Bài giảng Giải tích mạch - Chương 8: Biến đổi Fourier
Chương8: Biến đổi Fourier
➢ 8.Phân tích chuổFourier
➢ 8.2. Các hệ số khai triển Fourier
➢ 8.3. Biến đổi dạng lượng lượng giác 3 thành phần
➢ 8.4.Áp dụng chuổi Fourier để phân tích mạch
➢ 8.5.Trị hiệu dụng hàm tuần hoàn
➢ 8.6.Công suất trung bình P
➢ 8.7.Chuổi Fourier dạng hàm mũ
➢ 8.8.Phổ biên độ và phổ pha rời rạc
8.1.Phân tích chuổi Fourier
f(t): Hàm tuần hoàn có chu kỳ T có thể được biểu diễn bởi chuỗi
Fourier dạng lượng giác 3 thành phần (dạng chuẩn):
f (t) = a + a cosn t + b sin n t (9.1)
v
n
0
n
0
n=1
*Với n là các số nguyên 1,2,3, …
*av , an , bn gọi là các hệ số khai triển Fourier.
*ω0 = 2л/T: gọi là tần số cơ bản ; các tần số là bội của ω gọi là
sóng hài như 2ω là sóng hài bậc 2; 3ω là sóng hài bậc 3..v.v..
*Ta có thể phân tích nguồn kích thích tuần hoàn thành chuổi
Fourier gồm thành phần một chiều av + tổng các thành phần điều
hòa (an và bn ) và dùng nguyên lý xếp chồng để tìm đáp ứng xác
lập.
Ta xác định các hệ số khai triển Fourier như sau:
8.2. Các hệ số khai triển Fourier
t0 +T
1
av =
ak =
bk =
f (t)dt
(9.2)
t0
T
t0 +T
2
f (t)cosk0t dt (9.3)
f (t)sin k0t dt (9.4)
t0
T
t0 +T
2
t0
T
Ta lưu ý các trị giá của các tích phân sau:
t +T sin m0t dt = 0
0
t0
t +T cosm0t dt = 0
0
t0
t +T cosm0t sin n0t dt = 0
0
t0
t +T sin m0t sin n0t dt = 0; m n
0
t0
T
= ; m = n
2
t +T cosm0t cosn0t dt = 0; m n
0
t0
T
= ; m = n
2
Ví dụ tìm chuổi Fourier của dạng sóng cho trước
v(t)
Vm
0 T 2T
T
➢ Để tính các av; ak; bk ta phải chọn to .Trong trường hợp này ta
nên chọn t0 = 0. Biểu thức v(t) trong khoảng 0 và T:v(t) = (Vm /T)t
T
1 Vm
1
av = ( )tdt = Vm
0
T T
2
T
2 Vm
2V 1
t
m
T
ak = ( )t cosk0t dt =
cosk0t + sin k0t
0
2
2 2
0
T T
T k 0
k0
2Vm 1
=
(
cos2k −1
)
= 0
T 2 k202
T
2 Vm
bk = ( )t sin k0t dt
0
T T
2V 1
2
t
m
T
=
2 2 sin k0t − cosk0t
0
T k 0
k0
2V
T
Vm
k
m
= 0 − cos2k = −
2
T k0
Chuổi Fourier của v(t) là:
Vm Vm 1
v(t) = −
sin n0t
2 n
n=1
Vm Vm
Vm
Vm
= − sin 0t − sin 20t − sin 30t −...
2
2
3
Ví dụ tìm chuổi Fourier của dạng sóng cho trước
Vm
Vm /3
T/3 2T/3T
➢ Tính các hệ số khai triển Fourier av; ak; bk của hàm điện áp khi
Vm = 9 л V
➢ Trả lời: av= 21,99 V; ak = (6/k)sin4kл/3 V;
➢ bk = (6/k)(1- cos4kл/3) V
Các hàm đối xứng
*Hàm chẳn: Nếu f(t) = f(-t ). Các hệ số Fourier rút gọn:
T /2
2
av = f (t)dt
0
T
4
T /2
ak = f (t)cosk0t dt
0
T
bk = 0
Các hàm đối xứng
*Hàm lẻ: Nếu f(t) = -f(-t ). Các hệ số Fourier rút gọn:
av = 0
ak = 0
T /2
4
bk = f (t)sin k0t dt
0
Các hàm đối xứng
A
A
A
0
0
T
0
T
T
H.a
H.b
H.c
➢ Tùy thuộc vào điểm t = 0 nằm ở vị trí nào mà hàm tuần hoàn có
thể không đối xứng như hình a; hoặc đối xứng chẳn (hàm
chẳn) như hình b hay đối xứng lẻ (hàm lẻ) như hình c
Các hàm đối xứng
*Hàm đối xứng bán sóng: Nếu f(t) = -f(t - T/2 ). Khi dịch hàm nữa
chu kỳ và đổi dấu hàm sẽ giống như hàm gốc. Các hệ số Fourier
rút gọn:
av = 0
ak = 0 với k chẳn
T /2
4
ak = f (t)cosk0tdt for k odd
0
T
bk = 0 với k chẳn
T /2
4
bk = f (t)sin k0tdt for k odd
0
T
Các hàm đối xứng
T/2
T/2 T
T
T/4
T/4
H.b
H.a
➢ *Hàm đối xứng ¼ sóng : Là hàm đối xứng bán sóng cộng thêm
mỗi bán kỳ âm và dương đối xứng qua điểm giữa của nó.
➢ Hình a cho ta hàm đối xứng ¼ sóng
➢ Hình b không phải hàm đối xứng ¼ sóng mặc dù nó là hàm đối
xứng bán sóng
Hàm đối xứng ¼ sóng
*Hàm đối xứng 1/4 sóng: Trong trường hợp này phụ thuộc vào
việc ta chọn điểm t = 0 mà hàm có thể là hàm chẳn hoặc lẻ. Trong
ví dụ này ta chọn điểm t = 0 để có hàm chẳn. Các hệ số Fourier
rút gọn có được trong ví dụ này là:
av = 0 (do cũng đối xứng bán sóng)
ak = 0 với k chẳn (do cũng đối xứng bán sóng)
T /4
8
ak = f (t)cosk0tdt for k odd
0
T
bk = 0 (vì là hàm chẳn trong ví dụ này)
Ví dụ tì m chuổi Fourier của hàm lẻ và đối xứng
i(t)
Im
T/2
0
T
-Im
➢ Việc chọn điểm t = 0 theo hình trên , ta có đây là hàm lẻ lại là
hàm đối xứng bán sóng và ¼ sóng nên : av = 0 ; ak = 0 (do
hàm lẻ). Vì đối xứng bán sóng nên bk = 0 với k chẳn. Vì đối
xứng ¼ sóng nên biểu thức bk với k lẻ là:
T /4
8
bk = i(t)sin k0tdt for k odd
0
T
Trong khoảng: 0 ≤ t ≤ T/4; Biểu thức dòng i(t) là:
i(t) = (4Im/T)t. Nên:
T / 4
8 4I
bk =
m t sin k0tdt for k odd
0
T T
32Im sin k0t t cosk0t
T / 4
−
0
2
T 2
k0
k20
8Im k
= sin
2k2 2
8Im
1 n
i(t) =
sin sin n0t
2 n=1,3,5... n2 2
8Im
1
1
1
= sin t − sin 3 t + sin t − sin 7 t +...
0
0
0
0
2
9
25
49
Ví dụ tìm chuổi Fourier của dạng sóng cho trước
vg(t)
Vm
T/3
T/6 T/2
T
0
-Vm
➢ Trả lời:
12Vm sin( n /3)
vg (t) =
sin n0t
2
n2
n=1,3,5...
8.3.Dạng sóng hài
Trong phân tích mạch ứng dụng chuổi Fourier , chúng ta gom
các thành sine và cosine lại thành 1 thành phần duy nhất là
cosine. Việc làm như thế cho phép ta biểu diển mỗi sóng hài của
v(t) hoặc i(t) bởi 1 ảnh phức duy nhất trong việc tìm đáp ứng xác
lập. Như vây chuổi Fourier dạng lương giác trở nên như sau
(dạng sóng hài):
f (t) = a + A cos(n t + ) (9.6)
v
n
0
n
n=1
Với An và θn được xác định như sau:
an − jbn = an2 +bn2 +n = A +n
n
Ví dụ về dạng sóng hài của chuổi Fourier
v(t)
Vm
T/2
3T/4
T/4
0
T
➢ A) Tính ak ; bk của hàm tuần hoàn cho như hình?
➢ B) Viết 4 thành phần đàu tiên của chuồi Fourier của v(t) dưới
dạng chỉ có thành phần cosine?
➢ Giải:
➢ A)Hàm này không phải hàm chẳn cũng không phải hàm lẻ; nó
cũng không đối xứng bán sóng và ¼ sóng. Ta tính các hệ số ak
và bk
2Vm sin k0t T /4
T / 4
2
ak = Vm cosk0t dt =
0
T
T k0
0
Vm k
= sin
k 2
2
2Vm (−cosk0t) T /4
T /4
bk = Vm sin k0t dt =
0
T
T k0
0
Vm
= (1− cos )
k
k
2
B)Ta tính trtrung bìnav = Vm (T)/T = Vm 4
*a1 -jb1 = Vm /л - jVm /л = √2Vm /л /-450 ;
*a2 -jb2 = 0- jVm /л = Vm /л /-900 ;
*a3 -jb3 = -Vm /3л - jVm /3л = √2Vm /3л /-1350 ;
Vậy 4 số hạng đầu của chuổi Fourier của v(t):
Vm 2Vm
v(t) = + cos(ot − 450 ) + cos(20t −900 )
4
Vm
2Vm
+ cos(30t −1350 ) +...
3
Tải về để xem bản đầy đủ
38 trang
16560
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích mạch - Chương 8: Biến đổi Fourier", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_giai_tich_mach_chuong_8_bien_doi_fourier.ppt
