Tóm tắt Sức bền vật liệu 2 - Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Tóm tắt Chương 6 (sử dụng kết hợp với bài giảng trên lớp)

GV: TS. Cao Văn Vui

Chương 6. ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT

NGANG

§1 KHÁI NIỆM

§2 MÔMEN TĨNH CỦA HÌNH PHẲNG

y

x

dA

y

O

x

Hình 6-1

Sx, Sy gọi là mômen tĩnh của hình phẳng có diện tích A đối với trục Ox, Oy:

;

(6-1)

^{S } ^{ydA S } ^xdA

x

y

A

x, y có thể âm, dương nên S_x, S_ycũng có thể âm hoặc dương.

Đơn vị của mômen tĩnh là [chiều dài]³.

Trục trung tâm là trục có mô men tĩnh bằng 0.

Trục đối xứng là một trục trung tâm vì trục đối xứng sẽ có mô men tĩnh bằng 0.

Trọng tâm là giao điểm của ít nhất 2 trục trung tâm.

Mômen tĩnh đối với bất kỳ trục nào đi qua trọng tâm = 0. Từ đó ta xác định trọng tâm như sau:

- Dựng hệ trục Cx’y’ đi qua trọng tâm C (center) và song song với các trục x, y của hệ trục Oxy.

y'

y

x'

x

dA

y'

C

x'

y

O

x

S_x y_CA

S_y x_CA

(6-2)

(6-3)

S_y

x_C

A

S_x

y_C

A

(6-4)

(6-5)

1

Tóm tắt Chương 6 (sử dụng kết hợp với bài giảng trên lớp)

GV: TS. Cao Văn Vui

Tính chất: mômen tĩnh của hình phức tạp = tổng mômen tĩnh của hình đơn giản.

n

S  A y  A y ...  A y 

A y

i

(6-6)

(6-7)



i1

n

x

1

2

n

i

S  A x  A x ...  A x  A x



y

1

2

n

i i

i1

Trong đó:

A , x_i, y_ilà diện tích và tọa độ trọng tâm của hình đơn giản thứ i.

i

n là số hình đơn giản.

Tọa độ trọng tâm của hình phức tạp:

n

A x



i

S_y

A

i1

(6-8)

(6-9)

x_C



n

A



i

i1

n

A y



i1

n

i

S_x

A

y_C

A



i

i1

§3 MÔMEN QUÁN TÍNH, BÁN KÍNH QUÁN TÍNH

3.1 Mômen quán tính đối với một trục

Mômen quán tích đối với trục x:

I_x y²dA

(6-10)



A

Mômen quán tích đối với trục y:

I_y x²dA



A

 Thứ nguyên: [chiều dài]⁴.

 Ix, Iy luôn luôn dương.

Tính chất: mômen quán tính của hình phức tạp = tổng mômen quán tính của hình đơn giản.

3.2 Mômen quán tính độc cực

Mômen quán tính của một mặt cắt đối với điểm O (hay mômen quán tính độc cực):

I_ ²dA

(6-11)

(6-12)



A

Trong đó: là khoảng cách từ tâm của phân tố dA đến gốc tọa độ O.



 Thứ nguyên: [chiều dài]⁴.



I_ 0

I_x I_y I_u I_v I_ const

3.3 Mômen quán tính ly tâm

Mômen quán tính ly tâm của mặt cắt đối với hệ trục Oxy:

2

Tóm tắt Chương 6 (sử dụng kết hợp với bài giảng trên lớp)

GV: TS. Cao Văn Vui

(6-13)

^{I }^xydA

xy

A

 Ixy có thể âm, dương hoặc có thể bằng 0 tuỳ thuộc vào dấu các toạ độ x, y.

3.4 Trục quán tính chính trung tâm

Trong hệ trục Oxy, nếu Ixy = 0 thì ta gọi hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính.

Hệ trục quán tính chính đi qua trọng tâm được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm. (Khi đó: S_x=0,

S_y=0).



Trục đối xứng là trục quán tính chính trung tâm.

3.5 Bán kính quán tính

I_y

A

I_x

A

;

(6-14)

r 

r_y

x

Bán kính quán tính đối với trục chính được gọi là bán kính quán tính chính.

Thứ nguyên: [chiều dài].

§4 MÔMEN QUÁN TÍNH TRUNG TÂM CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GIẢN

4.1 Hình chữ nhật

y

h

2

dy

y

x

C

h

2

b

Mômen quán tính trung tâm đối với trục x:

Mômen quán tính trung tâm đối với trục y:

bh³

I_x

I_y

(6-15)

(6-16)

12

hb³

12

3

Tóm tắt Chương 6 (sử dụng kết hợp với bài giảng trên lớp)

GV: TS. Cao Văn Vui

4.2 Hình tam giác

y

dy

y

b_y

h

C

b

x

bh³

I_x

(6-17)

12

4.3 Hình tròn

y

d

x

C

D=2R

 R⁴ D⁴

(6-18)

(6-19)

I_



 0,1D⁴

2

32

Do tính chất đối xứng, nên:

 R⁴ D⁴

I_x I_y



 0,05D⁴

4

64

Lưu ý: I_ I_x I_y 2I_x 2I_y

I_

I_x I_y

2

4

Tóm tắt Chương 6 (sử dụng kết hợp với bài giảng trên lớp)

GV: TS. Cao Văn Vui

4.4 Hình vành khăn

y

x

C

d=2r

D=2R

Theo tính chất của I, ta có:

I_{x, hình vành khăn}= I_{x, hình tròn lớn}- I_{x, hình tròn nhỏ}

 R⁴

2

I_{x, hình tròn lớn}



r⁴

2

I_{x, hình tròn nhỏ}





4

R⁴ r⁴

(6-20)

I_x I_y





Hay

I  I  0,05D⁴ 0,05d ⁴ 0,05D⁴1⁴





x

y

d

Với

 

D

§5 CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG

Vấn đề:

 Biết mômen quán tính của hình phẳng đối với hệ trục Oxy.

 Tìm mômen quán tính của hình phẳng đối với hệ trục O’XY song song với Oxy.

y

Y

x

dA

y

O

x

b

O'

X

a

5

Tóm tắt Chương 6 (sử dụng kết hợp với bài giảng trên lớp)

GV: TS. Cao Văn Vui

I_X I_x 2bS_x b²A

I_Y I_y 2aS_y a²A

(6-21)

(6-22)

Với mômen quán tính ly tâm:

I_XY I_xy bS_y aS_x abA

I_XY I_xy aS_x bS_y abA

(6-23)

Nếu hệ trục Oxy là hệ trục trung tâm thì:

I_X I_x b²A

I_Y I_y a²A

I_XY I_xy abA

(6-24)

(6-25)

(6-26)

Nhận xét: Mô men quán tính đối với trục trung tâm là nhỏ nhất.

§6 CÔNG THỨC XOAY TRỤC

Vấn đề:

 Biết mômen quán tính của hình phẳng đối với hệ trục Oxy.

 Tìm mômen quán tính của hình phẳng đối với hệ trục Ouv là hệ trục Oxy xoay một góc α

ngược chiều kim đồng hồ.

y

v

x

u

dA

u

x

v

y

O

I_x I_yI_x I_y

(6-27)

(6-28)

(6-29)

I_u

I_v



cos2  I_xysin 2

cos2  I_xysin 2

2

I_x I_yI_x I_y



2

I_x I

I_uv

^ysin 2  I_xycos2

2

Dễ dàng nhận thấy rằng:

I_u I_v I_x I_y const

(6-30)

§7 ĐƯỜNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH. CÁCH XÁCH ĐỊNH HỆ TRỤC QUÁN TÍNH

CHÍNH TRUNG TÂM

7.1 Cách xác định hệ trục quán tính chính

Hệ trục quán tính chính có I_uv=0

6

Tóm tắt Chương 6 (sử dụng kết hợp với bài giảng trên lớp)

GV: TS. Cao Văn Vui

(6-31)

2I_xy

==>

tan2  

I_x I_y

Trong đó, là góc xác định trục quán tính chính. Có 2 góc chênh nhau 90^o.



Vậy, đối với hệ trục chính, mômen quán tính có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, gọi là mômen quán tính

chính.

²

I_x I_y

I  I



x

y

I_max





 I_x²_y

(6-32)









2

min

7.2 Đường tròn Mohr quán tính

Nếu dùng một hệ trục tọa độ với trục hoành biểu diễn I_uvà trục tung biểu diễn I_uvthì quan hệ giữa

I_uvà I_uvlà một đường tròn Mohr quán tính. Tương tự đường tròn Mohr ứng suất, tuy nhiên I_uv

hướng lên trên và đường tròn luôn nằm bê phải trục tung vì I_uluôn luôn dương.

uv

y

v

D'

xy

y

M

vu

v

u

E

O

F

C



M

uv

u



x

D

xy

x

P

xy

y

7.3 Cách xác định hệ trục quán tính chính trung tâm của một hình phẳng bất kỳ

Trong trường hợp tổng quát, hệ trục QTCTT được xác định như sau:

 Chọn hệ trục Oxy bất kỳ. Xác định trọng tâm của hình theo hệ trục này.

 Chuyển trục song song về trọng tâm của hình. Tính các mômen quán tính đối với hệ trục

trung tâm.

 Xoay trục để tìm phương chính đi qua trọng tâm.

7

Tóm tắt Sức bền vật liệu 2 - Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang - Cao Văn Vui