Bài giảng Giải tích mạch - Chương 4, Phần 3: Phân tích mạch trong miền thời gian
4.3 Phương pháp toán tử Laplace
Phương pháp
Toán tử Laplace
Phép biến đổi Laplace
Định luật Ohm và Kirchhoff dạng toán tử
Phân tích mạch dùng toán tử Laplace
4.3.1 Biến đổi Laplace
Định nghĩa
f(t) là hàm (có thể phức) của biến số thực t (t ≥ 0) sao cho
tích phân hội tụ ít nhất với một số phức s = a + jb
Biến đổi thuận:
+∞
F(s) =
L
f (t) = f (t)e−st d
{ }
∫
0−
a+ j∞
Biến đổi ngược
1
f (t) = L−1 F(s) =
F(s)est d s
{ }
∫
2π j a− j∞
F(s) : ảnh Laplace
f(t) : gốc
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
2
Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng
f(t)
u(t)
δ (t)
e−at
F(s)
Miền hội tụ
1
Re s > 0
s
1
1
Re s > −a
s + a
s
Re s > 0
cos(at)
s2 + a2
a
Re s > 0
sin(at)
s2 + a2
n!
tn
Re s > 0
sn+1
Bảng tính chất phép biến đổi Laplace
f(t)
F(s)
Tính chất
a1 f1(t) + a2 f2 (t)
a1F1(s) + a2F2 (s)
Tuyến tính
e−at f (t)
F(s + a)
e−st0 F(s)
Dời theo s
Dời theo t
f (t −t0 ).u(t −t0 )
1 s
f (at)
F
Đổi thang
a a
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
4
Bảng tính chất phép biến đổi Laplace
f(t)
F(s)
Tính chất
f (n) (t)
sn F(s) − sn−1 f (0− ) −...− f (n−1) (0− )
Đạo hàm theo t
t
1
f (t)dt
F(s)
Tích phân theo t
Nhân cho t
∫
0
s
dn
(−1)n F(s)
dsn
tn f (t)
∞ F(s)ds
f (t)
Chia cho t
∫
s
t
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
5
Bảng tính chất phép biến đổi Laplace
f(t)
F(s)
Tính chất
T
f (t)e−st dt
−sT
∫
f (t) = f (t +T)
0
Hàm tuần hoàn
f (0+ )
lim sF(s)
Giá trị đầu
Giá trị cuối
s
→+∞
lim sF(s)
f (+∞)
s
→0+
f (t)∗ g(t)
F(s)G(s)
Tích chập miền t
Tích chập miền s
1
F(s)∗G(s)
f (t)g(t)
2π j
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
6
Các biến đổi Laplace thông dụng
f(t)
F(s)
1
u(t)
s > 0
s
δ (t)
δ '(t)
1
s
sn
s > 0
s > 0
δ (n) (t)
1
e−at
s > −a
s > 0
s > 0
s > 0
n!
tn
sn+1
s
cos(ωt)
s2 2
ω
sin(ωt)
s2 +ω2
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
7
Các biến đổi Laplace thông dụng
f(t)
F(s)
n!
e−attn
s > −a
s > −a
s > −a
s > 0
(s + a)n+1
s + a
e−at cos(ωt)
e−at sin(ωt)
t.cos(ωt)
(s + a)2 +ω2
ω
(s + a)2 +ω2
s2 −ω2
(s2 +ω2 )2
2ωs
t.sin(ωt)
cosh(ωt)
sinh(ωt)
s > 0
s > a
s > a
(s2 +ω2 )2
s
s2 −ω2
ω
s2 −ω2
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
8
4.3.2 Các trở kháng toán tử
Điện trở
i(t)
R
u(t)
u(t) = Ri(t)
L
u(t) =
L
Ri(t)
I(s)
R
U(s) = RI(s)
U(s)
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
9
4.3.2 Các trở kháng toán tử
i(t)
Điện cảm
d
u(t) = L i(t)
u(t)
L
I(s)
sL
U(s) = sLI(s) − Li(0− )
U(s)
Li(0− )
I(s)
U(s) i(0− )
I(s) = +
sL s
i(0− )
sL
U(s)
s
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
10
4.3.2 Các trở kháng toán tử
i(t)
Điện dung
t
1
u(t) = i(t)dt + u(0− )
u(t)
C
∫
C
I(s)
0
1
sC
u(0− )
I(s) u(0− )
U(s)
U(s) = +
s
I(s)
Cu(0− )
I(s) = sCU(s) −Cu(0− )
U(s)
1
sC
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
11
4.3.2 Các trở kháng toán tử
I1(s)
I2 (s)
Hổ cảm
sM
i1(t)
i2 (t)
∗
∗
sL2
M
sL
1
∗ ∗
U1(s)
U2 (s)
L i (0− ) + Mi2 (0− )
u1(t)
u2 (t)
1 1
L
L2
1
L2i2 (0− ) + Mi1(0− )
i1(t)
i2 (t)
I1(s)
I2 (s)
sL
sL2
1
L2i2 (0− )
L i (0− )
1 1
U1(s)
U2 (s)
L
L2
1
u1(t)
u2 (t)
M sI −i (0− )
′
Mi2
2
2
+
+
+
+
-
-
-
-
M sI −i (0− )
′
Mi1
1
1
4.3.3 Các định luật mạch dạng toán tử
a) Định luật Ohm dạng toán tử :
(điều kiện đầu bằng 0)
Phát biểu:
I(s)
+
U(s) = Z(s).I(s)
I(s) = Y(s).U(s)
U(s)
Z(s)
Y(s)
-
(Ω)
Z(s) : trở kháng , tổng trở toán tử
1
Y =
Với :
) Ω (
(S)
Y(s) : dẫn nạp , tổng dẫn toán tử
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
13
4.3.3 Các định luật mạch dạng toán tử
b) Định luật Kirchhoff dạng toán tử :
±I (s) = 0
. Luật KCL :
. Luật KVL :
∑
k
node
(Xét dấu như mạch điện trở)
±U (s) = 0
∑
k
loop
. Do các luật Ohm và Kirchhoff viết cho mạch toán tử
cũng tương tự viết cho mạch phức nên ta có thể áp dụng
các phương pháp phân tích mạch xác lập đã học cho sơ đồ
toán tử khi tìm ảnh Laplace bất kỳ.
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
14
Qui trình PP toán tử Laplace
Dời mốc thời gian
(nếu có, sẽ trả về mốc cũ sau khi giải xong bài toán)
Giải mạch khi t < 0: Chỉ tìm uC(0-) và iL(0-)
Giải mạch khi t > 0:
a) Xây dựng sơ đồ toán tử cho mạch .
b) Áp dụng các pp phân tích mạch để xác định ảnh
Laplace Y(s) của tín hiệu cần tìm.
c) Biến đổi Laplace ngược tìm y(t).
d) Trả về mốc thời gian cũ (nếu có).
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
15
4.3.4 Ví dụ pp toán tử Laplace
Ví dụ 1
Khóa K mở ra tại t = 0 , tìm áp u(t)
khi t > 0 ?
Giải
Khi t < 0 : Ta có uC(0-) = 4 (V)
Khi t > 0 :
Sơ đồ toán tử như hình bên.
Tìm U(s) bằng thế nút.
8/3
U(s) =
s + 0,5
Và :
8
u(t) = L−1 U(s) = e−0,5t . 1(t)
{ }
3
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
16
4.3.4 Ví dụ pp toán tử Laplace
Ví dụ 2
Cho mạch điện như hình bên , khóa
K đóng lại tại t = 0 , biết iL(0-) = 0 và
uC(0-) = 0 , xác định i(t) khi t > 0 ?
Giải
Sơ đồ toán tử như hình bên.
Dùng phương pháp dòng mắc lưới :
8
4
8
6 + s + I(s) = + 2 + 0,5U(s)
s
s
s
2
U(s) = − I(s) 2
Với
s
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
17
4.3.4 Ví dụ pp toán tử Laplace
8(s + 2)
s(s2 +8s +16)
Vậy:
I(s) =
K3
K1
K2
=
+
+
(s + 4)2 (s + 4) s
Biến đổi ngược:
K1 = 4 ; K2 = -1; K3 = 1
i(t) = (4t −1)e−4t +1 .1(t) [A]
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
18
4.3.4 Ví dụ pp toán tử Laplace
Ví dụ 3
Cho mạch như hình bên, biết iL(0-) = 0
và uC(0-) = 0 ; xác định u(t) tại t > 0
theo phương pháp toán tử Laplace ?
Giải
Sơ đồ toán tử như hình bên.
Áp dụng phương pháp dòng mắc lưới :
I2
4
1
12
−s + 2 + s + I2 (s) =
I1
s
s
s
12 + 4s
24 +8s
I2 (s) =
→U(s) =
2
2
s +1
s +1
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
19
4.3.4 Ví dụ pp toán tử Laplace
24 +8s
U(s) =
2
s +1
Heaviside:
K1 K2
2
s +1
( )
U(s) =
+
s +1
K1 = (24 +8s) s=−1 =16
d
K2 = (24 +8s) = 8
ds
s=−1
u(t) = (16t +8)e−t .1(t) [V]
Vậy:
Bài giảng Giải tích Mạch 2014
20
Tải về để xem bản đầy đủ
34 trang
27/04/2022
8040
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích mạch - Chương 4, Phần 3: Phân tích mạch trong miền thời gian", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_giai_tich_mach_chuong_4_phan_3_phan_tich_mach_tron.pdf
