Giáo trình Đồ họa máy tính - Chương 6: Các phép biến đổi trong đồ họa ba chiều

CHÖÔNG 6

CAÙC PHEÙP BIEÁN ÑOÅI TRONG ÑOÀ HOÏA BA CHIEÀU

Caùc pheùp bieán ñoåi trong ñoà hoïa ba chieàu laø söï môû roäng cuûa caùc pheùp bieán

ñoåi trong ñoà hoïa hai chieàu baèng caùch theâm vaøo vieäc xem xeùt toïa ñoä thöù ba,

toïa ñoä z. Baây giôø, chuùng ta seõ tònh tieán moät ñoái töôïng thoâng qua vieäc moâ

taû moät vector tònh tieán ba chieàu. Vector naøy xaùc ñònh ñoä dôøi cuûa vaät theo ba

chieàu trong khoâng gian. Töông töï nhö vaäy, ta coù theå thu phoùng ñoái töôïng vôùi

caùc tæ leä bieán ñoåi theo caû ba chieàu. Söï môû roäng cuûa pheùp quay ít hieån

nhieân hôn hai pheùp bieán ñoåi cô sôû treân. Khi khaûo saùt caùc pheùp quay trong

maët phaúng hai chieàu Oxy, ta chæ caàn khaûo saùt pheùp quay quanh moät taâm, hay

noùi caùch khaùc, pheùp quay quanh moät truïc vuoâng goùc vôùi maët phaúng Oxy.

Trong khoâng gian ba chieàu, ta coù theå choïn moät truïc quay coù phöông baát kì.

Phaàn lôùn caùc heä ñoà hoïa xöû lí pheùp quay trong khoâng gian ba chieàu nhö laø toå

hôïp cuûa ba pheùp quay vôùi truïc quay laø caùc truïc toïa ñoä x, y vaø z. Nhö vaäy,

ngöôøi duøng coù theå deã daøng xaây döïng moät pheùp quay baát kì baèng caùch moâ

taû truïc quay vaø goùc quay.

Cuõng nhö khi trình baøy caùc pheùp bieán ñoåi trong ñoà hoïa hai chieàu, trong chöông

naøy, ta seõ khaûo saùt caùc pheùp bieán ñoåi trong ñoà hoïa ba chieàu döôùi daïng ma

traän. Moät chuoãi baát kì caùc pheùp bieán ñoåi seõ ñöôïc bieåu dieãn baèng moät ma

traän duy nhaát laø tích cuûa caùc ma traän töông öùng vôùi caùc pheùp bieán ñoåi

thaønh phaàn.

1. CAÙC PHEÙP BIEÁN ÑOÅI HÌNH HOÏC

Hình 6.1 – Moät caûnh ba chieàu ñöôïc taïo nhôø caùc pheùp bieán ñoåi

Pheùp tònh tieán, quay, bieán ñoåi tæ leä, vaø pheùp bieán daïng laø caùc ví duï cuûa

caùc pheùp bieán ñoåi hình hoïc. Chuùng coøn ñöôïc bieát tôùi nhö laø caùc pheùp bieán

ñoåi affine cô sôû. Trong soá ñoù, pheùp quay coù theå noùi laø quan troïng vaø höõu

duïng nhaát vì noù cho pheùp chuùng ta nhìn caùc ñoái töôïng theo caùc höôùng khaùc

nhau, ñieàu naøy cho pheùp chuùng ta caûm nhaän caùc hình veõ ba chieàu tröïc quan

hôn, deã chòu hôn.

Ta coù theå taïo ra nhieàu phieân baûn cuûa cuøng moät ñoái töôïng baèng caùch veõ

ñoái töôïng naøy sau khi aùp duïng moät daõy caùc pheùp bieán ñoåi hình hoïc leân noù

(xem hình 6.1).

1.1. Moät soá khaùi nieäm lieân quan

1.1.1. Pheùp bieán ñoåi affine

Pheùp bieán ñoåi affine laø pheùp bieán ñoåi tuyeán tính, khaû nghòch. Pheùp bieán ñoåi

naøy baûo toaøn tính song song cuûa caùc ñöôøng thaúng cuõng nhö baûo toaøn tính tæ

leä veà khoaûng caùch cuûa caùc ñoaïn thaúng. Tuy nhieân, pheùp bieán ñoåi naøy

khoâng baûo toaøn goùc nghieâng vaø chieàu daøi caùc ñoaïn thaúng. Caùc pheùp bieán

ñoåi naøy cuõng baûo toaøn tæ leä veà khoaûng caùch (xem theâm chöông 3)

Caùc heä truïc toïa ñoä theo quy öôùc baøn tay phaûi vaø baøn tay traùi

y

z

x

x  y  z

y  x  z

(a)

(b)

Hình 6.2 – Caùc heä toïa ñoä theo quy öôùc baøn tay phaûi (a)

vaø quy öôùc baøn tay traùi (b)

Heä toïa ñoä Descartes ba chieàu coù theå ñònh nghóa theo quy öôùc baøn tay traùi

hoaëc baøn tay phaûi (xem hình 6.2).

Ñònh nghóa

•

Heä toïa ñoä theo quy öôùc baøn tay phaûi laø heä toïa ñoä vôùi caùc truïc x, y, z thoûa

ñieàu kieän: Neáu ñeå baøn tay phaûi sao cho ngoùn caùi höôùng cuøng chieàu vôùi truïc

z, khi naém tay laïi, chieàu caùc ngoùn tay chuyeån ñoäng theo höôùng töø truïc x

ñeán truïc y.

•

Heä toïa ñoä theo quy öôùc baøn tay traùi laø heä toïa ñoä vôùi caùc truïc x, y, z thoûa

ñieàu kieän: Neáu ñeå baøn tay traùi sao cho ngoùn caùi höôùng cuøng chieàu vôùi truïc

z, khi naém tay laïi, chieàu caùc ngoùn tay chuyeån ñoäng theo höôùng töø truïc x

ñeán truïc y.

Heä toïa ñoä thuaàn nhaát

Trong heä toïa ñoä thuaàn nhaát, moãi ñieåm



x, y, z



trong khoâng gian Descartes ñöôïc bieåu

hx,hy,hz,h . Ñeå tieän lôïi,

dieãn bôûi moät boä boán toïa ñoä trong khoâng gian 4 chieàu thu goïn





ngöôøi ta thöôøng choïn h=1. Nhö vaäy, moät ñieåm (x, y, z) trong heä toïa ñoä Descartes seõ bieán

thaønh ñieåm (x, y, z, 1) trong heä toïa ñoä thuaàn nhaát; coøn ñieåm (x, y, z, w) trong heä toïa ñoä

thuaàn nhaát (vôùi w  0) seõ töông öùng vôùi ñieåm (x/w, y/w, z/w) trong heä toïa ñoä Descartes

(xem hình 6.3).

projected

homogeneous

(x/w,y/w,z/w,1)

homogeneous

(x,y,z,w)

Descartes

(x/w,y/w,z/w)

w

w=1

x

Hình 6.3 – Caùc ñieåm trong heä toïa ñoä thuaàn nhaát vaø Descartes

Daïng ma traän cuûa pheùp bieán ñoåi affine trong heä toïa ñoä thuaàn nhaát

tæ leä, quay, bieán daïng

tònh tieán

a

d

g

b

e

h

c

f

i

0

1















x' y' z'

1







x

y

z

1



.









tr_xtr_ytr_z

Hình 6.4 – Daïng toång quaùt cuûa pheùp bieán ñoåi affine ba chieàu

Pheùp bieán ñoåi affine ba chieàu bieán ñieåm P thaønh ñieåm Q coù daïng : Q  P.M

trong ñoù Q  vaø M laø ma traän bieán ñoåi 4x4 trong

heä toïa ñoä thuaàn nhaát tr  laø vector tònh tieán.

Moät soá tính chaát cuûa caùc pheùp bieán ñoåi ba chieàu :

,



Q_x,Q_y,Q_z,1



,

P 



P_x, P_y, P_z,1





tr_x,tr_y,tr_z



•

Tính chaát ñöôøng thaúng ñöôïc baûo toaøn. Nghóa laø, moät ñöôøng thaúng trong

khoâng gian ba chieàu khi bieán ñoåi seõ thaønh moät ñöôøng thaúng.

Tính song song ñöôïc baûo toaøn. Nghóa laø, hai ñöôøng thaúng song song khi

bieán ñoåi cuõng seõ thaønh hai ñöôøng thaúng song song.

Tính tæ leä veà khoaûng caùch ñöôïc baûo toaøn. Nghóa laø, aûnh cuûa moät ñieåm P

chia ñoaïn thaúng AB theo tæ leä f, seõ chia ñoaïn thaúng A’B’ theo tæ leä f, vôùi

A’B’ laø aûnh cuûa ñoaïn thaúng AB.

1.2. Pheùp tònh tieán

y

(x',y',z')

tr =(tr_x,tr_y,tr_z)

(x,y,z)

x

z

Hình 6.5 – Pheùp tònh tieán vôùi vector tònh tieán tr=(tr_x, tr_y, tr_z)

Vector tònh tieán tr trong pheùp bieán ñoåi ba chieàu coù moät taùc ñoäng raát tröïc

quan: moãi ñieåm ñöôïc dòch ñi moät khoaûng laø tr_x, tr_y, tr_ztheo ba truïc. Ma traän M

cho pheùp tònh tieán coù daïng nhö sau:

1

0

1

0

1

0

1













tr(tr ,tr_y,tr ) 

(6.1)

x

z









tr tr_ytr

x

z

1.3. Pheùp bieán ñoåi tæ leä

Pheùp bieán ñoåi tæ leä trong ba chieàu laø moät söï môû roäng cuûa pheùp bieán ñoåi

tæ leä trong hai chieàu :

s

0

s_y

0

s_z

0

1





x





0





S(s_x,s_y,s_z) 

(6.2)









0

Trong ñoù caùc haèng soá s_x,s_y,s_zlaø caùc heä soá tæ leä töông öùng theo caùc truïc x, y,

z.

y

x

z

Hình 6.6 – Pheùp bieán ñoåi tæ leä

Nhö hình 6.6, ñoái töôïng ñöôïc phoùng to gaáp ñoâi, ñoàng thôøi vôùi taùc ñoäng cuûa

pheùp bieán ñoåi laøm cho ñoái töôïng bò ñaåy ra xa goác toïa ñoä hôn.

Khi caùc heä soá tæ leä s_x,s_y,s_zbaèng nhau, ta coù pheùp bieán ñoåi ñoàng daïng.

Trong pheùp bieán ñoåi

S



s_x,s_y,s_z, goác toïa ñoä O seõ coù aûnh laø chính noù. Ta goïi goác toïa



ñoä laø ñieåm baát ñoäng (fixed point) cuûa S, hay coøn goïi O laø taâm cuûa pheùp bieán ñoåi.

Toång quaùt hôn, ta coù theå moâ taû moät pheùp bieán ñoåi tæ leä theo moät taâm



x_f, y_f, z_fbaát kì baèng moät daõy ba pheùp bieán ñoåi sau:



•

Tònh tieán ñieåm baát ñoäng



x_f, y_f, z_fveà goác toïa ñoä.



•

Thöïc hieän pheùp bieán ñoåi tæ leä theo coâng thöùc (6.2).

Tònh tieán ngöôïc ñieåm baát ñoäng töø goác toïa ñoä trôû veà vò trí ban ñaàu.

Nhö vaäy, keát hôïp ba böôùc bieán ñoåi treân ta coù ñöôïc ma traän bieán ñoåi cuûa pheùp bieán

ñoåi tæ leä theo taâm



x_f, y_f, z_fvôùi heä soá tæ leä s_x,s_y,s_zlaø:



s_x

0

s_y

0

s_z

0

1











S_f(s_x,s_y,s_z) 

(6.3)











1-s_x



x_f



1-s_y



y_f



1-s_zz_f



1.4. Pheùp bieán daïng

Bieán daïng theo baát kì truïc toïa ñoä naøo cuõng bò aûnh höôûng bôûi toïa ñoä öùng vôùi hai truïc

coøn laïi. Ma traän cuûa pheùp bieán daïng nhö sau:

1

h_yxh_zx

0

1









h

1

h_zy

1





xy

Sh 

h_xzh_yz

0









0

(6.4)

Ta coù moái quan heä Q_xvôùi P : Q_x P_x h_xyP_y h_xzP_z

.

ÔÛ ñaây coù theå hieåu h_xylaø löôïng maø toïa ñoä y cuûa P taùc ñoäng leân toïa ñoä x

cuûa Q.

y

x

z

Hình 6.7 - Pheùp bieán daïng theo truïc x : h_xy= h_xz= 1, caùc heä soá khaùc baèng 0

Töông töï nhö trong tröôøng hôïp pheùp bieán ñoåi tæ leä, pheùp bieán daïng Sh (6.4)

cuõng coù ñieåm baát ñoäng laø goác toïa ñoä O. Ta cuõng coù theå xaây döïng pheùp

bieán daïng vôùi taâm bieán daïng taïi moät ñieåm



x_f, y_f, z_fbaát kì.



Ma traän bieán ñoåi cuûa pheùp bieán daïng vôùi taâm taïi



x_f, y_f, z_flaø:



1

h_xy

h_xz

h_yx

1

h_yz

h_zx

h_zy

1

0

1













Sh 









-y_fh_xy z_fh_xz-x_fh_yx z_fh_yz-x_fh_zx y_fh_zy

(6.5)

1.5. Pheùp quay

1.5.1. Pheùp quay quanh moät truïc toïa ñoä

Khaùc vôùi pheùp quay trong hai chieàu quanh moät ñieåm baát kì, trong ba chieàu ta

coù pheùp quay quanh moät truïc toïa ñoä. ÔÛ ñaây ta söû duïng heä toïa ñoä theo quy

öôùc baøn tay phaûi vaø quy ñònh chieàu quay döông laø ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà.

Ta coù caùc ma traän bieåu dieãn caùc pheùp quay quanh truïc x, y, z moät goùc  laàn

löôït laø R(z, ), R(y,), R(x, ):

Quay quanh truïc z :

cosθ sinθ 0 0

-sinθ cosθ 0 0











R



z,θ





(6.6)

0

1 0

0 1









y

x

z

Hình 6.8 - Pheùp quay quanh truïc z

Quay quanh truïc y :

cosθ 0 -sinθ 0









0

sinθ

0

1

0

cosθ

0

1





R



y,θ





(6.7)









y

x

z

Hình 6.9 - Pheùp quay quanh truïc y

Quay quanh truïc x :

1

0

1









cos sin





R



x,





(6.8)

0 -sin cos

0









0

Nhaän xeùt raèng caùc giaù trò naèm treân doøng vaø coät töông öùng vôùi truïc x trong

ma traän R(x,) seõ coù giaù trò laø 0 ngoaïi tröø giaù trò naèm treân ñöôøng cheùo

chính laø 1. Ñieàu naøy ñaûm baûo cho toïa ñoä x cuûa caùc ñieåm laø khoâng bò thay

ñoåi qua pheùp bieán ñoåi. Nhaän xeùt naøy cuõng töông töï cho tröôøng hôïp caùc ma

traän coøn laïi.

y

z

x

Hình 6.10 - Pheùp quay quanh truïc x

Ghi chuù:

Caùc ñònh nghóa veà chieàu quay ñöôïc duøng chung cho caû heä toïa ñoä theo quy öôùc

baøn tay phaûi vaø baøn tay traùi. Cuï theå chieàu döông ñöôïc ñònh nghóa nhö sau:

•

Quay quanh truïc x: töø truïc döông y ñeán truïc döông z.

Quay quanh truïc y: töø truïc döông z ñeán truïc döông x.

Quay quanh truïc z: töø truïc döông x ñeán truïc döông y.

y

x

z

(a)

y

x

z

(b)

y

x

z

(c)

Hình 6.11- Caùch xaùc ñònh chieàu quay döông

1.5.2. Pheùp quay quanh moät truïc baát kì

Giaû söû truïc quay ñi qua hai ñieåm P₀, P₁naøo ñoù vôùi phöông ñöôïc bieåu dieãn bôûi

vector ñôn vò k. Quay ñieåm (x, y, z) quanh truïc k theo moät goùc  seõ bieán thaønh

ñieåm (x’, y’, z’) (xem hình 6.12).

y

P₁

k

P₀

k'

d

k_y



x

k"

z

Hình 6.12 - Pheùp quay quanh truïc k

Ñeå thöïc hieän pheùp quay quanh k moät goùc , ta coù theå thöïc hieän moät chuoãi

caùc thao taùc sau:

•

Tònh tieán truïc k veà goác toïa ñoä: tr(-P₀) (thaønh truïc k').

•

Quay quanh truïc x moät goùc  ñeå ñaët truïc k' naèm treân maët phaúng Oxz:

rot(x,) (thaønh truïc k”).

•

Quay quanh truïc y goùc  ñeå ñöa truïc k” veà truïc z: rot(y,-).

Thöïc hieän pheùp quay quanh truïc z moät goùc : rot(z,).

Thöïc hieän chuoãi caùc pheùp bieán ñoåi ngöôïc laïi quaù trình treân.

Goùc quay  ñöôïc xaùc ñònh döïa treân chieáu cuûa k' leân maët phaúng yz. Ta khoâng

caàn tính  cuï theå. Thay vaøo ñoù ta tính sin() vaø cos() moät caùch tröïc tieáp.

Töø hình 6.12 ta coù:

P₀P

1

d  k²_y k²_z

k 

,

P₀P

1

cos() = k_z/d, sin() = k_y/d.

Töông töï, töø hình 6.13 ta coù:

cos







 d/1  d, sin





  k_x/1  k_x

Nhö vaäy, pheùp quay quanh moät truïc P₀P₁baát kì moät goùc , rot(P₀P₁, ), coù theå

ñöôïc phaân raõ thaønh chuoãi caùc bieán ñoåi cô sôû sau: tr(-P₀) rot(x,) rot(y, -) rot(z,

) rot(y, ) rot(x, -) tr(P₀)

y

x

k"



k_x

z

Hình 6.13 - Tính goùc 

1.6. Keát hôïp caùc pheùp bieán ñoåi affine ba chieàu

Ñeå keát hôïp caùc pheùp bieán ñoåi affine ba chieàu, chuùng ta cuõng thöïc hieän töông

töï nhö ôû pheùp bieán ñoåi hai chieàu baèng caùch duøng heä toïa ñoä thuaàn nhaát.

Baèng caùch naøy chuùng ta cuõng coù caùc keát quaû töông töï nhö trong tröôøng hôïp

bieán ñoåi hai chieàu. Neáu M1 bieán ñoåi P thaønh Q vaø M2 bieán ñoåi Q thaønh S thì

M1M2 seõ bieán ñoåi P thaønh S, do ñoù ma traän keát hôïp cuûa nhieàu pheùp bieán

ñoåi coù theå ñöôïc tính töø vieäc nhaân caùc ma traän cuûa caùc pheùp bieán ñoåi

thaønh phaàn.

2. PHEÙP BIEÁN ÑOÅI MOÂ HÌNH VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI HEÄ TRUÏC TOÏA ÑOÄ

Cho ñeán thôøi ñieåm naøy, chuùng ta ñaõ khaûo saùt caùc pheùp bieán ñoåi ba chieàu

nhö laø thao taùc dòch chuyeån moät ñieåm (moät ñoái töôïng) töø vò trí naøy sang vò trí

khaùc trong moät heä truïc toïa ñoä. Tuy nhieân, nhieàu khi, ta caàn xem xeùt caùc ñoái

töôïng trong caùc heä toïa ñoä khaùc nhau, muoán chuyeån töø moät heä toïa ñoä naøy

sang heä toïa ñoä khaùc. Ví duï, trong quy trình hieån thò ñoái töôïng ba chieàu, ta caàn

ñaët moät ñoái töôïng vaøo heä toïa ñoä chung cho taát caû caùc ñoái töôïng trong caûnh

(heä toïa ñoä theá giôùi thöïc), sau ñoù, xaùc ñònh tia nhìn, ta chuyeån ñoåi töø heä toïa

ñoä theá giôùi thöïc sang heä toïa ñoä quan saùt, vaø cuoái cuøng ta phaûi chuyeån töø

heä toïa ñoä quan saùt sang heä toïa ñoä thieát bò, nôi caùc ñoái töôïng seõ ñöôïc hieån

thò.

Khi moâ hình hoùa ñoái töôïng, ta thöôøng moâ taû chuùng trong moät heä toïa ñoä cuïc

boä, thuaän tieän nhaát cho vieäc moâ hình hoùa. Sau ñoù, baèng caùc pheùp bieán ñoåi

ta seõ ñaët chuùng vaøo caûnh caàn hieån thò. Caùch tieáp caän naøy cho pheùp ta

khoâng caàn moâ hình hoùa quaù nhieàu ñoái töôïng maø chæ moâ hình hoùa theo

chuûng loaïi ñoái töôïng. Ví duï ñeå taïo caûnh trong hình 6.1 ta chæ caàn moâ hình hoùa

moät traùi banh, moät con ki, baøn, … Sau ñoù phaùt sinh ra nhieàu con ki nhö thaáy

trong hình veõ. Moät ví duï khaùc coù theå xem trong hình 6.14.

Vieäc chuyeån ñoåi caùc moâ taû ñoái töôïng töø heä toïa ñoä naøy sang heä toïa ñoä

khaùc thöïc hieän theo quy trình töông töï nhö trong ñoà hoïa hai chieàu. Ta caàn xaây

döïng ma traän bieán ñoåi ñeå khôùp ñöôïc caùc truïc toïa ñoä cuûa hai heä. Tröôùc tieân,

ta caàn thöïc hieän pheùp tònh tieán ñeå hai goác toïa ñoä truøng nhau. Sau ñoù, ta phaûi

thöïc hieän tieáp moät daõy caùc pheùp quay ñeå khôùp caùc truïc toïa ñoä töông öùng

leân nhau. Neáu caùc heä toïa ñoä söû duïng caùc tæ leä ño löôøng khaùc nhau, ta phaûi

thöïc hieän theâm moät pheùp bieán ñoåi tæ leä nöõa ñeå ñoàng nhaát caùc heä toïa ñoä.

y_t

Tractor

System

y_W

x_t

z_t

x_W

World

z_W

yf_W

xf_W

zf_W

Front-Wheel

System

Hình 6.14 - Moâ hình hoùa vaø pheùp bieán ñoåi heä toïa ñoä

Neáu heä toïa ñoä thöù hai coù goác toïa ñoä ñaët taïi (x₀, y₀, z₀) vaø caùc vector cô sôû

ñöôïc moâ taû nhö trong hình 6.15 (töông öùng heä toïa ñoä thöù nhaát), tröôùc tieân ta

caàn thöïc hieän pheùp tònh tieán T(-x₀,-y₀,-z₀). Sau ñoù ta xaây döïng ma traän quay R

döïa treân caùc vector cô sôû. Ma traän naøy seõ bieán ñoåi caùc vector ñôn vò u’_x, u’_y,

u’_ztöông öùng thaønh caùc truïc x, y, z.

u'

u'_y1u'_z1

u'_y2u'_z2

0

1





x1









x2

R 

(6.9)

u'_x3u'_y3u'_z3

0









0

Ma traän cuûa pheùp bieán ñoåi heä toïa ñoä chính laø tích T.R. Ma traän naøy bieán

ñoåi heä toïa ñoä Descartes naøy thaønh heä toïa ñoä Descartes khaùc, cho duø chuùng

laø heä toïa ñoä theo quy öôùc baøn tay phaûi hay baøn tay traùi.

y

y'

u'_y

u'_z

u'_x

x'

(x₀,y₀,z₀)

(0,0,0)

x

z

z'

Hình 6.15 - Chuyeån ñoåi heä toïa ñoä

TOÙM TAÉT

Chuùng ta vöøa khaûo saùt caùc pheùp bieán ñoåi affine ba chieàu nhö laø söï môû roäng cuûa caùc pheùp bieán ñoåi

affine hai chieàu. Cuõng nhö caùc pheùp bieán ñoåi affine hai chieàu, tröôùc tieân ta khaûo saùt caùc pheùp bieán ñoåi cô

sôû: tònh tieán, tæ leä, quay; sau ñoù khaûo saùt caùc pheùp bieán ñoåi phöùc taïp hôn. Ñaëc bieät, pheùp quay quanh moät

truïc baát kì ñöôïc khaûo saùt chi tieát nhö laø moät minh hoïa cho caùc phaân raõ moät pheùp bieán ñoåi affine baát kì

thaønh tích cuûa caùc pheùp bieán ñoåi affine cô sôû. Nhôø khaûo saùt caùc pheùp bieán ñoåi affine vôùi bieåu dieãn daïng

ma traän trong heä toïa ñoä thuaàn nhaát neân coâng vieäc khaù ñôn giaûn vaø nhaát quaùn.

Löu yù moät ñieàu, caùc pheùp tònh tieán vaø quay coù chung thuoäc tính laø : sau khi bieán ñoåi, hình daïng vaø

kích thöôùc cuûa ñoái töôïng khoâng thay ñoåi maø chuùng chæ bò thay ñoåi vò trí vaø ñònh höôùng trong khoâng gian. Vì

vaäy, ngöôøi ta goïi hai pheùp bieán ñoåi naøy laø pheùp bieán ñoåi rigid-body transformations.

Phaàn cuoái chöông, chuùng ta ñaõ xem xeùt caùc pheùp bieán ñoåi heä toïa ñoä. Caùc pheùp bieán ñoåi naøy raát

quan troïng trong quaù trình hieån thò ñoái töôïng ba chieàu.

BAØI TAÄP

1. Haõy xaùc ñònh ma traän cuûa pheùp ñoái xöùng göông qua maët phaúng Oxy, Oxz, Oyz.

2. Haõy xaùc ñònh ma traän bieán ñoåi cuûa pheùp ñoái xöùng göông qua maët phaúng ñi qua ñieåm

P(x,y,z) vaø coù vector phaùp tuyeán

n .

3. Haõy xaùc ñònh ma traän cuûa pheùp ñoái xöùng qua truïc toïa ñoä x, y, z.

4. Haõy xaùc ñònh ma traän cuûa pheùp ñoái xöùng qua truïc baát kì ñi qua hai ñieåm P₀, P₁.

5. Haõy xaùc ñònh ma traän bieán ñoåi cuûa pheùp ñoái xöùng qua goác toïa ñoä O.

6. Haõy xaùc ñònh ma traän bieán ñoåi cuûa pheùp ñoái xöùng qua moät ñieåm P(x,y,z) baát kì.

7. Caøi ñaët chöông trình cho pheùp ngöôøi duøng söû duïng moät trong caùc pheùp bieán ñoåi affine

(tònh tieán, tæ leä, quay, bieán daïng, …) ñeå bieán ñoåi ñoái töôïng, sau ñoù haõy phuïc hoài laïi ñoái

töôïng goác.

8. Caøi ñaët chöông trình minh hoïa söï keát hôïp caùc pheùp bieán ñoåi cô sôû ñeå taïo thaønh pheùp

quay quanh moät truïc baát kì.

9. Chöùng minh coâng thöùc (6.3), (6.5).

10. Xaây döïng ma traän bieán ñoåi cuûa pheùp quay quanh moät truïc baát kì.