhieân do caùc
ñænh vaø caïnh ñeàu ñöôïc ñònh nghóa trong ba chieàu neân vaán ñeà ñaët ra ôû ñaây laø
laøm theá naøo ñeå veõ caùc ñöôøng thaúng ba chieàu trong maët phaúng hai chieàu. Ñeå
laøm ñieàu naøy, chuùng ta phaûi thöïc hieän pheùp chieáu töø ba chieàu vaøo hai chieàu
ñeå boû bôùt moät chieàu. Coù hai loaïi pheùp chieáu ñôn giaûn thöôøng duøng ñoù laø
pheùp chieáu song song (parallel projection) vaø pheùp chieáu phoái caûnh (perspective
projection). Pheùp chieáu song song söû duïng caùc ñöôøng thaúng song song ñi qua
caùc ñænh cuûa ñoái töôïng, trong khi ñoù pheùp chieáu phoái caûnh duøng caùc ñöôøng
thaúng qua caùc ñænh cuûa ñoái töôïng hoäi tuï veà moät ñieåm goïi laø taâm chieáu
(center of projection). Caùc ñöôøng thaúng treân ñöôïc goïi laø tia chieáu vaø giao ñieåm
cuûa caùc ñöôøng thaúng naøy vôùi maët phaúng chieáu (hay coøn goïi laø maët phaúng
quan saùt (view plane)) chính laø caùc hình chieáu cuûa caùc ñænh hay coøn goïi laø
ñieåm chieáu. Trong phaàn naøy, chuùng ta giaû söû raèng maët phaúng chieáu laø maët
phaúng z=0.
Pheùp chieáu song song baûo toaøn ñöôïc moái quan heä giöõa caùc chieàu cuûa ñoái
töôïng, ñaây chính laø kó thuaät ñöôïc duøng trong phaùc thaûo ñeå taïo ra phaàn khung
cuûa ñoái töôïng ba chieàu. Ngöôøi ta duøng phöông phaùp naøy ñeå quan saùt chính
xaùc ôû caùc maët khaùc nhau cuûa ñoái töôïng. Tuy nhieân, pheùp chieáu song song
khoâng cho moät bieåu dieãn thöïc cuûa ñoái töôïng ba chieàu.
Trong khi ñoù, pheùp chieáu phoái caûnh taïo ra ñöôïc bieåu dieãn thöïc hôn nhöng laïi
khoâng baûo toaøn ñöôïc moái lieân heä giöõa caùc chieàu. Caùc ñöôøng thaúng caøng
xa seõ coù caùc aûnh chieáu nhoû hôn.
Noùi chung, kó thuaät ñeå veõ moät ñöôøng thaúng ba chieàu laø :
•
Chieáu moãi ñieåm ñaàu muùt thaønh caùc ñieåm hai chieàu.
•
Veõ ñöôøng thaúng noái hai ñieåm aûnh qua pheùp chieáu.
Maët phaúng chieáu
Maët phaúng chieáu
Tia chieáu
Taâm chieáu
(a)
(b)
Hình 5.4 – Pheùp chieáu song song (a) vaø pheùp chieáu phoái caûnh (b)
Sôû dó chuùng ta laøm ñöôïc ñieàu naøy vì caùc pheùp chieáu maø chuùng ta söû duïng baûo toaøn
ñöôøng thaúng.
1.4. Pheùp chieáu song song (parallel projection)
Khi höôùng cuûa tia chieáu vuoâng goùc vôùi maët phaúng chieáu ta coù pheùp chieáu
tröïc giao (orthographic projection). Ngöôïc laïi, ta coù pheùp chieáu xieân (oblique
projection).
1.4.1. Pheùp chieáu tröïc giao
Xeùt ñieåm ba chieàu, P
Px , Py , Pz
, caùch ñôn giaûn nhaát laø boû ñi thaønh phaàn z ñeå
chieáu P thaønh P' Px , Py . Ñieàu naøy töông ñöông vôùi chieáu ñieåm ñoù leân maët phaúng xy
theo phöông cuûa truïc z. Maët phaúng xy laø maët phaúng quan saùt. Xem hình veõ minh hoïa 5.5,
ôû ñaây ñieåm chieáu chính laø giao ñieåm cuûa tia a qua P vaø song song vôùi truïc z vuoâng goùc vôùi
maët phaúng xy. Tia a laø tia chieáu.
Deã daøng thaáy raèng pheùp chieáu naøy baûo toaøn ñöôøng thaúng.
z
a
P(Px,Py,Pz)
Maët phaúng chieáu
P'(Px,Py)
O
x
y
Hình 5.5 – Pheùp chieáu tröïc giao
Pheùp chieáu tröïc giao ôû treân thöôøng ñöôïc goïi laø pheùp nhìn töø treân xuoáng
(top-view) hoaëc döôùi leân (bottom-view). Coù hai pheùp chieáu khaùc cuõng khaù
thoâng duïng laø:
•
Pheùp nhìn töø phía tröôùc (front-view): Tia chieáu song song vôùi truïc x vaø maët
phaúng quan saùt laø yz. Pheùp chieáu naøy loaïi boû thaønh phaàn x cuûa P.
•
Pheùp nhìn töø phía beân caïnh (side-view): Tia chieáu song song vôùi truïc y vaø
maët phaúng quan saùt laø xz. Pheùp chieáu naøy loaïi boû thaønh phaàn y cuûa P.
Hình 5.6 minh hoïa ba pheùp chieáu tröïc giao ñaõ ñeà caäp ôû treân leân moät vaät theå
laø ngoâi nhaø. Nhaän xeùt raèng vôùi pheùp chieáu nhìn töø phía tröôùc ta khoâng
phaân bieät ñöôïc töôøng tröôùc vaø töôøng sau vì chuùng naèm choàng leân nhau,
cuõng töông töï cho tröôøng hôïp pheùp chieáu nhìn töø phía beân caïnh.
Nhìn töø
phía treân
y
z
x
y
Nhìn töø
maët beân
z
x
z
Nhìn töø
phía tröôùc
x
y
Hình 5.6 – Keát quaû cuûa ba pheùp chieáu tröïc giao
1.4.2. Pheùp chieáu xieân
z
P(Px,Py,Pz)
Maët phaúng chieáu
(xP,yP)
O
(Px,Py)
x
y
Hình 5.7 – Pheùp chieáu xieân
Hình 5.7 minh hoïa moät pheùp chieáu xieân. Ñieåm
nhaän ñöôïc ñieåm P' xP , yP Px , Py laø hình chieáu cuûa P qua pheùp chieáu tröïc giao. laø goùc
hôïp bôûi tia chieáu vaø ñoaïn noái xP , yP vaø Px , Py . Giaû söû ñoaïn noái naøy coù ñoä daøi laø L.
laø goùc giöõa ñoaïn noái treân vôùi truïc y.
P
Px , Py , Pz
qua pheùp chieáu xieân seõ
.
1.5. Pheùp chieáu phoái caûnh (perspective projection)
1.5.1. Pheùp chieáu phoái caûnh ñôn giaûn nhaát
Pheùp chieáu phoái caûnh phuï thuoäc vaøo vò trí töông ñoái cuûa hai ñoái töôïng ñoù
laø maét nhìn vaø maët phaúng quan saùt.
Quan saùt hình sau, vôùi maët phaúng quan saùt laø yz vaø maét nhìn
theo truïc x. Khoaûng caùch giöõa maét E vaø maët phaúng quan saùt ñöôïc goïi laø taàm nhìn (eye
distance).Ñeå xaùc ñònh hình chieáu cuûa x, y, z , ta noái P vôùi E vaø tìm giao ñieåm P’ cuûa
ñöôøng thaúng naøy vôùi maët phaúng quan saùt. Luùc naøy P’ chính laø ñieåm caàn tìm.
E
E,0,0
ñöôïc ñaët doïc
P
z
P(x,y,z)
P'
y
E
x
Hình 5.8 – Pheùp chieáu phoái caûnh ñôn giaûn
Trong pheùp chieáu phoái caûnh caùc tia chieáu khoâng song song vôùi nhau maø hoäi tuï veà
moät ñieåm duy nhaát laø maét.
Chuùng ta giaû söû P khoâng naèm phía sau maét nhìn, töùc laø x E . P coù theå naèm
sau maët phaúng quan saùt, hay treân maët phaúng quan saùt, hay giöõa maét vaø maët
phaúng quan saùt. Ta coù, tia töø maét ñeán P coù daïng :
r
t
E,0,01 t
x, y, z t
Tia naøy giao vôùi maët quan saùt (maët phaúng x=0) khi x = 0 neân giaù trò t öùng vôùi
tröôøng hôïp naøy laø :
1
t'
1 x / E
Suy ra caùc toïa ñoä cuûa ñieåm chieáu laø :
y
y'
1 x / E
z
z'
1 x / E
Pheùp chieáu phoái caûnh gaàn gioáng pheùp chieáu tröïc giao chæ khaùc laø hai toïa ñoä y, z ñöôïc
1
nhaân leân theâm moät löôïng laø t'
. Heä soá tæ leä naøy daãn ñeán khaùi nieäm phoái caûnh
1 x / E
theo luaät xa gaàn (perspective foreshortening) nghóa laø : vaät caøng xa maét (theo chieàu aâm
cuûa truïc x, ñeå luoân coù x E ) thì t’ caøng nhoû daãn ñeán y’, z’ caøng nhoû do ñoù vaät seõ thaáy nhoû
hôn, ngöôïc laïi neáu vaät caøng gaàn maét thì seõ thaáy lôùn hôn.
Cuõng töông töï nhö treân, ta coù theå deã daøng kieåm chöùng pheùp chieáu phoái
caûnh cuõng baûo toaøn ñöôøng thaúng.
Nhaän xeùt raèng pheùp chieáu song song laø moät tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa pheùp chieáu phoái
caûnh. Neáu chuùng ta cho taàm nhìn E caøng ngaøy caøng lôùn tieán daàn ñeán voâ cöïc thì caùc tia
1
chieáu qua maét seõ trôû neân song song vaø heä soá t'
trôû thaønh 1. Luùc naøy pheùp
1 x / E
chieáu phoái caûnh trôû thaønh pheùp chieáu song song.
1.5.2. Caùc tröôøng hôïïp khaùc
Tröôøng hôïp treân coù maét nhìn naèm treân truïc x vaø maët phaúng quan saùt laø yz.
Cuõng nhö trong pheùp chieáu tröïc giao ta cuõng coù theå hoaùn ñoåi vò trí cuûa maét
vaø maët phaúng quan saùt ñeå coù theå nhìn ñoái töôïng ôû caùc goùc caïnh khaùc nhau.
Ví duï trong tröôøng hôïp maét naèm treân truïc z vaø maët phaúng quan saùt laø xy thì
caùc keát quaû seõ töông töï :
1
t'
1 z / E
x
x'
1 z / E
y
y'
1 z / E
2. BIEÅU DIEÃN ÑOÁI TÖÔÏNG BA CHIEÀU
Caùc caûnh ñoà hoïa coù theå chöùa nhieàu daïng ñoái töôïng khaùc nhau: caây, hoa, maây, nuùi,
nöôùc, saét theùp, coû, …Chính vì vaäy, khoâng ngaïc nhieân khi coù nhieàu phöông phaùp khaùc nhau
coù theå söû duïng ñeå moâ taû caùc ñoái töôïng sao cho phuø hôïp vôùi thuoäc tính cuûa caùc loaïi ñoái
töôïng naøy. Caùc maët ña giaùc vaø maët baäc hai cung caáp cho chuùng ta moät moâ taû gaàn ñuùng
cuûa caùc ñoái töôïng Euclid ñôn giaûn nhö laø caùc khoái ellipse, khoái ña dieän; caùc maët troøn xoay,
vaø caùc ñoái töôïng duøng ñeå thieát keá caùc moâ hình maùy bay, baùnh raêng vaø caùc caáu truùc coâng
ngheä khaùc thöôøng ñöôïc bieåu dieãn thoâng qua maët cong (curves); caùc phöông phaùp tieáp caän
thuû tuïc (procedural method) nhö Fractal cho pheùp chuùng ta bieåu bieãn moät caùch chính xaùc
caùc ñoái töôïng nhö maây, thaûm coû vaø caùc ñoái töôïng töï nhieân khaùc.
Sô ñoà bieåu dieãn moät ñoái töôïng laäp theå thöôøng ñöôïc chia ra laøm hai loaïi, duø
khoâng phaûi taát caû caùc bieåu dieãn ñeàu coù theå ñöôïc phaân chia moät caùch roõ
raøng thuoäc loaïi naøo trong hai loaïi naøy. Phöông phaùp bieåu dieãn beà maët ((B-
reps)) moâ taû caùc ñoái töôïng ba chieàu baèng moät taäp hôïp caùc beà maët giôùi haïn
phaàn beân trong cuûa ñoái töôïng vôùi moâi tröôøng beân ngoaøi. Ví duï kinh ñieån
cuûa B-reps laø vieäc bieåu dieãn caùc maët ña giaùc vaø caùc maûnh troøn xoay.
Phöông phaùp bieåu dieãn theo phaân hoaïch khoâng gian (space-partitioning
representation) thöôøng ñöôïc duøng ñeå moâ taû caùc thuoäc tính beân trong cuûa ñoái
töôïng baèng caùch phaân hoaïch phaàn beân trong cuûa ñoái töôïng thaønh moät taäp
hôïp nhieàu ñoái töôïng nhoû hôn.
Trong ñoà hoïa maùy tính, caùc ñoái töôïng laäp theå coù theå ñöôïc moâ taû baèng caùc
beà maët (surfaces) cuûa chuùng. Ví duï : Moät hình laäp phöông ñöôïc xaây döïng töø
saùu maët phaúng, moät hình truï ñöôïc xaây döïng töø söï keát hôïp cuûa moät maët
cong vaø hai maët phaúng, vaø hình caàu ñöôïc xaây döïng chæ töø moät maët cong.
Thoâng thöôøng ñeå bieåu dieãn moät ñoái töôïng baát kì , ngöôøi ta duøng caùc phöông
phaùp xaáp xæ ñeå ñöa caùc maët veà daïng caùc maët ña giaùc (polygon faces). Tuy
nhieân trong tröôøng hôïp caùc ñoái töôïng thöïc söï phöùc taïp, ngöôøi ta thöôøng duøng
moät hay nhieàu maët cong trôn (smoothly curved surfaces) gheùp noái laïi vôùi nhau.
Moãi thaønh phaàn duøng ñeå gheùp noái ñöôïc goïi laø patch (maët vaù).
2.1. Bieåu dieãn maët ña giaùc
Phöông phaùp B-reps chung nhaát thöôøng duøng ñeå bieåu dieãn caùc ñoái töôïng ba
chieàu laø duøng moät taäp hôïp caùc maët ña giaùc xaùc ñònh beà maët cuûa ñoái
töôïng. Raát nhieàu heä thoáng ñoà hoïa löu tröõ caùc ñoái töôïng nhö laø moät taäp hôïp
caùc maët ña giaùc. Vôùi caùch bieåu dieãn naøy ta coù theå ñôn giaûn hoùa vieäc bieåu
dieãn vaø taêng toác ñoä hieån thò caùc ñoái töôïng bôûi vì taát caû caùc beà maët ñeàu
ñöôïc moâ taû bôûi caùc phöông trình tuyeán tính. Vì lí do naøy, moâ taû caùc ñoái
töôïng thoâng qua caùc maët ña giaùc thöôøng ñöôïc duøng cho caùc ñoái töôïng ñoà
hoïa cô sôû.
Trong moät soá tröôøng hôïp, ta chæ coù moät khaû naêng choïn löïa laø söû duïng bieåu
dieãn ña giaùc. Tuy nhieân, moät soá heä thoáng ñoà hoïa coøn cho pheùp caùc khaû
naêng bieåu dieãn khaùc ví duï nhö baèng caùc maët cong spline.
Hình 5.9 – Moâ hình wireframe cuûa moät hình truï
Bieåu dieãn baèng maët ña giaùc cuûa caùc ña dieän cho chuùng ta moät ñònh nghóa
chính xaùc veà caùc ñaëc tính cuûa caùc ñoái töôïng naøy. Nhöng ñoái vôùi nhöõng ñoái
töôïng khaùc ta chæ nhaän ñöôïc moät bieåu dieãn gaàn ñuùng. Hình 5.9 cho chuùng ta
bieåu dieãn moät hình truï nhö laø moät taäp hôïp caùc maët ña giaùc. Bieåu dieãn daïng
wireframe cho pheùp chuùng ta hieån thò ñoái töôïng raát nhanh. Khi caàn theå hieän
ñoái töôïng thöïc hôn, ta coù theå duøng kó thuaät taïo boùng noäi suy (interpolating
shading).
2.1.1. Bieåu dieãn baèng baûng ña giaùc
Ta bieåu dieãn moät maët ña giaùc baèng moät taäp hôïp caùc ñænh vaø caùc thuoäc tính
keøm theo. Khi thoâng tin cuûa moãi maët ña giaùc ñöôïc nhaäp, döõ lieäu seõ ñöôïc
ñieàn vaøo trong caùc baûng seõ ñöôïc duøng cho caùc xöû lí tieáp theo, hieån thò vaø
bieán ñoåi. Caùc baûng döõ lieäu moâ taû maët ña giaùc coù theå toå chöùc thaønh hai
nhoùm: caùc baûng hình hoïc vaø caùc baûng thuoäc tính. Caùc baûng löu tröõ döõ lieäu
hình hoïc chöùa toïa ñoä cuûa caùc ñænh vaø caùc tham soá cho bieát veà ñònh höôùng
trong khoâng gian cuûa maët ña giaùc. Thoâng tin veà thuoäc tính cuûa caùc ñoái töôïng
chöùa caùc tham soá moâ taû ñoä trong suoát, tính phaûn xaï vaø caùc thuoäc tính texture
cuûa ñoái töôïng.
Moät caùch toå chöùc thuaän tieän ñeå löu tröõ caùc döõ lieäu hình hoïc laø taïo ra ba
danh saùch: moät baûng löu ñænh, moät baûng löu caïnh vaø moät baûng löu ña giaùc.
Caùc giaù trò toïa ñoä cho moãi ñænh trong ñoái töôïng ñöôïc chöùa trong baûng löu
ñænh. Baûng caïnh chöùa caùc con troû troû ñeán baûng ñænh cho bieát ñænh naøo
ñöôïc noái vôùi moät caïnh cuûa ña giaùc. Vaø cuoái cuøng, baûng löu ña giaùc chöùa
caùc con troû troû tôùi baûng löu caïnh cho bieát nhöõng caïnh naøo taïo neân ña giaùc.
Ngoaøi ra, ta cuõng coù theå theâm moät soá thoâng tin boå sung vaøo caùc baûng treân
ñeå xöû lí nhanh hôn khi caàn truy xuaát thoâng tin. Ví duï, ta coù theå theâm moät con
troû töø moät caïnh ñeán caùc ña giaùc chöùa noù. Töông töï, ta coù theå theâm thoâng
tin trong baûng löu ñænh ñeå bieát nhöõng caïnh naøo keà vôùi moät ñænh cho tröôùc
….
Vì caùc baûng löu thoâng tin veà ñoái töôïng coù theå raát phöùc taïp neân vieäc kieåm
tra tính ñuùng ñaén vaø ñaày ñuû cuûa döõ lieäu laø raát quan troïng.
2.1.2. Phöông trình maët phaúng
Ñeå thöïc hieän vieäc hieån thò moät ñoái töôïng ba chieàu, ta phaûi xöû lí döõ lieäu
nhaäp thoâng qua moät quy trình goàm nhieàu böôùc. Trong moät soá böôùc naøy, ñoâi
khi ta caàn thoâng tin veà ñònh höôùng cuûa ñoái töôïng vaø caû thoâng tin veà ñònh
höôùng cuûa töøng maët cuûa ñoái töôïng trong khoâng gian. Nhöõng thoâng tin naøy
coù theå laáy ñöôïc thoâng qua toïa ñoä cuûa caùc ñænh vaø phöông trình moâ taû caùc
maët ña giaùc cuûa ñoái töôïng.
Phöông trình bieåu dieãn maët phaúng coù daïng:
Ax By Cz D 0 (5.1)
trong ñoù
x, y, z laø moät ñieåm baát kì cuûa maët phaúng vaø A, B, C, D laø caùc haèng soá dieãn taû
thoâng tin khoâng gian cuûa maët phaúng. Nhö ñaõ bieát, ñeå xaùc ñònh phöông trình maët phaúng,
ta chæ caàn bieát ba ñieåm khoâng thaúng haøng treân maët phaúng naøy. Nhö vaäy, ñeå xaùc ñònh
phöông trình maët phaúng qua moät ña giaùc, ta seõ söû duïng toïa ñoä cuûa ba ñænh ñaàu tieân
x1, y1
,
x2 , y2
,
x3, y3 , trong ña giaùc naøy. Töø (5.1) ta coù:
Axk Byk Czk D 0, k 0,1,2,3 (5.2)
Duøng quy taéc Cramer, ta coù theå xaùc ñònh A, B, C, D theo coâng thöùc:
1
y1 z1
x1 1 z1
B x2 1 z2
x3 1 z3
A 1 y2 z2
1 y3 z3
(5.3)
x1 y1
C x2 y2
x3 y3
1
1
1
x1 y1 z1
D x2 y2 z2
x3 y3 z3
Khai trieån caùc ñònh thöùc treân ta ñöôïc coâng thöùc töôøng minh cuûa caùc heä soá:
A y1z2 z3
y2
z2
z3 z1
x3 x1
y3 y1
x2 y3z1 y1z3
y3
z3
z1 z2
x1 x2
y1 y2
x3
B z1x2 x3
Höôùng cuûa maët phaúng
C x1
y2 y3
x2
x3
(5.4)
D -x1
y2z3 y3z2
y1z2 y2z1
thöôøng ñöôïc xaùc ñònh thoâng qua vector phaùp tuyeán cuûa noù. Vector phaùp tuyeán
, trong ñoù A, B, C laø caùc heä soá cuûa phöông trình maët phaúng ta vöøa tính trong
n
(5.4).
A, B,C
n A, B,C
Hình 5.10 – Vector phaùp tuyeán cuûa maët phaúng
Vì ta thöôøng laøm vieäc vôùi caùc maët bao quanh ñoái töôïng neân ta caàn phaân bieät
hai maët cuûa maët phaúng. Maët tieáp giaùp vôùi phaàn beân trong cuûa ñoái töôïng ta
goïi laø maët trong, maët kia laø maët ngoaøi. Neáu caùc caïnh cuûa ña giaùc ñöôïc moâ
taû theo chieàu ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà, vector phaùp tuyeán cuûa maët phaúng seõ
höôùng töø trong ra ngoaøi (giaû söû heä toïa ñoä bieåu dieãn ñoái töôïng laø heä toïa
ñoä baøn tay phaûi). Ví duï, trong hình 5.11, vector phaùp tuyeán cuûa maët phaûi cuûa
khoái laäp phöông ñôn vò (maët ñöôïc toâ) coù phöông trình maët phaúng laø x-1=0 vaø
coù vector phaùp tuyeán töông öùng laø (1,0,0);
Hình 5.11 – Vector phaùp tuyeán höôùng töø trong ra ngoaøi
Phöông trình maët phaúng coøn coù theå duøng ñeå xaùc ñònh vò trí töông ñoái giöõa
moät ñieåm trong khoâng gian vôùi maët phaúng. Neáu ñieåm P(x,y,z) khoâng naèm
treân maët phaúng, luùc ñoù ta coù:
Ax + By + Cz + D 0
Ta coù theå xaùc ñònh P naèm ôû phía trong hay naèm phía ngoaøi cuûa maët phaúng
nhôø vaøo daáu cuûa bieåu thöùc Ax + By + Cz + D:
•
Neáu Ax + By + Cz + D < 0, ñieåm P(x,y,z) naèm trong.
y
1
n=(1,0,0)
1
x
1
z
•
Neáu Ax + By + Cz + D > 0, ñieåm P(x,y,z) naèm ngoaøi.
Daáu hieäu kieåm tra treân ñuùng cho heä toïa ñoä baøn tay phaûi vaø phöông trình maët
phaúng ñöôïc tính töø toïa ñoä caùc ñænh ña giaùc cho theo chieàu ngöôïc chieàu kim
ñoàng hoà.
Ñoâi khi, seõ raát höõu ích neáu ta khaûo saùt caùc ñöôøng vaø maët thoâng qua phöông
trình tham soá cuûa noù.
Phöông trình tham soá cuûa moät maët laø moät phöông trình coù hai tham soá u, v.
Moät ñieåm baát kì treân maët seõ coù toïa ñoä ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng vector
tham soá : p(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Vôùi moãi caëp giaù trò (u, v) ta seõ coù
moät boä caùc toïa ñoä (x, y, z) bieåu dieãn moät ñieåm treân beà maët ñaõ cho. Caùc
maët seõ ñöôïc phaân bieät vôùi nhau baèng caùc boä haøm x(), y(), z() khaùc nhau.
Ñeå giôùi haïn khoâng gian cuûa caùc maët, thoâng thöôøng ngöôøi ta ñònh laïi caùc toïa ñoä bieân
sao cho u, v töông öùng bieán ñoåi trong ñoaïn
taïi goác toïa ñoä coù theå bieåu dieãn baèng caùc phöông trình sau :
0,1 . Ví duï, moät maët caàu vôùi baùn kính r, taâm
x(u, v) = r sin(u) cos(2v)
y(u, v) = r sin(u) sin(2v)
z(u, v) = r cos(u)
Trong ñoù u, v thay ñoåi trong ñoaïn
0,1 .
Moät maët phaúng coù theå ñöôïc xaùc ñònh baèng moät ñieåm vôùi vector vò trí c vaø
hai vector a, b khoâng cuøng phöông (xem hình 5.12).
b
c
a
Hình 5.12 – Minh hoïa caùch xaùc ñònh maët phaúng
Nhaän xeùt raèng baát kì ñieåm naøo treân maët phaúng cuõng coù theå ñöôïc bieåu
dieãn baèng moät vector toång sau : p(u, v) = c + au + bv. Ñaây chính laø phöông trình
tham soá cuûa maët phaúng.
Trong phöông trình treân u, v coù theå bieán ñoåi trong khoaûng
, , do ñoù maët phaúng
seõ traûi daøi ñeán voâ taän. Tuy nhieân trong caùc tröôøng hôïp cuï theå ta chæ muoán duøng moät phaàn
cuûa maët phaúng, moät hình bình haønh thoâi chaúng haïn. Caùc phaàn nhö vaäy ñöôïc goïi laø planar
patch, luùc ñoù ta coù theå töôûng töôïng maët phaúng nhö laø söï gheùp noái cuûa caùc planar patch
naøy.
Moät planar patch ñöôïc xaùc ñònh baèng caùch giôùi haïn khoaûng bieán ñoåi cuûa caùc
tham soá u, v trong phöông trình treân. Ví duï neáu cho u, v bieán ñoåi trong ñoaïn [0, 1]
ta seõ coù moät patch nhö hình veõ 5.13.
Trong hình veõ naøy u, v ñöôïc bieán ñoåi trong moät khoaûng khoâng gian goïi laø
khoâng gian tham soá (parametric space), vieäc aùnh xaï töông öùng caùc giaù trò u, v
ñaõ ñöôïc giôùi haïn treân seõ taïo ra moät patch trong khoâng gian töông öùng goïi laø
khoâng gian ñoái töôïng.
Khoâng gian ñoái töôïng
Khoâng gian
tham soá
v
(1,1)
(0,1)
(0,0)
b
1
c
a
(1,0)
1
u
Hình 5.13 – Caùch taïo ra moät patch
2.1.3. Löôùi ña giaùc (polygon meshes)
Moät soá heä ñoà hoïa cung caáp moät soá haøm cho pheùp moâ hình hoùa caùc ñoái
töôïng. Moät maët phaúng coù theå ñöôïc dieãn taû thoâng qua moät haøm nhö fillArea.
Nhöng khi ta caàn lôïp nhieàu planar patch lieân tieáp, duøng caùc haøm löôùi (mesh
function) seõ thuaän tieän hôn. Moät daïng thoâng duïng cuûa löôùi ña giaùc laø daõy
caùc tam giaùc (triagle strip). Haøm naøy veõ n-2 tam giaùc keà nhau khi bieát n ñænh.
Daïng naøy cuûa löôùi ña giaùc duøng trong haàu heát caùc thö vieän ñoà hoïa chuaån
hieän nay nhö OpenGL hay DirectX. Moät daïng haøm töông töï laø löôùi caùc töù giaùc
(quardrilateral mesh). Haøm naøy veõ moät löôùi (n-1)x(m-1) töù giaùc loài töø daõy
nxm ñænh.
Khi ña giaùc ñöôïc moâ taû bôûi nhieàu hôn ba ñænh, caùc ñænh cuûa noù coù theå
khoâng ñoàng phaúng. Ñieàu naøy coù theå daãn ñeán caùc loãi tính toaùn. Moät phöông
phaùp ñôn giaûn laø phaân ña giaùc naøy thaønh caùc tam giaùc.
Hình 5.14 - Triangle strip vaø quadrilateral mesh
2.2. Caùc ñöôøng cong vaø maët cong
Hình aûnh cuûa caùc ñöôøng cong vaø maët cong coù theå ñöôïc taïo ra töø moät taäp
hôïp caùc haøm toaùn hoïc ñònh nghóa caùc ñoái töôïng hoaëc töø moät taäp hôïp caùc
ñieåm treân ñoái töôïng. Khi ñoái töôïng ñöôïc moâ taû baèng caùc haøm toaùn hoïc,
thöôøng caùc thö vieän ñoà hoïa cung caáp saün nhöõng haøm cho pheùp chieáu caùc
ñoái töôïng leân maët phaúng hieån thò. Ñoái vôùi caùc ñöôøng cong, caùc haøm naøy
seõ veõ moät loaït caùc ñieåm doïc theo hình chieáu cuûa ñöôøng moâ taû bôûi haøm
toaùn hoïc. Ñoái vôùi caùc maët cong, moät löôùi ña giaùc xaáp xæ vôùi maët cong seõ
ñöôïc taïo ra. Thöôøng thì caùc heä ñoà hoïa taïo ra caùc löôùi tam giaùc ñeå ñaûm baûo
tính ñoàng phaúng cuûa caùc caïnh thuoäc cuøng moät polygon patch.
Moät ñöôøng cong hoaëc maët cong coù theå ñöôïc dieãn taû baèng phöông trình toaùn
hoïc daïng tham soá hoaëc khoâng tham soá. Tuy nhieân, trong ñoà hoïa maùy tính,
thöôøng thì daïng tham soá seõ thuaän tieän cho xöû lí hôn.
Khi ñoái töôïng ñöôïc moâ taû bôûi moät taäp hôïp caùc ñieåm rôøi raïc, ñoái töôïng seõ
ñöôïc hieån thò thoâng qua moät maët cong xaáp xæ naøo ñoù döïa treân nhöõng ñieåm
ñaõ cho. Caùc loaïi ñöôøng cong vaø maët cong daïng spline hoaëc Bezier laø nhöõng
ñöôøng cong vaø maët cong xaáp xæ thöôøng duøng.
Caùc maët cong coù theå coù hình daïng raát phöùc taïp, ñaëc bieät khi noù bao goàm
nhieàu patch keát hôïp laïi vôùi nhau. Tröôùc tieân, chuùng ta chæ khaûo saùt caùc maët
cong khaù ñôn giaûn, keá tieáp chuùng ta seõ khaûo saùt caùc maët phöùc taïp hôn.
2.3. Caùc maët coù quy luaät (ruled surfaces)
2.3.1. Ñònh nghóa
Ta coù hai ñònh nghóa töông ñöông :
•
Moät maët coù quy luaät laø moät maët ñöôïc taïo baèng caùch queùt (sweep) moät
ñöôøng thaúng trong khoâng gian theo moät caùch naøo ñoù.
•
Moät maët ñöôïc goïi laø coù quy luaät neáu qua baát kì ñieåm naøo thuoäc noù ñeàu coù ít
nhaát moät ñöôøng thaúng naèm hoaøn toaøn treân noù.
Hình 5.15 – Minh hoïa moät maët coù quy luaät
2.3.2. Phöông trình tham soá
Vì maët coù quy luaät hoaøn toaøn döïa treân cô sôû laø ñöôøng thaúng vôùi phöông
trình daïng tham soá laø p
caùch töông töï nhö sau:
v
1 v p0 vp1 , neân ta coù theå suy ra daïng cuûa noù moät
p u,v
1 v
p0
u
vp1
u
(5.5)
Neáu u bieán ñoåi töø ustart ñeán uend , ta thaáy maët cong seõ laø taäp hôïp cuûa caùc
ñöôøng thaúng noái caùc caëp ñieåm töông öùng p0(u’) (thuoäc ñöôøng cong p0(u)) vaø
p1(u’) (thuoäc ñöôøng cong p1(u)) vôùi u’ naèm trong (ustart, uend).
Neáu khoâng giôùi haïn u, v ta seõ coù maët cong traûi daøi ra voâ taän, caùc maët cong
“ruled patch” seõ ñöôïc taïo baèng caùch giôùi haïn u, v trong ñoaïn [0, 1].
2.3.3. Khaûo saùt caùc moâ hình minh hoïa
Hình truï (Cylinder)
Hình truï laø hình ñöôïc taïo ra khi moät ñöôøng thaúng L, goïi laø ñöôøng sinh
(generator) ñöôïc queùt doïc theo moät ñöôøng cong p0(u), goïi laø ñöôøng chuaån
(directrix), ñöôøng cong p0(u) naèm treân moät maët phaúng naøo ñoù.
ñöôøng chuaån
ñöôøng sinh
Hình 5.16 – Minh hoïa moät hình truï
Töø phöông trình toång quaùt cuûa maët cong coù quy luaät :
p u,v
p0
u
vd u
, trong ñoù d
u
p1
u
p0
u
(5.6)
do khi queùt caùc ñöôøng thaúng luoân song song vôùi nhau neân ta coù d laø haèng soá,
vaø phöông trình tham soá cuûa hình truï laø :
p
u,v
Moät trong nhöõng daïng quen thuoäc cuûa hình truï laø hình truï troøn (circular cylinder)
öùng vôùi tröôøng hôïp ñöôøng chuaån laø hình troøn. Neáu ñöôøng troøn naèm treân maët phaúng xy
chuùng ta seõ coù p0 cos ,sin ,0
p0
u
vd
u
u
u
y
ñöôøng sinh
ñöôøng chuaån
z
x
Hình 5.17 – Minh hoïa moät hình truï troøn
Hình noùn (Cone)
Hình noùn laø hình ñöôïc taïo ra khi moät ñöôøng thaúng di chuyeån doïc theo moät
ñöôøng cong phaúng cho tröôùc (plane curve), caùc ñöôøng thaúng naøy coøn coù theâm
tính chaát nöõa laø luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh goïi laø ñænh cuûa hình noùn.
ñænh noùn
Tải về để xem bản đầy đủ
42 trang
27/04/2022
8400
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Đồ họa máy tính - Chương 5, Phần 1: Giới thiệu đồ họa ba chiều", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_do_hoa_may_tinh_chuong_5_phan_1_gioi_thieu_do_hoa.doc
IMAGES.rar
Chuong5.htm
