Bài giảng Giải tích mạch - Chương 7: Hàm truyền

Chương7: Hàm truyền

➢ 7.1. Mạch cộng hưởng

➢ 1.Cộng hưởng nối tiếp

➢ 2.Cộng hưởng song song

➢ 7.2.Định nghĩa hàm truyền

➢ 7.3. Tính tuyến tính và bất biến của hệ thống

➢ 7.4. Ví dụ về hàm truyền

➢ 7.5. Đáp ứng xác lập của tín hiệu điều hòa

➢ 7.6. Giản đồ Bode

➢ -Thành phần bậc nhất

➢ -Thành phần bậc hai

7.1.Mạch cộng hưởng

Mạch cộng hưởng là mạch điện mà trong đó xãy ra hiện

tượng cộng hưởng . Cộng hưởng xãy ra trong mạch tại

tần số mà ở đó tổng điện kháng X(ω) hay tổng điện nạp

B(ω) bằng 0. Như vậy điều kiện cần để xãy ra hiện

tượng cộng hưởng là trong mạch có chứa các phần tử

điện kháng là điện cảm và điện dung.

Ta sẽ xét các trường hợp cộng hưởng:

1.Cộng hưởng nối tiếp

2.Cộng hưởng song song

1.Cộng hưởng nối tiếp



jωL

U_L

R

U_R

I



+

-

+

-

+



U_C

E_m/φ_e

1/jωC

-

➢ *Xét mạch điện như hình. Trong đó: R = R₁+ R_ntL+ R_ntC

➢ R₁: Điện trở mắc vào mạch;

➢ R_ntL; R_ntC: Là các điện trở tổn hao trong mô hình nối tiếp của

cuộn dây và tụ điện. Mạch được kích thích bởi nguồn điều hòa

tần số ω. Ta xét mạch ở chế độ xác lập.

➢ Trở kháng của mạch:

➢ Z = R + jωL + 1/jωC = R + j(ωL – 1/ωC) = R + jX(ω)

Mô -đun trở kháng, dẩn nạp của mạch

* Mô -đun trở kháng:

1

Z() = R²+(L − )²

C

*Góc pha (argument) của trở kháng :

φ(ω) = tg^-1(X/R)= tg^-1[(ωL – 1/ωC)/R]

Dẩn nạp của mạch: Y(jω) = 1/Z(jω) = 1/[R + j(ωL – 1/ωC)]

*Mô -đun của dẩn nạp:

1

Y() =

R²+ (L −1/C)²

*Góc pha (argument) của dẩn nạp:

α(ω) = -φ(ω) = -tg^-1(X/R)= -tg^-1[(ωL – 1/ωC)/R]

Tính chất lọc thông dải

IY(ω)I

α(ω)

IyI_max=1/R

0,707/R

90⁰

45⁰

ω₀

ω

ω_c1

ω_c2

-45⁰

-90⁰

ω_c1ω₀ω_c2

ω

➢ *Từ đường cong biểu diển như hình ta thấy |Y(ω)| cực đại khi:

➢

 =₀=1/ LC

➢ ω₀: Tần số cộng hưởng

➢ |Y(ω)| đạt trị giá cực đại là |Y|_max=1/R khi đó dòng điện trong

mạch đạt trị giá cực đại có biên độ là E_m/R: mạch cộng hưởng

➢ * Với tần số ω cá ch xa ω₀dòng điện trong mạch giảm dần.

Như vậy nguồn kích thích có tần số ω gần ω₀trong mạch có

dòng điện lớn được xem như đi qua , ngược lại dòng điện bị

chận , ta nói mạch có tính chất lọc thông dải

Điện áp 2 đầu cuộn dây, tụ điện tại ω₀

*Ta có 2 tần số cắt ω_c1và ω_c2tương ứng tại đó |Y(ω_c1)| =|Y(ω_c2)|

2

=|Y|_max/√2 .Ta chứng minh được rằng: ω_c2x ω_c1= ω₀= 1/LC

R 1

_C1= − + R²+ ;_C2= + R²+

2L 2L 2L 2L

4L

R 1

4L

C

*β = ω_c2- ω_c1= R/L: Độ rộng dải thông.

Ta nhận xét R càng nhỏ thì β càng nhỏ , mạch có tính chọn lọc

tần số tốt hơn.

*Hệ số phẩm chất Q = ω₀/β = ω₀L/R = 1/ω₀RC = ρ/R; (7.1)

nếu β nhỏ thì Q lớn mạch có tính chọn lọc cao

*Trở kháng đặc tính của mạch ρ = ω₀L = 1/ ω₀C = √L/√C

Tại tần số cộng hưởng ω₀ta có :

U_LmU_Cm₀LI_m₀L

= =

= = Q

E_mE_mRI _m

R

Hệ số phẩm chất của mạch, cuộn dây, tụ điện

*Nếu Q lớn thì U_Lmvà U_cmlớn hơn E_mrất nhiều (Q lần).

*Tại tần số cộng hưởng ta chứng minh được rằng:

2

W_E(t) + W_M(t) = ½ LI_m= hằng số

Vậy ở tần số cộng hưởng năng lượng tổng chứa trong tụ và cuộn

dây không thay đổi theo thời gian, có sự trao đổi năng lượng giữa

2 thành phần L và C. Còn công suất của nguồn cung cấp cho

mạch được biến đổi thành nhiệt trên điện trở R

*Nếu: R₁= 0 → R = R_ntL+ R_ntC

→ hệ số tổn hao của mạch d = 1/Q = d_L+ d_C= 1/Q_L+ 1/Q_C; Vậy hệ

số phẩm chất của mạch nhỏ hơn hệ số phẩm chất của cuộn dây

cũng như của tụ

*Sự thay đổi biên độ các điện áp trên R,L,C theo tần số được

khảo sát như sau:

Khảo sát điện áp 2 đầu R, L,C

   

K_R= U_R/ E = RI / E = RY = R/ [R + j(ωL – 1/ωC)]

 

U / E = jLI / E

K_L=

= jωLY = jωL/ [R + j(ωL – 1/ωC)]

= Y/jωC = (1/jωC)/ [R + j(ωL – 1/ωC)]

L

  



U / E = (I / jC)/ E

K_C=

C

Biểu thức mô-đun của K_R; K_L; K_C

L

K_L=

K_C=

;

R²+ (L −1/C)²

1

;

C R²+ (L −1/C)²

R

K_R=

;

R²+ (L −1/C)²

IK_CI

IK_LI

IK_CI

Q

1

IK_RI

IK_LI

1

IK_RI

Q

0

ω

0

ω_Cω₀ω_L

H.a) Q > 1/√2

Q

ω₀

H.b) Q < 1/√2

*Nếu Q > 1/√2 :

K_L=

; _L= ₀2Q²/(2Q²−1)

max

1−1/ 4Q²

_C= ₀(2Q²−1)/ 2Q²

|K_C|_max= |K_L|_maxtại:

ω_L> ω₀> ω_C

Độ lệch cộng hưởng tuyệt đối, tương đối, tổng quát

*Độ lệch cộng hưởng tuyệt đối: ∆ω = ω – ω₀;

*Độ lệch cộng hưởng tương đối:

ע

= ω/ω₀– ω₀/ ω

*Độ lệch cộng hưởng tổng quát: ξ = X(ω)/R

*Tại tần số cộng hưởng các độ lệch cộng hưởng = 0

*ξ = Q

ע

;

ע

≈ 2∆ω/ ω₀; ξ ≈ 2Q∆ω/ ω₀; (7.2)

Z() = R 1+²;  = tg⁻¹ (7.3)

1

Y() =

;  = −tg⁻¹ (7.4)

R 1+ ²

Y

Y 1

1

=

;

=

(7.5)

1+ ²

Y_ch1+ j Y_ch

Ví dụ về cộng hưởng nối tiếp

*Mạch cộng hưởng nối tiếp có R = 20 Ω; C = 60 nF; tần số cộng

hưởng f₀= 3 Mhz được kích thích bởi tín hiệu điều hòa có biên

độ 1V tần số f với độ lệch cộng hưởng tuyệt đối ∆f = f – f₀= 6 Khz

Hãy xác định: Biên độ dòng điện trong mạch, điện kháng của

mạch, biên độ điện áp trên tụ, góc lệch pha giữa dòng điện và

sức điện động?

Giải:

Hệ số phẩm chất của mạch (tính theo (7.1)):

Q = 1/(ω₀RC) = 1/(2Л x 3 x 10⁶x 20 x 60 x 10^-12) = 44,21

Do ∆f/f₀= (6 x 10³)/ (3 x 10⁶) = 2 x 10^-3. Nên từ (7.2):

ξ≈ 2Q∆ω/ω₀= 2Q∆f/f₀= 0,1768

Biên độ dòng điện cộng hưởng I_mch= E_m/R = 1/20 = 50mA

Ta có : I_m/ I_mch= |Y| / |Y_ch|. Từ (7.5) suy ra:

Y

I_mch

1+ ²

I_m= I_mch

=

= 49,236 mA

Y_ch

Ví dụ về cộng hưởng nối tiếp

*Điện kháng của mạch:

X = Lω – 1/Cω = ξR = 3,537Ω

Biên độ điện áp trên tụ:

I_mI_m

U_Cm=  =

C ₀C

I_mch

₀C 1+ ²

QE_m

E_m

=

= 43,5V

₀RC 1+ ²1+ ²

*Góc lệch pha φ giữa sức điện động e(t) và dòng điện i(t) chính là

góc pha của trở kháng Z. Theo (7.3) ta có:

φ = tg^-1ξ ≈ 10⁰

2.Mạch cộng hưởng song song



I_C

I_R

I_L

+



J

U

R

L

C

-

➢ *a)Mạch cộng hưởng song song 3 nhánh: Xét mạch như hình



với nguồn kích thích có biên độ phức là: = J /Φj . Dẩn nạp

J

m

của mạch: Y(jω) = 1/R + 1/jωL + jωC = 1/R + j(ωC – 1/ωL)

➢

= G +jB. Trở kháng của mạch:

➢ Z = 1/Y = 1/[G + j(ωC – 1/ωL)].

2

➢ *Tần số cộng hưởng của mạch cũng là ω₀= 1/LC được xác

định từ điều kiện B(ω) = 0

➢ *Tại ω = ω₀mô-đun trở kháng đạt trị giá cực đại |Z|_max= R

,ứng với điện áp có biên độ lớn nhất bằng J_mR.

➢ *Mạch cũng có tính chất lọc thông dải, cho qua 1 dải tần số

chung quanh ω₀và chặn lại dải tần còn lại. Hai tần số cắt

Tương ứng |Z(ω_C1)| = |Z(ω_C1)| = |Z(ω )|_max/√2

G 1

_C1= − + G²+ ;_C2= + G²+

2C 2C 2C 2C

4C

G 1

4C

L

*Độ rộng dải thông β = ω_c2- ω_c1= G/C

*Hệ số phẩm chất Q = ω₀/β = ω₀C/G = 1/ω₀GL = 1/Gρ = R /ρ;

*Trở kháng đặc tính của mạch ρ = ω₀L = 1/ ω₀C = √L/√C

*Tại tần số cộng hưởng ω₀, u(t) cùng pha với j(t) ; biên độ dòng



điện

→ toàn bộ dòng điện chảy qua điện trở.

J = GU

*Để tiện lợi, người ta cũng định nghĩa độ lệch cộng hưởng tuyệt

đối, tương đối giống như cộng hưởng nối tiếp.

* Độ lệch cộng hưởng tổng quát được định nghĩa: ξ = B(ω)/G.

*Ta có : ξ = Q

ע

; ξ ≈ 2Q∆ω/ω₀;

ע

≈ 2∆ω/ω₀; Y = G(1 +jξ)

Z

Z 1

1

=

;

=

; arg Z = −tg⁻¹

1+ ²

Z_ch1+ j Z_ch

b)Mạch cộng hưởng song song 2 nhá nh

C₁

L₁

C₂

L₂

C_{2 L}

1

R₁

R₂R₁

R₂

R₁

H.a. Mạch 2 nhánh H.b. Mạch 2 nhánh

thộng thường 2 điện dung

H.c. Mạch 2 nhánh

2 điện cảm

➢ *Trên thực tế ta thường gặp các mạch song song 2 nhánh như

hình. Các mạch này gọi là mạch cộng hưởng song song phức

tạp.Để phân tích các mạch cộng hưởng này, người ta thường

chuyển các mạch trên về dạng song song 3 nhánh để có thể áp

dụng các kết quả mà ta đã biết. Mạch cộng hưởng 2 nhánh là

mô hình đúng của các mạch thực tế thường dùng với điều kiện

tổn hao của các phần tử nhỏ.

➢ *Để đưa mạch song song 2 nhánh về dạng song song 3 nhánh

ta hãy so sánh dẩn nạp của chúng:

*Với mạch // 3 nhá nh: Y = G + 1/jωL + jωC (7.7)

*Với mạch // 2 nhá nh (H.a): Y’ = 1/(R₁+ jωL₁) + 1/(R₂+ 1/jωC₂)

Với các giả thiết: R₁<< ωL₁; R₂<< 1/ωC₂

R₁+ R₂+ jL +1/ jC₂R₁+ R₂+ jL +1/ jC₂

Y ^'=



1

(R₁+ jL )(R₂+1/ jC₂)

L /C₂

1

RC₂

 + jC₂− j ; (7.8) R = R₁+ R₂

L

1

L

1

So sá nh (7.7) và (7.8) ta được :

G = RC₂/L₁; C = C₂; L = L₁

Đó là điều kiện để 2 mạch tương đương với nhau

Gọi R_tđ= 1/G = L₁/RC₂= ρ²/R

Trong đó ρ = √L₁/√C₂là trở kháng đặc tính của mạch

Hệ số phẩm chất Q = R_tđ/ρ ; → R_tđ= Q²R

Ví dụ về mạch cộng hưởng

L

R

+

-

i(t)

C

e(t)

R

C

L

H.b

H.a

➢ *

➢ Tìm tần số cộng hưởng và hệ số phẩm chất của mạch hình a

và mạch hình b?

7.2.Định nghĩa hàm truyền

*Các điều kiện đầu bằng 0, x(t): nguồn kích thích; y(t): đáp ứng

d ^ky(t)

d ^kx(t)

N

M

a

= b

 

k

dt^k

k=0

N

M

a s^kY(s) = b s^kX (s)

 

k

k=0

N

M

Y(s) a s^k= X (s) b s^k

 

k

k=0

M

b_ks^k

a_ks^k



^__k=0

__k=0



Y(s) =

X (s) = H(s)X (s)

N







H(s): Hàm truyền của mạch

Điều kiện đầu

*Các điều kiện đầu bằng 0.

d^ky(t)

d^kx(t)

N

M

a

= b

 

k

dt^k

k=0

N

M

a s^kY(s) = b s^kX (s)

 

k

k=0

*Các nguồn kích thích (x(t)) điện áp và dòng điện là những nguồn

độc lập (dùng nguyên lý xếp chồng).

*Năng lượng trử trong tụ và cuộn dây được xem như những

nguồn độc lập

*Trong chương này ta chỉ xét :

-Chỉ có 1 nguồn độc lập ở ngõ vào (input)

-Năng lượng trử ban đầu của tụ và cuộn dây bằng 0

7.3.Tính tuyến tính và bất biến

*Tính tuyến tính: Một hệ thống là tuyến tính khi và chỉ khi :

a₁x₁(t) + a₂x₂(t) → a₁y₁(t) + a₂y₂(t) với:

x₁(t) → y₁(t); x₂(t) → y₂(t)

*Tính bất biến (time invariant): Một hệ thống được gọi bất biến

theo thời gian khi và chỉ khi: x(t) → y(t) thì x(t - t₀) → y(t - t₀)

*Việc phân tích hàm truyền được áp dụng cho bất kỳ hệ thống

nào có tính tuyến tính và bất biến (LTI)

*Một hệ thống bất biến nếu tín hiệu vào dịch đi 1 khoảng thời gian

thì tín hiệu ra cũng dịch đi cùng1 khoảng.

*Mạch điện mà năng lượng trử trong tụ hay trong cuộn dây khác 0

tại t = 0 là hệ thống không bất biến

*Mạch điện mà năng lượng trử trong mạch bằng 0 tại t = 0 là hệ

thống bất biến